2020年宁夏中考数学试题(Word版,含解析)

宁夏回族自治区2020年中考数学试卷说明：1.考试时间120分钟。

满分120分。

2.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.计算：的结果是A. 1B.错误!未找到引用源。

C.0D.-1【专题】计算题；实数．【分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值．【解答】故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.下列运算正确的是A. B. (a2)3=a5 C.a2÷a-2=1 D.（-2a3）2=4a6【专题】计算题．【分析】根据单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（-a）3=-a3，错误；B、（a2）3=a6，错误；C、a2÷a-2=a4，错误；D、（-2a3）2=4a6，正确；故选：D．【点评】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．3.小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是A. 30和 20B. 30和25C. 30和22.5D. 30和17.5【专题】常规题型；统计的应用．【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得．【解答】解：将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30，故选：C．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．4.若是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是A.1B.C.D.【专题】方程思想．解得c=1；故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5.某企业2020年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是A.300（1+x）=507B.300（1+x）2=507C.300（1+x）+300（1+x）2=507D.300+300（1+x）+300（1+x）2=507【专题】方程思想；一元二次方程及应用．【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2020年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2=507．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是A．10 B.20 C.10π D.20π【专题】几何图形．【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得解得r=10．故小圆锥的底面半径为10．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．7.将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是A.40°B.50°C.60°D.70°【专题】常规题型．【分析】结合平行线的性质得出：∠1=∠3=∠4=40°，再利用翻折变换的性质得出答案．【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=∠4=40°，故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．8.如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是【专题】函数及其图象．【分析】根据实心长方体在水槽里，长方体底面积减小，水面上升的速度较快，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是长方体的底面积，水面上升的速度较慢进行分析即可．【解答】解：根据题意可知，刚开始时由于实心长方体在水槽里，长方体底面积减小，水面上升的速度较快，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是长方体的底面积，水面上升的速度较慢，故选：D．【点评】此题考查函数的图象问题，关键是根据容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系分析．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 .【专题】常规题型；概率及其应用．【分析】由在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率【解答】解：∵在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，共10个球且它们除颜色外其它都相同，【点评】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．10.已知m+n=12,m-n=2,则m2-n2= .【专题】计算题．【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：∵m+n=12，m-n=2，∴m2-n2=（m+n）（m-n）=2×12=24，故答案为：24【点评】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式的形式解答．11.反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（1,4），那么这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而 .（填“增大”或“减小”）【专题】反比例函数及其应用．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用反比例函数的性质，即可得出：这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小．【解答】∴k=1×4=4，∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．12.已知：，则的值是 .专题】计算题．【分析】根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质，可得答案．13.关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 .【专题】方程与不等式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程2x2-3x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4×2c=9-8c＞0，【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14.在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8,6），M为BC中点，反比例函数的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是 .【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形．【分析】根据矩形的性质，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得N点坐标，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得M（8，3），N点的纵坐标是6．将M点坐标代入函数解析式，得k=8×3=24，故答案为：5．【点评】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出N点坐标，勾股定理求MN的长．15.一艘货轮以㎞/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B 的距离是 km.【专题】几何图形．【分析】作CE⊥AB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：作CE⊥AB于E，∵∠CAB=45°，∴CE=AC•sin45°=9km，∵灯塔B在它的南偏东15°方向，∴∠NCB=75°，∠CAB=45°，∴∠B=30°，故答案为：18．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A 4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张A4的纸可以裁 张A8的纸.【专题】推理填空题．【分析】根据题意可以得到一张A4的纸可以裁2张A5的纸，以此类推，得到答案．【解答】解：由题意得，一张A4的纸可以裁2张A5的纸一张A5的纸可以裁2张A6的纸一张A6的纸可以裁2张A7的纸一张A7的纸可以裁2张A8的纸，∴一张A4的纸可以裁24=16张A8的纸，故答案为：16．【点评】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<--≥--211535)1(3x x x x 【专题】常规题型．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】∵解不等式①得：x≤-1，解不等式②得：x＞-7，∴原不等式组的解集为-7＜x≤-1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．18.先化简，再求值：；其中，.【专题】计算题．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19.已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）.（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标.【专题】作图题．【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；B2（10，8）【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．20.某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时.为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）.请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）表中的a=，将频数分布直方图补全；（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.【专题】常规题型；统计与概率．【分析】（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再用总人数乘以B组的频率即可得a的值，从而补全条形图；（2）用总人数乘以A、B组频率之和可得；（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为20÷0.05=400，∴a=400×0.3=120，补全图形如下：（2）每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有8000×（0.05+0.3）=2800（名）；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．21.已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N.（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE.【专题】几何图形．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据全等三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°∵CM⊥BE，∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∴△ABE≌△BCN（ASA）；（2）∵N为AB中点，【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定解答．22.某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？【专题】方程思想；分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用．【分析】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x+10）元，根据每件产品的成本价不超过34元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a+30）元，根据数量=总价÷单价结合用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x+10）元，根据题意得：1.2（x+10）+x≤34，解得：x≤10．答：购入B种原料每千克的价格最高不超过10元．（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a+30）元，解得：a=50，经检验，a=50是原方程的根，且符合实际．答：这种产品的批发价为50元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23.已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP.（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE·DC=20，求⊙O的面积.（π取3.14）【专题】图形的相似．【分析】（1）连接OC，由PC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OCP为直角，利用等边对等角及外角性质求出所求即可；（2）连接AD，由D为弧AB的中点，利用等弧所对的圆周角相等，再由公共角相等，得到三角形ACD与三角形EAD相似，由相似得比例求出AD的长，进而求出AB的长，求出OA的长，求出面积即可．【解答】解：（1）连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP=90°，即∠2+∠P=90°，∵OA=OC，∴∠CAO=∠1，∵AC=CP，∴∠P=∠CAO，又∵∠2是△AOC的一个外角，∴∠2=2∠CAO=2∠P，∴2∠P+∠P=90°，∴∠P=30°；（2）连接AD，∴S⊙O=π•OA2=10π=31.4．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24.抛物线经过点A和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.【专题】二次函数图象及其性质．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用割补法求ABC的面积．【解答】解：设线段AB所在直线为：y=kx+b解得AB解析式为：∴CD=CE-DE=2【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积．解答时注意数形结合．25.空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y 轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示.若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1,2,6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2,3,4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为，组成这个几何体的单位长方体的个数为个；（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是；（只填序号）①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同.④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数.（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x,y,z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x,y,z）；（用x、y、z、S1、S2、S3表示）（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）【专题】代数几何综合题．【分析】（1）根据有序数组（x，y，z）的定义即可判断；（2）根据有序数组（x，y，z）的定义，结合图形即可判断；（3）探究观察寻找规律，利用规律即可解决问题；（4）当S1=2，S2=3，S3=4时S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy），欲使S（x，y，z）的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）．在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，6），（1，3，4），（2，2，3）．求出各个表面积即可判断；【解答】解：（1）这种码放方式的有序数组为（2，3，2），组成这个几何体的单位长方体的个数为2×3×2=2个，故答案为（2，3，2），12；（2）正确的有①②⑤．故答案为①②⑤；（3）S（x，y，z）=2yzS1+2xzS2+2xyS3=2（yzS1+xzS2+xyS3）．（4）当S1=2，S2=3，S3=4时S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy）欲使S（x，y，z）的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）．在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，6），（1，3，4），（2，2，3）．而S（1，1，12）=128，S（1，2，6）=100，S（1，3，4）=96，S（2，2，3）=92所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为：（2，2，3），最小面积为S（2，2，3）=92．【点评】本题考查几何变换综合题、空间直角坐标系、有序数组（x，y，z）的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考创新题目．26.如图：一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP.（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标.【专题】综合题．【分析】（1）先设出点P的坐标，进而得出点P的纵横坐标的关系，进而建立△OPM的面积与点P的横坐标的函数关系式，即可得出结论；（2）分两种情况，利用等腰三角形的两边相等建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）令点P的坐标为P（x0，y0）∵PM⊥y轴∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，∴A（0，3），B（4，0），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，（2）①在△BOP中，当BO=BP时BP=BO=4，AP=1∵P1M∥OB，∴②在△BOP中，当OP=BP时，如图，过点P作PM⊥OB于点N∵OP=BP，【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用方程的思想和函数思想解决问题是解本题的关键．。

宁夏2020年中考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.下列各式中正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. 321ab ab -=C. 261213a a a +=+D. 2(3)3a a a a -=-【答案】D【解析】【分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案.【详解】解：A. 325a a a ⋅=，所以A 错误；B. 32ab ab ab -=，所以B 错误；C. 2611233a a a a+=+ ，所以C 错误； D. 2(3)3a a a a -=-，所以D 正确；故答案选D.【点睛】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0.2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A. 中位数是3，众数是2B. 众数是1，平均数是2C. 中位数是2，众数是2D. 中位数是3，平均数是2.5【答案】C根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．【详解】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，中位数为2；平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15=2；众数为2；故选：C．【点睛】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A. 14B.12C.35D.34【答案】B【解析】【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，所以能构成三角形的概率是21 42 =，故选：B．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．4.如图摆放一副学生用直角三角板，3045F C∠=∠=，，AB与DE相交于点G，当//EF BC时，EGB∠的度数是（）A. 135°B. 120°C. 115°D. 105°【答案】D过点G 作////HG BC EF ，则有HGB B ∠=∠，HGE E ∠=∠，又因为DEF 和ABC 都是特殊直角三角形，3045F C ∠=∠=，，可以得到6045E B ∠=∠=，，有EGB HGE HGB ∠=∠+∠即可得出答案．【详解】解：过点G 作////HG BC EF ，有HGB B ∠=∠，HGE E ∠=∠∵在Rt DEF △和Rt ABC 中，3045F C ∠=∠=，∴6045E B ∠=∠=，∴=45HGB B ∠=∠，=60HGE E ∠=∠∴=60+45=105EGB HGE HGB ∠=∠+∠故EGB ∠的度数是105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．5.如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线24AC =，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG =（ ）A. 13B. 10C. 12D. 5【答案】B【解析】【分析】 连接对角线BD ，交AC 于点O ，求证四边形BDEG 是平行四边形，EG=BD ，利用勾股定理求出OD 的长，BD=2OD ，即可求出EG ．【详解】连接BD ，交AC 于点O ，由题意知：菱形ABCD 的边长为13，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴AB=BC=CD=DA=13， EF //BD ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，AC=24，∴AC ⊥BD ，AO=CO=12，OB=OD ，又∵AB //CD ，EF //BD∴DE //BG ，BD //EG在四边形BDEG 中，∵DE //BG ，BD //EG∴四边形BDEG 是平行四边形∴BD=EG在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故选B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6.如图，等腰直角三角形ABC 中，90,C AC ∠=︒=以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A. 14π-B. 14π-C. 24π- D. 14π+ 【答案】A【解析】【分析】连接CD ，并求出CD 的值，再分别计算出扇形ECF 的面积和等腰三角形ACB 的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】连接CD ，如图，∵AB 是圆C 的切线，∴CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CD=12AB ，∵90,C AC ∠=︒=AC=BC ，∴AB=2，∴CD=1， 21901=123604ABC ECFS S S ππ∆⨯∴-==-阴影扇形 故选：A ． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．7.如图，函数1y x =+与函数22y x=的图象相交于点()()1,,2,M m N n -．若12y y >，则x 的取值范围是（ ）A. 2x <-或01x <<B. 2x <-或1x >C. 20x -<<或01x <<D. 20x -<<或1x > 【答案】D【解析】【分析】根据图象可知函数1y x =+与函数22y x=的图象相交于点M 、N ，若12y y >，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x 的取值范围． 【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x 的取值范围为20x -<<或1x >， 故本题答案为：20x -<<或1x >．故选：D【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．8.如图2是图1长方体三视图，若用S 表示面积，22,S a S a a ==+主左，则S =俯（ ）A. 2a a +B. 22aC. 221a a ++D. 22a a +【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图的宽为a ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．【详解】∵22,(1)a a S a S a a a a ==+==+主左，∴俯视图的长为a+1，宽为a ，∴2(1)S a a a a =+=+俯，故选：A ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.分解因式：3a 2﹣6a+3=____．【答案】3（a ﹣1）2．【解析】【详解】解：原式=3（a 2﹣2a+1）=3（a ﹣1）2．故答案：3（a ﹣1）2．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．10.若二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_____．【答案】1k >-【解析】【分析】根据二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k 的取值范围．【详解】∵二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，∴△=44(1)k -⨯-﹥0，解得：1k >-，故答案为：1k >-．【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．11.有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_____． 【答案】23【解析】【分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．【详解】列表得：共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种， 所以概率为42=63． 故答案为：23． 【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深1ED =寸，锯道长1AB =尺（1尺10=寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．【答案】26【解析】【分析】根据题意可得OE AB ⊥，由垂径定理可得1122AD BD AB ===尺5=寸，设半径==OA OE r ，则1OD r =-，在Rt OAD 中，根据勾股定理可得：()22215r r -+=，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.【详解】解：由题可知OE AB ⊥， OE 为O 半径，1122AD BD AB ∴===尺5=寸， 设半径==OA OE r ，1ED =，1OD r ∴=-Rt OAD 中，根据勾股定理可得：()22215r r -+=解得：13r =,∴木材直径为26寸；故答案为：26.【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.13.如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A 的坐标是_____．【答案】（4，125） 【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案． 【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4， 令y=0，得5042x =+，解得x=8-5， ∴A （8-5，0），B （0，4）， 由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4， ∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴， ∴点A 1的纵坐标为OB -OA 的长，即为48-5=125； 横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125）， 故答案为：（4，125）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．14.如图，在ABC 中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠=_____度．【答案】32【解析】【分析】由作图可得MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是∠ABC 的平分线，根据它们的性质可得A ABD CBD ∠=∠=∠，再根据三角形内角和定理即可得解．【详解】由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是∠ABC 的平分线，∴AD=BD ，1=2ABD CBD ABC ∠=∠∠ ∴A ABD ∠=∠∴A ABD CBD ∠=∠=∠∵+180A ABC C ∠∠+∠=︒，且84C ∠=︒，∴+2180A ABD C ∠∠=︒-∠，即318084A ∠=︒-︒，∴32A ∠=︒．故答案为：32．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法． 15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为_____．【答案】6【解析】【分析】根据题中给出阅读过《三国演义》的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过《西游记》的人数的取值范围，然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，得出阅读过《水浒传》的人数的取值范围，即可得出答案.【详解】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b ，（,a b 均为整数）依题意可得：48a b b a >⎧⎪>⎨⎪<⎩且,a b 均为整数可得：47b <<，b ∴最大可以取6；故答案为6.【点睛】本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求b 的最大值，则可通过题中不等关系得出b 是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可.16.2020年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．【答案】27【解析】【分析】根据题意得出a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b ）2即可．【详解】解：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，∵（b-a ）2=3a 2-2ab+b 2=3，∴15-2ab=32ab=12，∴（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=15+12=27，故答案为：27．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17.在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别是(1,3),(4,1),(1,1)A B C ．（1）画出ABC 关于x 轴成轴对称的111A B C △；（2）画出ABC 以点O 为位似中心，位似比为1∶2的222A B C △．【答案】（1）如图所示111A B C △为所求；见解析； （2）如图所示222A B C △为所求；见解析．【解析】【分析】（１）将ABC 的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可．（２）在ABC 同侧和对侧分别找到2OA=OA 2，2OB=OB 2，2OC=OC 2所对应的A 2，B 2，C 2的坐标，连接即可．【详解】（1）由题意知：ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1），则ABC 关于x 轴成轴对称的111A B C △的坐标为A 1（1，-3），B 1（4，-1），C 1（1，-1），连接A 1C 1，A 1B 1，B 1C 1得到111A B C △．如图所示111A B C △为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，222A B C △和ABC 在同一侧则A 2（2，6），B 2（8，2），C 2（2，2），连接各点，得222A B C △．第二种，222A B C △在ABC 的对侧A 2（－2，－6），B 2（－8，－2），C 2（－2，－2），连接各点，得222A B C △．综上所述：如图所示222A B C △为所求；【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．18.解不等式组：53(1)? 21511? 32x x x x --⎧⎪⎨-+-<⎪⎩①② 【答案】不等式组的解集是12x -<≤．【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．详解】解: 53(1)2151132x x x x --⎧⎪⎨-+-<⎪⎩①② 由①得：2x ≤由②得：1x >-所以，不等式组的解集是12x -<≤．【点睛】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．19.先化简，再求值：2112224a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中a = 【答案】22a ，1． 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值． 【详解】原式22(1)(2)2442a a a a a +-++-=⋅- 2222a a a --++= 22a =当a =212==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元．（1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？【答案】（1）购买A 、B 两种防疫物品每件分别为16元和4元；（2）最多购买A 种防疫物品383件．【解析】【分析】（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，根据“拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A 种奖品购买a 件，则B 种奖品购买（600-a ）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【详解】（1）设购买A 、B 两种防疫物品每件分别为x 元和y 元，根据题意，得：604511404530840x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：164x y =⎧⎨=⎩答：购买A 、B 两种防疫物品每件分别为16元和4元．（2）设购买A 种防疫物品a 件，根据题意，得：164(600)7000a a +- 解得，13833a ≤，因为a 取最大正整数，所以383a = 答：最多购买A 种防疫物品383件．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于a 的一元一次不等式．21.如图，在ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：FA AB =．【答案】FA AB =，证明略．【解析】 【详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB DC AB DC ∴=，．FAE D F ECD ∴∠=∠∠=∠，．又EA ED =，AFE DCE ∴≌．AF DC ∴=．AF AB ∴=．22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 0 4 2 4 10使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：2 6 8 4（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）【答案】（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为30.35m ；使用了节水龙头20天的日平均用水量为30.22m ；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省347.45m 水． 【解析】【分析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．【详解】（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为： 300.0540.1520.2540.35100.450.35m 20⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 使用了节水龙头20天的日平均用水量为：320.0560.1580.2540.350.22m 20⨯+⨯+⨯+⨯= （2）3365(0.350.22)3650.1347.45m ⨯-=⨯=答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省347.45m 水．【点睛】考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23.如图，在ABC 中，90B ∠=︒，点D 为AC 上一点，以CD 为直径的O 交AB 于点E ，连接CE ，且CE 平分ACB ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）连接DE ，若30A ∠=︒，求BE DE ．【答案】（1）见解析；（2）BE DE = 【解析】【分析】 （1）证明：连接OE ，证明//OE BC ，即可得AEO B ∠=∠=90°，即可证明AE 是O 的切线； （2）解：连接DE ，先证明DCE ECB ∆∆∽，得出BE CE DE CD=，根据∠A=30°，∠B=90°，可得60ACB ∠=︒，可得1302DCE ACB ∠=∠=︒，由此可得CE CD ，即可得出BE DE ． 【详解】（1）证明：连接OE ，∵CE 平分ACB ∠，∴ACE BCE ∠=∠，又∵OE OC =，∴ACE OEC ∠=∠，∴BCE OEC ∠=∠，∴//OE BC ，∴AEO B ∠=∠，又∵90B ∠=︒，∴90AEO ∠=︒，即OE AE ⊥，∴AE 是O 的切线；（2）解：连接DE ，∵CD 是O 的直径，∴90DEC ∠=︒，又∵DCE ECB ∠=∠，∴DCE ECB ∆∆∽， ∴BE CE DE CD=， ∵∠A=30°，∠B=90°，∴60ACB ∠=︒， ∴11603022DCE ACB ∠=∠==︒⨯︒，∴cos cos30CE DCE CD ︒=∠==，∴BE DE = 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，结合题意灵活运用知识点是解题关键．24.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离()m y 与步行时间()min x 之间的函数关系式如图中折线段AB BC CD --所示．（1）小丽与小明出发_______min 相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义．【答案】（1）30；（2）①小丽步行的速度为80m/min ，小明步行的速度为100m/min ；②点()544320C ，，点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．【解析】【分析】（1）直接从图像获取信息即可；（2）①设小丽步行的速度为1m /min V ，小明步行的速度为2m /min V ，且21V V >，根据图像和题意列出方程组，求解即可；②设点C 的坐标为(),x y ，根据题意列出方程解出x ，再根据图像求出y 即可，再结合两人的运动过程解释点C 的意义即可．【详解】（1）由图像可得小丽与小明出发30min 相遇，故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为1m /min V ，小明步行的速度为2m /min V ，且21V V >，则121230305400(67.530)30V V V V +=⎧⎨-=⎩， 解得：1280100V V =⎧⎨=⎩， 答：小丽步行的速度为80m/min ，小明步行的速度为100m/min ；②设点C 的坐标为(),x y ，则可得方程()()(10080308067.5)5400x x +-+-=，解得54x =，()100+80(5430)4320m y =-=， ∴点()544320C ，， 点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解题关键． 25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据n b 定义为[]n b 如表2：定义：对于任意正整数m 、n ，其中2m >．若[]n b m =，则22n m b m -+． 如：[]4175b =表示417521752b -+，即4173177b ．（1）通过观察表2，猜想出n a 与序号n 之间的关系式，[]n b 与序号n 之间的关系式； （2）用含n a 的代数式表示[]n b ；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？【答案】（1）21n a n =+，[]155n b n =+；（2）鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm ~262mm ；（3）应购买44号的鞋． 【解析】 【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；（2）把n 用含有a n 的式子表示出来，代入[]5155n b n =+化简整理，再计算鞋号为42对应的n 的值，代入[]5155n b n =+求解即可；（3）首先计算[]270n b =，再代入[]550n n b a =+求出n a 的值即可． 【详解】（1）21n a n =+[]1605(1)5155n b n n =+-=+（2）由21n a n =+与[]5155n b n =+解得：[]550n n b a =+把42n a =代入21n a n =+得21n = 所以[]2154250260b =⨯+=则得：2126022602b -≤≤+，即21258262b ≤≤ 答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm ~262mm ． （3）根据[]5155n b n =+可知[]n b 能被5整除 而27022712702-≤≤+ 所以[]270n b =将[]270n b =代入[]550n n b a =+中得44n a = 故应购买44号的鞋．【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．26.如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC 与30()DEF B E ∠=∠=︒，若将三角板ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E在同一条直线上，如图（2），AB 与DF 、DE 分别交于点P 、M ，AC 与DE 交于点Q ，其中AC DF ==设三角板ABC 移动时间为x 秒．（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ △的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【答案】（1）212MQQS x =；（2）当2x = 【解析】 【分析】（1）解直角三角形ABC 求得3EF BC ==，设CF x =，可求3AQ x=，12MN x =，根据三角形面积公式即可求出结论； （2）根据“ABCAMQBPFS SSS=--重叠”列出函数关系式，通过配方求解即可．【详解】（1）解：因为Rt ABC 中30B ∠=︒∴60A ∠=︒ ∵30E ∠=︒ ∴60EQC AQM ∠=∠=︒ ∴AMQ △为等边三角形过点M 作MN AQ ⊥，垂足为点N ．在Rt ABC 中，tan 3AC BC AC A ==⋅=∴3EF BC == 根据题意可知CF x =∴3CE EF CF x =-=-tan )CQ CE E x =⋅=-∴(3)33AQ AC CQ x x =-=-=∴3AM AQ x ==而1sin 2MN AM A x =⋅=∴2111223212MAQSAQ MN x x x =⋅=⨯⋅= （2）由（1）知3BF CE x ==-tan )PF BF B x =⋅=- ∴111222ABC AMQ BPFS S SSAC BC AQ MN BF PF =--=⋅-⋅-⋅重叠2113(3))21223x x x =⨯---222)44x x =-+=--+所以当2x =【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

