黑龙江省哈三中2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题文【含答案】

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．i3＝（）A．﹣1B．﹣i C．1D．i2．在极坐标系中，与点A（1，﹣）关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（）A．（1，）B．（1，）C．（1，）D．（1，）3．已知a＞b，c＞d，下列不等式中必成立的一个是（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．4．设x∈R，则“x＞3”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若复数z满足z＝，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”为真命题B．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆命题为假命题C．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”D．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”7．观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a8+b8＝（）A．28B．47C．76D．1238．椭圆+＝1上的点到直线2x+y﹣9＝0的距离的最大值为（）A．2B．C．D．9．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响．某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩．并制成下面的2×2列联表：及格不及格合计很少使用手机20525经常使用手机101525合计302050参考公式：K2＝，其中，n＝a+b+c+d．附表：P（K2≥k）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是（）A．有99.9%以上的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”B．有99.9%以上的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”10．给出以下四个说法：①在回归直线方程＝12﹣0.3x中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.3个单位；②对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；③在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越小，说明拟合的效果越好；④残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小．其中正确的说法是（）A．②④B．③④C．①②D．①③11．若对任意实数x不等式|x+1|+|x+3|＞m2+m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＜1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（2019，+∞）C．（﹣∞，2020）D．（﹣∞，0）二、填空题（共4小题）.13．满足不等式＜1的实数x的取值范围是．14．在同一直角坐标系下，曲线+＝1经过伸缩变换后得到的曲线的普通方程为．15．已知边长为a的正△ABC的高为a，设P是该正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3＝a；类比到空间，已知棱长为a的空间正四面体ABCD的高为a，设P是该正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4＝．16．已知函数f（x）＝x2，g（x）＝，有下列四个命题：①函数h（x）＝f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数h（x）＝f（x）﹣g（x）是定义域内的单调函数；③当x＜0时，函数f（x）＝g（x）有一个零点；④当x＞0时，函数f（x）＞g（x）恒成立．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：x2﹣4mx+3m2≤0，其中m＞0．（1）若m＝4且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ﹣cosθ，以极点O为原点．以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，已知M点的直角坐标为（0，1），直线1的参数方程为（t为参数）．直线1与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|MA|•|MB|的值．19．已知函数f（x）＝|x+a|+|x+1|，a∈R．（1）若a＝﹣3，求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤2有实数解，求实数a的取值范围．20．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率），潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”．（1）求这1000名患者潜伏期的众数、平均数；（2）计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数．21．为了解某种产品的广告费x（单位：万元）对销量y（单位：吨）的影响，对近五年该产品的广告费和销量统计如表：x12345y 2.2 3.8 5.5 6.57（1）求y关于x的线性回归方程＝x+；（2）根据（1）中的回归方程预测当广告费为6万元时，销量为多少吨？参考公式：，．参考答案一、选择题（共12小题）.1．i3＝（）A．﹣1B．﹣i C．1D．i【分析】利用虚数单位i的运算性质及复数代数形式的乘除运算化简距离．解：∵i2＝﹣1，∴i3＝i5•i＝﹣i．故选：B．2．在极坐标系中，与点A（1，﹣）关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（）A．（1，）B．（1，）C．（1，）D．（1，）【分析】根据极坐标的对称关系，即可求得答案．解：根据极坐标的对称关系，点A（1，﹣）关于极轴所在直线对称的点的极坐标（1，），故选：C．3．已知a＞b，c＞d，下列不等式中必成立的一个是（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出．解：根据不等式的同向可加性，若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，故选：A．4．设x∈R，则“x＞3”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判断即可．解：当x＞3时，x＞1一定成立，当x＞2时，满足x＞1但x＞7不成立，故选：A．5．若复数z满足z＝，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z对应的点的坐标为（，﹣），位于第四象限．故选：D．6．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”为真命题B．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆命题为假命题C．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”D．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”【分析】判断命题的真假判断A，写出逆命题判断真假判断B；写出逆否命题，判断C；写出否命题判断D．解：对于A，命题“若x2＝1，则x＝1”或x＝﹣3，A为假命题，所以A不正确；对于B，命题“若x2＝1，则x＝1”的逆命题为：“若x＝1，则x2＝1”，是真命题，所以B不正确；对于D，命题“若x2＝8，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以D不正确；故选：C．7．观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a8+b8＝（）A．28B．47C．76D．123【分析】根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出三个等式即得．解：由于a+b＝1，a2+b2＝3，a4+b4＝7，…，因此，a6+b2＝11+7＝18，a7+b7＝18+11＝29，a8+b8＝29+18＝47，故选：B．8．椭圆+＝1上的点到直线2x+y﹣9＝0的距离的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】先求出椭圆的参数方程，θ为参数，设椭圆上的动点P（2cosθ，sinθ），则点P到直线2x+y﹣9＝0距离d的表达式，再由三角函数的知识求出最大值．解：椭圆+＝1的参数方程为，θ为参数，设椭圆上的动点P（2cosθ，sinθ），则点P到直线2x+y﹣9＝8距离∴d max＝2．故选：A．9．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响．