高中数学课件：算法初步

4．(2020·洛阳第一次联考)执行如图所示的程序
框图，若输入 m＝209，n＝121，则输出的 m
的值为
()
A．0 C．22
B.11 D．88
解析：当 m＝209，n＝121 时，m 除以 n 的余数 r＝88，此时 m ＝121，n＝88，m 除以 n 的余数 r＝33，此时 m＝88，n＝33，m 除以 n 的余数 r＝22，此时 m＝33，n＝22，m 除以 n 的余数 r ＝11，此时 m＝22，n＝11，m 除以 n 的余数 r＝0，此时 m＝11， n＝0，退出循环，输出 m 的值为 11，故选 B. 答案：B
二、易错对对碰
(规避易错：程序框图中输入、输出的易错点)
1．当 m＝7，n＝3 时，执行如图所示的程序框图，
输出的 S 的值为
()
A．7
B.42
C．210
D．840
解析： m＝7，n＝3，k＝7，S＝1，不满足 k<m－n＋1；S＝1×7 ＝7，k＝6，不满足 k<m－n＋1；S＝7×6＝42，k＝5，不满足 k<m－n＋1；S＝42×5＝210，k＝4，满足 k<m－n＋1，退出循 环，输出的 S 的值为 210. 答案：C
2．一算法的程序框图如图所示，若输出的 y＝12，则输入的 x 的
值可能为
()
A．－1 C．1
B.0 D．5
解析：由程序框图知 y＝sinπ6x，x≤2， 当 x>2 时，令 y＝2x 2x，x>2.
＝12，解得 x＝－1(舍去)；当 x≤2 时，令 y＝sinπ6x＝12，解得 x ＝12k＋1(k∈Z)或 x＝12k＋5(k∈Z)，当 k＝0 时，x＝1 或 x＝5(舍 去)，所以输入的 x 的值可能是 1. 答案：C
故应填 i≤2 020?
答案：A
[求同存异]
异 此两题都是完善程序框图的问题，第 1 题给出输 同 出的值 S＝4，确定判断框中的条件．第 2 题明 点 确了此程序框图的功能，完善判断框的内容 微 解决此类问题一是先假定空白处填写的条件，正 点 面执行来检验填写的是否正确；二是根据结果回 拨 溯，直至确定填写的条件是什么
[一“点”就过] 输入、输出问题的解题思路
[提醒] (1)几个常用变量：①计数变量，如 i＝i＋1； ②累加变量，如 S＝S＋i；③累乘变量，如 p＝p×i. (2)当型循环与直到型循环的区别．
考点二 程序框图的补充完善问题(基础之翼练牢固) [题组练通]
1．(2020·武汉调研)执行如图所示的程序框图，
时 k＝15＋1＝16，循环终止．所以判断框中应
填入的条件是 k<16，故选 C.
答案：C
2．如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋2 0120的值的

程序框图，其中判断框应填入的是 ( )
A．i≤2 020?
B.i>2 020?
C．i≤1 010?
D．i>1 010?
解析：依题意，i＝2 022 时，终止循环，
A．10
B.17
C．19
D．36
解析：由程序框图可知：k＝2，S＝0；S＝2，k
＝3；S＝5，k＝5；S＝10，k＝9；S＝19，k＝17，
此时 k<10 不成立，故退出循环，输出 S＝19.