宁夏回族自治区2020年初中毕业暨高中阶段招生考试数学试题（全卷总分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下列各式中正确的是（）A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1 C．＝2a+1 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a2．小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（）A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.53．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．4．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13 B．10 C．12 D．56．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+7．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞18．如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1 D．2a2+a二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：3a2﹣6a+3＝．10．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是．12．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．13．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是．14．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝度．15．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为．16．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．18．（6分）解不等式组：．19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．20．（6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？21．（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．22．（6分）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 频数0 4 2 4 10 使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 频数 2 6 8 4 （1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．24．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：鞋号（正整数）22 23 24 25 26 27 …脚长（毫米）160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n 1 2 3 4 5 6 …鞋号a n22 23 24 25 26 27 …脚长b n160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …脚长[b n] 160 165 170 175 180 185 …定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26．（10分）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC 与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？答案与解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下列各式中正确的是（）A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1C．＝2a+1 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘多项式．【思路分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．【解答过程】解：A、a3•a2＝a5，所以A错误；B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；C、，所以C错误；D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确；故选：D．【总结归纳】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．2．小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（）A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.5【知识考点】折线统计图；加权平均数；中位数；众数．【思路分析】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．【解答过程】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2；众数为2；故选：C．【总结归纳】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．3．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．【知识考点】三角形三边关系；列表法与树状图法．【思路分析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【解答过程】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为＝，故选：B．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点G作HG∥BC∥EF，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC 都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【解答过程】解：过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°∴∠E＝60°，∠B＝45°∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．【总结归纳】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13 B．10 C．12 D．5【知识考点】三角形中位线定理；菱形的性质．【思路分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．【解答过程】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．【总结归纳】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+【知识考点】等腰直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算．【思路分析】连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．【解答过程】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．7．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x 的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】观察函数y1＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．【解答过程】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．【总结归纳】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．8．如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1 D．2a2+a【知识考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．【思路分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．【解答过程】解：∵，∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴，故选：A．【总结归纳】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：3a2﹣6a+3＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答过程】解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．故答案为：3（a﹣1）2．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．10．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．【知识考点】抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式△＞0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1．【总结归纳】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．11．有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．【解答过程】解：列表得：4 5 64 9 105 9 116 10 11共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为．故答案为：．【总结归纳】本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．【知识考点】数学常识；垂径定理的应用．【思路分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．【解答过程】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．【总结归纳】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．13．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是．【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．【思路分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB﹣OA，即可得出答案．【解答过程】解：在中，令x＝0得，y＝4，令y＝0，得，解得x＝，∴A（，0），B（0，4），由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1＝，OB＝O1B＝4，∴∠OBO1＝90°，∴O1B∥x轴，∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4＝；横坐标为O1B＝OB＝4，故点A1的坐标是（4，），故答案为：（4，）．【总结归纳】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．14．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝度．【知识考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【思路分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得∠A＝∠ABD＝∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．【解答过程】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，∴AD＝BD，，∴∠A＝∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，且∠C＝84°，∴∠A+2∠ABD＝180°﹣∠C，即3∠A＝180°﹣84°，∴∠A＝32°．故答案为：32．【总结归纳】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．15．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为6．【知识考点】一元一次不等式组的应用．【思路分析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b 的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．【解答过程】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），依题意，得：，∵a，b均为整数∴4＜b＜7，∴b最大可以取6．故答案为：6．【总结归纳】本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．16．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．【知识考点】数学常识；全等图形；勾股定理的证明．【思路分析】根据题意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．【解答过程】解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝32ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．【总结归纳】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．【知识考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣位似变换．【思路分析】（1）将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．（2）在△ABC同侧和对侧分别找到2OA＝OA2，2OB＝OB2，2OC＝OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．【解答过程】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；【总结归纳】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．18．（6分）解不等式组：．【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．【解答过程】解：由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，所以，不等式组的解集是﹣1＜x≤2．【总结归纳】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．【解答过程】解：原式＝＝＝当时，原式＝．【总结归纳】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．20．（6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．【解答过程】解：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，依题意，得：，解得：．答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，解得：m≤383，又∵m为正整数，∴m的最大值为383．答：A种防疫物品最多购买383件．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21．（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【思路分析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF＝DC，从而证明AF＝AB．【解答过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．又∵EA＝ED，∴△AFE≌△DCE．∴AF＝DC．∴AF＝AB．【总结归纳】本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．22．（6分）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 频数0 4 2 4 10 使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 频数 2 6 8 4 （1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．【思路分析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．【解答过程】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：×（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），使用了节水龙头20天的日平均用水量为：×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22（m3）；（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．【总结归纳】此题主要考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质．【思路分析】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出结论；（2）连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出＝，易证∠ACB＝60°，由角平分线定义得∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，由此可得的值，即可得出结果．【解答过程】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，。

2020年宁夏初中学业水平考试数学答案解析一、1.【答案】D【解析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案.解：A .325a a a ⋅=，所以A 错误；B .32ab ab ab -=，所以B 错误；C .2611233a a a a+=+，所以C 错误；D .2(3)3a a a a -=-，所以D 正确；故选：D .2.【答案】C【解析】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断.解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为(0114263242)152⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=；众数为2；故选：C .3.【答案】B【解析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率. 解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为121242=，故选：B . 4.【答案】D【解析】解：过点G 作,HG BC ∥，EF BC ∥，GH BC EF ∴∥∥，HGB B ∴∠=∠，HGE E ∠=∠，在Rt DEF △和Rt ABC △中，30F ∠=︒，45C ∠=︒，60E ∴∠=︒，45B ∠=︒，45HGB B ︒∴∠=∠=，60HGE E ∠=∠=︒，6045105EGB HGE HGB ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=，故EGB ∠的度数是105︒，故选：D . 5.【答案】B【解析】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：菱形ABCD 的边长为13，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，AB CD ∴∥，13AB BC CD DA ====，EF BD ∥，AC 、BD 是菱形的对角线，24AC =，AC BD ∴⊥，12AO CO ==，OB OD =，又AB CD ∥，EF BD ∥，DE BG ∴∥，BD EG ∥，DE BG ∥，BD EG ∥，∴四边形BDEG 是平行四边形，BD EG ∴=，在COD △中，OC OD ⊥，13CD =，12CO =，5OB OD ∴===，210BD OD ∴==，10EG BD ∴==；故选：B .6.【答案】A【解析】解：连接CD ，如图，AB 是圆C 的切线，CD AB ∴⊥，ABC △是等腰直角三角形，2AB ∴==，112CD AB ∴==，∴图中阴影部分的面积21901123604ABC ECFS S ππ⋅⋅=-==-△△.故选：A . 7.【答案】D 【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x 的取值范围为2x -＜＜0或1x ＞，故答案为：2x -＜＜0或1x ＞.故选：D . 8.【答案】A【解析】解：2S a a a ==⋅主，2(1)S a a a a =+=+左，∴俯视图的长为1a +，宽为a ，2(1)S a a a a ∴=⋅+=+俯，故选A .二、9.【答案】23(1)a -【解析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案.解：原式()223213(1)a a a =-+=-.故答案为：23(1)a -. 10.【答案】1k -＞.【解析】根据二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，可知判别式0∆＞，列出不等式并解之即可求出k 的取值范围. 解：二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，44(1)0k ∴∆=-⨯-⋅＞，解得：1k -＞，故答案为：1k -＞.11.【答案】23【解析】解：列表得：4 5 6 49 10 5 9 116 10 11共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为4263=.故答案为：23. 12.【答案】26【解析】解：由题意可知OE AB ⊥，OE 为O 半径，1122AD BD AB ∴===尺=5寸，设半径OA OE r ==，1ED =，1OD r ∴=-，则Rt OAD △中，根据勾股定理可得：22(1)52r r -+=，解得：13r =，∴木材直径为26寸；故答案为：26.13.【答案】124,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】解：在542y x =+中，令0x =得，4y =，令0y =，得5042x =+，解得85x =-，8,05A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，(0,4)B ，由旋转可得11AOB A O B △≌△，190ABA ︒∠=，1ABO ABO ∴∠=∠，1190A BO AOB ∠︒=∠=，1185OA O A ==，14OB O B ==，190OBO ︒∴∠=，1 O B x ∴∥轴，∴点1A 的纵坐标为OB OA -的长，即为812455-=；横坐标为14O B OB ==，故点1A 的坐标是124,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：124,5⎛⎫ ⎪⎝⎭. 14.【答案】32【解析】解：由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是ABC ∠的平分线，AD BD ∴=，12ABD CBD ABC ∠=∠=∠，A ABD ∴∠=∠，A ABD CBD ∴∠=∠=∠，180A ABC C ∠+∠+︒∠=，且84C ∠=︒，2180A ABD C ∠+∠=︒∴-∠，即318084A ∠=︒-︒，32A ∴∠=︒.故答案为：32.15.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b （a ，b 均为整数），依题意，得：48a b b a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＜，a ，b 均为整数47b ∴＜＜，b ∴最大可以取6.故答案为：6.16.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：2215a b +=，2()3b a -=，图2中大正方形的面积为：()2a b +，2()3b a -=，2223a ab b -+=，1523ab ∴-=，212ab =，222()2151227a b a ab b ∴+=++=+=，故答案为：27.三、17.【答案】解：（1）由题意知：ABC △的三个顶点的坐标分别是()1,3A ，()4,1B ，()1,1C ，则ABC △关于x 轴成轴对称的111A B C △的坐标为()11,3A -，()14,1B -，()1,1C -，连接11A C ，1A B ，11B C ，得到111A B C △.如图所示111A B C △为所求.（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，222A B C △和ABC △在同一侧，则2(2,6)A ，2(8,2)B ，2(2,2)C ，连接各点，得222A B C △. 第二种，222A B C △在ABC △的对侧()22,6A --，()28,2B --，()22,2C --，连接各点，得222A B C △.综上所述：如图所示222A B C △为所求.【解析】（1）将ABC △的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可.（2）在ABC △同侧和对侧分别找到22OA OA =，22OB OB =，22OB OB =所对应的2A ，2B ，2C 的坐标，连接即可.18.【答案】解：由①得：2x ≤，由②得：1x -＞，所以，不等式组的解集是12x -＜≤.【解析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集.19.【答案】解：原式22(1)(2)2424a a a a a +-++-=⋅- 2222a a a --++= 22a =当a 1=. 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值.20.【答案】（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：604511404530840x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩.答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元. （2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品()600m -件，依题意，得：164(600)7000m m +-≤，解得：13833m ≤，又m 为正整数，m ∴的最大值为383.答：A 种防疫物品最多购买383件.【解析】（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，根据“如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1 140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论.（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品()600m -件，根据总价=单价⨯购买数量，结合总费用不超过7 000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论. 21.【答案】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴=，AB DC ∥.FEA DEC ∴∠=∠，F ECD ∠=∠.又EA ED =，AFE DCE ∴△≌△.AF DC ∴=.AF AB ∴=.【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS ，ASA ， SSS ）来证明AFE DCE △≌△，根据全等的性质再证明AF DC =，从而证明AF AB =.22.【答案】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：()31(00.0540.1520.2540.35100.45)0.3520m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，使用了节水龙头20天的日平均用水量为：()31(20.0560.1580.2540.35)0.2220m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）()3365(0.350.22)3650.13474m .5⨯-=⨯=.答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省347.45m 水. 【解析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可.（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果.四、23.【答案】（1）证明：连接OE ，如图1所示：CE 平分ACB ∠，ACE BCE ∴∠=∠，又OE OC =，ACE OEC ∴∠=∠，BCE OEC ∴∠=∠，OE BC ∴∥，AEO B ∴∠=∠，又90B ︒∠=，90AEO ︒∴∠=，即OE AE ⊥，OE 为O 的半径，AE ∴是O 的切线.（2）解：连接DE ，如图2所示：CD 是O 的直径，90DEC ︒∴∠=，DEC B ∴∠=∠，又DCE ECB ∠=∠，DCE ECB ∴△∽△，BE CE DE CD ∴=，30A ︒∠=，90B ∠=︒，60ACB ︒∴∠=，11603022DCE ACB ︒︒∴∠=∠=⨯=，cos cos30CE DCE CD ∴=︒∠==BE DE ∴=.【解析】（1）连接OE ，证明OE BC ∥，得90AEO B ︒∠=∠=，即可得出结论.（2）连接DE ，先证明DCE ECB △∽△，得出BE CE DE CD=，易证60ACB ∠=︒，由角平分线定义得11603022DCE ACB ∠︒⨯︒=∠==，由此可得CE CD的值，即可得出结果. 24.【答案】（1）30（2）①设小丽步行的速度为1 m/min v ，小明步行的速度为2 m/min v ，且21v v ＞，则121230305400(67.530)30v v v V +=⎧⎨-=⎩，解得：1280100v v =⎧⎨=⎩，答：小丽步行的速度为80 m/min ，小明步行的速度为100 m/min . ②设点C 的坐标为(),x y ，则可得方程(10080)(30)80(67.5)5400x x +-+-=，解得54x =，(10080)(5430)4320m y =+-=，∴点()54,4320C ，点C 表示：两人出发54 min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320 m .【解析】（1）直接从图象获取信息即可；小丽与小明出发30 min 相遇，故答案为：30.（2）①设小丽步行的速度为1/min v m ，小明步行的速度为2/min v m ，且21v v ＞，根据图象和题意列出方程组，求解即可.②设点C 的坐标为(),x y ，根据题意列出方程解出x ，再根据图象求出y 即可，再结合两人的运动过程解释点C 的意义即可.25.【答案】解：（1）21n a n =+；[]1605(1)5155n b n n =+-=+.（2）由21n a n =+与[]5155n b n =+解得：[]550n n b a =+，把42n a =代入21n a n =+得21n =，所以[]2154250260b =⨯+=，则：2126022602b -+≤≤，即21258262b ≤≤.答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm 262mm ≈.（3）根据[]5155n b n =+可知[]n b 能被5整除，27022712702-+≤≤，[]270n b ∴=，将[]270n b =代入[]550n n b a =+中得44n a =.故应购买44号的鞋.【解析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论.（2）把n 用含有n a 的式子表示出来，代入[]5155n b n =+化简整理，再计算鞋号为42对应的n 的值，代入[]5155n b n =+求解即可.（3）首先计算[]270n b =，再代入[]550n n b a =+求出n a 的值即可.26.【答案】（1）解：因为Rt ABC △中30B ∠=︒，60A ∴∠=︒，30E ︒∠=，60EQC AQM ︒∴∠=∠=，AMQ ∴△为等边三角形，过点M 作MN AQ ⊥，垂足为点N .在Rt ABC △中，AC =，AC =tan AC A Z BC =⋅=，3EF BC ∴==，根据题意可知CF x =，3tan )CE EF CF xCQ CE E x ∴=-=-=⋅=-，)AQ AC CQ x ∴=--=，AM AQ ∴==，而1sin 2MN AM A x ==，211313222MAQ S AQ MN x x x ∴==⨯=△.（2）由（1）知3tan )BF CE xPF BF B x ==-=⋅=-，ABC AMQ BPF S S S S ∴=--△△△重叠222113(3)2)112222AC BC AQ MN BF P x x x F =⨯-=⋅-⋅-⋅--=+=-，所以当2x =【解析】（1）解直角三角形ABC 求得3EF BC ==，设CF x =，可求AQ =，12MN x =，根据三角形面积公式即可求出结论.（2）根据“ABC AMQ BPF S S S S =--△△△重叠”列出函数关系式，通过配方求解即可.。