某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩．并制成下面的2×2列联表：及格不及格合计很少使用手机20525经常使用手机101525合计302050参考公式：K2＝，其中，n＝a+b+c+d．附表：P（K2≥k）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是（）A．有99.9%以上的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”B．有99.9%以上的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”【分析】由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．解：由列联表中数据，计算K2＝＝≈8.333＞6.879，所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”．故选：D．10．给出以下四个说法：①在回归直线方程＝12﹣0.3x中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.3个单位；②对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；③在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越小，说明拟合的效果越好；④残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小．其中正确的说法是（）A．②④B．③④C．①②D．①③【分析】由回归直线的性质，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由的随机变量K2的观测值k的大小可判断③；由残差点分布的带状区域可判断④；解：对于①，在回归直线方程＝12﹣0.3x中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.3个单位，故①正确；对于③，在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越小，说明拟合的效果越差，故③不正确；其中正确个数为①②．故选：C．11．若对任意实数x不等式|x+1|+|x+3|＞m2+m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]【分析】由题意可得（|x+1|+|x+3|）min＞m2+m，运用绝对值不等式的性质可得最小值，再由二次不等式的解法可得所求范围．解：对任意实数x不等式|x+1|+|x+3|＞m2+m恒成立，即为（|x+1|+|x+5|）min＞m2+m，则m2+m＜5，解得﹣2＜m＜1．故选：A．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＜1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（2019，+∞）C．（﹣∞，2020）D．（﹣∞，0）【分析】构造函数g（x）＝e x[f（x）﹣1]，求导后可证得g（x）在R上单调递减；而原不等式可转化为e x[f（x）﹣1）＞e0[f（0）﹣1]，即g（x）＞g（0），于是x＜0，从而得解．解：设g（x）＝e x[f（x）﹣1]，则g'（x）＝e x[f（x）+f'（x）﹣1]＜0，∴g（x）在R上单调递减，∴e x f（x）＞e x+2019可等价于e x[f（x）﹣1）＞2019＝f（0）﹣1＝e4[f（0）﹣1]，∴不等式的解集为（﹣∞，0）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将管案填在答题卡相应的位置上）13．满足不等式＜1的实数x的取值范围是（﹣1，2）．【分析】利用移项，通分，转化不等式求解即可．解：由＜1可得即，解可得，﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．14．在同一直角坐标系下，曲线+＝1经过伸缩变换后得到的曲线的普通方程为x′2+y′2＝1．【分析】直接利用伸缩变换和变换变量的关系求出结果．解：伸缩变换转换为，代入曲线+＝1得到x′2+y′3＝1．故答案为：x′2+y′2＝415．已知边长为a的正△ABC的高为a，设P是该正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3＝a；类比到空间，已知棱长为a的空间正四面体ABCD的高为a，设P是该正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4＝a．【分析】根据平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和为定值”，推断出空间几何中，关于面的性质“正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为定值”．解：由边长为a的正三角形内任意一点到三边距离之和是正△ABC的高a，可以类推出，边长为a的正四面体内任意一点到四个面距离之和是正四面体的高a，故答案为：a．16．已知函数f（x）＝x2，g（x）＝，有下列四个命题：①函数h（x）＝f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数h（x）＝f（x）﹣g（x）是定义域内的单调函数；③当x＜0时，函数f（x）＝g（x）有一个零点；④当x＞0时，函数f（x）＞g（x）恒成立．其中正确命题的序号为③④．【分析】利用函数奇偶性的定义，单调性的定义，数形结合解决零点，恒成立转化为函数，进而求最值问题解：①根据函数奇偶性的定义，可知该函数是非奇非偶函数；②定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x∈（0，+∞）时∴在x∈（0，+∞）存在零点，所以该结论不正确；③方程f（x）＝g（x）有一个根等价于方程x3＝ln（﹣x）有一个根，即函数y＝x3和函数y＝ln（﹣x）的图象有一个交点，显然成立；④x∈（0，+∞）时，不等式，当x∈（0，1]时，x2＞3，lnx≤0，此时不等式恒成立，当x∈（1，+∞）时，要证明f（x）＞g（x）恒成立，只需证明x3＞lnx 所以M（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，M（x）≥M（6）＝1此时不等式恒成立．故答案为：③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：x2﹣4mx+3m2≤0，其中m＞0．（1）若m＝4且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．（2）根据充分不必要条件与不等式解集关系，建立不等式条件进行求解即可．解：由x2﹣7x+10≤5得（x﹣2）（x﹣5）≤0得2≤x≤5，即p：2≤x≤5，由x2﹣4mx+3m2≤0得（x﹣m）（x﹣4m）≤0，即q：m≤x≤3m，（m＞0）．若p∧q为真，则p，q同时为真，即，得4≤x≤4，此时x的取值范围是[4，5]．即，得≤m≤2，即实数m的取值范围是[，6]．18．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ﹣cosθ，以极点O为原点．以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，已知M点的直角坐标为（0，1），直线1的参数方程为（t为参数）．直线1与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）把ρcos2θ＝sinθ﹣cosθ两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及参数t的几何意义求解．解：（1）由ρcos2θ＝sinθ﹣cosθ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ﹣ρcosθ，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣1＝0；化简得：．则，t6t2＝﹣2．∴|MA|•|MB|＝|t1|•|t2|＝|t1•t2|＝|﹣2|＝6．19．已知函数f（x）＝|x+a|+|x+1|，a∈R．（1）若a＝﹣3，求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤2有实数解，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝﹣3代入，写出分段函数解析式，然后分类求解，取并集得答案；（2）利用绝对值不等式的性质求得f（x）＝|x+a|+|x+1|的最小值，把不等式f（x）≤2有实数解转化为f（x）的最小值小于等于2求解．解：（1）当a＝﹣3时，f（x）＝|x+a|+|x+1|＝|x﹣3|+|x+1|＝，若x≤﹣1，f（x）≤6化为﹣3x+2≤6，解得x≥﹣2，则﹣2≤x≤﹣1．若x≥3，f（x）≤4化为2x﹣2≤6，解得x≤4，则3≤x≤2．（2）f（x）＝|x+a|+|x+1|＝|x+a|+|﹣x﹣1|≥|x+a﹣x﹣1|＝|a﹣2|．∴实数a的取值范围是[﹣1，3]．20．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率），潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”．（1）求这1000名患者潜伏期的众数、平均数；（2）计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数．【分析】（1）由区间[6，8）的频率最大可知众数为7；同一组数据用区间中点值作代表即可计算平均数．（2）由频数＝样本容量×频率/组距×频率即可得解．解：（1）由频率分布直方图可知，众数位于区间[6，8）内，∴众数为7．平均数为（2×0.02+3×0.08+5×0.15+7×6.18+9×0.03+11×0.03+13×0.01）×2＝5．∴这1000名患者中“短潜伏者”的人数为1000×0.5＝500人．21．为了解某种产品的广告费x（单位：万元）对销量y（单位：吨）的影响，对近五年该产品的广告费和销量统计如表：x12345y 2.2 3.8 5.5 6.57（1）求y关于x的线性回归方程＝x+；（2）根据（1）中的回归方程预测当广告费为6万元时，销量为多少吨？参考公式：，．【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝6求得y值即可．解：，．＝8×2.2+2×3.8+4×5.5+4×6.5+7×7＝87.3，＝，∴y关于x的线性回归方程为；取x＝5，可得吨．故预测当广告费为6万元时，销量为8.69吨．。

