高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2

4+

y 23

=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆

C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.

2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;

(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.

3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2

a 2−y 2

b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;

(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0

4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2

a 2+y 2

b 2=1(a>b>0)的离心率为√2

2,且经过点H (-2,1).

(1)求椭圆C 的方程;

(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1

λ+1

μ

为定值.

5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.

(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;

(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.

①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.

6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2

a 2+y 2

b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;

(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

答案及解析

1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>

2.

故直线l 的斜率k=1

t 的取值范围为(-1

2,0)∪(0,1

2).

(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t

3t 2+4,y 1y 2=36

3t 2+4,

所以ty 1y 2=-3

2(y 1+y 2).

由PF

⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,

即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32

=12,

代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.

易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1

,同理可得μ=3

5−2x 2

.

又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)

=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-3

2)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9

(5-2x

1)(5-2x 2)

=1.

2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,

得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.

由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.

(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:

由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,

得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).

因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 12

4-1)(y 2

2

4-1)+(y 1-2)(y 2-2)

=y 12y 2

216

−

(y 1+y 2)2-2y 1y 2

4

+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5

=

16(2m+5)2

16

−

(4m)2+8(2m+5)

4

-4(2m+5)-8m+5

=0,

所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.

设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·

√1+m 2

=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,

所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.

所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.

3.(1)解 由{b

a =b,

2

a 2-1

b 2

=1,

解得{

a =1,

b =1,

故双曲线方程为x 2-y 2=1.

(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).

则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,

消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,

整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.

因为PA与双曲线相切,

所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,

整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.

即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,

即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,

因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所

以k=x1

y1

.

故PA:y-y1=x1

y1

(x-x1),即y1y=x1x-1.

同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.

因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,

A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,

故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1

m

,

y=0

时,无论y0为何值,等式均成立.

故点(1

m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1

m

,0).

4.(1)解由题意知e=c

a =√1−b2

a2

=√2

2

,则a2=2b2.

又椭圆C经过点H(2,1),所以4

a2+1

b2

=1.

联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 2

6+y2

3

=1.

(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

由{x =my-3,

x 2

6

+

y 23

=1

联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,

所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6m

m 2+2,y 1y 2=3

m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.

设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =

x 1+2y 11−y 1

.

由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =

x 2+2y 21−y 2

.

由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG

⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1

λ+1

μ=1

x

M

+3

+1

x

N

+3

=1

x 1+2y 11−y 1

+3

+1

x 2+2y 2

1−y 2

+3

=1−y 1

x

1-y 1

+3

+1−y 2

x 2-y 2

+3=1−y

1

(m-1)y

1

+1−y 2(m-1)y 2

=1

m-1

1−y 1y 1

+

1−y 2y 2

=1

m-1(y 1+y 2

y

1y 2

-2)=1

m-1(

6m

m 2+23m 2+2

-2)=2,

所以1

λ+1

μ为定值.

5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,

故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.

设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p

2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=1

8x 2,y'=1

4x.

设A (x 1,1

8x 12),B (x 2,18x 22

),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-1

8x 12=x 14

(x-x 1),

即y=1

4x 1x-1

8x 12.

同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-1

8x 22

. 由{y =1

4x 1x-1

8x 12

,y =14x 2x-18x 22,

解得{

x =x 1+x

22,y =x 1x 28, 故{

t =x 1+x 22

,

-2=

x 1x 28

,

即{

x 1+x 2=2t,

x 1x 2=−16.

故直线AB 的方程为y-1

8x 12

=

18x 22-18x 1

2x 2-x 1

(x-x 1),化简得y=

x 1+x 28

x-

x 1x 28

,即y=t

4x+2,故直线

AB 过定点(0,2).

②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t

4,

(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,

∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;

(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2

t-0=-4

t

,k AB ·k PC =t 4×-4

t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.

6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2

=a 2

-c 2

=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 2

4+y 2=1.

(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:

显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),

联立{y =k(x +4),x 24+y 2

=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0

12.