绝密★启用前2020年宁夏初中学业水平考试数 学一、选择题（共8小题）1.下列各式中正确的是（ ）A .326a a a ⋅=B .321ab ab -=C .261213a a a+=+D .2(3)3a a a a -=-2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A .中位数是3，众数是2B .众数是1，平均数是2C .中位数是2，众数是2D .中位数是3，平均数是2.53.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A .14B .12C .35D .344.如图摆放的一副学生用直角三角板，30F ∠=︒，45C ∠=︒，AB 与DE 相交于点G ，当EF BC ∥时，EGB ∠的度数是（ ）A .135︒B .120︒C .115︒D .105︒5.如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线24AC =，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG =（ ）A .13B .10C .12D .56.如图，等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AC =以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A .14π-B .14π- C .24π-D .14π+7.如图，函数11y x =+与函数22y x=的图象相交于点()1,M m ，()2,N n -.若12y y ＞，则x 的取值范围是（ ）A .2x -＜或x 0＜＜1B .2x -＜或1x ＞C .2x -＜＜0或x 0＜＜1D .2x -＜＜0或1x ＞8.如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，2S a =主，2S a a =+左，则=S 俯（ ）-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________A .2a a +B .22aC .221a a ++D .22a a +二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.分解因式：2363=a a -+________.10.若二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是________. 11.有三张大小、形状完全相同的卡片.卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是________. 12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深1ED =寸，锯道长1AB =尺（1尺=10寸）.问这根圆形木材的直径是________寸.13.如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB △绕点B 逆时针旋转90︒后得到11A O B △，则点1A 的坐标是________.14.如图，在ABC △中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠=________度.15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数.若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为________. 16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b .如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为________.三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17.在平面直角坐标系中，ABC △的三个顶点的坐标分别是()1,3A ，()4,1B ，()1,1C . （1）画出ABC △关于x 轴成轴对称的111A B C △；（2）画出ABC △以点O 为位似中心，位似比为1:2的222A B C △.18.解不等式组：53(1) 21511 32x x x x --⎧⎪⎨-+-⎪⎩≥①＜②. 19.先化简，再求值：2112224a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中a 20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品.如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1 140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元. （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7 000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？21.如图，在ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F .求证：FA AB =.22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/3m00.1x ≤＜0.10.2x ≤＜ 0.20.3x ≤＜ 0.30.4x ≤＜ 0.40.5x ≤＜频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/3m00.1x ≤＜0.10.2x ≤＜0.20.3x ≤＜0.30.4x ≤＜频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23.如图，在ABC △中，90B ∠=︒，点D 为AC 上一点，以CD 为直径的O 交AB 于点E ，连接CE ，且CE 平分ACB ∠.（1）求证：AE 是O 的切线； （2）连接DE ，若30A ∠=︒，求BEDE.24.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离()m y 与步行时间()min x 之间的函数关系式如图中折线段AB BC CD --所示. （1）小丽与小明出发________min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地.①求小丽和小明步行的速度各是多少？ ②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1： 鞋号（正整数） 222324252627… 脚长（毫米）1602± 1652± 1702± 1752± 1802± 1852±…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据n b 定义为[]n b 如表2： 序号n 1 2 3 4 5 6 … 鞋号n a 222324252627… 脚长n b 1602±1652±1702±1752±1802±1852±… 脚长[]n b160165170175180185…定义：对于任意正整数m 、n ，其中2m ＞.若[]=n b m ，则22n m b m -+≤≤. 如：4[]=175b 表示417521752b -+≤≤，即4173177b ≤≤.（1）通过观察表2，猜想出n a 与序号n 之间的关系式，[]n b 与序号n 之间的关系式； （2）用含n a 的代数式表示[]n b ；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26.如图（1）放置两个全等的含有30︒角的直角三角板ABC 与DEF （30B E ∠=∠=︒），若将三角板ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2），AB 与DF 、DE 分别交于点P 、M ，AC 与DE 交于点Q，其中AC DF ==板ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ △的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？2020年宁夏初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】D【解析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案.解：A .325a a a ⋅=，所以A 错误；B .32ab ab ab -=，所以B 错误；C .2611233a a a a+=+，所以C 错误；D .2(3)3a a a a -=-，所以D 正确；故选：D .2.【答案】C【解析】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断.解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为(0114263242)152⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=；众数为2；故选：C .3.【答案】B【解析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率. 解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为121242=，故选：B . 4.【答案】D【解析】解：过点G 作,HG BC ∥，EF BC ∥，GH BC EF ∴∥∥，HGB B ∴∠=∠，HGE E ∠=∠，在Rt DEF △和Rt ABC △中，30F ∠=︒，45C ∠=︒，60E ∴∠=︒，45B ∠=︒，45HGB B ︒∴∠=∠=，60HGE E ∠=∠=︒，6045105EGB HGE HGB ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=，故EGB ∠的度数是105︒，故选：D .5.【答案】B【解析】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：菱形ABCD 的边长为13，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，AB CD ∴∥，13AB BC CD DA ====，EF BD ∥，AC 、BD 是菱形的对角线，24AC =，AC BD ∴⊥，12AO CO ==，OB OD =，又AB CD ∥，EF BD ∥，DE BG ∴∥，BD EG ∥，DE BG ∥，BD EG ∥，∴四边形BDEG 是平行四边形，BD EG ∴=，在COD △中，OC OD ⊥，13CD =，12CO =，5OB OD ∴===，210BD OD ∴==，10EG BD ∴==；故选：B . 6.【答案】A【解析】解：连接CD ，如图，AB 是圆C 的切线，CD AB ∴⊥，ABC △是等腰直角三角形，2AB ∴=，112CD AB ∴==，∴图中阴影部分的面积21901123604ABC ECFS S ππ⋅⋅=-==-△△.故选：A . 7.【答案】D【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x 的取值范围为2x -＜＜0或1x ＞，故答案为：2x -＜＜0或1x ＞.故选：D . 8.【答案】A 【解析】解：2S a a a ==⋅主，2(1)S a a a a =+=+左，∴俯视图的长为1a +，宽为a ，2(1)S a a a a ∴=⋅+=+俯，故选A .二、9.【答案】23(1)a -【解析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案.解：原式()223213(1)a a a =-+=-.故答案为：23(1)a -.10.【答案】1k -＞.【解析】根据二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，可知判别式0∆＞，列出不等式并解之即可求出k 的取值范围.解：二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，44(1)0k ∴∆=-⨯-⋅＞，解得：1k -＞，故答案为：1k -＞. 11.【答案】23【解析】解：列表得：4 5 6 4 9 10 5 9 11 61011共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为4263=.故答案为：23. 12.【答案】26【解析】解：由题意可知OE AB ⊥，OE 为O 半径，1122AD BD AB ∴===尺=5寸，设半径OA OE r ==，1ED =，1OD r ∴=-，则Rt OAD △中，根据勾股定理可得：22(1)52r r -+=，解得：13r =，∴木材直径为26寸；故答案为：26. 13.【答案】124,5⎛⎫⎪⎝⎭【解析】解：在542y x =+中，令0x =得，4y =，令0y =，得5042x =+，解得85x =-，8,05A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，(0,4)B ，由旋转可得11AOB A O B △≌△，190ABA ︒∠=，1ABO ABO ∴∠=∠，1190A BO AOB ∠︒=∠=，1185OA O A ==，14OB O B ==，190OBO ︒∴∠=，1 O B x ∴∥轴，∴点1A 的纵坐标为OB OA -的长，即为812455-=；横坐标为14O B OB ==，故点1A 的坐标是124,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：124,5⎛⎫⎪⎝⎭.14.【答案】32【解析】解：由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是ABC ∠的平分线，AD BD ∴=，12ABD CBD ABC ∠=∠=∠，A ABD ∴∠=∠，A ABD CBD ∴∠=∠=∠，180A ABC C ∠+∠+︒∠=，且84C ∠=︒，2180A ABD C ∠+∠=︒∴-∠，即318084A ∠=︒-︒，32A ∴∠=︒.故答案为：32.15.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b （a ，b 均为整数），依题意，得：48a b b a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＜，a ，b 均为整数47b ∴＜＜，b ∴最大可以取6.故答案为：6. 16.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：2215a b +=，2()3b a -=，图2中大正方形的面积为：()2a b +，2()3b a -=，2223a ab b -+=，1523ab ∴-=，212ab =，222()2151227a b a ab b ∴+=++=+=，故答案为：27.三、17.【答案】解：（1）由题意知：ABC △的三个顶点的坐标分别是()1,3A ，()4,1B ，()1,1C ，则ABC △关于x 轴成轴对称的111A B C △的坐标为()11,3A -，()14,1B -，()1,1C -，连接11A C ，1A B ，11B C ，得到111A B C △.如图所示111A B C △为所求.（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，222A B C △和ABC △在同一侧，则2(2,6)A ，2(8,2)B ，2(2,2)C ，连接各点，得222A B C △.第二种，222A B C △在ABC △的对侧()22,6A --，()28,2B --，()22,2C --，连接各点，得222A B C △.综上所述：如图所示222A B C △为所求.【解析】（1）将ABC △的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可.（2）在ABC △同侧和对侧分别找到22OA OA =，22OB OB =，22OB OB =所对应的2A ，2B ，2C 的坐标，连接即可.18.【答案】解：由①得：2x ≤，由②得：1x -＞，所以，不等式组的解集是12x -＜≤. 【解析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集.19.【答案】解：原式22(1)(2)2424a a a a a +-++-=⋅- 2222a a a --++=22a =当a =1==.【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值.20.【答案】（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：604511404530840x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩.答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元.（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品()600m -件，依题意，得：164(600)7000m m +-≤，解得：13833m ≤，又m 为正整数，m ∴的最大值为383.答：A 种防疫物品最多购买383件.【解析】（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，根据“如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1 140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论. （2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品()600m -件，根据总价=单价⨯购买数量，结合总费用不超过7 000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论. 21.【答案】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴=，AB DC ∥.FEA DEC ∴∠=∠，F ECD ∠=∠.又EA ED =，AFE DCE ∴△≌△.AF DC ∴=.AF AB ∴=.【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS ，ASA ，SSS ）来证明AFE DCE △≌△，根据全等的性质再证明AF DC =，从而证明AF AB =. 22.【答案】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：()31(00.0540.1520.2540.35100.45)0.3520m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，使用了节水龙头20天的日平均用水量为：()31(20.0560.1580.2540.35)0.2220m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）()3365(0.350.22)3650.13474m .5⨯-=⨯=.答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省347.45m 水.【解析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可. （2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果. 四、23.【答案】（1）证明：连接OE ，如图1所示：CE 平分ACB ∠，ACE BCE ∴∠=∠，又OE OC =，ACE OEC ∴∠=∠，BCE OEC ∴∠=∠，OE BC ∴∥，AEO B ∴∠=∠，又90B ︒∠=，90AEO ︒∴∠=，即OE AE ⊥，OE 为O 的半径，AE ∴是O 的切线.（2）解：连接DE ，如图2所示：CD 是O 的直径，90DEC ︒∴∠=，DEC B ∴∠=∠，又DCE ECB ∠=∠，DCE ECB ∴△∽△，BE CEDE CD ∴=，30A ︒∠=，90B ∠=︒，60ACB ︒∴∠=，1160302DCE ACB ︒︒∴∠=∠=⨯=，cos cos30CE DCE CD ∴=︒∠==，BE DE ∴=.【解析】（1）连接OE ，证明OE BC ∥，得90AEO B ︒∠=∠=，即可得出结论. （2）连接DE ，先证明DCE ECB △∽△，得出BE CEDE CD=，易证60ACB ∠=︒，由角平分线定义得11603022DCE ACB ∠︒⨯︒=∠==，由此可得CECD的值，即可得出结果.24.【答案】（1）30（2）①设小丽步行的速度为1 m/min v ，小明步行的速度为2 m/min v ，且21v v ＞，则121230305400(67.530)30v v v V +=⎧⎨-=⎩，解得：1280100v v =⎧⎨=⎩，答：小丽步行的速度为80 m/min ，小明步行的速度为100 m/min .②设点C 的坐标为(),x y ，则可得方程(10080)(30)80(67.5)5400x x +-+-=，解得54x =，(10080)(5430)4320m y =+-=，∴点()54,4320C ，点C 表示：两人出发54 min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320 m .【解析】（1）直接从图象获取信息即可；小丽与小明出发30 min 相遇，故答案为：30. （2）①设小丽步行的速度为1/min v m ，小明步行的速度为2/min v m ，且21v v ＞，根据图象和题意列出方程组，求解即可.②设点C 的坐标为(),x y ，根据题意列出方程解出x ，再根据图象求出y 即可，再结合两人的运动过程解释点C 的意义即可.25.【答案】解：（1）21n a n =+；[]1605(1)5155n b n n =+-=+.（2）由21n a n =+与[]5155n b n =+解得：[]550n n b a =+，把42n a =代入21n a n =+得21n =，所以[]2154250260b =⨯+=，则：2126022602b -+≤≤，即21258262b ≤≤.答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm 262mm ≈.（3）根据[]5155n b n =+可知[]n b 能被5整除，27022712702-+≤≤，[]270n b ∴=，将[]270n b =代入[]550n n b a =+中得44n a =.故应购买44号的鞋. 【解析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论.（2）把n 用含有n a 的式子表示出来，代入[]5155n b n =+化简整理，再计算鞋号为42对应的n 的值，代入[]5155n b n =+求解即可.（3）首先计算[]270n b =，再代入[]550n n b a =+求出n a 的值即可. 26.【答案】（1）解：因为Rt ABC △中30B ∠=︒，60A ∴∠=︒，30E ︒∠=，60EQC AQM ︒∴∠=∠=，AMQ ∴△为等边三角形，过点M 作MN AQ ⊥，垂足为点N .在Rt ABC △中，AC =AC =tan AC A Z BC =⋅=，3EF BC ∴==，根据题意可知CF x =，3tan )CE EF CF xCQ CE E x ∴=-=-=⋅=-，)AQ AC CQ x x ∴=-=-，AM AQ ∴==，而1sin 2MN AM A x ==，211313222MAQ S AQ MN x x x ∴==⨯=△.（2）由（1）知3tan )BF CE xPF BF Bx ==-=⋅=-，ABC AMQ BPFS S S S ∴=--△△△重叠222113(3)2)112222AC BC AQ MN BF P x x x x F =⨯-=⋅-⋅-⋅--==-+，所以当2x =【解析】（1）解直角三角形ABC 求得3EF BC ==，设CF x =，可求AQ x =，12MN x =，根据三角形面积公式即可求出结论. （2）根据“ABC AMQ BPF S S S S =--△△△重叠”列出函数关系式，通过配方求解即可.。