2019-2020学年哈尔滨三中高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数z=5i(i+2)的虚部为()A. −2B. 2C. −1D. −2i2.如果log9(mn)=2(m>0,n>0)，那么m+n的最小值是()A. 18B. 9C. 4√3D. 43.曲线y=cosx(0≤x≤32π)与两坐标轴所围成图形的面积为()A. 4B. 3C. 52D. 24.已知i为虚数单位，z−是复数z的共轭复数，若z−=cos2π3+isin2π3，则z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.已知函数f(x)=4x−24x2−4x+5−(2x−1)3+12，则∑f2018i=1(k2019)=()A. 0B. 1009C. 2018D. 20196.下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的：③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知命题p：∃x∈R，x−2>log2x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A. p∨q是假命题B. p∨(￢q)是假命题C. p∧q是真命题D. p∧(￢q)是真命题8.已知命题p：∀x∈R，x2≤1，则命题p的否定()A. ∃x∈R，x2≥1B. ∀x∈R，x2≥1C. ∃x∈R，x2>1D. ∀x∈R，x2>19.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,y).则“x=−2且y=−4”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. “α=π4”是“角α的终边过点(2,2)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f′′(x)，若在(a,b)上f′′(x)<0恒成立，则称函数f′(x)在(a,b)上为“凸函数已知f(x)=e x −xlnx −m 2x 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,2e −1]B. [e −1,+∞)C. [e 4−14,+∞)D. (e,+∞)12. 过点(0,−1)的直线l 与两曲线y =lnx 和x 2=2py 均相切，则p 的值为( )A. 14B. 12C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 由曲线y =1x 和直线x =13，x =3及x 轴所围图形的面积为______ ． 14. 已知a n =n 2015，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A(m,n)表示第m 行的第n 个数，则A(9,13)表示的数为______ ． 15. 已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点为A ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k(k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C ，若F 1C ⊥AB ，则实数k 的值是______．16. 对实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ={a(b +1),a ≥b b(a +1),a <b，则(2tan 5π4)⊗cos 7π3+lg100⊗(13)−1=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分） 17. 设函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)．(1)判断并证明：当a >1时，函数f(x)在R 上的单调性；(2)已知a =3，若f(3x)≥λf(x)对于x ∈[1,2]恒成立，求满足条件的最大整数λ的值．18. 求由曲线y =x 3在点(3,27)处的切线，曲线y =x 3和x 轴围成的区域的面积．19. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =6t −my =√3t (t 为参数，m ∈R)． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若曲线C 上的动点M 到直线l 的最大距离为6√1313，求m 的值．20. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 的极坐标方程为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6． (Ⅰ)求直线l 与圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设A(−1,2)，P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，求|PA|+|AQ|．21. (1)已知实数a >0，若关于x 的不等式sinx −xcos a x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若0<x <π2，求证：1sin 2x −1x 2<1−4π2．【答案与解析】1.答案：A解析：解：z =5i(i+2)=5−1+2i =−1−2i 故其虚部为：−2 故选：A ．化简复数可得z =−1−2i ，由复数实虚部的定义可得答案．本题为复数虚部的求解，正确运用复数的运算化简复数式是解决问题的关键，属基础题．2.答案：A解析：本题主要考查基本不等式，属于基础题，先由log 9(mn)=2，得mn =81.再利用基本不等式即可得出．解：∵log 9(mn)=2，得mn =81．∵m >0，n >0，∴m +n ≥2√mn =2√81=18，当且仅当m =n =9时取等号． 故选：A ．3.答案：B解析：解：当0≤x ≤π2时，cosx ≥0， 当π≤x ≤32π时，cosx ≤0，∴所求面积S =∫|3π20cosx|dx =∫cos π20xdx +∫|3π2π2(−cosx)dx =sinx| 0π2−sinx| π23π2=sin π2−sin3π2+sin π2=1+1+1=3，故选：B ．根据积分的几何意义，即可求出曲线围成的面积．本题主要考查积分的应用，利用积分即可求出曲线面积，注意要对函数进行分段求值，4.答案：C解析：由三角函数的求值化简z ，进一步求得z −所对应点的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 解：∵z =cos2π3+isin2π3=−12+√32i ，∴z −=−12−√32i ， 则z −在复平面内对应的点的坐标为(−12,−√32)，位于第三象限角．故选：C ．5.答案：B解析：解：函数f(x)=4x−24x 2−4x+5−(2x −1)3+12， 所以：f(x)=2(2x−1)(2x−1)2+4−(2x −1)3+12， 故函数f(x)的图象关于(12,12)成中心对称． f(12019)+f(20182019)=f(22019)+f(20172019)=⋯=1，所以∑f 2018i=1(k2019)=1009． 故选：B ．首先求出函数关系式的对称中心，进一步利用关系式的规律求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，直接利用关系式的变换求出函数的对称中心，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.答案：C解析：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故①正确，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实，推理的形式是否正确，故②不正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论，故③正确， 演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关，④正确， 运用三段论推理时，大前提、小前提都可以省略，⑤不正确． 故选C ．7.答案：D解析：解：命题p：∃x∈R，x−2>log2x，例如x=8，不等式成立，所以命题p是真命题；对命题q：∀x∈R，x2>0，当x=0时，命题不成立，所以命题q为假命题．