设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-4

1+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y

2x 1

-x 2

(x-x 1),令y=0,得x=x 1-

y 1(x 1-x 2)y 1+y 2

,所以H x 1-

y 1(x 1-x 2)y 1+y 2

,0,

若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1

λ=

|AD|-|DH|

|AD|·|DH|

=1|DH|−1

|AD|,

又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2

,0),所以|AD|=2,

|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2

+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)

k(x 1+4)+k(x 2+4)

+2

=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k

+2

=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)

k(x 1+x 2)+8k

+2

=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 1

2+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k

+2

=

4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2

k(x 1+x 2)+8k

+2

=

4k·

-32k 21+4k 2+2k·64k 2-4

1+4k 2

k·-32k 21+4k 2

+8k +2

=-1+2=1,

所以1

λ=1

1−1

2,解得λ=2.

所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.

高考数学(理)二轮配套训练【专题6】(3)圆锥曲线中的热点问题(含答案)

第3讲圆锥曲线中的热点问题 考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2 －x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|. (2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题

高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0b>0)的离心率为√2 2,且经过点H (-2,1).

(1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

2020年高考数学二轮复习讲义：定点、定值、存在性问题

第三讲定点、定值、存在性问题 高考考点 考点解读 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： 1．掌握处理定点、定值的方法． 2．掌握解答存在性问题的处理方法． 3．掌握函数与方程思想在处理定点、定值问题中的应用．预测2020年命题热点为： (1)圆锥曲线中的定值问题． (2)圆锥曲线中的存在性问题． Z 知识整合hi shi zheng he 1．定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 2．圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．

3．圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况： (1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解． (2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系． (3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解． 4．探究性问题：有关圆锥曲线中的探究性问题，一般假设满足条件的量存在，以此为基础进行推理． ,Y 易错警示 i cuo jing shi 1．求轨迹方程时要注意它的纯粹性与完备性． 2．使用函数方法求解最值和范围时，需选择合适的变量．解题时易忽略变量的范围，导致结果的错误． 3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，反之，直线与双曲线相切时，只有一个交点． 4．在解决直线与圆锥曲线问题时，若需设直线方程，易忽略直线斜率不存在的情况. 1．(文)(2018·北京卷，20)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3，焦距为2 2. 斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． (1)求椭圆M 的方程． (2)若k ＝1，求|AB |的最大值． (3)设P (－2,0)，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q ??? ?－74，1 4共线，求k . [解析] (1)由题意得2c ＝22，所以c ＝2， 又e ＝c a ＝6 3，所以a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆M 的标准方程为x 23 ＋y 2 ＝1.

第10讲 定点问题

第10讲 圆锥曲线中的定点问题 求解直线或曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 一、直线过定点问题 例 1 已知动圆过定点F (1，0)，且与直线l ：x ＝－1相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程； (2)过点M (1，2)作曲线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1，k 2变化且满足k 1＋k 2＝－1时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标． 例2 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P 3，3 2，离心 率为1 2，过直线l ：x ＝4上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A ，B . (1)求椭圆E 的方程． (2)若在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任一点N (x 0，y 0)处的切线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.求证：直线 AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标．

例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为1 2 ，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为点D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF → ，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由； (3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由． 二、圆过定点问题 例4 如图1所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2 ＝2py (p ＞0)上． (1)求抛物线E 的方程； (2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点． 图1

2020版高考数学 圆锥曲线的综合问题(第2课时)定点、定值、探索性问题教案(文)(含解析)北师大版

第2课时 定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上． (1)求椭圆的离心率； (2)若C 的长轴长为4且斜率为1 2 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ， PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0 x 0－c ＝－1且 x 0＋c 2 －y 0 2＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ， y 0＝a ＋c ， 即M (－a ，a ＋c )． ∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝1 2. (2)存在．由(1)及题设得c a ＝1 2 且2a ＝4，∴a ＝2，c ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1， 设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2 －3＝0. 依题知Δ＞0，即t 2 －4(t 2 －3)＞0，t 2 ＜4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2 －3， 如果存在P (m ，n )使得k PA ＋k PB 为定值，那么k PA ＋k PB 的取值将与t 无关， k PA ＋k PB ＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫n －32m t ＋2mn －3 t 2＋mt ＋m 2－3 ， 令 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3 ＝M ， 由Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2 M －3M －2mn ＋3＝0， 由题意可知该式对任意t 恒成立，其中t 2 ＜4，