答案：C
()
2．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时， 输入的实数 x 的值为________． 解析：当 x≤0 时，12x－8＝0，x＝－3；当 x>0 时，2－log3x＝0，x＝9.故 x＝－3 或 x＝9. 答案：－3 或 9
－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白
框中应填入
()
A．i＝i＋1 C．i＝i＋3
B.i＝i＋2 D．i＝i＋4
解 析 ： 由 题 意 可 将 S 变 形 为 S ＝ 1＋13＋…＋919 － 12＋14＋…＋1100，则由 S＝N－T，得 N＝1＋13＋…＋919，T＝12＋ 14＋…＋1100.据此，结合 N＝N＋1i ，T＝T＋i＋1 1易知在空白框中 应填入 i＝i＋2.故选 B. 答案：B
3．定义[x]为不超过 x 的最大整数，例如[1.3]＝1.执行如图所示 的程序框图，当输入的 x 为 4.7 时，输出的 y 值为 ( )
A．7 C．10.2
B.8.6 D．11.8
解析：当输入的 x 为 4.7 时，执行程序框图可知，4.7－[4.7]＝0.7， 即 4.7－[4.7]不等于 0，因而可得 y＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2， 输出的 y 值为 10.2. 答案：C
[过关集训]
1.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆
周率 π 进行了估算．如图所示的程序框图的算
法思路来源于德国数学家莱布尼茨给出的计算
圆周率 π 的近似值的方法，执行该程序框图，
输出的 S 的值为
()
A．4
8 B.3
52
304
C.15
D.105
解析： k＝0 时，S＝4； k＝1 时，S＝4－43＝83； k＝2 时，S＝83＋45＝5125； k＝3 时，S＝5125－47＝310045. k＝4 时，退出循环体，输出的 S 的值为310045.故选 D. 答案：D
考点一 程序框图的输入、输出问题(基础之翼练牢固) [题组练通]
1．执行如图所示的程序框图，如果输出 S＝49，则输入的 n 等于
A．3
B.4
()
C．5
D．6
解析：该程序框图表示的是求一个数列{an}的 前 n 项和，an＝2n－112n＋1，所以 Sn＝12 1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1＝2nn＋1.因 为2nn＋1＝49，所以 n＝4.故选 B. 答案：B
如果输入的 a 依次为 2,2,5 时，输出的 s 为 17，
那么在判断框中可以填入
()
A．k<n？
B.k>n?
C．k≥n?
D．k≤n?
解析：执行程序框图，输入的 a＝2，s＝0×2＋2＝
2，k＝1；输入的 a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输
入的 a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，此时结束循环， 又 n＝2，所以判断框中可以填“k>n？”，故选 B. 答案：B
[一“点”就过] 补充完善程序框图的方法 (1)假设参数满足判断条件，执行循环体； (2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相 同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
考点三 程序框图与其他知识交汇(创新之翼准辨析) 考法(一) 与数学文化融合 [例 1] (2020·武汉联考)秦九韶是我国南宋时期 的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的求多项 式的值的“秦九韶算法”至今仍是比较先进的算 法．如图所示的程序框图的算法思路来源于“秦九韶 算法”．若输入 n，x 的值分别为 5,2，则输出的 v 的值是________．
高中数学课件： 算法初步
一、“基础知识”掌握牢 1．算法 (1)算法通常是指按照 一定规则解决某一类问题的 明确和 有限
的步骤． (2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决
问题． 2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框 、流程线及文字说明 来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
名称
定义
由若干个依次执行的步骤
顺序 组成，这是任何一个算法
结构
都离不开的 基本结构
算法的流程根据条件是否 条件 成立 有不同的流向，条件
结构 结构就是处理这种过程的 结构 从某处开始，按照一定的
循环 条件 反复执行 某些步骤 结构 的情况，反复执行的步骤
称为循环体
程序框图
二、“基本技能”运用好 1．通过对程序框图的输入，输出值的计算，提高学生的运算求
四、“基本活动体验”不可少 我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今 有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一， 后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？” 如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框 图，若输出的 S＝1.5(单位：升)，则输入 k 的值 为多少？ 解：由程序框图知 S＝k－k2－2×k 3－3×k 4＝1.5，解得 k＝6.