所以￢q为真命题．所以p∧(￢q)是真命题为真命题．故选：D．判定出命题p与q的真假，根据复合命题的真值表得出正确选项．本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目．8.答案：C解析：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题p的否定：∃x∈R，x2>1，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：若“a⃗//b⃗ ”，则满足y=2x，由x=−2，y=−4能推出y=2x，是充分条件，由y=2x推不出x=−2，y=−4，不是必要条件，故选：B．根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=−2，y=−4”的关系即可．本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题．10.答案：A解析：解：“α=π4”⇒“角α的终边过点(2,2)”，反之不成立，例如α=π4+2kπ(k∈Z)，∴“α=π4”是“角α的终边过点(2,2)”的充分不必要条件，故选：A．“α=π4”⇒“角α的终边过点(2,2)”，反之不成立，例如α=π4+2kπ(k∈Z)，即可判断出结论．本题考查了终边相同的角的几何、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：∵f(x)=e x−xlnx−m2x2在(1,4)上为“凸函数，∴f′(x)=e x−lnx−mx−1，∴f″(x)=e x−1x−m<0在(1,4)上恒成立，∵f″(x)=e x−1x−m在(1,4)上单调递增，∴f″(x)<e4−m−14，∵f″(x)<0恒成立，∴e4−m−14≤0，∴m≥e4−14．故选：C．求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：设直线l与两曲线y=lnx和x2=2py相切的切点分别是A(x1,lnx1)，B(x2,x222p)，∵y=lnx的导数为y′=1x ，x2=2py即y=x22p的导数为y′=x p，∴直线l的斜率为1x1=x2p，又直线l过(0,−1)，∴直线l的斜率且为lnx1+1x1=x222p+1x2，∴x1=1，x2=p，p22p+1=p，∴p=2．故选C．分别设出两切点，再求出两函数的导数，并用两种形式写出切线的斜率，再结合两点的斜率公式，列方程解出x1，x2，从而求出p的值．本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，抓住在某点处的导数即为在这点处切线的斜率，同时注意运用两点的斜率公式，是一道中档题．13.答案：2ln3解析：解：∵曲线y=1x 和直线x=13，x=3及x轴所围图形的面积S=∫1 x 31 3dx=lnx|133=ln3−ln13=2ln3．故答案为：2ln3作出曲线y=1x 和直线x=13，x=3的图象，得出它们的交点横坐标，可得所求面积为函数y=1x 在区间[13,3]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．14.答案：772015解析：解：由题意知第一行的最后一个数字是数列{a n}的第1项，第二行的最后一个数字是数列{a n}的第4项，第三行的最后一个数字是数列{a n}的第9项，∴第m−1的最后一个数是数列{a n}的第(m−1)2项，∴A(9,13)是数列{a n}的第82+13=77项；∵a n=n2015，∴A(9,13)=a77=772015，故答案为：772015由题意知第m−1的最后一个数是数列{a n}的第(m−1)2项，故A(9,13)是数列{a n}的第82+13=77项，代入通项公式，可得答案．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．15.答案：√612解析：解：设点B(x B,y B)，直线AB的方程为y=k(x+2)，联立x24+y23=1得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2−12=0，∴−2x B =16k 2−123+4k 2，即x B =−8k 2+63+4k 2，∴y B =k(x B +2)=12k 3+4k 2，即B(−8k 2+63+4k 2,12k 3+4k 2).易知F 2(1,0)，k BF 2=4k1−4k 2，k CF 1=−1k ，所以直线BF 2，CF 1方程分别为y =4k1−4k 2(x −1)，y =−1k (x +1)， 可得4k1−4k 2(x −1)=−1k (x +1)，解得C(8k 2−1,−8k)， 代入椭圆E ：x 24+y 23=1，得192k 4+208k 2−9=0，即(24k 2−1)(8k 2+9)=0， 得k 2=124， 所以k =√612．故答案为：√612．根据题意，设点B(x B ,y B )，直线AB 的方程为y =k(x +2)，与椭圆的方程联立解可得x B 的值，将x B 的值代入直线方程可得y B 的值，即可得答案；由椭圆的标准方程可得F 2坐标，由直线的点斜式方程可得直线BF 2，CF 1方程，联立可得C(8k 2−1,−8k)，代入椭圆E ：x 24+y 23=1中解可得k 2的值，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，关键是由椭圆的标准方程求出点A ，F 1，F 2的坐标．16.答案：12解析：解：∵2tan 5π4=2tan(π+π4)=2tan π4=2，cos7π3=cos(2π+π3)=cos π3=12，由a ⊗b ={a(b +1),a ≥b b(a +1),a <b 及2>12，得(2tan 5π4)⊗cos 7π3=2⊗1=2×(12+1)=3．又由lg100=2<(13)−1=3知，lg100⊗(13)−1=2⊗3=3(2+1)=9． ∴原式=3+9=12． 故填12．先计算2tan5π4，cos7π3，lg100，(13)−1，再由a⊗b中a，b的大小确定a⊗b运算规则，即可得原式的值．1.本题属于实数运算的新概念问题，关键弄清a，b的大小关系，从而确定a⊗b的运算规则．2.处理分段函数问题时，应注意分段的标准是什么，即应对临界点处的情况进行细致地分析．17.答案：解：(1)函数f(x)在R上的单调递增，下面用定义法证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=a x1−a−x1−(a x2−a−x2)=(a x1−a x2)+(1a x2−1a x1)，∵a>1，x1<x2，∴a x1−a x2<0，1a x2−1a x1<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增．(2)由题意，得33x−3−3x≥λ(3x−3−x)在x∈[1,2]时恒成立，令t=3x−3−x，t∈[83,809]，则(3x−3−x)(32x+1+3−2x)≥λ(3x−3−x)在x∈[1,2]时恒成立，∴t(t2+3)≥λt，在t∈[83,809]时恒成立，即λ≤t2+3，在t∈[83,809]时恒成立，又在t∈[83,809]时，(t2+3)min=919，∴λ≤919，则λ的最大整数为10．解析：(1)函数f(x)在R上的单调递增，然后利用定义法证明即可；(2)f(3x)≥λf(x)对于x∈[1,2]恒成立，令t=3x−3−x，则λ≤t2+3，在t∈[83,809]时恒成立，然后求出t2+3在t∈[83,809]时的最小值即可得到λ的范围，进一步得到λ的最大整数．本题考查了利用定义法证明函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和计算能力，属中档题．18.答案：解：求导函数，可得y′=3x2，当x=3时，y′=27，∴曲线y=x3在点(3,27)处的切线方程为y−27=27(x−3)，即y=27x−54．∴所求区域的面积为S=∫(30x3−27x+54)dx=(14x4−272x2+54x)|03=274．解析：利用导数的几何意义，求出切线方程，确定被积函数与被积区间，求出原函数，即可得到结论．本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数是解题的关键．19.答案：解：(1)曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，转换为直角坐标方程为：x 2+4y 2=4，整理得：x 24+y 2=1，直线l 的参数方程为{x =6t −m y =√3t(t 为参数，m ∈R)． 转换为直角坐标方程为：x −2√3y +m =0，(2)把x 24+y 2=1转换为参数方程为：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)，由于：线C 上的动点M(2cosθ,sinθ)到直线l 的最大距离为6√1313， 则：d =√3sinθ−m|√13=√13， 当m >0时，13=6√1313， 解得：m =2，当m <0时，√13=6√1313， 解得：m =2(舍去)，故：m =2．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)直接利用点到直线的距离和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−1+t y =2+t (t 为参数)，消去t 可得x −y +3=0； 圆C 的极坐标方程为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，∴x 2+y 2=4y −4x −6，即(x +2)2+(y −2)2=2；(Ⅱ)易知A 在直线l 上，且在圆内，则|PA|+|AQ|=|PQ|圆心C(−2,2)到直线l 的距离d =√2=√2，圆C 半径R =√2， ∴(12|PQ|)2+d 2=R 2，解得|PQ|=√6，∴|PA |+|AQ |=√6．