2020年宁夏中考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）（2020•宁夏）下列各式中正确的是（ ）A ．a 3•a 2＝a 6B ．3ab ﹣2ab ＝1C ．6a 2+13a =2a +1D ．a （a ﹣3）＝a 2﹣3a2．（3分）（2020•宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（）A ．中位数是3，众数是2B ．众数是1，平均数是2C ．中位数是2，众数是2D ．中位数是3，平均数是2.53．（3分）（2020•宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）A ．14B ．12C ．35D ．344．（3分）（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A ．135°B ．120°C ．115°D ．105°5．（3分）（2020•宁夏）如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC ＝24，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG ＝（）A．13B．10C．12D．56．（3分）（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1−π4B．π−14C．2−π4D．1+π47．（3分）（2020•宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞18．（3分）（2020•宁夏）如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，S 主＝a 2，S 左＝a 2+a ，则S 俯＝（ ）A ．a 2+aB ．2a 2C ．a 2+2a +1D ．2a 2+a 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：3a 2﹣6a +3＝ ．10．（3分）（2020•宁夏）若二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ．11．（3分）（2020•宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 ．12．（3分）（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED ＝1寸，锯道长AB ＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．13．（3分）（2020•宁夏）如图，直线y =52x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A 1O 1B ，则点A 1的坐标是 ．14．（3分）（2020•宁夏）如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A ＝ 度．15．（3分）（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为．16．（3分）（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．18．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：{5−x ≥3(x −1)①2x−13−5x+12＜1②． 19．（6分）（2020•宁夏）先化简，再求值：（a+1a+2+1a−2）÷22，其中a =√2．20．（6分）（2020•宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元．（1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？21．（6分）（2020•宁夏）如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：F A ＝AB ．22．（6分）（2020•宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m 30≤x ＜0.1 0.1≤x ＜0.2 0.2≤x ＜0.3 0.3≤x ＜0.4 0.4≤x ＜0.5 频数 0 4 2 4 10使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求BEDE．24．（8分）（2020•宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x （min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25．（10分）（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：。

2020年宁夏中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列各式计算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．a6÷a2=a3C．（﹣a3）2=a6D．a3•a2=a62．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，﹣2）D．（3，2）3．（3分）学校国旗护卫队成员的身高分布如下表：则学校国旗护卫队成员的身高的众数和中位数分别是（）A．160和160 B．160和160.5 C．160和161 D．161和1614．（3分）某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（）A．第一天B．第二天C．第三天D．第四天5．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．且a≠1 D．且a≠16．（3分）已知点A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣abC．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）8．（3分）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．24πD．30π二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3分）分解因式：2a2﹣8=．10．（3分）实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|=．11．（3分）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是．12．（3分）某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为元．13．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为．14．（3分）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC 于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为．15．（3分）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．16．（3分）如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是．三、解答题（本大题共6小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）解不等式组：．18．（6分）解方程：﹣=1．19．（6分）校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为A、B、C、D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答下列问题：（1）补全下面两个统计图（不写过程）；（2）求该班学生比赛的平均成绩；（3）现准备从等级A的4人（两男两女）中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率？20．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B （1，1），C（5，1）．（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．21．（6分）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．22．（6分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．四、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）23．（8分）将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．24．（8分）直线y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．25．（10分）为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：（1）为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？（2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设x表示每户每月用水量（单位：m3），y表示每户每月应交水费（单位：元），求y与x的函数关系式；（3）某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？26．（10分）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P 分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．2020年宁夏中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）（2020•宁夏）下列各式计算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．a6÷a2=a3C．（﹣a3）2=a6D．a3•a2=a6【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法底数不变指数相减，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B不符合题意；C、积的乘方等于乘方的积，故C符合题意；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．2．（3分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，﹣2）D．（3，2）【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），故选：A．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．3．（3分）（2020•宁夏）学校国旗护卫队成员的身高分布如下表：则学校国旗护卫队成员的身高的众数和中位数分别是（）A．160和160 B．160和160.5 C．160和161 D．161和161【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：数据160出现了10次，次数最多，众数是：160cm；排序后位于中间位置的是161cm，中位数是：161cm．故选C．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．4．（3分）（2020•宁夏）某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（）A．第一天B．第二天C．第三天D．第四天【分析】根据图象中的信息即可得到结论．【解答】解：由图象中的信息可知，利润=售价﹣进价，利润最大的天数是第二天，故选B．【点评】本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价﹣进价是解题的关键．5．（3分）（2020•宁夏）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．且a≠1 D．且a≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）•（﹣2）≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）•（﹣2）≥0，解得a≥﹣且a≠1．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3分）（2020•宁夏）已知点A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由点A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，可得A 与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵A（﹣1，1），B（1，1），∴A与B关于y轴对称，故C，D错误；∵B（1，1），C（2，4），当x＞0时，y随x的增大而增大，而B（1，1）在直线y=x上，C（2，4）不在直线y=x上，所以图象不会是直线，故A错误；故B正确．故选B．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．7．（3分）（2020•宁夏）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣abC．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选D．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．8．（3分）（2020•宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．24πD．30π【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．【解答】解：由勾股定理得：母线l===5，∴S=•2πr•l=πrl=π×3×5=15π．侧故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4），=2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．（3分）（2020•宁夏）实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|=﹣a．【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：∵a＜0，∴a﹣＜0，则原式=﹣a，故答案为：﹣a【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解本题的关键．11．（3分）（2020•宁夏）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是．【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形，故飞镖落在阴影区域的概率是：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用概率公式分析是解题关键．12．（3分）（2020•宁夏）某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为4元．【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可．【解答】解：设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得80+x=120×0.7，解得x=4．答：该商品每件销售利润为4元．故答案为4．【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．13．（3分）（2020•宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A 落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为105°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBG，由折叠可得∠ADB=∠BDG，∴∠DBG=∠BDG，又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，∴∠ADB=∠BDG=25°，又∵∠2=50°，∴△ABD中，∠A=105°，∴∠A'=∠A=105°，故答案为：105°．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．14．（3分）（2020•宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE ∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为8．【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=AB=3，∵ME=DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．15．（3分）（2020•宁夏）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5．【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．16．（3分）（2020•宁夏）如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是22．【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二层有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．∴这个几何体的表面积是5×6﹣8=22，故答案为22．【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x≤8，由②得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤8．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（2020•宁夏）解方程：﹣=1．【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．【解答】解：（x+3）2﹣4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）x2+6x+9﹣4x+12=x2﹣9，x=﹣15，令x=﹣15代入（x﹣3）（x+3）≠0，∴原分式方程的解为：x=﹣15，【点评】本题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．19．（6分）（2020•宁夏）校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为A、B、C、D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答下列问题：（1）补全下面两个统计图（不写过程）；（2）求该班学生比赛的平均成绩；（3）现准备从等级A的4人（两男两女）中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率？【分析】（1）首先用A等级的学生人数除以A等级的人数所占的百分比，求出总人数；然后用总人数减去A、B、D三个等级的人数，求出C等级的人数，补全条形图；用C等级的人数除以总人数，得出C等级的人数所占的百分比，补全扇形图；（2）用加权平均数的计算公式求解即可；（3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名参加学校培训班，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．【解答】解：（1）4÷10%=40（人），C等级的人数40﹣4﹣16﹣8=12（人），C等级的人数所占的百分比12÷40=30%．两个统计图补充如下：（2）9×10%+8×40%+7×30%+6×20%=7.4（分）；（3）列表为：由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率P==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图、条形统计图的应用以及加权平均数．20．（6分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A （2，3），B（1，1），C（5，1）．（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2 B2C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2 B2C2即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．21．（6分）（2020•宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC 沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．【分析】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD是菱形．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是证明△ADM是等腰三角形．22．（6分）（2020•宁夏）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000．∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，∴1000﹣m≥4m，解得：m≤200．∵在w=10m+10000中，k=10＞0，∴w的值随m的增大而增大，∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000，∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．四、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）23．（8分）（2020•宁夏）将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt △ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）方法1、设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出=．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出==，进而求出===．方法2、易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==，再用角平分线定理判断出CP=CQ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）解：如图，设AB与CE交于点M．∵EC平分∠AEB，∴=．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，∴∠BAD=30°，∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，∴tan∠BAE==，∴AE=BE，∴==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴==，∴===．方法2、如图1，在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，∴∠BAD=30°，∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，∴tan∠BAE==，∴AE=BE，过点C作CP⊥AE于P，过点C作CQ⊥EB交延长线于Q，由（1）知，EC是∠AEB的角平分线，∴CP=CQ，∴===．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，通过作辅助线得出==是解题的关键．24．（8分）（2020•宁夏）直线y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可．【解答】解：（1）∵y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），∴m=2，n=1，∴A（2，3），B（6，1），则有，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4（2）如图①当PA⊥OD时，∵PA∥OC，∴△ADP∽△CDO，此时p（2，0）．②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，∴直线P′A的解析式为y=2x﹣1，令y=0，解得x=，∴P′（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．25．（10分）（2020•宁夏）为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：（1）为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？（2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设x表示每户每月用水量（单位：m3），y表示每户每月应交水费（单位：元），求y与x的函数关系式；（3）某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？【分析】（1）根据统计表可得出月均用水量不超过38立方米的居民户数占2000户的70%，由此即可得出结论；（2）分0≤x≤38及x＞38两种情况，找出y与x的函数关系式；（3）求出当x=38时的y值，与80.9比较后可得出该家庭当月用水量超出38立方米，令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值即可．【解答】解：（1）200+160+180+220+240+210+190=1400（户），2000×70%=1400（户），∴基本用水量最低应确定为多38m3．答：为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为38立方米．（2）设x表示每户每月用水量（单位：m3），y表示每户每月应交水费（单位：元），当0≤x≤38时，y=1.8x；当x＞38时，y=1.8×38+2.5（x﹣38）=2.5x﹣26.6．综上所述：y与x的函数关系式为y=．（3）∵1.8×38=68.4（元），68.4＜80.9，∴该家庭当月用水量超出38立方米．当y=2.5x﹣26.6=80.9时，x=43．答：该家庭当月用水量是43立方米．【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数图象上点的坐标特征以及统计表，解题的关键是：（1）根据统计表数据找出月均用水量不超过38立方米的居民户数占2000户的70%；（2）分0≤x≤38及x＞38两种情况，找出y与x的函数关系式；（3）令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值．26．（10分）（2020•宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵S=S△ABP+S△ACP，△ABC∴AB•CD=AB•PM+AC•PN，∴PM+PN=CD，即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）设BP=x，则CP=2﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），∴四边形AMPN的面积=×（2﹣x）•x+[2﹣（2﹣x）]•（2﹣x）=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+，∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

2020年宁夏中考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）下列各式中正确的是()A．326a a a=B．321ab ab-=C．261213aaa+=+D．2(3)3a a a a-=-2．（3分）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是()A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.53．（3分）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是()A．14B．12C．35D．344．（3分）如图摆放的一副学生用直角三角板，30F∠=︒，45C∠=︒，AB与DE相交于点G，当//EF BC时，EGB∠的度数是()A．135︒B．120︒C．115︒D．105︒5．（3分）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线24AC=，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则(EG=)A ．13B ．10C ．12D ．56．（3分）如图，等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．14π-B ．14π- C ．24π-D ．14π+7．（3分）如图，函数1y x =+与函数22y x=的图象相交于点(1,)M m ，(2,)N n -．若12y y >，则x 的取值范围是( )A ．2x <-或01x <<B ．2x <-或1x >C ．20x -<<或01x <<D ．20x -<<或1x >8．（3分）如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，2S a =主，2S a a =+左，则(S =俯)A ．2a a +B ．22aC ．221a a ++D ．22a a +二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）分解因式：2363a a -+= ．10．（3分）若二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 11．（3分）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 ．12．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深1ED =寸，锯道长1AB =尺(1尺10=寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．13．（3分）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB ∆绕点B 逆时针旋转90︒后得到△11A O B ，则点1A 的坐标是 ．14．（3分）如图，在ABC ∆中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠= 度．15．（3分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ． 16．（3分）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(1,3)A ，(4,1)B ，(1,1)C ． （1）画出ABC ∆关于x 轴成轴对称的△111A B C ；（2）画出ABC ∆以点O 为位似中心，位似比为1:2的△222A B C ．18．（6分）解不等式组：()5312151132x x x x ⎧--⎪⎨-+-<⎪⎩①②．19．（6分）先化简，再求值：2112()224a a a a ++÷+--，其中2a =． 20．（6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？21．（6分）如图，在ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：FA AB =．22．（6分）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：3)m 和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量3/m00.1x <0.10.2x <0.20.3x <0.30.4x <0.40.5x <频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量3/m00.1x <0.10.2x <0.20.3x <0.30.4x <频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量； （2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算） 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23．（8分）如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，点D 为AC 上一点，以CD 为直径的O 交AB 于点E ，连接CE ，且CE 平分ACB ∠． （1）求证：AE 是O 的切线； （2）连接DE ，若30A ∠=︒，求BEDE．24．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离()y m 与步行时间()x min 之间的函数关系式如图中折线段AB BC CD --所示． （1）小丽与小明出发 min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地． ①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义．25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1: 鞋号（正整数）22 23 24 25 26 27⋯脚长（毫米）1602± 1652± 1702± 1752± 1802± 1852±⋯为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据n b 定义为[]n b 如表2:序号n 1 2 3 4 5 6 ⋯鞋号n a 22 23 24 25 26 27 ⋯ 脚长n b 1602±1652±1702±1752±1802±1852±⋯ 脚长[]n b160 165 170 175 180 185⋯定义：对于任意正整数m 、n ，其中2m >．若[]n b m =，则22n m b m -+． 如：4[]175b =表示417521752b -+，即4173177b ．（1）通过观察表2，猜想出n a 与序号n 之间的关系式，[]n b 与序号n 之间的关系式； （2）用含n a 的代数式表示[]n b ；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26．（10分）如图（1）放置两个全等的含有30︒角的直角三角板ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒，若将三角板ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2），AB 与DF 、DE 分别交于点P 、M ，AC 与DE 交于点Q ，其中3AC DF ==，设三角板ABC 移动时间为x 秒．（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ ∆的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？2020年宁夏中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）下列各式中正确的是( ) A ．326a a a =B ．321ab ab -=C ．261213a a a+=+D ．2(3)3a a a a -=-【分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案． 【解答】解：A 、325a a a =，所以A 错误；B 、32ab ab ab -=，所以B 错误；C 、2611233a a a a+=+，所以C 错误； D 、2(3)3a a a a -=-，所以D 正确；故选：D ．【点评】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．2．（3分）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是( )A ．中位数是3，众数是2B ．众数是1，平均数是2C ．中位数是2，众数是2D ．中位数是3，平均数是2.5【分析】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2； 平均数为(0114263242)152⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=； 众数为2； 故选：C ．【点评】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键． 3．（3分）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是( ) A ．14B ．12 C ．35D ．34【分析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为121242=， 故选：B ．【点评】本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=． 4．（3分）如图摆放的一副学生用直角三角板，30F ∠=︒，45C ∠=︒，AB 与DE 相交于点G ，当//EF BC 时，EGB ∠的度数是( )A ．135︒B ．120︒C ．115︒D ．105︒【分析】过点G 作////HG BC EF ，则有HGB B ∠=∠，HGE E ∠=∠，又因为DEF ∆和ABC ∆都是特殊直角三角形，30F ∠=︒，45C ∠=︒，可以得到60E ∠=︒，45B ∠=︒，有EGB HGE HGB ∠=∠+∠即可得出答案．【解答】解：过点G 作//HG BC ， //EF BC ， ////GH BC EF ∴，HGB B ∴∠=∠，HGE E ∠=∠，在Rt DEF ∆和Rt ABC ∆中，30F ∠=︒，45C ∠=︒ 60E ∴∠=︒，45B ∠=︒45HGB B ∴∠=∠=︒，60HGE E ∠=∠=︒ 6045105EGB HGE HGB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故EGB ∠的度数是105︒， 故选：D ．【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180︒；其中正确作出辅助线是解本题的关键．5．（3分）如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线24AC =，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则(EG = )A ．13B ．10C ．12D ．5【分析】连接对角线BD ，交AC 于点O ，证四边形BDEG 是平行四边形，得EG BD =，利用勾股定理求出OD 的长，2BD OD =，即可求出EG ． 【解答】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：菱形ABCD 的边长为13，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点， //AB CD ∴，13AB BC CD DA ====，//EF BD ， AC 、BD 是菱形的对角线，24AC =， AC BD ∴⊥，12AO CO ==，OB OD =，又//AB CD ，//EF BD ，//DE BG ∴，//BD EG ， //DE BG ，//BD EG ，∴四边形BDEG 是平行四边形，BD EG ∴=，在COD ∆中，OC OD ⊥，13CD =，12CO =，2213125OB OD ∴==-=， 210BD OD ∴==， 10EG BD ∴==；故选：B ．【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6．（3分）如图，等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．14π-B ．14π- C ．24π-D ．14π+【分析】连接CD ，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD 的值，再分别计算出扇形ECF 的面积和等腰三角形ACB 的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：连接CD ，如图，AB 是圆C 的切线，CD AB ∴⊥，ABC ∆是等腰直角三角形，2222AB AC ∴==⨯=，112CD AB ∴==， ∴图中阴影部分的面积ABC ECF S S ∆=-扇形21901222360π=⨯⨯-14π=-．故选：A ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质． 7．（3分）如图，函数1y x =+与函数22y x=的图象相交于点(1,)M m ，(2,)N n -．若12y y >，则x 的取值范围是( )A ．2x <-或01x <<B ．2x <-或1x >C ．20x -<<或01x <<D ．20x -<<或1x >【分析】观察函数1y x =+与函数22y x=的图象，即可得出当12y y >时，相应的自变量x 的取值范围．【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x 的取值范围为20x -<<或1x >， 故答案为：20x -<<或1x >．故选：D ．【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．8．（3分）如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，2S a =主，2S a a =+左，则(S =俯)A ．2a a +B ．22aC ．221a a ++D ．22a a +【分析】由主视图和左视图的宽为a ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论． 【解答】解：()22,1S a a a S a a a a ==⋅=+=+左主，∴俯视图的长为1a +，宽为a ，∴()21S a a a a =⋅+=+俯，故选：A ．【点评】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）分解因式：2363a a -+= 23(1)a - ．【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式223(21)3(1)a a a =-+=-． 故答案为：23(1)a -．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 10．（3分）若二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 1k >- ．【分析】根据二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，可知判别式△0>，列出不等式并解之即可求出k 的取值范围．【解答】解：二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，∴△44(1)0k =-⨯->，解得：1k >-， 故答案为：1k >-．【点评】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．11．（3分）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是23． 【分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可． 【解答】解：列表得：共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为4263=． 故答案为：23． 【点评】本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 12．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深1ED =寸，锯道长1AB =尺(1尺10=寸）．问这根圆形木材的直径是 26 寸．【分析】根据题意可得OE AB ⊥，由垂径定理可得1122AD BD AB ===尺5=寸，设半径OA OE r ==，则1OD r =-，在Rt OAD ∆中，根据勾股定理可得：222(1)5r r -+=，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径． 【解答】解：由题意可知OE AB ⊥， OE 为O 半径，∴1122AD BD AB ===尺5=寸， 设半径OA OE r ==，1ED =，1OD r ∴=-，则Rt OAD ∆中，根据勾股定理可得：222(1)5r r -+=， 解得：13r =，∴木材直径为26寸；故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解． 13．（3分）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB ∆绕点B 逆时针旋转90︒后得到△11A O B ，则点1A 的坐标是 12(4,)5．【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，1A 的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB OA -，即可得出答案．【解答】解：在542y x =+中，令0x =得，4y =， 令0y =，得5042x =+，解得85x =-， 8(5A ∴-，0)，(0,4)B ，由旋转可得AOB ∆≅△11A O B ，190ABA ∠=︒，11ABO A BO ∴∠=∠，1190BO A AOB ∠=∠=︒，1185OA O A ==，14OB O B ==， 190OBO ∴∠=︒， 1//O B x ∴轴，∴点1A 的纵坐标为OB OA -的长，即为812455-=； 横坐标为14O B OB ==， 故点1A 的坐标是12(4,)5， 故答案为：12(4,)5． 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．14．（3分）如图，在ABC ∆中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠= 32 度．【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，根据它们的性质可得A ABD CBD∠=∠=∠，再根据三角形内角和定理即可得解．【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，AD BD ∴=，12ABD CBD ABC∠=∠=∠，A ABD∴∠=∠，A ABD CBD∴∠=∠=∠，180A ABC C∠+∠+∠=︒，且84C∠=︒，2180A ABD C∴∠+∠=︒-∠，即318084A∠=︒-︒，32A∴∠=︒．故答案为：32．【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．15．（3分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为6．【分析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是(b a，b均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是(b a，b均为整数），依题意，得：48a b b a >⎧⎪>⎨⎪<⎩，a ，b 均为整数47b ∴<<， b ∴最大可以取6．故答案为：6．【点评】本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．16．（3分）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 27 ．【分析】根据题意得出2215a b +=，2()3b a -=，图2中大正方形的面积为：2()a b +，然后利用完全平方公式的变形求出2()a b +即可．【解答】解：由题意可得在图1中：2215a b +=，2()3b a -=， 图2中大正方形的面积为：2()a b +，2()3b a -= 2223a ab b -+=， 1523ab ∴-=212ab =，222()2151227a b a ab b ∴+=++=+=，故答案为：27．【点评】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键． 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(1,3)A ，(4,1)B ，(1,1)C ． （1）画出ABC ∆关于x 轴成轴对称的△111A B C ；（2）画出ABC ∆以点O 为位似中心，位似比为1:2的△222A B C ．【分析】（1）将ABC ∆的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可．（2）在ABC ∆同侧和对侧分别找到22OA OA =，22OB OB =，22OC OC =所对应的2A ，2B ，2C 的坐标，连接即可．【解答】解：（1）由题意知：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(1,3)A ，(4,1)B ，(1,1)C ， 则ABC ∆关于x 轴成轴对称的△111A B C 的坐标为1(1,3)A -，1(4,1)B -，1(1,1)C -， 连接11A C ，11A B ，11B C 得到△111A B C ．如图所示△111A B C 为所求； （2）由题意知：位似中心是原点， 则分两种情况：第一种，△222A B C 和ABC ∆在同一侧 则2(2,6)A ，2(8,2)B ，2(2,2)C ， 连接各点，得△222A B C ． 第二种，△222A B C 在ABC ∆的对侧2(2,6)A --，2(8,2)B --，2(2,2)C --，连接各点，得△222A B C ．综上所述：如图所示△222A B C 为所求；【点评】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．18．（6分）解不等式组：()5312151132x x x x ⎧--⎪⎨-+-<⎪⎩①②．【分析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集． 【解答】解：由①得：2x ， 由②得：1x >-，所以，不等式组的解集是12x -<．【点评】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．19．（6分）先化简，再求值：2112()224a a a a ++÷+--，其中2a = 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．【解答】解：原式22(1)(2)2442a a a a a +-++-=-2222a a a --++=22a =当a 1==．【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．20．（6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？【分析】（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，根据“如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品(600)m -件，根据总价=单价⨯购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元， 依题意，得：604511404530840x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩．答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元．（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品(600)m -件， 依题意，得：164(600)7000m m +-， 解得：13833m ，又m 为正整数，m ∴的最大值为383．答：A 种防疫物品最多购买383件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21．（6分）如图，在ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：FA AB =．【分析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用(SAS ，ASA ，)SSS 来证明AFE DCE ∆≅∆，根据全等的性质再证明AF DC =，从而证明AF AB =． 【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB DC ∴=，//AB DC ． FEA DEC ∴∠=∠，F ECD ∠=∠．又EA ED =，AFE DCE ∴∆≅∆． AF DC ∴=．AF AB ∴=．【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题． 22．（6分）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：3)m 和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量3/m00.1x <0.10.2x <0.20.3x <0.30.4x <0.40.5x <频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量3/m00.1x < 0.10.2x <0.20.3x < 0.30.4x <频数 2 6 8 4（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量； （2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算） 【分析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．【解答】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：31(00.0540.1520.2540.35100.45)0.35()20m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 使用了节水龙头20天的日平均用水量为：31(20.0560.1580.2540.35)0.22()20m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）3365(0.350.22)3650.1347.45()m ⨯-=⨯=，答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省347.45m 水．【点评】此题主要考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23．（8分）如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，点D 为AC 上一点，以CD 为直径的O 交AB 于点E ，连接CE ，且CE 平分ACB ∠． （1）求证：AE 是O 的切线； （2）连接DE ，若30A ∠=︒，求BEDE．【分析】（1）连接OE ，证明//OE BC ，得90AEO B ∠=∠=︒，即可得出结论； （2）连接DE ，先证明DCE ECB ∆∆∽，得出BE CEDE CD=，易证60ACB ∠=︒，由角平分线定义得11603022DCE ACB ∠=∠=⨯︒=︒，由此可得CE CD 的值，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OE ，如图1所示： CE 平分ACB ∠， ACE BCE ∴∠=∠，又OE OC =， ACE OEC ∴∠=∠， BCE OEC ∴∠=∠， //OE BC ∴， AEO B ∴∠=∠，又90B ∠=︒， 90AEO ∴∠=︒，即OE AE ⊥， OE 为O 的半径，AE ∴是O 的切线；（2）解：连接DE ，如图2所示： CD 是O 的直径， 90DEC ∴∠=︒， DEC B ∴∠=∠，又DCE ECB ∠=∠， DCE ECB ∴∆∆∽，∴BE CEDE CD=， 30A ∠=︒，90B ∠=︒， 60ACB ∴∠=︒，11603022DCE ACB ∴∠=∠=⨯︒=︒，∴cos cos30CE DCE CD =∠=︒=，∴BE DE =．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 24．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离()y m 与步行时间()x min 之间的函数关系式如图中折线段AB BC CD --所示． （1）小丽与小明出发 30 min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地． ①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义．【分析】（1）直接从图象获取信息即可；（2）①设小丽步行的速度为1/V m min ，小明步行的速度为2/V m min ，且21V V >，根据图象和题意列出方程组，求解即可；②设点C 的坐标为(,)x y ，根据题意列出方程解出x ，再根据图象求出y 即可，再结合两人的运动过程解释点C 的意义即可．【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min 相遇， 故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为1/V m min ，小明步行的速度为2/V m min ，且21V V >， 则121230305400(67.530)30V V V V +=⎧⎨-=⎩，解得：1280100V V =⎧⎨=⎩，答：小丽步行的速度为80/m min ，小明步行的速度为100/m min ； ②设点C 的坐标为(,)x y ，则可得方程(10080)(30)80(67.5)5400x x +-+-=， 解得54x =，(10080)(5430)4320y m =+-=，∴点(54,4320)C ，点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1:为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据n b 定义为[]n b 如表2:定义：对于任意正整数m 、n ，其中2m >．若[]n b m =，则22n m b m -+．。

