量子力学知识点总结

~ 1 Eh El c hc
~

1 R( n2

1 m2 )
里德伯常数：
R

mee4
8
2 0
h3c

1.097373

107
m
1
3、 四个量子数：描述原子中电子的量子态。
（1） 主量子数 n 1,2,3,4, ，它大体上决定原子
中电子的能量。
En


me4
(4 0 )2
22
1 n2


me4
8 02h2
1 n2
（2） 轨道量子数（角量子数） l 0,1,2, ,n 1
它决定电子绕核运动的角动量的大小，影响原子在外 磁场中的能量。一般来说，处于同一主量子数n，而不
同角量子数 l 的状态中的电子，其能量也稍有不同。
L l(l 1)
（3） 磁量子数 ml 0,1,2, ,l
5、能量最小原理： 原子处于正常状态时，其中电子都要占据最低能级。
1. 在光电效应实验中，测得某金属的截止电压Uc和入 射光频率的对应数据如下：
Uc[V] 0.541 0.637 0.714 0.800 0.878 1014Hz 5.664 5.888 6.098 6.303 6.501
试用作图法求： (1)该金属光电效应的红限频率； 1.0
a

1

a / 2
a
2
得 A 2
a
因此，归一化的波函数为



x


2 cos x , aa
0,
当 xa
当
x


a
,
2
x
a
22
归一化之后， x2 就代表概率密度了，即
W
x


x
2


2 a
cos2
x a
,
0,
概率最大处:
当 xa
当
x


a
,
2
x

3
3.142

6.02 1023 0.023

2/3
971
1.60
1 1019
5.43eV
13.6
1 n2
,
n 1,2,3,
式中玻尔半径
a0

4 02
me 2

0.0529 nm
2、氢原子光谱 : 氢原子可以发生能级间跃迁， 同时
发射或吸收光子，光子的频率符合玻尔频率条件
h

En Em
13.6
1 n2
1 m2
eV
巴尔末公式：
波数：单位长度包 含的完整波的数目
4E1
n=2 无限深方势阱内粒子的
能级、波函数和概率密度
E1
n=1
-a/2
o
a/2 x
4. 氢原子的直径约 10-10m，求原子中电子速度的不确 定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运 动，它的速度是多少？结果说明什么问题？
解：由不确定关系 px mvx / 2 估计，有
Uc[V]
(2) 由图求得直线的斜率为 0.5
K 3.911015[V s]

1 2
mv
2 m

eUc

eKv

eU0

对比上式与
1 2
mv
2 m

hv

A
0.0
4.0
5.0
6.0
1014Hz
图 Uc和 的关系曲线
有 h eK 6.261034[J s]
德布罗意 波波长量子化: 类似经典的驻波。
n

2a
/
n

2
k
3.谐振子
能量量子化: 零点能:
En

(n

1)h
2
E0

1 2
h
(n 0,1,2, )
原子中的电子小结 Summary and revision
1、能量量子化：氢原子能量取离散值
En


e2
2(4 0 )a0
1 n2

是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运
动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一
激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？
解：在势阱中粒子德布罗意波长为
λ 2a n, n 1,2,3,
粒子的动量为： pn h λn hn 2a πhn a
粒子的能量为：
En

v

2mx

1.05 1034 2 9.1 1031 1010

0.6106 m/s
按经典力学计算
v2 m
r

k
e2 r2
v
ke2 mr
9109 (1.6 1019 )2 9.11031 0.5 1010
2.2106m/s
速度与其不确定度 同数量级。可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象。
精确值为 h 6.631034[J s]
2. 一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端
固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意
波的半波长的整数倍。
(1) 试由此求出粒子能量的本征值为：En

π 22 2ma 2
n2
(2) 在核(线度1.0×10-14m)内的质子和中子可以当成
二者通过普朗克常数相联系。
四、粒子的波动性
德布罗意假设： 实物粒子的波长
h h
p mv
与粒子相联系的波称为概率波,或德布罗意波
五、概率波与概率幅
德 的平布方罗意r波,t是2 概率r,t波*,
本身无物理意义，但波函数模

r ,t

代表时刻
t，在空间
r点
从第一激发态转变到基态所放出的能量为：
n=3
E2 E1 13.21013 3.31013[J]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n=2
9.91013[J] 6.2[MeV]
n=1
讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般 就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。
3. 设粒子处于由下面波函数描述的状态：
EF E0 A 0 2.30 2.30eV
从图13-6可以看出，自由电子气模型能够很好地描述 钠金属的能带结构，利用该模型，有
EF

Eb

(3
)2 2/ 3
2 2m
n2/3
所以导带底能量为
Eb

EF

2 2m

3
2NA
M
2/3

2.30

(1.051034 )2 2 9.111031
决定电子绕核运动的角动量在外磁场中的（2l+1）种
空间指向。影响原子在外磁场中的能量。 LZ ml
（4） 自旋磁量子数
ms