解析：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)消去参数，可得直线l 的普通方程；ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，可得圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)求出圆心C 到直线l 的距离d ，利用(12|PQ|)2+d 2=R 2，可求|PA|+|AQ|=|PQ|． 21.答案：证明：(1)设f(x)=sinxcos a x −x ，则若关于x 的不等式sinx −xcos a x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，可以转化为f(x)≥0，在0≤x ≤π2上恒成立，对f(x)求函数导数得：f ′(x)=cosx ⋅cos a x −sinx ⋅αcos a−1x ⋅(−sinx)cos 2a x −1=cos 1−a x +αsin 2xcos −a−1x −1,f ′(0)=0 f″(x)=(1−a)cos −a x ⋅(−sinx)+2asinx ⋅cosxcos −a−1x +asin 2x ⋅(−a −1)⋅cos −a−2x ⋅(−sinx)=(1−a)cos −a x ⋅(−sinx)+2asinx ⋅cos −a x −asin 3x ⋅(−a −1)⋅cos −a−2x=sinx ⋅cos −a x[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]，①在a ≥13时，有f′′(x)≥0，则f′(x)在0≤x ≤π2为增函数，而f′(0)=0∴f′(x)≥f′(0)=0，因此f(x)在0≤x <π2为增函数，有f(x)≥f(0)=0从而f(x)≥0．所以a ≥13符合要求．②在0<a <13时，而f ″(x)=sinx ⋅cos −a x ⋅[(3a −1)+a(a +1)sin 2xcos −2x]=sinx ⋅cos −a x ⋅[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]=sinx ⋅cos −a x ⋅[tan 2x −1−3a (1+a)a](a +1)a 由f′′(x)=0可知：tan 2x =1−3a (1+a)a ，令tan 2x 0=1−3a (1+a)a ，x 0∈(0,π2)，因此f′(x)在(0,x 0)为减函数，则f′(x)≤0，f(x)单调递减，于是有f(x)≤f(0)=0在(0,x 0)恒成立，从而矛盾，因此0<a <13不符合．综合讨论可知：a ≥13．(2)设g(x)=1sin 2x −1x 2，对g(x)求函数导数得：g ′(x)=−2sin −3x ⋅cosx −(−2)x −3=2(1x 3−cosx sin 3x) 由(1)可知当a =13时，sinx −xcos 13x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，即sinx ≥xcos 13x 在0≤x ≤π2上恒成立，所以sin 3x ≥x 3cosx 在0≤x ≤π2上恒成立，即1x 3≥cosx sin 3x 在0≤x ≤π2上恒成立，可知：g′(x)≥0，∴g(x)在(0,π2)上为增函数，则g(x)≤g(π2)=1−4π2．解析：(1)设f(x)=sinx cos a x −x ，问题可以转化为f(x)≥0，在0≤x ≤π2上恒成立，先求f(x)，再求f″(x)=sinx ⋅cos −a x[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]，分两种情况：①在a ≥13时，②在0<a <13时，分析f″(x)的正负，f′(x)的增减，得f(x)的增减，进而得f(x)的函数值取值范围．是否符合题意，进而得出结论．(2)设g(x)=1sin x −1x ，对g(x)求函数导数得：g′(x)=2(1x −cosx sin x )，由(1)可知当a =13时，sinx −xcos 13x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，得1x 3≥cosx sin 3x 在0≤x ≤π2上恒成立，g′(x)≥0，g(x)在(0,π2)上为增函数，则g(x)≤g(π2)，进而得出结论．本题考查导数的综合应用，三角函数化简，属于中档题．。

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．6(2)x x-的展开式中的常数项是（ ） A ．192 B ．192-C ．160D ．160-【答案】D 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令x 的幂指数为0，求得r 的值，从而可得62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为1r T +，则66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（）， 令6022r r--=得：3r = ， ∴62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3633612160.C --⋅⋅=-（） 故选D ．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 2．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-8【答案】B 【解析】根据流程图可得：第1次循环：2,1,11y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第2次循环：1,2,13y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第3次循环：1,1,13y x y x x y i i =+=-=-=-=+= ； 第4次循环：2,1,14y x y x x y i i =+=-=-==+= ； 此时程序跳出循环，输出1x y +=- . 本题选择B 选项. 4．设103iz i=+，则z 的共轭复数为 A ．13i -+ B ．13i --C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】 试题分析：()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．5．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720 B ．360C ．270D ．180【答案】D【解析】 【分析】由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案. 【详解】解：根据题意，分两步进行：① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有2630A =中情况；② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有222422226C C A A =种情况， 则一共有306180⨯=种不同的安排方案， 故选：D. 【点睛】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确. 6．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是A ．82B ．83C ．813或D ．812或【答案】C 【解析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得a ，再令1x =可得各项系数和． 详解：展开式通项为882188()()r rr r r r r aT C xa C x x--+=-=-，令820r -=，则4r =，∴448()1120a C -=，2a =±，所以展开式中各项系数和为8(1)1a -=或83．故选C ．点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为2012()nn f x a a x a x a x L =++++，如求所有项的系数和可令变量1x =，即系数为(1)f ，而奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项系数为(1)(1)2f f --，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．8．已知方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 22,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,8e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由于0mx e >恒成立，构造函数2()1mx xf x e =-，则方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根等价于函数2()1mx x f x e =-在(]0,16上有两个不同的零点，利用导数研究函数2()1mx xf x e=-在(]0,16的值域即可解决问题。