2020年宁夏中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列各式中正确的是()A. a3⋅a2=a6B. 3ab−2ab=1C. 6a2+13a=2a+1 D. a(a−3)=a2−3a 2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图(如图)，则下列说法正确的是()A. 中位数是3，众数是2B. 众数是1，平均数是2C. 中位数是2，众数是2D. 中位数是3，平均数是2.53.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是()A. 14B. 12C. 35D. 344.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F=30°，∠C=45°，AB与DE相交于点G，当EF//BC时，∠EGB的度数是()A. 135°B. 120°C. 115°D. 105°5.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 56.如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是()A. 1−π4B. π−14C. 2−π4D. 1+π47.如图，函数y=x+1与函数y2=2x的图象相交于点M(1,m)，N(−2,n).若y1>y2，则x的取值范围是()A. x<−2或0<x<1B. x<−2或x>1C. −2<x<0或0<x<1D. −2<x<0或x>18.如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主=a2，S左=a2+a，则S俯=()A. a2+aB. 2a2C. a2+2a+1D. 2a2+a二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：3a2−6a+3=______．10.若二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______．11.有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是______．12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺(1尺=10寸).问这根圆形木材的直径是______寸．13.如图，直线y=52x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是______．14.如图，在△ABC中，∠C=84°，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A=______度．15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：(1)阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；(2)阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；(3)阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为______．16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）17.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．18.解不等式组：{5−x≥3(x−1)①2x−13−5x+12<1②．19.先化简，再求值：(a+1a+2+1a−2)÷2a2−4，其中a=√2．20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；(2)现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？21.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x<0.10.1≤x<0.20.2≤x<0.30.3≤x<0.40.4≤x<0.5频数042410日用水量/m30≤x<0.10.1≤x<0.20.2≤x<0.30.3≤x<0.4频数2684(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？(一年按365天计算)23.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)连接DE，若∠A=30°，求BEDE．24.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系式如图中折线段AB−BC−CD所示．(1)小丽与小明出发______min相遇；(2)在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25.)与脚长(毫米)的对应关系如表1：鞋号(正整数)222324252627…脚长(毫米)160±2165±2170±2175±2180±2185±2…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m>2.若[b n2≤b n≤m+2．如：[b4]=175表示175−2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．(1)通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；(2)用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；(3)若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B、F、C、E 在同一条直线上，如图(2)，AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC=DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、a3⋅a2=a5，所以A错误；B、3ab−2ab=ab，所以B错误；C 、6a2+13a =2a+13a，所以C错误；D、a(a−3)=a2−3a，所以D正确；故选：D．利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．2.【答案】C【解析】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为(0×1+1×4+2×6+3×2+4×2)÷15=2；众数为2；故选：C．根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．3.【答案】B【解析】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为1224=12，故选：B．画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．4.【答案】D【解析】解：过点G作HG//BC，∵EF//BC，∴GH//BC//EF，∴∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F=30°，∠C=45°∴∠E=60°，∠B=45°∴∠HGB=∠B=45°，∠HGE=∠E=60°∴∠EGB=∠HGE+∠HGB=60°+45°=105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．过点G作HG//BC//EF，则有∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F= 30°，∠C=45°，可以得到∠E=60°，∠B=45°，有∠EGB=∠HGE+∠HGB即可得出答案．本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB//CD，AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵AB//CD，EF//BD，∴DE//BG，BD//EG，∵DE//BG，BD//EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD=EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12，∴OB=OD=√132−122=5，∴BD=2OD=10，∴EG=BD=10；故选：B．连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=√2AC=√2×√2=2，∴CD=12AB=1，∴图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形ECF=12×√2×√2−90⋅π⋅12360=1−π4．故选：A．连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．7.【答案】D【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为−2<x<0或x>1，故答案为：−2<x<0或x>1．故选：D．观察函数y=x+1与函数y2=2x的图象，即可得出当y1>y2时，相应的自变量x的取值范围．本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵S主=a2=a⋅a,S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴S俯=a⋅(a+1)=a2+a，故选：A．由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．9.【答案】3(a−1)2【解析】解：原式=3(a2−2a+1)=3(a−1)2．故答案为：3(a−1)2．首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．10.【答案】k>−1【解析】解：∵二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴△=4−4×(−1)⋅k>0，解得：k>−1，故答案为：k>−1．根据二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式△>0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．11.【答案】234564910591161011共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为46=23．故答案为：23．列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12.【答案】26【解析】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴AD=BD=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r−1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解得：r=13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD=BD=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r−1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．13.【答案】(4,125)【解析】解：在y=52x+4中，令x=0得，y=4，令y=0，得0=52x+4，解得x=−85，∴A(−85,0)，B(0,4)，由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1=90°，∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=85，OB=O1B=4，∴∠OBO1=90°，∴O1B//x轴，∴点A1的纵坐标为OB−OA的长，即为4−85=125；横坐标为O1B=OB=4，故点A1的坐标是(4,125)，故答案为：(4,125).首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB−OA，即可得出答案．本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．14.【答案】32【解析】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，∴AD=BD，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∴∠A=∠ABD，∴∠A=∠ABD=∠CBD，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠C=84°，∴∠A+2∠ABD=180°−∠C，即3∠A=180°−84°，∴∠A=32°．故答案为：32．由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．15.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，依题意，得：{a>bb>4 a<8，∵a，b均为整数∴4<b<7，∴b最大可以取6．故答案为：6．设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．16.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，∵(b−a)2=3a2−2ab+b2=3，∴15−2ab=32ab=12，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．根据题意得出a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．17.【答案】解：(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1(1,−3)，B1(4,−1)，C1(1,−1)，连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；(2)由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2(2,6)，B2(8,2)，C2(2,2)，连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2(−2,−6)，B2(−8,−2)，C2(−2,−2)，连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；【解析】(1)将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．(2)在△ABC同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．18.【答案】解：由①得：x≤2，由②得：x>−1，所以，不等式组的解集是−1<x≤2．【解析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．19.【答案】解：原式=(a+1)(a−2)+a+2a2−4⋅a2−42=a2−a−2+a+22=a2当a=√2时，原式=(√2)22=1．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．20.【答案】解：(1)设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元， 依题意，得：{60x +45y =114045x +30y =840，解得：{x =16y =4．答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元．(2)设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品(600−m)件， 依题意，得：16m +4(600−m)≤7000， 解得：m ≤38313，又∵m 为正整数， ∴m 的最大值为383．答：A 种防疫物品最多购买383件．【解析】(1)设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，根据“如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品(600−m)件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =DC ，AB//DC ．∴∠FEA =∠DEC ，∠F =∠ECD ． 又∵EA =ED ， ∴△AFE≌△DCE ． ∴AF =DC ． ∴AF =AB ．【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用(SAS,ASA ，SSS)来证明△AFE≌△DCE ，根据全等的性质再证明AF =DC ，从而证明AF =AB ．本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．22.【答案】解：(1)未使用节水龙头20天的日平均用水量为：120×(0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45)=0.35(m 3)，使用了节水龙头20天的日平均用水量为：120×(2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35)=0.22(m 3)；(2)365×(0.35−0.22)=365×0.13=47.45(m 3)，答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m 3水．【解析】(1)取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；(2)先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．此题主要考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 23.【答案】(1)证明：连接OE ，如图1所示： ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE =∠BCE ， 又∵OE =OC ， ∴∠ACE =∠OEC ， ∴∠BCE =∠OEC ， ∴OE//BC ， ∴∠AEO =∠B ， 又∵∠B =90°， ∴∠AEO =90°， 即OE ⊥AE ，∵OE 为⊙O 的半径， ∴AE 是⊙O 的切线；(2)解：连接DE ，如图2所示： ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DEC =90°， ∴∠DEC =∠B ，又∵∠DCE =∠ECB ， ∴△DCE∽△ECB ， ∴BEDE =CECD ，∵∠A =30°，∠B =90°， ∴∠ACB =60°，∴∠DCE =12∠ACB =12×60°=30°，∴CECD =cos∠DCE =cos30°=√32， ∴BE DE=√32．【解析】(1)连接OE ，证明OE//BC ，得∠AEO =∠B =90°，即可得出结论；(2)连接DE ，先证明△DCE∽△ECB ，得出BEDE =CECD ，易证∠ACB =60°，由角平分线定义得∠DCE =12∠ACB =12×60°=30°，由此可得CECD的值，即可得出结果． 本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 24.【答案】30【解析】解：(1)由图象可得小丽与小明出发30min 相遇， 故答案为：30；(2)①设小丽步行的速度为V 1m/min ，小明步行的速度为V 2m/min ，且V 2>V 1， 则{30V 1+30V 2=5400(67.5−30)V 1=30V 2， 解得：{V 1=80V 2=100，答：小丽步行的速度为80m/min ，小明步行的速度为100m/min ；②设点C的坐标为(x,y)，则可得方程(100+80)(x−30)+80(67.5−x)=5400，解得x=54，y=(100+80)(54−30)=4320m，∴点C(54,4320)，点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．(1)直接从图象获取信息即可；(2)①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2>V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；②设点C的坐标为(x,y)，根据题意列出方程解出x，再根据图象求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．25.【答案】解：(1)a n=21+n；[b n]=160+5(n−1)=5n+155；(2)由a n=21+n与[b n]=5n+155解得：[b n]=5a n+50，把a n=42代入a n=21+n得n=21，所以[b21]=5×42+50=260，则：260−2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；(3)根据[b n]=5n+155可知[b n]能被5整除，∵270−2≤271≤270+2，∴[b n]=270，将[b n]=270代入[b n]=5a n+50中得a n=44．故应购买44号的鞋．【解析】(1)观察表格里的数据，可直接得出结论；(2)把n用含有a n的式子表示出来，代入[b n]=5n+155化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入[b n]=5n+155求解即可；(3)首先计算[b n]=270，再代入[b n]=5a n+50求出a n的值即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意是解题的关键．26.【答案】解：(1)解：因为Rt△ABC中∠B=30°，∴∠A=60°，∵∠E=30°，∴∠EQC=∠AQM=60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，AC=√3,BC=AC⋅tanA=3，∴EF=BC=3，根据题意可知CF=x，∴CE=EF−CF=3−xCQ=CE⋅tanE=√33(3−x)，∴AQ=AC−CQ=√3−√33(3−x)=√33x，∴AM=AQ=√33x，而MN=AM⋅sinA=12x，∴S△MAQ=12AQ⋅MN=12×√33x⋅12x=√312x2，(2)由(1)知BF=CE=3−xPF=BF⋅tanB=√33(3−x)，∴S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=12AC⋅BC−12AQ⋅MN−12BF⋅PF=12×3×√3−√312x2−12(3−x)√33(3−x)=−√34x2+√3x=−√34(x−2)2+√3，所以当x=2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．【解析】(1)解直角三角形ABC求得EF=BC=3，设CF=x，可求AQ=√33x，MN=12x，根据三角形面积公式即可求出结论；(2)根据“S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2020年宁夏中考数学试卷学校： 班级： 姓名： 得分：一、选择题（本共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合目要求的）1．（3分）（2020•宁夏）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为( ) A ．45.510⨯B ．45510⨯C ．55.510⨯D ．60.5510⨯2．（3分）（2020•宁夏）下列各式中正确的是( )A 2±B 3=-C 2=D 3．（3分）（2020•宁夏）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图 所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图 是( ) A ． B ．C ．D ．4．（3分）（2020•宁夏）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是( ) A ．0.7和0.7B ．0.9和0.7C ．1和0.7D ．0.9和1.15．（3分）（2020•宁夏）如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD AE =．连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若40C ∠=︒，则GAD ∠的度数为()A ．40︒B ．45︒C ．55︒D ．70︒6．（3分）（2020•宁夏）如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD 为菱形的是( )A ．AC BD ⊥B ．AB AD =C ．AC BD =D ．ABD CBD ∠=∠7．（3分）（2020•宁夏）函数ky x=和2(0)y kx k =+≠在同一直角坐标系中的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．8．（3分）（2020•宁夏）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是( )A ．43πB ．83π-C ．43πD ．83π二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：328a a -= ．10．（3分）（2020•宁夏）计算：11()|22--+= ．11．（3分）（2020•宁夏）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为23，那么盒子内白色乒乓球的个数为 ．12．（3分）（2020•宁夏）已知一元二次方程2340x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围 ．13．（3分）（2020•宁夏）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为 小时．14．（3分）（2020•宁夏）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，若AB =O 的半径为 ．15．（3分）（2020•宁夏）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB ，BC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=︒，则BCDABDS S ∆∆= ．16．（3分）（2020•宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是 ．（只填序号）三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•宁夏）已知：在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(5,4)A ，(0,3)B ，(2,1)C ．（1）画出ABC ∆关于原点成中心对称的△111A B C ，并写出点1C 的坐标； （2）画出将111A B C 绕点1C 按顺时针旋转90︒所得的△221A B C ．18．（6分）（2020•宁夏）解方程：2121xx x +=+-． 19．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：1123322x x x x -⎧-⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩．20．（6分）（2020•宁夏）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同． （1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．21．（6分）（2020•宁夏）如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF EC ⊥，且AE CD =．（1）求证：AF DE =； （2）若25DE AD =，求tan AFE ∠．22．（6分）（2020•宁夏）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，其中“√”表示投放正确，“⨯”表示投放错误，统计情况如下表．（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分） 23．（8分）（2020•宁夏）如图在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径作O 交AC 于点D ，连接OD ．（1）求证：//OD BC ；（2）过点D 作O 的切线，交BC 于点E ，若30A ∠=︒，求CDBE的值．24．（8分）（2020•宁夏）将直角三角板ABC 按如图1放置，直角顶点C 与坐标原点重合，直角边AC 、BC 分别与x 轴和y 轴重合，其中30ABC ∠=︒．将此三角板沿y 轴向下平移，当点B 平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s ，s 关于m 的函数图象（如图2所示）与m 轴相交于点P 0)，与s 轴相交于点Q ．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．25．（10分）（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．(π取3.14)．（1）求400米跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：跑道宽度/米012345⋯跑道周长/米400⋯若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？26．（10分）（2020•宁夏）如图，在ABC∆中，90AC=，点M，Q分AB=，4A∠=︒，3别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ BC⊥，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有QBM ABC∽；∆∆（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．2020年宁夏中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合目要求的）1．（3分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为( ) A ．45.510⨯B ．45510⨯C ．55.510⨯D ．60.5510⨯【考点】科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：数字55000用科学记数法表示为45.510⨯． 故选：C ．2．（3分）下列各式中正确的是( )A 2±B 3=-C 2=D 【考点】算术平方根；立方根【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断．【解答】解：2=，故选项A 不合题意；3=，故选项B 不合题意；232，故选项C 不合题意；D 符合题意．故选：D ．3．（3分）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( ) A ．B ．C．D．【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体【分析】由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，据此可得．【解答】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，所以其主视图为：故选：A．4．（3分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是()A．0.7和0.7B．0.9和0.7C．1和0.7D．0.9和1.1【考点】众数；中位数【分析】根据表格中的数据可知共有30人参与调查，从而可以得到全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数，本题得以解决．【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：0.90.90.92+=30名学生平均每天阅读时间的是0.7，故选：B．5．（3分）如图，在ABC∆中AC BC=，点D和E分别在AB和AC上，且AD AE=．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若40C∠=︒，则GAD∠的度数为()A．40︒B．45︒C．55︒D．70︒【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：AC CB=，40C∠=︒，1(18040)702BAC B ∴∠=∠=︒-︒=︒，AD AE =，1(18070)552ADE AED ∴∠=∠=︒-︒=︒，//GH DE ，55GAD ADE ∴∠=∠=︒，故选：C ．6．（3分）如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD 为菱形的是( )A ．AC BD ⊥B ．AB AD =C ．AC BD = D ．ABD CBD ∠=∠【考点】菱形的判定【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【解答】解：四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，当AB AD =或AC BD ⊥时，均可判定四边形ABCD 是菱形； 当AC BD =时，可判定四边形ABCD 是矩形； 当ABD CBD ∠=∠时，由//AD BC 得：CBD ADB ∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠， AB AD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形；故选：C ． 7．（3分）函数ky x=和2(0)y kx k =+≠在同一直角坐标系中的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．【解答】解：在函数ky x=和2(0)y kx k =+≠中， 当0k >时，函数ky x=的图象在第一、三象限，函数2y kx =+的图象在第一、二、三象限，故选项A 、D 错误，选项B 正确， 当0k <时，函数ky x=的图象在第二、四象限，函数2y kx =+的图象在第一、二、四象限，故选项C 错误， 故选：B ．8．（3分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是( )A ．43πB ．83π-C ．43πD ．83π【考点】扇形面积的计算；正多边形和圆【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．【解答】解：正六边形ABCDEF 的边长为2，∴正六边形ABCDEF 的面积是：2(2sin 60)6622⨯︒⨯=⨯=120FAB EDC ∠=∠=︒，∴图中阴影部分的面积是：21202823603ππ⨯⨯⨯=， 故选：B ．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）分解因式：328a a -= 2(2)(2)a a a +- ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取2a ，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式22(4)2(2)(2)a a a a a =-=+-， 故答案为：2(2)(2)a a a +-10．（3分）计算：11()|22--+=【考点】负整数指数幂；实数的运算【分析】分别化简每一项可得11()|2222--+=-+；【解答】解：11()|2222--+=-+；故答案为11．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为23，那么盒子内白色乒乓球的个数为 4 ． 【考点】概率公式【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为x ，根据摸到白色乒乓球的概率为23列出关于x 的方程，解之可得．【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为x ， 根据题意，得：223x x =+， 解得：4x =，经检验：4x =是原分式方程的解，∴盒子内白色乒乓球的个数为4，故答案为：4．12．（3分）已知一元二次方程2340x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围 43k >- ．【考点】根的判别式【分析】方程有两个不相等的实数根，则△0>，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围． 【解答】解：方程2340x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△0>，即2443()0k -⨯⨯->，解得43k >-，故答案为：43k >-．13．（3分）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为 1.15 小时．【考点】加权平均数；条形统计图【分析】首先根据条形图得出该班学生的总人数以及一天用于体育锻炼的时间，再利用加权平均数的公式列式计算即可．【解答】解：由图可知，该班一共有学生：81612440+++=（人)，该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为：(0.58116 1.51224)40 1.15⨯+⨯+⨯+⨯÷=（小时）．故答案为1.15．14．（3分）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D，若AB =O 的半径为【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）【分析】连接OA ，设半径为x ，用x 表示OC ，根据勾股定理建立x 的方程，便可求得结果． 【解答】解：连接OA ，设半径为x ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ， 23OC x ∴=，OC AB ⊥，12AC AB ∴==， 222OA OC AC -=，∴222()103x x -=，解得，x =故答案为：15．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB ，BC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=︒，则BCD ABD S S ∆∆= 12．【考点】含30度角的直角三角形；作图-基本作图；角平分线的性质【分析】利用基本作图得BD 平分ABC ∠，再计算出30ABD CBD ∠=∠=︒，所以DA DB =，利用2BDCD =得到2AD CD =，然后根据三角形面积公式可得到BCDABDS S ∆∆的值． 【解答】解：由作法得BD 平分ABC ∠， 90C ∠=︒，30A ∠=︒， 60ABC ∴∠=︒， 30ABD CBD ∴∠=∠=︒，DA DB ∴=，在Rt BCD ∆中，2BD CD =， 2AD CD ∴=，∴12BCD ABD S S ∆∆=． 故答案为12． 16．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是 ② ．（只填序号）【考点】一元二次方程的应用【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．【解答】解：24120x x --=即(4)12x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+，据此易得6x =． 故答案为：②．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）已知：在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(5,4)A ，(0,3)B ，(2,1)C ．（1）画出ABC ∆关于原点成中心对称的△111A B C ，并写出点1C 的坐标； （2）画出将111A B C 绕点1C 按顺时针旋转90︒所得的△221A B C ．【考点】作图-旋转变换【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）分别作出点1A 、1B 绕点1C 按顺时针旋转90︒所得的对应点，再顺次连接即可得． 【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求，其中点1C 的坐标为(2,1)--．（2）如图所示，△221A B C 即为所求． 18．（6分）解方程：2121xx x +=+-． 【考点】解分式方程【分析】方程两边同时乘以(2)(1)x x +-，得4x =； 【解答】解：2121xx x +=+-， 方程两边同时乘以(2)(1)x x +-，得 2(1)(2)(1)(2)x x x x x -++-=+， 4x ∴=，将检验4x =是方程的解；∴方程的解为4x =；19．（6分）解不等式组：1123322x x x x -⎧-⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩．【考点】解一元一次不等式组【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式1123x x --，得：4x ， 解不等式322x x -<+，得：7x >-， 则不等式组的解集为74x -<．20．（6分）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同． （1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）设每位男生的化妆费是x 元，每位女生的化妆费是y 元．关键描述语：5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同． （2）设男生有a 人化妆，根据女生人数2000423-=男生化妆费用列出不等式并解答．【解答】解：（1）设每位男生的化妆费是x 元，每位女生的化妆费是y 元， 依题意得：5319032x y x y +=⎧⎨=⎩．解得：2030x y =⎧⎨=⎩．答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；（2）设男生有a 人化妆， 依题意得：2000204230a-．解得37a ． 即a 的最大值是37． 答：男生最多有37人化妆．21．（6分）如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF EC ⊥，且AE CD =．（1）求证：AF DE =； （2）若25DE AD =，求tan AFE ∠．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形【分析】（1）根据矩形的性质得到90A D ∠=∠=︒，由垂直的定义得到90FEC ∠=︒，根据余角的性质得到AFE DEC ∠=∠，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）由已知条件得到32AE DE =，由AF DE =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形， 90A D ∴∠=∠=︒， EF CE ⊥， 90FEC ∴∠=︒，90AFE AEF AEF DEC ∴∠+∠=∠+∠=︒， AFE DEC ∴∠=∠，在AEF ∆与DCE ∆中，A DAFE DEC AE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF DCE AAS ∴∆≅∆，AF DE ∴=；（2）解：25DE AD =， 32AE DE ∴=， AF DE =，332tan 2DEAFE DE ∴∠==． 22．（6分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，其中“√”表示投放正确，“⨯”表示投放错误，统计情况如下表．（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果． 【考点】列表法与树状图法；统计表 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）利用列表法可得所有等可能结果．【解答】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为58；（2）列表如下：四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分） 23．（8分）如图在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径作O 交AC 于点D ，连接OD ． （1）求证：//OD BC ；（2）过点D 作O 的切线，交BC 于点E ，若30A ∠=︒，求CDBE的值．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】（1）由边等得角等，再由同位角相等，可证得平行；（2）连接BD ，由30A ∠=︒得C ∠，由切线得OD DE ⊥，由//OD BC ，得DE BC ⊥，再利用三角函数可求得CD 与BE 的比值． 【解答】解：（1）证明AB BC =A C ∴∠=∠ OD OA = A ADO ∴∠=∠ C ADO ∴∠=∠ //OD BC ∴（2）如图，连接BD ，30A ∠=︒，A C ∠=∠ 30C ∴∠=︒DE 为O 的切线，DE OD ∴⊥ //OD BC DE BC ∴⊥ 90BED ∴∠=︒AB 为O 的直径90BDA ∴∠=︒，60CBD ∠=︒∴tan tan 30BD C CD =∠=︒=BD ∴=∴1cos cos602BE CBD BD =∠=︒=12BE BD ∴=∴CDBE= 24．（8分）将直角三角板ABC 按如图1放置，直角顶点C 与坐标原点重合，直角边AC 、BC 分别与x 轴和y 轴重合，其中30ABC ∠=︒．将此三角板沿y 轴向下平移，当点B 平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s ，s关于m 的函数图象（如图2所示）与m 轴相交于点P 0)，与s 轴相交于点Q ． （1）试确定三角板ABC 的面积； （2）求平移前AB 边所在直线的解析式；（3）求s 关于m 的函数关系式，并写出Q 点的坐标．【考点】一次函数综合题【分析】（1）与m 轴相交于点P 0)，可知OB 1OA =；（2）设AB 的解析式y kx b =+，将点B ，(1,0)A 代入即可；（3）在移动过程中OB m =，则tan30)1OA OB m =︒⨯=，所以21)(1)2s m m =⨯⨯=-，(03)m ；当0m =时，s =，即可求Q ．【解答】解：（1）与m 轴相交于点P 0)，OB ∴30ABC ∠=︒， 1OA ∴=，112S ∴=⨯=（2）(0,3)B ，(1,0)A ， 设AB 的解析式y kx b =+，∴0b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩y ∴=+（3）在移动过程中OB m =，则tan30)1OA OB m =︒⨯==，21)(1)2s m m ∴=⨯⨯--，(03)m当0m =时，s =，Q ∴． 25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．(π取3.14)．（1）求400米跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表： 跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 ⋯跑道周长/米400⋯若设x 表示跑道宽度（单位：米），y 表示该跑道周长（单位：米），试写出y 与x 的函数关系式：（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？【考点】一次函数的应用；规律型：图形的变化类【分析】（1）根据周长的意义：直道长度+弯道长度400=求出，（2）跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为1、2、3、4、5、⋯⋯时，跑道的周长，填写表格．并求出函数关系式．（3）依据关系式，可求当跑道周长为446米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽1.2米，求出可以设计几条跑道．【解答】解：（1）400米跑道中一段直道的长度(400236 3.14)286.96=-⨯⨯÷=m （2）表格如下：2400 6.28400y x x π=+=+；（3）当446y =时，即6.28400446x +=， 解得：7.32x ≈m 7.32 1.26÷≈ 条∴最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．26．（10分）如图，在ABC∆中，90A∠=︒，3AB=，4AC=，点M，Q分别是边AB，BC 上的动点（点M不与A，B重合），且MQ BC⊥，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有QBM ABC∆∆∽；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【考点】相似形综合题【分析】（1）根据题意得到MQB CAB∠=∠，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．【解答】解：（1）MQ BC⊥，90MQB∴∠=︒，MQB CAB∴∠=∠，又QBM ABC∠=∠，QBM ABC∴∆∆∽；（2）当BQ MN=时，四边形BMNQ为平行四边形，//MN BQ，BQ MN=，∴四边形BMNQ为平行四边形；（3）90A∠=︒，3AB=，4AC=，225BC AB AC∴=+=，QBM ABC∆∆∽，∴QB QM BMAB AC BC==，即345x QM BM==，解得，43QM x=，53BM x=，//MN BC，∴MN AM BC AB=，即53353x MN -=， 解得，2559MN x =-， 则四边形BMNQ 的面积21254324575(5)()2932782x x x x =⨯-+⨯=--+， ∴当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752．节日热闹：盛况空前普天同庆欢聚一堂人声鼎沸人山人海欢呼雀跃欢声雷动熙熙攘攘载歌载舞红旗招展火树银花灯火辉煌张灯结彩锣鼓喧天金鼓齐鸣看：盯瞧瞅瞟瞥望睹观赏窥顾盼端详注视鸟瞰浏览张望阅览欣赏观赏月光：皎洁的月光明亮的月光清冽的月光清幽的月光朦胧的月光柔和的月光惨淡的月光凄冷的月光月光如水月光如雪月光如银希望：期望盼望渴望奢望指望得表扬：得意扬扬洋洋得意神采飞扬心花怒放乐不可支喜上眉梢春风得意眉开眼笑受批评：心灰意冷垂头丧气郁郁寡欢心灰意懒一蹶不振建筑：金碧辉煌玲珑剔透古色古香庄严肃穆庭院幽深巍然耸立绿瓦红墙描龙绣凤气势磅礴栩俯瞰窥视探望远眺审视环顾扫视瞻仰左顾右盼瞻前顾后袖手旁观先睹为快望眼欲穿东张西望屏息凝视目不转睛成语中的反义词：藕断丝连转危为安左顾右盼阴差阳错争先恐后冬暖夏凉大同小异轻重缓急天南地北舍本逐末比喻手法成语：星罗棋布鳞次栉比玉洁冰清蚕食鲸吞狐朋狗友狼吞虎咽锦衣玉食中国：中华华夏九州四海神州大地长城内外大江南北读书和学习：如饥似渴学而不厌学无止境学以致用博览群书博学多才学海无涯朋友：伙伴同伴旅伴伴侣战友密友故友好友挚友新朋好友良师益友梅花：腊梅墨梅素梅冰肌玉骨疏影横斜暗香浮动清香远溢幽香沁人小溪：波纹粼粼清澈见底终年潺潺柳树：垂柳青青婀娜多姿依依多情花儿好看：绚丽烂漫妖艳素雅争奇斗艳鲜艳夺目花蕾满枝琼花玉叶色彩斑斓花团锦簇灿如云锦花儿好闻：芬芳幽香芳香浓郁清香四溢香气袭人沁人心脾清香袅袅香气扑鼻香飘十里日子：丰衣足食太平昌盛日出而作日入而息守望相助走兽：四肢轻快互相追逐连蹦带跳小巧玲珑乖巧驯良扬蹄飞奔腾空跃起庞然大物生龙活虎威风凛凛万千气象：晚霞朝晖红霞满天霞光万道闲云迷雾云雾缭绕星光灿烂晓风残月月凉如水月色朦胧月淡风清月明星稀皓月当空栩如生造型逼真琼楼玉宇布局合理亭台楼阁历史悠久中西合璧龙腾虎跃打比方成语：如醉如梦如泣如诉如火如荼如饥似渴如兄似弟如胶似漆如花似锦如狼似虎死：去世逝世长眠安息千古永别永诀与世长辞遇难牺牲捐躯殉职夭折圆寂羽化驾崩。

