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第17讲 定积分及简单应用

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定积分的简单应用 课件

定积分的简单应用 课件

导数与函数的极值、最值
从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是 导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形 式考查，难度相对较大．
1．导数与函数单调性、极值的关系 (1)f′(x)>0 在(a，b)上成立，是 f(x)在(a，b)上单调递增的 充分不必要条件． (2)对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有 极值的必要不充分条件． 2．利用导数求函数极值应注意三点 (1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的 原则； (2)f′(x0)＝0 时，x0 不一定是极值点； (3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确 定时应分类讨论．
导数的概念及几何意义的应用
(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内 容，各种题型均有可能出现，一般难度较小．
(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的 点是不是切点．
(1)已知切点 A(x0，f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值： k＝f′(x0)；
(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k； (3)已知过某点 M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时， 常需设出切点 A(x0，f(x0))，利用 k＝fxx11－－fx0x0求解．
[答案] 1
导数与函数的单调性
题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、 填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题 形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单 调区间、证明或判断函数的单调性等问题。
函数的单调性与导函数值的关系 若函数 f(x)在(a，b)内可导，则 f′(x)在(a，b)任意子区间内 部不恒等于 0. f′(x)＞0⇒函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)＜0⇒函数 f(x)在(a，b)上单调递减． 反之，函数 f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数 f(x)在 (a，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即 f′(x)＞0(f′(x)＜0)是 f(x)为增 (减)函数的充分不必要条件． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开， 绝对不能用“∪”连接．

注电考试最新版教材-第17讲 数学：积分学(六)

注电考试最新版教材-第17讲 数学：积分学(六)

平面曲线积分的计算法 1 第一类曲线积分的计算法设 f ( x ，y)在曲线弧L 上连续，L 的参数方程为在［a ，β］上具有一阶连续导数，且如果曲线 L 由方程y =y (x) ( a ≤x ≤b ）给出，则有如果曲线由方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）给出，则有2 第二类曲线积分的计算法设函数P （x ， y ) , Q ( x ，y)在有向曲线弧 L 上连续, L 的参数方程为()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩.当t 单调地由a 变到β时，点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B ，(),()t t ϕψ在［ a ，β］或 [ β,α]上具有一阶连续导数，如果有向曲线 L 由方程 y = y (x ）给出（x ： a → b ) ，则有格林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P （ x ，y ）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。

上述公式称格林公式。

这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。

（四）例题【例 1- 3 - 22 】计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度μ＝ 1 ）。

【解】取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则L 的参数方程为于是例题2计算Ly2dx，其中L是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ）。

【解】 L 是参数方程为当参数θ从 0 变到π的曲线弧。

因此．积分的应用（一）定积分的应用1 ．几何应用（ 1 ）平面图形的面积1 ）直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) ≥g （ x ) ）和直线 x = a 、x = b所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积。

应用数学基础下课件第十七章定积分的应用

应用数学基础下课件第十七章定积分的应用

P(h, r)的直线方程为
y
r h
x
此圆锥体可看作由直线y
r h
x, x
0, x
h及x轴所围成的直角
三角形绕x轴旋转围成的.由旋转体体积的计算公式,得所求圆锥
体的体积
V
h
0
r h
2
x
dx
r2
h2
x3 3
h
0
1 r2h
3
三、求平面曲线弧长
现在来计算曲线y f (x)上相应于x从a到b的一段弧的长度.
0
0
R R2
x2
dx
4R arcsin
x R R 0
2 R
例9
求星形
x y
a cos2 a sin3
t t
,
(a
0)的全长(见图17
15).
解 由于星形线关于两个坐标轴对称,所以所求曲线的长度是
该曲线在第一象限内曲线长的4倍.取t为积分变量.
dx 3a cos2 t sin t dt
dy 3asin2 t cost dt
式中, y(t) 0;与分别为曲边左,右端所对应的参数值.
2.在极坐标系下的面积计算
设曲线的方程由极坐标给出:r r( ), , 求曲线
r r( ),半直线 , 所围成的曲边扇形的面积(见图
17-8 )
利用微元法,取极角为积分变量,变化区间为, ,在任
意子区, +d 上,曲边扇形面积的部分量可用处的极径r
区间为-2,2,其面积微元为dA
y 4 y 4 x2
(4 x2 )dx故所求图形面积为
A
2
(4 x2 )dx 2
2 (4 x2 )dx 32