2019-2020年高二下学期期末考试 数学文 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,,则,则A ．B ．C ．D ．2．已知为虚数单位，复数z=，则复数的虚部是A ．B ．C ．D ．3. 如右图所示的程序框图的输出值，则输入值的取值范围为A ．B ．C ．D ．4.下列有关命题的说法中错误的是．．．．A ．若“”为假命题，则、均为假命题B ．“”是“”的充分不必要条件C ．“”的必要不充分条件是“”D ．若命题：“实数，使”，则命题为“对于都有”5. 已知点是边长为1的等边的中心，则等于A ．B ．C ．D ．6. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为A ．B ．C ．D ．7. 等差数列的公差，且，则该数列的前项和取得最大值时，A ．B ．C ．或D ．或8．已知函数22cos sin sin 21cos 21)(22+--=x x x x x f ，则A. 在时取得最小值，其图像关于点对称B. 在时取得最小值，其图像关于点对称C.在单调递减，其图像关于直线对称D .在单调递增，其图像关于直线对称9．函数的图象是A ．B ．C ．D ．10．已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面则该球的表面积为A．B．C．D．11. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．12．已知函数的两个极值点分别为且记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A、B、C三所学校共有高二学生1500人，且A、B、C三所学校的高二学生人数成等差数列，在进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.14．已知，，且，，成等比数列，则的最小值是_______.15.如图，是边长为的正方形，动点在以为直径的圆弧上，则的取值范围是 . 16．已知函数，给出如下四个命题：①在上是减函数；②的最大值是2；③函数有两个零点；④在上恒成立.其中正确的序号是.三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）设的内角A、B、C所对的边长分别为、、，已知，（Ⅰ）求边长的值；（Ⅱ）若的面积，求的周长.18.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示. （Ⅰ）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（Ⅱ）如果，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．19. (本小题满分12分）如图所示,和是边长为2的正三角形,且平面平面,平面,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求三棱锥的体积.EDC A20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为，点A 是椭圆上任一点，△AF 1F 2的周长为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记，若在线段MN 上取一点R ，使得，则当直线l 转动时，点R 在某一定直线上运动，求该定直线的方程.x 8 2 9 乙组 第18题图21．（本小题满分12分）已知函数，（其中实数,是自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值；( Ⅲ) 若存在．．，使方程成立，求实数的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线过圆心，交⊙于，直线交⊙于,(不与重合)，直线与⊙相切于,交于,且与垂直，垂足为,连结.求证：（Ⅰ） ; (Ⅱ).23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 (为参数)，曲线的极坐标方程（Ⅰ）求曲线的普通方程；(Ⅱ)求直线被曲线截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数.(Ⅰ）解不等式；(Ⅱ）对于实数，若，求证．答案选择题1-16DBDCD DCDBC AB13.40 14. 15. 16.①③④17．解：（Ⅰ）, ……………3分……………5分……………6分（Ⅱ） ……………8分由余弦定理可得：， ……………10分 ……………12分18. 解：（Ⅰ）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所 以平均数为 ……………3分 方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分（Ⅱ）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4，B 1 B 3，B 1B 4， B 3B 4. ……………9分 用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4， ……………11分 选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为……………12分19.(Ⅰ)证明:取的中点为,连结AF,EF,BD∵△BCE 正三角形,∴EFBC, ……………1分 又平面ABC 平面BCE,且交线为BC,∴EF⊥平面ABC , ……………2分 又AD⊥平面ABC∴AD∥EF,∴共面, ……………3分又易知在正三角形ABC 中,AF⊥BC, ……………4分 ∴平面, ……………5分又平面 故; ……………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF//AD 所以有 ……………9分所以,所以 ……………11分即 ……………12分20.解（Ⅰ）∵△AF 1F 2的周长为，∴即. ……………………（1分）又解得………………（3分）∴椭圆C 的方程为………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，设其方程为由得则……………………………………（6分）由，得∴∴.……………………………………（8分）设点R的坐标为（），由，得∴解得112122121211224424().41()814xx xx x x x x x xxx x xxλλ++⋅-+++===+-++++………………（10分）而22121222264432824()24,141414k kx x x xk k k--++=⨯+⨯=-+++∴故点R在定直线上. ………………………………………………（12分）21．解：（Ⅰ）当时，…………1分故切线的斜率为…………2分所以切线方程为：，即…………3分（Ⅱ），令，得………… 4分①当时，在区间上，，为增函数，所以……………5分②当时，在区间上，为减函数在区间上，为增函数……………6分所以……………7分(Ⅲ) 由可得……………8分令，1单调递减极小值（最小值）单调递增…………… 10分，，……………11分实数的取值范围为 ……………12分22．解析 （Ⅰ）连结BC,∵AB 是直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG. ………………5分 (Ⅱ)连结CF,∵EC 切⊙O 于C, ∴∠ACE=∠AFC.又∠BAC=∠CAG,∴△ACF ∽△AEC.∴,∴AC 2=AE ·AF. ………………10分23.解析：(Ⅰ）由曲线，得，化成普通方程为.① ………………5分 (Ⅱ）方法一：吧直线参数方程化为标准参数方程为（为参数）②， 把②代人①得：，整理，得.设其两根为，则从而弦长为12t t -====.…………10分 方法二：把直线的参数方程化为普通方程为， 代人，得.设直线与曲线交于，，则，，AB ===10分 24.解：(Ⅰ）令，则作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为． ………………5分(Ⅱ）因为 ()()()()2112112211221x y x y x y x y -+=---≤-+-+≤-+-+ ，所以 . ………………10分。

哈尔滨市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,a a a a a u v u u v u u v u u v u u v；以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,b b b b b u v u u v u v u u v u u v．若,P Q 分别为()()•i j k r s t a a a b b b ++++u v u u v u u v u u v u v u v的最小值、最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t 刎，则下列对,P Q 的描述正确的是（ ） A ．00P Q ＜，＜ B ．00P Q ＝，＞C ．00P Q ＜，＞D ．00P Q ＜，＝【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．【详解】由题意，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r， 以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,b b b b b u r u u r u r u u r u u r，则利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，又因为,P Q 分别为()()i j k r s t a a a b b b ++⋅++u r u u r u u r u u r u r u r的最小值、最大值，所以0,0P Q <<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．