2020高考文数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第6讲解析几何第2课圆锥曲线综合问题练习

第2课时圆锥曲线综合问题 [考情分析] 圆锥曲线综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等．这类问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，参数处理为核心，需要运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识求解，试题难度较大． 热点题型分析 热点1 定点、定值问题 1．直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程．问题就归结为用参数把直线方程表示出来，无论参数如何变化，这个方程必有一组常数解． 2．定值的证明和探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接证得与参数无关的数值，在这类问题中，选择消元的方法是非常关键的． (2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切． (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径． (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在线段AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)． 因为⊙M与直线x＋2＝0相切， 所以⊙M的半径为r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2. 又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2， 解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值． 理由如下： 设M(x，y)，由已知， 得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，

化简，得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y 2＝4x是以点P(1,0)为焦点， 以直线x＝－1为准线的抛物线， 所以|MP|＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P. 1．动直线过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋m，由题设条件将m用k表示为m ＝f(k)，借助于点斜式方程思想确定定点坐标． 2．定值问题的解法 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)． (2)将问题转化为证明待定式与参数(某些变量)无关；或先将式子用动点坐标或动直线中的参数表示；再利用其满足的约束条件消参得定值． (2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)设O为原点，QM → ＝λQO → ，QN → ＝μQO → ，求证： 1 λ ＋ 1 μ 为定值． 解(1)因为抛物线y2＝2px经过点P(1,2)，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由 ?? ? ??y2＝4x， y＝kx＋1， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意有Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0

圆锥曲线的综合问题 强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线的综合问题强化训练 （原卷+答案） 考点一 证明问题——等价转化，直击目标 圆锥曲线中证明问题的两种常见类型 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． 例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (3 2，－1)两点． (1)求E 的方程； (2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段 AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点． 对点训练 已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程； (2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列． 考点二 定点问题——目标等式寻定点 解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．

2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材 数学(理) 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题含解析

考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题 1.(2022·湖南岳阳质检二)已知椭圆C : y 2a 2+x 2 b 2 =1(a>b>0),F 为上焦点,左顶点P 到F 的距离为√2,且离心率为√2 2,设O 为坐标原点,点M 的坐标为(0,2). (1)求椭圆C 的标准方程; (2)若过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,证明:∠OMA=∠OMB. 2.(2022·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x 2=ay (a>0),过点M 0,a 2作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线相交于A ,B 及C ,D 两点,当A 点的横坐标为2时,抛物线在点A 处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程; (2)设线段AB ,CD 的中点分别为E ,F ,O 为坐标原点,求证:直线EF 过定点. 3.(2022·北京石景山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的短轴长等于2√3,离心率e=12. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)过右焦点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,判断 |PF | |AB | 是否为定值,请说明理由.

4.(2022·全国乙·理20)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (3 2 ,-1)两点. (1)求E 的方程; (2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点. 5.(2022·河南濮阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2 =1(a>b>0)的离心率e=√32,且圆x 2+y 2=2过椭圆C 的上、 下顶点. (1)求椭圆C 的方程; (2)若直线l 的斜率为1 2,且直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于原点的对称点为E ,点A (-2,1)是椭圆C 上一点,若直线AE 与AQ 的斜率分别为k AE ,k AQ ,证明:k AE ·k AQ ≤0.

2023新教材数学高考第二轮专题练习--考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

2023新教材数学高考第二轮专题 考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2022·广东广州三模)在圆x 2+y 2=2上任取一点D ,过点D 作x 轴的垂线段DH ,H 为垂足,线段DH 上一点E 满足|DH | |EH |=√2.记动点E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程; (2)设O 为原点,曲线C 与y 轴正半轴交于点A ,直线AP 与曲线C 交于点P ,与x 轴交于点M ,直线AQ 与曲线C 交于点Q ,与x 轴交于点N ,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,求证:直线PQ 经过定点. 2.(2022·湖南衡阳三模)已知抛物线C :y=ax 2(a>0)的焦点是F ,若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,所得弦长|AB|的最小值为2. (1)求实数a 的值. (2)设P ,Q 是抛物线C 上不同于坐标原点O 的两个不同的动点,且以线段PQ 为直径的圆经过点O ,作OM ⊥PQ ,垂足为M ,试探究是否存在定点N ,使得|MN|为定值.若存在,求出该定点N 的坐标及定值|MN|;若不存在,请说明理由.