21-17定积分的简单应用

21-17定积分的简单应用

1.7.1定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究.课时分配本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题教学目标重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值.难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数知识点：应用定积分解决平面图形的面积.能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法.教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法.考试点：应用定积分解决平面图形的面积.易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数拓展点：链接咼考.教具准备实物投影机和粉笔.课堂模式基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近）2、定积分的几何意义是什么？o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积sin xdx = -cosx=f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数3、微积分基本定理是什么？【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，同时加深理解二、探究新知㈠利用定积分求平面图形的面积例1 •计算由两条抛物线 y2= x 和y = X 2所围成的图形的面积.分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到解：由y =x =0及x =1，得两曲线的交点为（0,0） >（1,1）,y =x 2面积 S = ° xdx - o x2dx ,所以S= 01（匚/*知2<0已总结：在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1. 作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积; 练习：计算由曲线 y =x3-6x 和y =x 2所围成的图形的面积例2 •计算由直线y =x -4，曲线莎 以及x 轴所围图形的面积 S .分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题•与例 1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S ,和•为了确定出被积函数和积分的上下限，需要求出直线 y =x -4与曲线y 二2x 的交点的横坐标，直线 y =x -4与x 轴的交点.解法一：作出直线 y = x-4，曲线y 「.丟 的草图，所求面积为图中阴 影部分的面积. 解方程组y = 2x,得直线y=x-4与曲线y 「2x 的交点的坐标为 y = x _4(8,4)4.微积分基本定理求定积分若对称则面积为直线y =x _4与x 轴的交点为（4,0）.4--- 8---- 8因此，所求图形的面积为 S =3 • S 2 2xdx • [ 4.2xdx - 4 (x -4)dx]272 号 8 64。

高考数学第1轮总复习 第17讲 定积分及简单应用课件 理 (广东专)

高考数学第1轮总复习 第17讲 定积分及简单应用课件 理 (广东专)

二 定积分的简单应用
【例 2】(1)下图中，阴影部分的面积是( )
A．16 C．20
B．18 D．22
素材2
(1)由曲线 y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围成图形的面积
是( )
A．2
B．3
5 C.2
D．4
(2)作变速直线运动的质点，其速度(单位：m/s)与时间(单
位：s)的关系式为 v(t)＝t2－4t＋3，则该质点在时间段[0,4]上
2定积分的几何意义：
ⅰ( )当 函 数 f x 在 区 间[a， b ]上 恒
为 正 时 ， 定 积 分 b a
f x dx的 几 何
意义是由曲线②
和直线
③
所围成的曲边
梯 形 的 面 积 (如 图 中 阴 影 部 分 )．
(ⅱ )一
ห้องสมุดไป่ตู้
般
情
况
下
定
积
分
b
a
f
x
dx
的 几 何 意 义 是 介 于 x轴 ， 函 数
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
5.如图，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y
＝sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC
内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，
则所投点落在阴影部分的概率是( )
1
2
A.π
B.π
C.π4
当函数f x的图象在x轴上方和下方都有时，
b
a
f
x dx表示界于x轴、
曲线y f x以及直线
x a，x b之间各部分

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?

《定积分及其应用》课件

《定积分及其应用》课件
在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积， 我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的 价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS

定积分及其应用高数(共68张PPT)

定积分及其应用高数(共68张PPT)
例2 计算广义积分
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx

高中数学1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2_2

高中数学1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2_2
1 3 1 3 2 2 2π 4
= .
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
解:画出草图,如图所示.
x + y = 2, y = x, y = x, 解方程组 1 1 及 y = - 3 x, x + y = 2, y = - x 3 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以 S=
������(x)dx.
②如图 b,f(x)<0, ∴S=
������ a
������ a
������(x)dx < 0, =−
������ a
f (x)dx
������(x)dx.
③如图 c,当 a≤x<c 时,f(x)<0,
c a
������(x)dx < 0;
c 当 c<x≤b 时,f(x)>0,
1 0
x- - x
1
3 1 1 = x + x dx + 2-x + x dx 3 3 0 1 2 3 1 2 1 1 1 3 = x 2 + x |0 + 2x- x 2 + x 2 |1 3 6 2 6 2 1 1 2 3 = + + 2x- x |1 3 6 3 5 1 1 13 = +6− × 9−2+ = . 6 3 3 6
������(x)dx −
������ a
������(x)dx.
1.几种典型的平面图形面积的计算 剖析:(1)求由曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成的 平面图形的面积 S. ������ ①如图 a,f(x)>0, a ������(x)dx > 0,