2．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ） A ．90种 B ．120种 C ．180种 D ．240种【答案】A 【解析】 【分析】从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共26C 种方法；再将剩余4张票平均分给丙丁2人，共有2242C C 种方法；根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有26C 种分法；再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有2242C C 种分法， 由分步原理得，共有222642C C C 90=种分法． 故选：A 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理与组合的综合问题. 3．已知空间向量 向量且,则不可能是A ．B ．1C ．D ．4【答案】A 【解析】 【分析】 由题求得的坐标，求得，结合可得答案.【详解】，利用柯西不等式可得.故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题. 4．函数()1f x x=与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ） A ．2ln21-+ B ．2ln 21-C ．ln 2-D ．ln 2【答案】B 【解析】 【分析】根据定积分的几何意义直接求出()f x 在区间[,4]e 的定积分，即可得出答案。

2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨三中高二（下）第一次段考数学试卷（文科） （3 月份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 10 小题，共 50.0 分）1. 若函数 f（x）=x2+x，则函数 f（x）从 x=-1 到 x=2 的平均变化率为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 62. 已知函数 f（x）=13-8x+ ，且 f′（x0）=4，则 x0 的值为（ ）A. 0B. 3C.D.3. 已知一个物体的运动方程为 s=2（t+1）2-1，其中位移 s 的单位是 m，时间 t 的单位是 s，则物体的初速度 v0 为（ ）A. 0m/sB. 1m/sC. 2m/sD. 4m/s4. 函数 f（x）=sinx-x，的最大值是（ ）A.B. πC. -πD.5. 已知点 P 在曲线 y=x3-x+5 上移动，设曲线在点 P 处的切线斜率为 k，则 k 的取值范围是（ ）A. （-∞，-1]B. [-1，+∞）C. （-∞，-1）D. （-1，+∞）6. 若函数 f（x）=x2-alnx 在（1，+∞）上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）A. （-∞，1）B. （-∞，1]C. （-∞，2）D. （-∞，2]7. 若函数 f（x）=2x2-lnx 在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围（ ）A. [1， ）B. （-∞，- ）C. （ ，+∞）D. （ ， ）8. 如果函数 f（x）=x2-2x+mlnx 有两个极值点，则实数 m 的取值范围是（ ）A.B. （0， ）C.D.9. 若存在，使得不等式 2xlnx+x2-mx+3≥0 成立，则实数 m 的最大值为（ ）A.B.C. 4D. e2-110. 已知函数 f(x)＝ax＋x2－xlna，对任意的 x1，x2∈[0，1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤a－2 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [e2，＋∞)B. [e，＋∞)C. [2，e]D. [e，e2]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）11. 函数 f（x）=2x3-6x2+1 的单调递增区间为______．12. 函数 f（x）=x2ex 的极大值为______．13. 函数 f（x）=x2-6x+4lnx 的图象与直线 y=m 有三个交点，则实数 m 的取值范围为______．第 1 页，共 11 页14. 已知偶函数 f（x）的导函数为 f'（x），且满足 f（2）=0，当 x＞0 时，xf'（x）＞2f（x），则使 得 f（x）＞0 的 x 的取值范围为______．三、解答题（本大题共 4 小题，共 50.0 分） 15. 已知曲线 f（x）=x3-2x2+x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在 x=2 处的切线方程； （Ⅱ）求曲线 y=f（x）过原点 O 的切线方程．16. 已知函数 f（x）=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 ．（1）求 a，b 的值和函数 f（x）的单调区间；（2）求函数 f（x）在区间上的最值17. 已知函数（a≠0），讨论函数 f（x）的单调区间．18. 已知函数 f（x）=2lnx+x2-2ax（a＞0）． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），且 f（x1）-f（x2）≥ -2ln2 恒成立，求 a 的取值范围．第 2 页，共 11 页第 3 页，共 11 页1.答案：B-------- 答案与解析 --------解析：解：根据题意，函数 f（x）=x2+x，f（-1）=0，f（2）=6，则函数 f（x）从 x=-1 到 x=2 的平均变化率 == =2；故选：B． 根据题意，由函数的解析式计算 f（2）与 f（-1）的值，由变化率计算公式计算可得答案． 本题考查函数的变化率，关键是掌握函数变化率的计算公式，属于基础题．2.答案：C解析：解：∵，∴，解得．故选：C． 利用导数的运算法则即可得出． 熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．3.答案：D解析：【分析】 本题考查函数的变化率以及导数的物理意义，理解物体运动的瞬时速度是位移 s 与时间 t 的函数的导 数为解题的关键． 根据题意，求出物体的运动方程的导数，结合导数的物理意义分析，求出 s′|x=0 的值，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，一个物体的运动方程为 s=2（t+1）2-1，即 s=2t2+4t+1， 其导数 s′=4t+4， 当 t=0 时，s′|x=0=4， 即物体的初速度 v0 为 4； 故选：D．4.答案：A解析：解：函数 f（x）=sinx-x， 所以：f′（x）=cosx-1≤0，则函数为减函数，故：函数的最大值为 f（ ）=-1+ ，故选：A． 直接利用函数的导数求出函数的单调性，进一步利用单调性的应用求出结果． 本题考查的知识要点：函数的导数的应用，三角函数的值域的应用，主要考察学生的运算能力和转 换能力，属于基础题型．第 4 页，共 11 页5.答案：B解析：解：y=x3-x+5 的导数为 y′=3x2-1， 设 P 的坐标为（x，y），可得 k=3x2-1≥-1， 即 k 的范围是[-1，+∞）． 故选：B． 求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由二次函数的值域可得 k 的范围． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，二次函数的值域，考查运算能力，属于基础题．6.答案：D解析：【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于较易题． 由 f（x）在（1，+∞）上单调递增知 f′（x）≥0 在（1，+∞）上恒成立，从而转化为求最值问题． 【解答】 解：∵f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴≥0 在（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x2，即 a≤2． 故选：D．7.答案：A解析：【分析】 本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键． 求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，通过分类讨论即可得到结论． 【解答】 解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的 f′（x）=4x- = ，由 f′（x）＞0 解得 x＞ ，此时函数单调递增，由 f′（x）＜0 解得 0＜x＜ ，此时函数单调递减，故 x= 时，函数取得极小值．①当 k=1 时，（k-1，k+1）为（0，2），函数在（0， ）上单调减，在（ ，2）上单调增，此时满足题意； ②当 k＞1 时，∵函数 f（x）=2x2-lnx 在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数， ∴x= 在（k-1，k+1）内，即，即，即 ＜k＜ ，此时 1＜k＜ ，第 5 页，共 11 页综上 1≤k＜ ，故选：A．8.