2020年宁夏中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列各式中正确的是()A. a3⋅a2=a6B. 3ab−2ab=1C. 6a2+13a=2a+1 D. a(a−3)=a2−3a2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图(如图)，则下列说法正确的是()A. 中位数是3，众数是2B. 众数是1，平均数是2C. 中位数是2，众数是2D. 中位数是3，平均数是2.53.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是()A. 14B. 12C. 35D. 344.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F=30°，∠C=45°，AB与DE相交于点G，当EF//BC时，∠EGB的度数是()A. 135°B. 120°C. 115°D. 105°5.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 56.如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是()A. 1−π4B. π−14C. 2−π4D. 1+π47.如图，函数y=x+1与函数y2=2x的图象相交于点M(1,m)，N(−2,n).若y1>y2，则x的取值范围是()A. x<−2或0<x<1B. x<−2或x>1C. −2<x<0或0<x<1D. −2<x<0或x>18.如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主=a2，S左=a2+a，则S俯=()A. a2+aB. 2a2C. a2+2a+1D. 2a2+a二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：3a2−6a+3=______．10.若二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______．11.有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是______．12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺(1尺=10寸).问这根圆形木材的直径是______寸．x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，13.如图，直线y=52把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是______．AB的长为半径画14.如图，在△ABC中，∠C=84°，分别以点A、B为圆心，以大于12弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半EF的长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A=______度．15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：(1)阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；(2)阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；(3)阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为______．16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）17.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．18.解不等式组：{5−x≥3(x−1)①2x−13−5x+12<1②．19.先化简，再求值：(a+1a+2+1a−2)÷2a2−4，其中a=√2．20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；(2)现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？21.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x<0.10.1≤x<0.20.2≤x<0.30.3≤x<0.40.4≤x<0.5频数042410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x<0.10.1≤x<0.20.2≤x<0.30.3≤x<0.4频数2684(1)计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？(一年按365天计算)23.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)连接DE，若∠A=30°，求BE．DE24.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系式如图中折线段AB−BC−CD所示．(1)小丽与小明出发______min相遇；(2)在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号(为正整数)与脚长(毫米)的对应关系如表1：鞋号(正整数)222324252627…脚长(毫米)160±2165±2170±2175±2180±2185±2…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n 定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m>2.若[b n]=m，则m−2≤b n≤m+2．如：[b4]=175表示175−2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．(1)通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；(2)用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；(3)若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图(2)，AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC=DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、a3⋅a2=a5，所以A错误；B、3ab−2ab=ab，所以B错误；C、6a2+13a =2a+13a，所以C错误；D、a(a−3)=a2−3a，所以D正确；故选：D．利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．2.【答案】C【解析】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为(0×1+1×4+2×6+3×2+4×2)÷15=2；众数为2；故选：C．根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．3.【答案】B【解析】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为1224=12，故选：B．画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且．这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn4.【答案】D【解析】解：过点G作HG//BC，∵EF//BC，∴GH//BC//EF，∴∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F=30°，∠C=45°∴∠E=60°，∠B=45°∴∠HGB=∠B=45°，∠HGE=∠E=60°∴∠EGB=∠HGE+∠HGB=60°+45°=105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．过点G作HG//BC//EF，则有∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F=30°，∠C=45°，可以得到∠E=60°，∠B=45°，有∠EGB=∠HGE+∠HGB即可得出答案．本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB//CD，AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵AB//CD，EF//BD，∴DE//BG，BD//EG，∵DE//BG，BD//EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD=EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12，∴OB=OD=√132−122=5，∴BD=2OD=10，∴EG=BD=10；故选：B．连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=√2AC=√2×√2=2，∴CD=12AB=1，∴图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形ECF=12×√2×√2−90⋅π⋅12360=1−π4．故选：A．连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．7.【答案】D【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为−2<x<0或x>1，故答案为：−2<x<0或x>1．故选：D．的图象，即可得出当y1>观察函数y=x+1与函数y2=2xy2时，相应的自变量x的取值范围．本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵S主=a2=a⋅a,S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，=a⋅(a+1)=a2+a，∴S俯故选：A．由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．9.【答案】3(a−1)2【解析】解：原式=3(a2−2a+1)=3(a−1)2．故答案为：3(a−1)2．首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．10.【答案】k>−1【解析】解：∵二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴Δ=4−4×(−1)×k>0，解得：k>−1，故答案为：k>−1．根据二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式Δ>0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．本题考查判别式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．11.【答案】23【解析】解：列表得：共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为46=23．故答案为：23．列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12.【答案】26【解析】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴AD=BD=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r−1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解得：r=13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD=BD=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r−1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．13.【答案】(4,125)【解析】解：在y=52x+4中，令x=0得，y=4，令y=0，得0=52x+4，解得x=−85，∴A(−85,0)，B(0,4)，由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1=90°，∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=85，OB=O1B=4，∴∠OBO1=90°，∴O1B//x轴，∴点A1的纵坐标为OB−OA的长，即为4−85=125；横坐标为O1B=OB=4，故点A1的坐标是(4,125)，故答案为：(4,125).首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB−OA，即可得出答案．本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．14.【答案】32【解析】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，∴AD=BD，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∴∠A=∠ABD，∴∠A=∠ABD=∠CBD，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠C=84°，∴∠A+2∠ABD=180°−∠C，即3∠A=180°−84°，∴∠A=32°．故答案为：32．由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．15.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，依题意，得：{a>bb>4 a<8，∵a，b均为整数∴4<b<7，∴b最大可以取6．故答案为：6．设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．16.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，∵(b−a)2=3a2−2ab+b2=3，∴15−2ab=32ab=12，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．根据题意得出a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．17.【答案】解：(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1(1,−3)，B1(4,−1)，C1(1,−1)，连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；(2)由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2(2,6)，B2(8,2)，C2(2,2)，连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2(−2,−6)，B2(−8,−2)，C2(−2,−2)，连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；【解析】(1)将△ABC 的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可．(2)在△ABC 同侧和对侧分别找到2OA =OA 2，2OB =OB 2，2OC =OC 2所对应的A 2，B 2，C 2的坐标，连接即可．本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．18.【答案】解：由①得：x ≤2，由②得：x >−1，所以，不等式组的解集是−1<x ≤2．【解析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．19.【答案】解：原式=(a+1)(a−2)+a+2a 2−4⋅a 2−42 =a 2−a −2+a +22=a 22当a =√2时，原式=(√2)22=1．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 20.【答案】解：(1)设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：{60x +45y =114045x +30y =840， 解得：{x =16y =4． 答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元．(2)设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品(600−m)件，依题意，得：16m +4(600−m)≤7000，解得：m ≤38313，又∵m 为正整数，∴m的最大值为383．答：A种防疫物品最多购买383件．【解析】(1)设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品(600−m)件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB//DC．∴∠FEA=∠DEC，∠F=∠ECD．又∵EA=ED，∴△AFE≌△DCE．∴AF=DC．∴AF=AB．【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用(SAS,ASA，SSS)来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF=DC，从而证明AF=AB．本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．×(0×0.05+4×0.15+ 22.【答案】解：(1)未使用节水龙头20天的日平均用水量为：1202×0.25+4×0.35+10×0.45)=0.35(m3)，×(2×0.05+6×0.15+8×0.25+使用了节水龙头20天的日平均用水量为：1204×0.35)=0.22(m3)；(2)365×(0.35−0.22)=365×0.13=47.45(m3)，答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．【解析】(1)取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；(2)先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．此题主要考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】(1)证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，又∵OE=OC，∴∠ACE=∠OEC，∴∠BCE=∠OEC，∴OE//BC，∴∠AEO=∠B，又∵∠B=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；(2)解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠B，又∵∠DCE=∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE =CECD，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=60°，∴∠DCE=12∠ACB=12×60°=30°，∴CECD =cos∠DCE=cos30°=√32，∴BEDE =√32．第23页，共23页【解析】(1)连接OE ，证明OE//BC ，得∠AEO =∠B =90°，即可得出结论；(2)连接DE ，先证明△DCE∽△ECB ，得出BE DE =CE CD ，易证∠ACB =60°，由角平分线定义得∠DCE =12∠ACB =12×60°=30°，由此可得CE CD 的值，即可得出结果．本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 24.【答案】30【解析】解：(1)由图象可得小丽与小明出发30min 相遇，故答案为：30；(2)①设小丽步行的速度为V 1m/min ，小明步行的速度为V 2m/min ，且V 2>V 1，则{30V 1+30V 2=5400(67.5−30)V 1=30V 2， 解得：{V 1=80V 2=100， 答：小丽步行的速度为80m/min ，小明步行的速度为100m/min ；②设点C 的坐标为(x,y)，则可得方程(100+80)(x −30)+80(67.5−x)=5400，解得x =54，y =(100+80)(54−30)=4320m ，∴点C(54,4320)，点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．(1)直接从图象获取信息即可；(2)①设小丽步行的速度为V 1m/min ，小明步行的速度为V 2m/min ，且V 2>V 1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；②设点C 的坐标为(x,y)，根据题意列出方程解出x ，再根据图象求出y 即可，再结合两人的运动过程解释点C 的意义即可．本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．25.【答案】解：(1)a n =21+n ；[b n ]=160+5(n −1)=5n +155；(2)由a n =21+n 与[b n ]=5n +155解得：[b n ]=5a n +50，把a n =42代入a n =21+n 得n =21，所以[b 21]=5×42+50=260，则：260−2≤b 21≤260+2，即258≤b 21≤262．第12页，共23页 答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm ～262mm ；(3)根据[b n ]=5n +155可知[b n ]能被5整除，∵270−2≤271≤270+2，∴[b n ]=270，将[b n ]=270代入[b n ]=5a n +50中得a n =44． 故应购买44号的鞋．【解析】(1)观察表格里的数据，可直接得出结论； (2)把n 用含有a n 的式子表示出来，代入[b n ]=5n +155化简整理，再计算鞋号为42对应的n 的值，代入[b n ]=5n +155求解即可；(3)首先计算[b n ]=270，再代入[b n ]=5a n +50求出a n 的值即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意是解题的关键．26.【答案】解：(1)解：因为Rt △ABC 中∠B =30°，∴∠A =60°，∵∠E =30°，∴∠EQC =∠AQM =60°，∴△AMQ 为等边三角形，过点M 作MN ⊥AQ ，垂足为点N ．在Rt △ABC 中，AC =√3,BC =AC ⋅tanA =3，∴EF =BC =3，根据题意可知CF =x ，∴CE =EF −CF =3−xCQ =CE ⋅tanE =√33(3−x)， ∴AQ =AC −CQ =√3−√33(3−x)=√33x ， ∴AM =AQ =√33x ， 而MN =AM ⋅sinA =12x ，∴S △MAQ =12AQ ⋅MN =12×√33x ⋅12x =√312x 2，(2)由(1)知BF=CE=3−xPF=BF⋅tanB=√33(3−x)，∴S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=12AC⋅BC−12AQ⋅MN−12BF⋅PF=12×3×√3−√3 12x2−12(3−x)√33(3−x)=−√34x2+√3x=−√34(x−2)2+√3，所以当x=2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．【解析】(1)解直角三角形ABC求得EF=BC=3，设CF=x，可求AQ=√33x，MN=12x，根据三角形面积公式即可求出结论；(2)根据“S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．第23页，共23页。