定积分的简单应用 课件

定积分的简单应用 课件

a
●[例1] 如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
●[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯 形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积．为 了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛物线的交点 的横坐标．
[解析] 由方程组yy＝＝2x2x，， 可得 x1＝0，x2＝2. 故所求图形的面积为
S＝22xdx－2x2dx＝x220
－13x320
＝43.
0
0
[例 2] 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图 形的面积．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①曲线 y＝ x，直线 y＝2－x，y＝－13x； ②曲线与直线相交． 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积 分区间，然后分段利用公式求解．
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝(4t2－23t3)|40－(4t2－23t3)|64＝1238.
当t＝6时，点P的位移为6(8t－2t2)dt 0
＝(4t2－23t3)|60＝0.
(2)依题意t (8t－2t2)dt＝0， 0
即4t2－23t3＝0， 解得t＝0或t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况， t＝6是所求的值．
所以 S＝0－1[(2－y)－(－3y)]dy＋1[(2－y)－y2]dy 0
＝0－1(2＋2y)dy＋1(2－y－y2)dy 0
＝(2y＋y2)|0－1＋(2y－12y2－13y3)|01 ＝－(－2＋1)＋2－12－13＝163.
●[例3] 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－ 2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求
[解析] 解法 1：画出草图，如图所示．