3.(2022·广东佛山模拟)已知椭圆C : x 2a 2+y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0),上、下顶点分别为B 1,B 2,以点F 为圆心,FB 1为半径作圆,与x 轴交于点T (3,0). (1)求椭圆C 的标准方程. (2)已知点P (2,0),点A ,B 为椭圆C 上异于点P 且关于原点对称的两点,直线PA ,PB 与y 轴分别交于点M ,N ,记以MN 为直径的圆为圆K ,试判断是否存在直线l 截圆K 的弦长为定值.若存在,请求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.

届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用学案含解析

第3讲圆锥曲线的综合应用 JIE TI CE LUE MING FANG XIANG 解题策略·明方向 ⊙︱考情分析︱ 1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一． 2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查． ⊙︱真题分布︱ (理科） 年份卷 别 题号考查角度 分 值 202 0Ⅰ 卷 20 椭圆的简单性质及方程思 想、定点问题 12 Ⅱ 卷 19 椭圆离心率的求解,利用抛 物线的定义求抛物线和椭 圆的标准方程 12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12

(文科）

Ⅲ卷21 椭圆标准方程和求三角形面积 问题，椭圆的离心率定义和数 形结合求三角形面积, 12 201 9Ⅰ 卷 21 直线与圆的位置关系，定值问 题 12Ⅱ 卷 20 椭圆的定义及其几何性质、参 数的范围 12Ⅲ 卷 21 直线与抛物线的位置关系、定 点问题 12 201 8Ⅰ 卷 20 直线的方程，直线与抛物线的 位置关系、证明问题 12Ⅱ 卷 20 直线的方程,直线与抛物线的 位置关系、圆的方程 12Ⅲ 卷 20 直线与椭圆的位置关系、证明 问题 12 KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN 考点分类·析重点 考点一圆锥曲线中的最值、范围问题 错误!错误!错误!错误! 典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x

－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程； （2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值． 【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0， ∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2， ∴抛物线C的方程为:y2＝4x。 （2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1， 联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0． 设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t， ∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2， ∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)． 设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M, 则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!， ∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!， ∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!, ∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。 错误!错误!错误!错误! 求解范围、最值问题的五种方法

备战2022高考数学圆锥曲线专题11：椭圆中的存在探索性问题29页(含解析)

专题11：椭圆中的存在探索性问题 1．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>，长轴为4，不过坐标原点O 且 不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值1 4 -. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D 坐标，若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3 b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 3．椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2 . （1）求椭圆E 的方程； （2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知A 、B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左顶点和下顶点，P 为

直线3x =上的动点，AP BP ⋅的最小值为594 ． （1）求E 的方程； （2）设PA 与E 的另一交点为D ，PB 与E 的另一交点为C ，问：是否存在点P ，使得四边形ABCD 为梯形，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>． （1）求椭圆G 的方程； （2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆22 2:1(0)3 x y C a a +=>的焦点在x 轴上，且经过点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，左顶点为D ，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的离心率和DEF 的面积； （2）已知直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，过点B 作直线 (y t t =>的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线AG 经过y 轴上的定点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 7．已知椭圆E ：()22 2210x y a b a b +=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在 椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且 NMF 的周长最大值为 4. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定值、定点问题 Word版含解析

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定 值、定点问题（学生版） 一、圆锥曲线中求解定值问题常用的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例1 (2022·盐城市高三一模)设F为椭圆C：x2 2＋y 2＝1 的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点． (1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程； (2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1 k2为定值． 例2 (2022·洛阳统考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)(m ＞0)是抛物线C上一点，且|PF|＝5． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且P A⊥PB．记点A，B到直线y ＝－4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．

跟踪练习 1、(2021·安徽安庆市一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值． 2、(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，且过点A (2,1)． (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．