2020年宁夏中考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）（2020•宁夏）下列各式中正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a 6 B ．3ab ﹣2ab ＝1C ．6a 2+13a=2a +1D ．a （a ﹣3）＝a 2﹣3a2．（3分）（2020•宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是3，众数是2B ．众数是1，平均数是2C ．中位数是2，众数是2D ．中位数是3，平均数是2.53．（3分）（2020•宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A ．14B ．12C ．35D ．344．（3分）（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A ．135°B ．120°C ．115°D ．105°5．（3分）（2020•宁夏）如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC ＝24，点E 、F 分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．56．（3分）（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1−π4B．π−14C．2−π4D．1+π47．（3分）（2020•宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞18．（3分）（2020•宁夏）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1D．2a2+a二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：3a2﹣6a+3＝．10．（3分）（2020•宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．（3分）（2020•宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是．12．（3分）（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．13．（3分）（2020•宁夏）如图，直线y=52x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是．14．（3分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A ＝ 度．15．（3分）（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ． 16．（3分）（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 以点O 为位似中心，位似比为1：2的△A 2B 2C 2．18．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：{5−x ≥3(x −1)①2x−13−5x+12＜1②． 19．（6分）（2020•宁夏）先化简，再求值：（a+1a+2+1a−2）÷2a 2−4，其中a =√2．20．（6分）（2020•宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？21．（6分）（2020•宁夏）如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：F A ＝AB ．22．（6分）（2020•宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量/m 30≤x ＜0.10.1≤x ＜0.20.2≤x ＜0.30.3≤x ＜0.40.4≤x ＜0.5频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求BEDE．24．（8分）（2020•宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25．（10分）（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：鞋号（正整数）222324252627…脚长（毫160±2165±2170±2175±2180±2185±2…米）为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26．（10分）（2020•宁夏）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF （∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？2020年宁夏中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）（2020•宁夏）下列各式中正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a 6 B ．3ab ﹣2ab ＝1C ．6a 2+13a=2a +1D ．a （a ﹣3）＝a 2﹣3a【解答】解：A 、a 3•a 2＝a 5，所以A 错误； B 、3ab ﹣2ab ＝ab ，所以B 错误； C 、6a 2+13a=2a +13a，所以C 错误；D 、a （a ﹣3）＝a 2﹣3a ，所以D 正确； 故选：D ．2．（3分）（2020•宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是3，众数是2B ．众数是1，平均数是2C ．中位数是2，众数是2D ．中位数是3，平均数是2.5【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2； 平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2； 众数为2；故选：C ．3．（3分）（2020•宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A ．14B ．12C ．35D ．34【解答】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个， ∴能构成三角形的概率为1224=12，故选：B ．4．（3分）（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A ．135°B ．120°C ．115°D ．105°【解答】解：过点G 作HG ∥BC ，∵EF ∥BC ， ∴GH ∥BC ∥EF ，∴∠HGB ＝∠B ，∠HGE ＝∠E ，∵在Rt △DEF 和Rt △ABC 中，∠F ＝30°，∠C ＝45° ∴∠E ＝60°，∠B ＝45°∴∠HGB ＝∠B ＝45°，∠HGE ＝∠E ＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．5．（3分）（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD=√132−122=5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．6．（3分）（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1−π4B．π−14C．2−π4D．1+π4【解答】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=√2AC=√2×√2=2，∴CD=12AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF=12×√2×√2−90⋅π⋅12360＝1−π4．故选：A．7．（3分）（2020•宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．8．（3分）（2020•宁夏）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1D．2a2+a【解答】解：∵S主=a2=a⋅a，S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴S俯=a⋅(a+1)=a2+a，故选：A ．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：3a 2﹣6a +3＝ 3（a ﹣1）2 ． 【解答】解：原式＝3（a 2﹣2a +1）＝3（a ﹣1）2． 故答案为：3（a ﹣1）2．10．（3分）（2020•宁夏）若二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 k ＞﹣1 ．【解答】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点， ∴△＝4﹣4×（﹣1）•k ＞0， 解得：k ＞﹣1， 故答案为：k ＞﹣1．11．（3分）（2020•宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 23．【解答】解：列表得：4 5 6 4 9 10 5 9 11 61011共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种， ∴两次抽出数字之和为奇数的概率为46=23．故答案为：23．12．（3分）（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED ＝1寸，锯道长AB ＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 26寸．【解答】解：由题意可知OE ⊥AB ， ∵OE 为⊙O 半径，∴AD =BD =12AB =12尺＝5寸， 设半径OA ＝OE ＝r ， ∵ED ＝1， ∴OD ＝r ﹣1，则Rt △OAD 中，根据勾股定理可得：（r ﹣1）2+52＝r 2， 解得：r ＝13， ∴木材直径为26寸； 故答案为：26．13．（3分）（2020•宁夏）如图，直线y =52x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A 1O 1B ，则点A 1的坐标是 （4，125） ．【解答】解：在y =52x +4中，令x ＝0得，y ＝4， 令y ＝0，得0=52x +4，解得x =−85， ∴A （−85，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1＝90°，∴∠ABO ＝∠A 1BO 1，∠BO 1A 1＝∠AOB ＝90°，OA ＝O 1A 1=85，OB ＝O 1B ＝4， ∴∠OBO 1＝90°， ∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB ﹣OA 的长，即为4−85=125； 横坐标为O 1B ＝OB ＝4， 故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．14．（3分）（2020•宁夏）如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A ＝ 32 度．【解答】解：由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是∠ABC 的平分线， ∴AD ＝BD ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC ， ∴∠A ＝∠ABD ， ∴∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，∵∠A +∠ABC +∠C ＝180°，且∠C ＝84°， ∴∠A +2∠ABD ＝180°﹣∠C ， 即3∠A ＝180°﹣84°， ∴∠A ＝32°． 故答案为：32．15．（3分）（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 6 ． 【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b （a ，b 均为整数），依题意，得：{a ＞bb ＞4a ＜8，∵a ，b 均为整数 ∴4＜b ＜7， ∴b 最大可以取6． 故答案为：6．16．（3分）（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 27 ．【解答】解：由题意可得在图1中：a 2+b 2＝15，（b ﹣a ）2＝3， 图2中大正方形的面积为：（a +b ）2， ∵（b ﹣a ）2＝3 a 2﹣2ab +b 2＝3， ∴15﹣2ab ＝3 2ab ＝12，∴（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝15+12＝27， 故答案为：27．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C （1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；18．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：{5−x ≥3(x −1)①2x−13−5x+12＜1②．【解答】解：由①得：x ≤2， 由②得：x ＞﹣1，所以，不等式组的解集是﹣1＜x ≤2． 19．（6分）（2020•宁夏）先化简，再求值：（a+1a+2+1a−2）÷2a 2−4，其中a =√2． 【解答】解：原式=(a+1)(a−2)+a+2a 2−4⋅a 2−42=a 2−a−2+a+22 =a 22当a =√2时，原式=(√2)22=1．20．（6分）（2020•宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？【解答】解：（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：{60x +45y =114045x +30y =840，解得：{x =16y =4．答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元．（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品（600﹣m ）件， 依题意，得：16m +4（600﹣m ）≤7000， 解得：m ≤38313，又∵m 为正整数， ∴m 的最大值为383．答：A 种防疫物品最多购买383件．21．（6分）（2020•宁夏）如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：F A ＝AB ．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ，AB ∥DC ．∴∠FEA ＝∠DEC ，∠F ＝∠ECD ． 又∵EA ＝ED ， ∴△AFE ≌△DCE ． ∴AF ＝DC ． ∴AF ＝AB ．22．（6分）（2020•宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量/m 30≤x ＜0.10.1≤x ＜0.20.2≤x ＜0.30.3≤x ＜0.40.4≤x ＜0.5频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）【解答】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：120×（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），使用了节水龙头20天的日平均用水量为：120×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22（m3）；（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求BEDE．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE =CECD，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE=12∠ACB=12×60°＝30°，∴CECD=cos∠DCE＝cos30°=√32，∴BEDE =√32．24．（8分）（2020•宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y （m ）与步行时间x （min ）之间的函数关系式如图中折线段AB ﹣BC ﹣CD 所示． （1）小丽与小明出发 30 min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地． ①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义．【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min 相遇， 故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为V 1m /min ，小明步行的速度为V 2m /min ，且V 2＞V 1， 则{30V 1+30V 2=5400(67.5−30)V 1=30V 2， 解得：{V 1=80V 2=100，答：小丽步行的速度为80m /min ，小明步行的速度为100m /min ； ②设点C 的坐标为（x ，y ），则可得方程（100+80）（x ﹣30）+80（67.5﹣x ）＝5400， 解得x ＝54，y ＝（100+80）（54﹣30）＝4320m ， ∴点C （54，4320），点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．25．（10分）（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1： 鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 …脚长（毫米）160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？【解答】解：（1）a n＝21+n；[b n]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；（2）由a n＝21+n与[b n]＝5n+155解得：[b n]＝5a n+50，把a n＝42代入a n＝21+n得n＝21，所以[b21]＝5×42+50＝260，则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；（3）根据[b n]＝5n+155可知[b n]能被5整除，∵270﹣2≤271≤270+2，∴[b n]＝270，将[b n]＝270代入[b n]＝5a n+50中得a n＝44．故应购买44号的鞋．26．（10分）（2020•宁夏）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF （∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC⋅tanA=3，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x CQ=CE⋅tanE=√33(3−x)，∴AQ=AC−CQ=√3−√33(3−x)=√33x，∴AM=AQ=√33x，而MN=AM⋅sinA=12x，∴S△MAQ=12AQ⋅MN=12×√33x⋅12x=√312x2，（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x PF=BF⋅tanB=√33(3−x)，∴S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=12AC⋅BC−12AQ⋅MN−12BF⋅PF=12×3×√3−√312x2−12(3−x)√33(3−x)=−√34x2+√3x=−√34(x−2)2+√3，所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．。