1 2
决定电子自旋角动量在外磁场中的两种指向，也影响
原子在外磁场中的能量。
基态原子的电子排布由以下两个原理决定：
4、泡利不相容原理
不能有两个或两个以上的电子具有相同的四个 量子数 n, l, ml , ms .
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？
(2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？
(3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角 动量。
答：(1) 4 个量子数包括： ➢ 主量子数 n， n = 1, 2, 3,… ➢ 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 ➢ 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l ➢ 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
pn2 2m

22 2ma 2
n2
n= 1,2,3…
(2) 由上式，质子的基态能量为(n=1):
E1

π 22 2m pa2

π2 1.051034 2 21.67 1027 1.01014
2
3.31013[J]
第一激发态的能量为： E2 4E1 13.21013[J]
t
总波函数：
i Et
( x, y, z,t) y ( x, y, z)e
波函数的归一化和标准条件：单值、有限，连续
2.一维无限深势阱中的粒子
能量量子化：
En

22
2ma2
n2 ,
n 1,2,3,
在势阱内概率密度分布不均匀,随x改变,且与n有关。
但经典粒子在各点出现的概率是相同的。
(2) n = 2
l= 0 (s)
ml = 0 ml = -1
ms = 1/2
ms = 1/2
2n2 = 8 个
l= 1
ml = 0 ms = 1/2 量子态
(p)
ml = 1 ms = 1/2
(3) 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态 内填充 1 个电子，得 P 的电子排布 1s22s22p63s23p3，
1s, 2s, 3s 电子轨道角动量为 l(l 1) 0(01) 0
2p, 3p 电子轨道角动量为 l(l 1) 1(11) 2
在 z 方向的投影可以为 ml , 0,
6. 固体物理经常取自由运动电子的能量为正值，被束 缚于金属中的电子的能量为负值，而刚好逸出金属的 静止电子的能量为零（该能级叫做真空能级）。在这 种情况下，利用下列数据计算钠金属的费米能量和导 带底能量。 (1) 用波长为 300nm 的单色光照射钠金属，发出光电 子的最大初动能为1.84eV； (2)密度971kg/m3，摩尔质量23.0g/mol。

x


A cos
x a
,
0,
当 xa
2
当 xa,x a
22
A是正的常数。求粒子在x轴上分布的概率密度;
粒子在何处出现的概率最大?
解：首先把给定的波函数归一化 x 2 dx 1
做积分
x 2dx A2
a/
2
cos2
x
dx

A2
解 单色光照射钠金属，发生光电
效应，利用数据，可求出逸出功
A

h

1 2
mv
2 m

hc


1 2
mv
2 m
E0=0 EF

6.631034 3108 300109 1.6 1019
1.84

2.30eV
Eb
真空能级
A
导带底
金属中活跃的电子是费米能级附近的电子，逸出功就 是电子从费米能级跃迁至真空能级所吸收的能量，因 此费米能量为
波粒二象性小结
(Summary and revision)
一、普朗克量子假设：
谐振子能量为： En nh n 1.2.3
二、光电效应，爱因斯坦光子理论
爱因斯坦认为：光不仅在发射和吸收时具有粒子性， 在空间传播时也具有粒子性，即一束光是一粒粒以光 速c运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。
Uc[V]
(2)普朗克常量。
0.5
解：以频率为横轴,以截止电
压Uc为纵轴，画出曲线如图所
示( 注意: Uc 0 )。
0.0
4.0
5.0
6.0
1014Hz
图 Uc和 的关系曲线
(1) 曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率， 由图上读出的红限频率
0 4.27 1014[Hz]
1.0
1、光子的能量：
h
2、光子的动量：
p h
3、爱因斯坦光电效应方程

1 2
mV
2 m

h
A
4、光电效应的红限频率
三、光的波粒二象性
0

A h
5、康普顿效应
光既具有波动性，也具有粒子性。
光的粒子性：
h 光的波动性：
用光子的质量、 能量和动量描述，
p h

用光波的波长 和频率描述，
a
22
dW 2
x x 2 2x
dx
2 cos a
a
sin
a
a
a2 sin
a
0
即 x=0
a x
2
讨论：波函数本身无物理意义, “测不到，看不见”， 是一个很抽象的概念，但是它的模的平方给我们展示 了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。
E
9E1
n=3
En
ψn
|ψn|2
Eˆ i 哈密顿算符 t
pˆ x

i
Hˆ

x
2
xˆ x 2 U
定态薛定谔方程（一维）
条件：U=U(x,y,z)

不随时间变化。
2 2m
2m 2Ψ x2 U( x)Ψ

i Ψ t
一般薛定谔方程（三维） 2 2 U i
2m
处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。
因此波函数 y 又叫概率幅。
六、不确定关系
位置动量不确定关系： xpx / 2 能量时间不确定关系： Et / 2
薛定谔方程小结 （Summary and revision)
1、薛定谔得出的波动方程
定义: 能量算符,动量算符和坐标算符