第6讲 利用换元法解方程
一、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.
解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、
无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.
（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方
法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以
便寻求解题的途径．
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．
例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=
③222212219116
x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116
x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成
()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.
⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，
如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +
换元，是倒数换元法.
⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已
t ，则方程就变成()()
2232110x t x t x ⋅+++-=，
数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.
有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.
例如：
()()()()()222
222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()
22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣.
二、应用举例
类型一 局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：42320x x -+=
【答案】11x =，21x =-
，3x =
4x =【解析】
试题分析：
通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.
试题解析：
解：设2x y =，则原方程变形为2
320y y -+=， 解得，11y =，22y =，
由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，
由22y =得22x =
，解得3x =
，4x =
∴方程的解是11x =，21x =-
，3x =
4x =【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
【答案】134x =-，223
x =- 【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.
试题解析： 解：设1
x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-
当13y =-时，
31x x =-+，解得134
x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223
x =- 经检验134x =-，223
x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易
【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +
++=，那么1x x
+的值是（ ） 【答案】2-
【解析】
试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x
+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝
⎭， ∴220t t -+=，
解得11t =，22t =- 由11x x
+
=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.
【难度】一般
（无理方程）
【例题4103= 【答案】114x =，294
x =- 【解析】
试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x
++=，
与2
x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：
()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=
整理得231030y y -+=
解得13y =，213y =
当13y =3=，解得114
x =
当213y =13=，解得294
x =- 经检验114x =，294
x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般
【例题510=
【答案】112x =+
，
21x = 【解析】
试题分析：
1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解.
试题解析：
m = n = ，
