2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）
1.设F 1，F 2为椭圆22
143
x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与
椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标；
（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.
2.已知椭圆2
214
x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .
（1）求△P AB 面积的最大值；
（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.
3.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是
1B ，2B ，且21MB MB ⊥.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
4.已知椭圆C 的标准方程为22
1
1612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为
3π
4
的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．
5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2
e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程；
(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.
(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；
(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.
6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率2e =
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．
（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．
（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．
7.如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右准线l 的方程为43x =，焦距为23.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线
1PA 与直线2QA 相交于点M .
①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.
8.设椭圆132
22=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知
|
|3||1||1FA e
OA OF =
+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点
M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.
9.已知椭圆22
:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足
条件
||
||
FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．
（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：
12||||
S PM S PN =．
10.已知常数0m >，向量(0,1)a =r ，(,0)b m =r 经过点(,0)A m ，以a b λ+r r 为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-r r
为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．
（1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．
（2）若点(1,0)C
，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．
11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．
（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x
轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物
线28x y =的准线上．
Ⅰ求椭圆C 的标准方程．
Ⅱ
点P
，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB
，求四边形APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b =>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程．
（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．
14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为1
2，且过点31,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00,x y N a b ⎛⎫
⎪
⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．
（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出
定值；若不为定值，说明理由．
15.已知椭圆C 的标准方程为222
21(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程．
（Ⅱ）若||AB =
，求直线l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．