《定积分的简单应用》课件

《定积分的简单应用》课件
极限思想
通过令小区间的长度趋近于0，可以得 到更精确的面积计算结果。
不等式的应用
通过定积分可以推导出许多有用的不等式，如柯西不等式、黎曼和不等式等，从而解决数学中的各种问题。
定积分在物理学中的应用
1 速度与位移
定积分可以用于计算速度 与位移之间的关系，从而 描述物体的运动。
2 力与功
定积分可以计算力与功之 间的关系，用于描述物体 受力时的能量变化。
化学平衡
利用定积分可以计算化学反应平衡时不同物质 的浓度。
化学反应速率
定积分可以描述化学反应速率与反应进程的关 系，研究反应动力学。
电化学
通过定积分可以研究电化学反应中电荷传递和 离子浓度的变化。
定积分在工程学中的应用
工程学中广泛应用定积分，如在建筑设计中计算结构的受力情况、电力系统 中计算电能的变化等。
通过计算三角形的定积分，可以 得到三角形面积公式，即底乘高 除以2。
多边形的面积
对于规则多边形，可以通过计算 边长和高的定积分来得到多边形 的面积。
拆分区间求面积的方法
1
逼近面积
2
将每个小区间的面积逼近为矩形或梯形
的面积，再求和得到总面积。
3
区间拆分
通过将区间拆分成多个小区间，可以更 准确地计算曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，表示求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。它表示了函数f(x)所围成的曲线与x轴之 间的面积。
如何计算定积分
计算定积分可以通过求导数的逆运算——不定积分。利用不定积分的基本公 式和技巧，可以将定积分转化为更简单的求导数的问题。
定积分的性质及其应用
线性质
定积分具有线性性质，即对函数的和与差的定 积分等于对应的定积分的和与差。
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28
学海导航
理数
由定积分的几何意义，得 g(t)＝S1(t)＋S2(t)
29
学海导航
理数
故 g′(t)＝－6t2＋5t－1＝－(3t－1)(2t－1)． 令 g′(t)＝0，解得 t＝13或 t＝12(舍去)． 当 t∈(0，13)时，g′(t)<0，函数 g(t)在区间(0，13)上单调 递减；
×6×3＝9.
24
学海导航
理数
【拓展演练 2】 (1)由曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围成图形的面积
是(
)
A．2
B．3
5 C.2
D．4
(2)作变速直线运动的质点，其速度(单位：m/s)与时间(单
位：s)的关系式为 v(t)＝t2－4t＋3，则该质点在时间段[0,4]上
的位移是 ，运动的路程是 .
当 t∈(13，12)时，g′(t)>0，函数 g(t)在区间(13，12)上单调 递增．
故当 t＝13时，函数 g(t)有最小值．
30
学海导航
理数
【拓展演练3】已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋ 2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0<t≤1)与曲线C1、C2分别相 交于D、B，连接OD、DA、AB，求曲边四边形ABOD(阴影部
；
0
(2)设f(x)＝x22x
x≥0 ，则 x<0
0 f(x)dx＝
1
理数
.
19
学海导航
解析：(1)1( －x2＋2x－x)dx
0
＝1
－x2＋2xdx－1xdx
0
0
＝π4－12＝π－4 2.
(2)
1 1
f(x)dx＝
012xdx＋1x2dx
0
＝ln122x0－1＋13x310
＝21log2e＋13.
解析：两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上 限是 1，下限是 0，由于在[0,1]上，x≥x2，故曲线 y＝x2 与
y＝x 所围成图形的面积 S＝1(x－x2)dx.
0
8
学海导航
理数
4．由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积
为( D )
A．2 3
B．9－2 3
35
32
理数
6．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若
1 1
f(x)dx＝2f(x0)
成立，则x0＝
.
13
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理数
解析：
1 1
f
x dx＝
1 1
(3x
2＋2x＋1)dx
＝( x3＋x 2＋x)
1 1
＝4，
则由条件得2(3x02＋2x0＋1)＝4，解得x0＝－1或
1 3
.
14
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理数
15
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3
26
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理数
三 定积分的综合应用
【例 3】若直线 l：y＝t2－t(0<t<12，t 为常数)与函数 f(x)＝x2－x 的图象以及 y 轴所成的封闭图形的面积为 S1(t)，若直线 l 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为 S2(t)，已知 g(t)＝S1(t)＋S2(t)，当 g(t)取最小值时，求 t 的值．
理数
20
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理数
二 定积分的简单应用
【例2】(1)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝
1 4
所
围成的图形(阴影部分)的面积为( )
2 A.3
1 B.3 C.21
1 D.4
21
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理数
(2)下图是一个质点作直线运动的V-t图象，则质点在前6 s内的位移为__________m.
22
.
5
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理数
解析：11(ex＋2x)dx＝(ex＋x2 )
1 1
e e1.
6
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理数
3．求曲线Байду номын сангаас＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的
是( B )
A．S＝1(x2－x)dx 0
C．S＝1(y2－y)dy 0
B．S＝1(x－x2)dx 0
D．S＝1(y－ y)dy 0
7
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理数
C. 3
D. 3
9
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理数
y＝2x 解析：由y＝3－x2 ，解得x＝－3或x＝1， 所以封闭图形的面积为：
13 (3
x2
2x)dx＝(3x
1 3
x3
x2 )
1 3
32 . 3
10
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理数
5．一个质点运动时的速度和时间的关系为
v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则它在[1,2]时间段内
的位移为( A )
17
14
A. 6
B. 3
13
11
C. 6
D. 6
11
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理数
解析：s＝2v(t)dt＝2(t2－t＋2)dt
1
1
＝ 13t3－12t2＋2t12
＝(13×23－12×22＋2×2)－(13×13－12×12＋2×1)
＝83＋2－13＋12－2＝167.
故选 A.
12
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理数
一 定积分的计算
【例1】(1)若函数f(x)＝cos 2
x 0≤x<π2 π2≤x≤2
，则
2f(x)dx＝__________；
0
(2)
0 1
(
1－x2＋ex＋2x)dx＝______________.
16
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解析：
理数
17
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理数
18
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【拓展演练1】
(1)1( －x2＋2x－x)dx＝
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解析：(1)注意到曲线 y＝x2(x≥0)与 y＝14的交点
理数
23
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理数
(2)(方法一)由题图易知
v(t)＝439t－32t
0≤t≤4 4<t≤6
.
所以
s
＝
6
v(t)dt
＝
0
0434tdt＋469－32tdt＝83t2
4 0
＋
∫9t－34t264＝6＋3＝9.
(方法二)质点在前 6 s 内的位移为三角形的面积 S＝12
25
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理数
解析：(1)由曲线y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴围成的图形 的面积
故选B.
(2)位移为 04t2－4t＋3dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．
路程为
4
|t2－4t＋3|dt＝
1
(t2－4t＋3)dt－
3
(t2－4t＋3)dt＋
0
0
1
4(t2－4t＋3)dt＝4.
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理数
第17讲 定积分及简单应用
1
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理数
2
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理数
1.1f(x)dx＝2，2f(x)dx＝－3，则2f(x)dx＝
.
0
0
1
3
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理数
解析：2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＝2＋2f(x)dx＝－3，
0
0
1
1
所以2f(x)dx＝－5. 1
4
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理数
2．11 (e x＋2x)dx＝
27
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理数
分析：先确定出封闭图形 S1(t)，S2(t)的面积，建立面积 的函数关系式，最后求最值．
解析：由yy＝＝xt22－－tx ，得交点坐标为(t，t2－t)和(1－t， t2－t)，
又因为 0<t<12，所以 t2－t＝(t－12)2－14∈(－14，0)，而函 数 y＝x2－x 的顶点坐标为(12，－14)，