2．(2020·长沙模拟)如图，给出的是计算 1＋14＋17＋…＋1010的值
的一个程序框图，则图中判断框内的(1)处和执行框中的(2)
处应填的语句是
()
A．i>100，n＝n＋1
B．i<34，n＝n＋3
C．i>34，n＝n＋3
D．i>33，n＝n＋1
解析：算法的功能是计算 1＋14＋17＋…＋1100的值，易知 1,4,7，…， 100 成等差数列，公差为 3，所以执行框中的(2)处应为 n＝n＋3， 令 1＋(i－1)×3＝100，解得 i＝34，所以终止程序运行的 i 值为 35，所以判断框内的(1)处应为 i>34，故选 C. 答案：C
解能力． 2．通过对程序框图的补充和完善，提高学生的逻辑推理能力．
1．执行如图所示的程序框图，若输入 x＝2，则输出的 y 值为( )
A．0
B.1
C．2
解析：∵2>0，∴y＝2×2－3＝1. 答案：B
D．3
2．执行如图所示的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的
y 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为
[答案] C
考法(三) 与指数、对数交汇 [例 3] 在如图所示的程序框图中，e 是自然 对数的底数，则输出的 i 的值是________．(参考 数值：ln 2 020≈7.611) [解析] 因为 ln 2 020≈7.611， 所以 e7<2 020，e8>2 020， 所以当 i＝7 时，不符合 a≥2 020； 当 i＝8 时，符合 a≥2 020. 故输出的 i 的值是 8. [答案] 8
()
A．x>3? C．x≤4?
B.x>4? D．x≤5?
解析：∵log24＝2,4＋2＝6， ∴当 x＝4 时，应执行否． 结合选项知选 B.
答案：B
三、“基本思想”很重要 1.利用分类讨论的思想求解程序框图中的判断问题. 2.利用转化思想求解程序框图中的输入、输出结果.
1.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为
一、姊妹比比看(突破微点：程序框图的填充问题)
1．若执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 4，则
判断框中应填入的条件是
()
A．k<18
B.k<17
C．k<16
D．k<15
解析：由程序框图，得 S＝1·log23·log34·log45
·…·logk(k＋1)＝log2(k＋1)＝4，解得 k＝15，此
考法(二) 与数列交汇 [例 2] 执行如图所示的程序框图，则输出的 k＝ ( )
A．7
B.8
C．9
D．10
[解析] 由程序框图可知，当 k＝1 时，s＝1×1 2，当 k＝2 时， s＝1×1 2＋2×1 3，当 k＝n 时，s＝1×1 2＋2×1 3＋…＋nn1＋1＝ 1－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1，由 1－n＋1 1≥190⇒ n≥9，即当 k＝9 时，s＝190.故选 C.
2．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为－4 时，条件框内
应填写
()
A．i>3?
B.i<5?
C．i>4?
D．i<4?
解析：由程序框图可知，S＝10，i＝1；S
＝8，i＝2；S＝4，i＝3；S＝－4，i＝4.由
于输出的 S＝－4，故应跳出循环，选 D.
答案：D
3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－12＋13－14＋…＋919
[抓特征] 本题是借助数学文化考查循环结构形式的程序 框图，把握图中的“数据特征”，由 v＝1，i＝4 开始依次代入 计算，直到 i＝－1.
[解析] 初始值 n＝5，x＝2，程序运行过程如下： v＝1，i＝4≥0； v＝1×2＋4＝6，i＝3≥0； v＝6×2＋3＝15，i＝2≥0； v＝15×2＋2＝32，i＝1≥0； v＝32×2＋1＝65，i＝0≥0； v＝65×2＋0＝130，i＝－1<0，退出循环体． 故输出的 v 的值是 130. [答案] 130
故选 B.
[答案] B
[解题方略] 解决算法的交汇性问题的方法
循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高 考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值， 即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中 关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结 束的条件，注意条件与流程线的对应关系．
考法(四) 新定义型问题
[例 4] (2020·绍兴模拟)对任意非零实数 a，b，a⊗b 的运算
规则在如图所示的程序框图中显示，则－log218⊗sin 210°＝
A．8
B.－8
()
1 C.2
D．－12
[解析] 因为－log218＝3，sin 210°＝－12，
所以－log218⊗sin 210°＝3⊗－12＝3－＋121＝－8.