高考100题圆锥曲线：专题四 定点、定值问题

I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知经过椭圆116 252 2=+y x 的右焦点2F 做垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于B A 、两点，1F 是椭圆的左焦点. (1)求AFB ∆的周长； (2)如果AB 不垂直于x 轴，AFB ∆的周长有变化吗？ II ．考场精彩·真题回放 【例2】（2016北京理19）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32 ，(),0A a ，()0,B b ，()0,0O ，OAB △的面积为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）设P 为椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：AN BM ⋅为定值. 【解析】 可先作出本题的图形：

（1 ）由题设，可得2222(0)112 c a a b c a b ab ⎧=⎪⎪⎪=+>>⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得2,1a b ==.所以椭圆C 的方程是2 214 x y +=. （2）设椭圆上一点()00,P x y ，则220014 x y +=. (i) 当00x ≠时，直线()00:22 y PA y x x =--. 令0x =，得0022 M y y x -=-. 所以002112M y BM y x =-=+ -. 直线00 1:1y PB y x x -=+. 令0y =，得001N x x y -=-， 所以00221 N x AN x y =-=+-. 所以AN BM ⋅= 000000000022222211212x y x y x y y x y x +-+-+⋅+=⋅=---- 2200000000004448422x y x y x y x y x y ++--+⋅--+ 将220014 x y +=代入上式得4AN BM ⋅=，故AN BM ⋅为定值. (ii) 当00x =时，01y =-，2BM =，2AN ⋅=，所以4AN BM ⋅=. 综上所述，AN BM ⋅为定值.

2021年高考数学题型秒杀之解析几何-题型13 圆锥曲线中的定值与定点(解析版)

秒杀高考题型之圆锥曲线中的定值与定点 【秒杀题型一】：圆锥曲线中的定值与定点。 『秒杀策略』：解析几何中证明(求)直线(曲线)过定点，一般是先选择一个参数建立直线(曲线)系方程，再 根据直线(曲线)系过定点时与参数没有关系，得到一个关于y x ,的方程组，以这个方程组的解为坐标的点为所求定点；定值问题是通过已知条件(主要利用根与系数的关系)，化简为与参数没有关系的常数。 简答题步骤规范模板： Step1：设直线的方程； Step2：直线与曲线联立，整理成关于x (或y )的一元二次方程； Step3：写出根与系数的关系； Step4：把根与系数的关系代入已知条件； Step5：如果直线中两量b k ,有一定关系，则恒过定点；如果消去参数，则为定值。 【秒杀公式1】：过椭圆或抛物线上一点P ()00,y x 作两条弦，与曲线交于B A ,，PB PA ,的斜率互为相反 数(倾斜角互补或与x 轴围成等腰三角形。)。则AB 的斜率为定值。抛物线：0y p k -=，椭圆：0 202y a x b 。亦 可理解为过P ()00,y x 作曲线切线斜率的相反数。 方法一答题规范模板： Step1：设直线的方程； Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程； Step3：写出根与系数的关系； Step4：利用0=+PB PA k k ，把根与系数的关系代入。 方法二答题规范模板： Step1：设直线PA 的方程； Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；

Step3：利用根与系数的关系求出点A 的坐标，把点A 的坐标中的k 换为-k 得到点B 的坐标； Step4：由两点式求出AB 的方程，进而求出斜率为定值。 1.(2009年辽宁卷)已知椭圆C 过点A 3(1,)2 ，两个焦点为()0,1-，()0,1。 （1）求椭圆C 的方程； （2）F E ,是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率 为定值，并求出这个定值。 【解析】：（1）方法一：待定系数法，由题意知，1=c ，设椭圆方程为：1122 2 2=++b y b x ，代入点A 得：2 219114b b +=+，解得23b =，2 34b =-(舍去)，所以椭圆方程为22143x y +=。 方法二：定义法，A 到两焦点距离之和分别是23、2 5 ，则42=a ，c=1，椭圆方程为22143x y +=。 （2）方法二：step1：设直线方程：设直线AE 的方程为：3 (1)2 y k x =-+ ； Step2：直线与曲线联立：代入22143x y +=得2223(34)4(32)4()1202 k x k k x k ++-+--=； Step3：利用根与系数的关系求点E 、F 的坐标：设E ()E E y x ,，F ()F F y x ,，因为点3 (1,)2 A 在椭圆上，所以 22433124k k k x E +--=，32E E y kx k =+-，又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得22433124k k k x F +-+=，3 2 E E y kx k =-++； Step4：求出直线EF 的斜率：()21 2 F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++= ==--(定值)。 秒杀方法：由k=0202y a x b =2 1 2 3413=⨯⨯。 【秒杀公式2】：①直线n my x +=与抛物线px y 22 =交于A 、B ，在x 轴上存在定点P （-n,0），使PA 、 PB 的斜率互为相反数(倾斜角互补或斜率和为0或对称轴是∠APB 的平分线。)。逆过来亦成立。即AB