2020年宁夏中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列各式中正确的是（）A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1C．＝2a+1D．a（a﹣3）＝a2﹣3a2．小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（）A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.53．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．4．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．56．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB 相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+7．如图，函数y＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞18．如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1D．2a2+a二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：3a2﹣6a+3＝．10．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是．12．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．13．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是．14．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝度．15．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为．16．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．18．解不等式组：．19．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．20．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？21．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．22．某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.40.4≤x＜0.5频数042410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．24．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25．在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：鞋号（正整数）222324252627…脚长（毫米）160±2165±2170±2175±2180±2185±2…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x 秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下列各式中正确的是（）A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1C．＝2a+1D．a（a﹣3）＝a2﹣3a【分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．解：A、a3•a2＝a5，所以A错误；B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；C、，所以C错误；D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确；故选：D．2．小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（）A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.5【分析】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2；众数为2；故选：C．3．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．【分析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为＝，故选：B．4．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°【分析】过点G作HG∥BC∥EF，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF 和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．解：过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°∴∠E＝60°，∠B＝45°∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．6．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB 相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+【分析】连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．7．如图，函数y＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1【分析】观察函数y＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x 的取值范围．解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．8．如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1D．2a2+a【分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．解：∵，∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴，故选：A．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：3a2﹣6a+3＝3（a﹣1）2．【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．故答案为：3（a﹣1）2．10．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是k＞﹣1．【分析】根据二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式△＞0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1．11．有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是．【分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．解：列表得：4564910591161011共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为．故答案为：．12．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺＝5寸，设半径OA ＝OE＝r，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．13．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（4，）．【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB﹣OA，即可得出答案．解：在中，令x＝0得，y＝4，令y＝0，得，解得x＝，∴A（，0），B（0，4），由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1＝，OB＝O1B＝4，∴∠OBO1＝90°，∴O1B∥x轴，∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4＝；横坐标为O1B＝OB＝4，故点A1的坐标是（4，），故答案为：（4，）．14．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝32度．【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得∠A＝∠ABD＝∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，∴AD＝BD，，∴∠A＝∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，且∠C＝84°，∴∠A+2∠ABD＝180°﹣∠C，即3∠A＝180°﹣84°，∴∠A＝32°．故答案为：32．15．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为6．【分析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），依题意，得：，∵a，b均为整数∴4＜b＜7，∴b最大可以取6．故答案为：6．16．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．【分析】根据题意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝32ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．【分析】（1）将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．（2）在△ABC同侧和对侧分别找到2OA＝OA2，2OB＝OB2，2OC＝OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；18．解不等式组：．【分析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．解：由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，所以，不等式组的解集是﹣1＜x≤2．19．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．解：原式＝＝＝当时，原式＝．20．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A 种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．解：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，依题意，得：，解得：．答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，解得：m≤383，又∵m为正整数，∴m的最大值为383．答：A种防疫物品最多购买383件．21．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．【分析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF＝DC，从而证明AF＝AB．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．又∵EA＝ED，∴△AFE≌△DCE．∴AF＝DC．∴AF＝AB．22．某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.40.4≤x＜0.5频数042410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）【分析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：×（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），使用了节水龙头20天的日平均用水量为：×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22（m3）；（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．【分析】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出结论；（2）连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出＝，易证∠ACB＝60°，由角平分线定义得∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，由此可得的值，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴＝，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，∴＝cos∠DCE＝cos30°＝，∴＝．24．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发30min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．【分析】（1）直接从图象获取信息即可；（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；②设点C的坐标为（x，y），根据题意列出方程解出x，再根据图象求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇，故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，则，解得：，答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；②设点C的坐标为（x，y），则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，∴点C（54，4320），点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．25．在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：鞋号（正整数）222324252627…脚长（毫米）160±2165±2170±2175±2180±2185±2…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；（2）把n用含有a n的式子表示出来，代入[b n]＝5n+155化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入[b n]＝5n+155求解即可；（3）首先计算[b n]＝270，再代入[b n]＝5a n+50求出a n的值即可．解：（1）a n＝21+n；[b n]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；（2）由a n＝21+n与[b n]＝5n+155解得：[b n]＝5a n+50，把a n＝42代入a n＝21+n得n＝21，所以[b21]＝5×42+50＝260，则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；（3）根据[b n]＝5n+155可知[b n]能被5整除，∵270﹣2≤271≤270+2，∴[b n]＝270，将[b n]＝270代入[b n]＝5a n+50中得a n＝44．故应购买44号的鞋．26．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，设CF＝x，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，∴，∴，而，∴，（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，∴＝＝，所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是．。

2020年宁夏中考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）（2020•宁夏）下列各式中正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a 6 B ．3ab ﹣2ab ＝1C ．6a 2+13a=2a +1D ．a （a ﹣3）＝a 2﹣3a2．（3分）（2020•宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是3，众数是2B ．众数是1，平均数是2C ．中位数是2，众数是2D ．中位数是3，平均数是2.53．（3分）（2020•宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A ．14B ．12C ．35D ．344．（3分）（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A ．135°B ．120°C ．115°D ．105°5．（3分）（2020•宁夏）如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC ＝24，点E 、F 分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．56．（3分）（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1−π4B．π−14C．2−π4D．1+π47．（3分）（2020•宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞18．（3分）（2020•宁夏）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1D．2a2+a二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：3a2﹣6a+3＝．10．（3分）（2020•宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．（3分）（2020•宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是．12．（3分）（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．13．（3分）（2020•宁夏）如图，直线y=52x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是．14．（3分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A ＝ 度．15．（3分）（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ． 16．（3分）（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 以点O 为位似中心，位似比为1：2的△A 2B 2C 2．18．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：{5−x ≥3(x −1)①2x−13−5x+12＜1②． 19．（6分）（2020•宁夏）先化简，再求值：（a+1a+2+1a−2）÷2a 2−4，其中a =√2．20．（6分）（2020•宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？21．（6分）（2020•宁夏）如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：F A ＝AB ．22．（6分）（2020•宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量/m 30≤x ＜0.10.1≤x ＜0.20.2≤x ＜0.30.3≤x ＜0.40.4≤x ＜0.5频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求BEDE．24．（8分）（2020•宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25．（10分）（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：鞋号（正整数）222324252627…脚长（毫160±2165±2170±2175±2180±2185±2…米）为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26．（10分）（2020•宁夏）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF （∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？2020年宁夏中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）（2020•宁夏）下列各式中正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a 6 B ．3ab ﹣2ab ＝1C ．6a 2+13a=2a +1D ．a （a ﹣3）＝a 2﹣3a【解答】解：A 、a 3•a 2＝a 5，所以A 错误； B 、3ab ﹣2ab ＝ab ，所以B 错误； C 、6a 2+13a=2a +13a，所以C 错误；D 、a （a ﹣3）＝a 2﹣3a ，所以D 正确； 故选：D ．2．（3分）（2020•宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是3，众数是2B ．众数是1，平均数是2C ．中位数是2，众数是2D ．中位数是3，平均数是2.5【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2； 平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2； 众数为2；故选：C ．3．（3分）（2020•宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A ．14B ．12C ．35D ．34【解答】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个， ∴能构成三角形的概率为1224=12，故选：B ．4．（3分）（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A ．135°B ．120°C ．115°D ．105°【解答】解：过点G 作HG ∥BC ，∵EF ∥BC ， ∴GH ∥BC ∥EF ，∴∠HGB ＝∠B ，∠HGE ＝∠E ，∵在Rt △DEF 和Rt △ABC 中，∠F ＝30°，∠C ＝45° ∴∠E ＝60°，∠B ＝45°∴∠HGB ＝∠B ＝45°，∠HGE ＝∠E ＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．5．（3分）（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD=√132−122=5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．6．（3分）（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1−π4B．π−14C．2−π4D．1+π4【解答】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=√2AC=√2×√2=2，∴CD=12AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF=12×√2×√2−90⋅π⋅12360＝1−π4．故选：A．7．（3分）（2020•宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．8．（3分）（2020•宁夏）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1D．2a2+a【解答】解：∵S主=a2=a⋅a，S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴S俯=a⋅(a+1)=a2+a，故选：A ．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：3a 2﹣6a +3＝ 3（a ﹣1）2 ． 【解答】解：原式＝3（a 2﹣2a +1）＝3（a ﹣1）2． 故答案为：3（a ﹣1）2．10．（3分）（2020•宁夏）若二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 k ＞﹣1 ．【解答】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点， ∴△＝4﹣4×（﹣1）•k ＞0， 解得：k ＞﹣1， 故答案为：k ＞﹣1．11．（3分）（2020•宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 23．【解答】解：列表得：4 5 6 4 9 10 5 9 11 61011共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种， ∴两次抽出数字之和为奇数的概率为46=23．故答案为：23．12．（3分）（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED ＝1寸，锯道长AB ＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 26寸．【解答】解：由题意可知OE ⊥AB ， ∵OE 为⊙O 半径，∴AD =BD =12AB =12尺＝5寸， 设半径OA ＝OE ＝r ， ∵ED ＝1， ∴OD ＝r ﹣1，则Rt △OAD 中，根据勾股定理可得：（r ﹣1）2+52＝r 2， 解得：r ＝13， ∴木材直径为26寸； 故答案为：26．13．（3分）（2020•宁夏）如图，直线y =52x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A 1O 1B ，则点A 1的坐标是 （4，125） ．【解答】解：在y =52x +4中，令x ＝0得，y ＝4， 令y ＝0，得0=52x +4，解得x =−85， ∴A （−85，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1＝90°，∴∠ABO ＝∠A 1BO 1，∠BO 1A 1＝∠AOB ＝90°，OA ＝O 1A 1=85，OB ＝O 1B ＝4， ∴∠OBO 1＝90°， ∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB ﹣OA 的长，即为4−85=125； 横坐标为O 1B ＝OB ＝4， 故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．14．（3分）（2020•宁夏）如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A ＝ 32 度．【解答】解：由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是∠ABC 的平分线， ∴AD ＝BD ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC ， ∴∠A ＝∠ABD ， ∴∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，∵∠A +∠ABC +∠C ＝180°，且∠C ＝84°， ∴∠A +2∠ABD ＝180°﹣∠C ， 即3∠A ＝180°﹣84°， ∴∠A ＝32°． 故答案为：32．15．（3分）（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 6 ． 【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b （a ，b 均为整数），依题意，得：{a ＞bb ＞4a ＜8，∵a ，b 均为整数 ∴4＜b ＜7， ∴b 最大可以取6． 故答案为：6．16．（3分）（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 27 ．【解答】解：由题意可得在图1中：a 2+b 2＝15，（b ﹣a ）2＝3， 图2中大正方形的面积为：（a +b ）2， ∵（b ﹣a ）2＝3 a 2﹣2ab +b 2＝3， ∴15﹣2ab ＝3 2ab ＝12，∴（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝15+12＝27， 故答案为：27．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C （1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；18．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：{5−x ≥3(x −1)①2x−13−5x+12＜1②．【解答】解：由①得：x ≤2， 由②得：x ＞﹣1，所以，不等式组的解集是﹣1＜x ≤2． 19．（6分）（2020•宁夏）先化简，再求值：（a+1a+2+1a−2）÷2a 2−4，其中a =√2． 【解答】解：原式=(a+1)(a−2)+a+2a 2−4⋅a 2−42=a 2−a−2+a+22 =a 22当a =√2时，原式=(√2)22=1．20．（6分）（2020•宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？【解答】解：（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：{60x +45y =114045x +30y =840，解得：{x =16y =4．答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元．（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品（600﹣m ）件， 依题意，得：16m +4（600﹣m ）≤7000， 解得：m ≤38313，又∵m 为正整数， ∴m 的最大值为383．答：A 种防疫物品最多购买383件．21．（6分）（2020•宁夏）如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：F A ＝AB ．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ，AB ∥DC ．∴∠FEA ＝∠DEC ，∠F ＝∠ECD ． 又∵EA ＝ED ， ∴△AFE ≌△DCE ． ∴AF ＝DC ． ∴AF ＝AB ．22．（6分）（2020•宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量/m 30≤x ＜0.10.1≤x ＜0.20.2≤x ＜0.30.3≤x ＜0.40.4≤x ＜0.5频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）【解答】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：120×（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），使用了节水龙头20天的日平均用水量为：120×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22（m3）；（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求BEDE．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE =CECD，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE=12∠ACB=12×60°＝30°，∴CECD=cos∠DCE＝cos30°=√32，∴BEDE =√32．24．（8分）（2020•宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y （m ）与步行时间x （min ）之间的函数关系式如图中折线段AB ﹣BC ﹣CD 所示． （1）小丽与小明出发 30 min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地． ①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义．【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min 相遇， 故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为V 1m /min ，小明步行的速度为V 2m /min ，且V 2＞V 1， 则{30V 1+30V 2=5400(67.5−30)V 1=30V 2， 解得：{V 1=80V 2=100，答：小丽步行的速度为80m /min ，小明步行的速度为100m /min ； ②设点C 的坐标为（x ，y ），则可得方程（100+80）（x ﹣30）+80（67.5﹣x ）＝5400， 解得x ＝54，y ＝（100+80）（54﹣30）＝4320m ， ∴点C （54，4320），点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．25．（10分）（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1： 鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 …脚长（毫米）160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？【解答】解：（1）a n＝21+n；[b n]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；（2）由a n＝21+n与[b n]＝5n+155解得：[b n]＝5a n+50，把a n＝42代入a n＝21+n得n＝21，所以[b21]＝5×42+50＝260，则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；（3）根据[b n]＝5n+155可知[b n]能被5整除，∵270﹣2≤271≤270+2，∴[b n]＝270，将[b n]＝270代入[b n]＝5a n+50中得a n＝44．故应购买44号的鞋．26．（10分）（2020•宁夏）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF （∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC⋅tanA=3，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x CQ=CE⋅tanE=√33(3−x)，∴AQ=AC−CQ=√3−√33(3−x)=√33x，∴AM=AQ=√33x，而MN=AM⋅sinA=12x，∴S△MAQ=12AQ⋅MN=12×√33x⋅12x=√312x2，（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x PF=BF⋅tanB=√33(3−x)，∴S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=12AC⋅BC−12AQ⋅MN−12BF⋅PF=12×3×√3−√312x2−12(3−x)√33(3−x)=−√34x2+√3x=−√34(x−2)2+√3，所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．。