【二轮臻品】专题2.11 圆锥曲线的“三定”与探索性问题(讲)-2019年高考数学(理)二轮特训(Word版含解析)

热点十一圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和Array重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思 维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 1.求轨迹方程 求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等. （1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法. 例3【四川省绵阳市2019届高三1月诊断】己知椭圆C ：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝，求直线l的方程； (2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．【答案】(1) 或；（2）()． 【解析】 （1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a =8，则|AB |=． 因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2=，x1x2=．由弦长公式|AB |=， 代入整理得，解得．所以直线l 的方程为， 即或．

（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2=，x1x2=．以AB为直径的圆过原点O，即． ∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．将x1+x2=，x1x2=代入， 整理得3m2=8k2+8．∵ 点P是线段AB上的点，满足， 设点O到直线AB的距离为d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=（定值）， ∴ 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点. 故点P的轨迹方程为()． 3.定值定点问题 （1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. （2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点. 例4【河北省张家口市2019届高三上期末】已知点是圆：上一动点，线段 与圆：相交于点.直线经过，并且垂直于轴，在上的射影点为. （1）求点的轨迹的方程； （2）设圆与轴的左、右交点分别为，，点是曲线上的点（点与，不重合），直线，与直线：分别相交于点，，求证：以直径的圆经过定点. 【答案】（1）（2）见证明

2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划(含答案)

2023届河北省新高考数学复习 专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划 1．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5． (1)求抛物线C 的方程； (2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得 123 11k k k λ +=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 是8. (1)求双曲线C 的方程； (2)过点(0,3)P 的直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 和B ，若直线l 上存在不同于点P 的点D 满足||||||||PA DB PB DA ⋅=⋅成立，证明：点D 的纵坐标为定值，并求出该定值.

=. 交C于A（点A在第一象限），B两点，且AB4 (1)求C的标准方程. (2)已知l为C的准线，过F的直线1l交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.

4．（2022·河北· 河北容城中学校考模拟预测）已知点E ，F ⎫ ⎪⎪ ⎝⎭ ，点A 满足 ||| AE AF =，点A的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若直线:l y kx m =+与双曲线： 22 1 49 x y -=交于M，N两点，且 2 MON π ∠=（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围. 2 所以 1 OM ON x x ⊥⇒ 化简，得2 12 (1) k x x + 22 8 49 km x k +=- - ，

2019届高三理科数学第二轮专题复习配套文档专题五 第3讲圆锥曲线中的定点与定值

第3讲圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题 [真题再现］ 1．(2017·课标Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C：错误!＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!. （1）求点P的轨迹方程； (2)设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 [解析](1）设P(x，y），M(x0，y0），设N(x0,0)，错误!＝（x－x0，y)，错误!＝（0，y0)． 由NP，→＝ 2 错误!得x0＝x，y0＝错误!y0. 因为M（x0,y0)在C上，所以错误!＋错误!＝1. 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2. (2)由题意知F（－1，0)．设Q（－3，t），P(m，n),则 错误!＝（－3,t），错误!＝（－1－m,－n），错误!·错误!＝3＋3m－tn,错误!＝(m,n)，错误!＝(－3－m，t－n）．

由错误!·错误!＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0。 所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 2．(2018· 已知点P是y轴左侧（不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A,PB的中点均在C上． (1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2）若P是半椭圆x2＋错误!＝1（x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围． ［解]（1）解：设P（x0,y0),A错误!,B错误!。 因为P A，PB的中点在抛物线上， 所以y1,y2为方程错误!2＝4·错误! 即y2－2y0y＋8x0－y错误!＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0，