答案：B解析：【分析】 本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于简单题． 函数 f（x）=x2-2x+mlnx 有两个极值点，即 f'（x）=0 在 的取值范围． 【解答】 解：函数 f（x）=x2-2x+mlnx 有两个极值点，所以 f'（x）=2x-2+ =0 在上有两个不相等的正根，上有两个不相等的正根，即可求得 m即，则和函数图象有两个交点，所以 0，所以 0，故选 B．9.答案：A解析：解：由存在，使得不等式 2xlnx+x2-mx+3≥0 成立，得：m≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]有解，令 y=2lnx+x+ ，则 y′=，故 x∈（ ，1）时，y′＜0，函数是减函数， x∈（1，e）时，y′＞0，函数是增函数， 故 x= 时，y=3e+ -2，x=e 时，y=2+e+ ，又（3e+ -2）-（2+e+ ）=2e-4- ＞0，故函数 y=2lnx+x+ 的最大值是 3e+ -2，m≤3e+ -2， 故选：A． 求出 m≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]有解，令 y=2lnx+x+ ，根据函数的单调性求出 m 的最大值即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．第 6 页，共 11 页10.答案：A解析：【分析】 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的 能力，属于中档题． 对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）-f（x2）|≤a-1 恒成立等价于|f（x1）-f（x2）|max≤a-2，而|f（x1）-f（x2） |max=f（x）max-f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即 可． 【解答】 解：函数 f（x）=ax+x2-xlna，x∈[0，1]， 则 f′（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x． 当 0＜a＜1 时，显然|f（x1）-f（x2）|≤a-2 不可能成立； 当 a＞1 时，x∈[0，1]时，ax≥1，lna＞0，2x≥0， 此时 f′（x）≥0， 所以 f（x）在[0，1]上单调递增， 所以 f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1-lna， 所以|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=a-lna， 由题意得，a-lna≤a-2，解得 a≥e2， 故答案为[e2，+∞）． 故选 A．11.答案：（-∞，0），（2，+∞）解析：解：因为 f（x）=2x3-6x2+1， 所以 f′（x）=6x2-12x， 令 f′（x）＞0，解得 x＜0 或 x＞2， 故函数的增区间为（-∞，0），（2，+∞）， 故答案为：（-∞，0），（2，+∞）． 利用导数研究函数的单调性，只需求解 f′（x）＞0 的解集即可得解． 本题考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．12.答案：4e-2解析：解：∵f（x）的定义域为（-∞，+∞）， 且 f'（x）=x（x+2）ex， x 变化时，f（x）与 f'（x）的情况如下：x（-∞，-2） -2（-2，0）0f'（x）+0-0f（x）↑极大↓极小故当 x=-2 时，f（x）取得极大值为 f（-2）=4e-2． 故答案为：4e-2． 先求出函数的导数，得到单调区间，求出极值点，从而求出函数的极值．本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题．13.答案：（4ln2-8，-5）（0，+∞） + ↑第 7 页，共 11 页解析：【分析】 本题考查函数零点的判定，考查利用导数求函数的极值，是中档题． 求出原函数的导函数，得到函数的单调性，求得极值，则答案可求． 【解答】解：由 f（x）=x2-6x+4lnx，得 f′（x）=2x-6+ =（x＞0）． 由 f′（x）=0，得 x=1 或 x=2． 则当 x∈（0，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，当 x∈（1， 2）时，f′（x）＜0． ∴f（x）在（0，1），（2，+∞）上为增函数，在∈（1， 2）上为减函数． 又 f（1）=-5，f（2）=4ln2-8． ∴函数 f（x）=x2-6x+4lnx 的图象与直线 y=m 有三个交点，则实数 m 的取值范围为（4ln2-8，-5）． 故答案为：（4ln2-8，-5）．14.答案：（-∞，-2）∪（2，+∞）解析：【分析】 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及利用导数研究函数的单调性，属于中档 题.构造函数 g（x）= ，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）上单调递增，再根据 f（x）为偶函数，根据 f（1）=0，得 g（2）=，且 g（x）为偶函数，即可求解 f（x）＞0 的解集．【解答】解：令 g（x）= ，则，已知当 x＞0 时，xf′（x）＞2f（x），则当 x＞0 时，g′（x）＞0， 所以函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增， 又 f（2）=0，f（x）是偶函数，所以 g（2）=，且 g（x）为偶函数，要求 f（x）＞0，即求 g（x）＞0， 即 g（x）＞g（2）， 则有|x|＞2，可得 x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）； 故答案为（-∞，-2）∪（2，+∞）.15.答案：解：（Ⅰ）f（x）=x3-2x2+x 的导数为 f′（x）=3x2-4x+1，可得曲线 y=f（x）在 x=2 处的切线斜率为 12-8+1=5， 切点为（2，2），可得切线方程为 y-2=5（x-2）， 即为 5x-y-8=0； （Ⅱ）设切点为（m，m3-2m2+m）， 可得切线的斜率为 3m2-4m+1， 即有切线方程为 y-（m3-2m2+m）=（3m2-4m+1）（x-m）， 代入（0，0），可得-（m3-2m2+m）=（3m2-4m+1）（-m），第 8 页，共 11 页解得 m=0 或 m=1， 当 m=0 时，可得切线方程为 y=x； 当 m=1 时，可得切线方程为 y=0． 综上可得所求切线方程为 y=x 或 y=0．解析：（Ⅰ）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程； （Ⅱ）设切点为（m，m3-2m2+m），可得切线的斜率和方程，代入原点，可得 m 的值，即可得到所 求切线方程． 本题考查导数的运用：求切线方程，注意切点的确定，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：解：（1）由题意；所以：，定义域为（0，+∞）令⇒x2-x＞0⇒x＞1，∴单增区间为（1，+∞）；令⇒x2-x＜0⇒0＜x＜1，∴单减区间为（0，1）（2）由（1）知在区间函数 f（x）单调递减，在区间[1，e]函数 f（x）单调递增，所以，而，，所以．解析：（1）函数 f（x）=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 ，得到 f（1）= ，f′（1）=0 得到 a、b 即可；找到函数的定义域，求出导函数，能求出函数 f（x）的单调区间． （2）根据函数的单调性即可求出函数的最值 本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间和最值的求法，考查推理能力，考查运算能力， 解题时要注意等价转化思想的合理运用．17.答案：解：函数的定义域为（0，+∞），f（x）= - +lnx= x-2- x-1+lnx函数的导数 f′（x）=- + + =，设 h（x）=ax2+2x-2，（a≠0）， 则判别式△=4+8a， 若△=4+8a≤0，①则时，h（x）≤0，则 f′（x）≥0，即此时函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增；第 9 页，共 11 页②当时，△＞0，对称轴 x=- =- ＞0．h（x）=0 的两个根==，即＜，由 f′（x）＞0 得 递增， 由 f′（x）＜0 得 即此时 f（x）在＞0，即 ax2+2x-2＜0，即 0＜x＜或 x＞，此时函数单调＜0，即 ax2+2x-2＞0，即＜x＜，此时函数单调递减，上单调递增，在上单调递减；③a＞0 时，此时△＞0，对称轴 x=- =- ＜0，h（x）=0 的两个根==，即＞，由由 f′（x）＞0 得 函数单调递增， 由 f′（x）＜0 得＞0，即 ax2+2x-2＞0，即 x＞或 x＜＞（舍），此时＜0，即 ax2+2x-2＜0，即＜x＜，∵x＞0，∴此时 0＜x＜，此时函数单调递减，即此时 f（x）在上单调递减，在上单调递增．解析：求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系， 本题主要考查函数单调性的判断，结合函数单调性和导数的关系以及一元二次方程根与判别式△的 关系讨论不等式的解集是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．18.答案：解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令 x2-ax+1=0，则 =a2-4，①0＜a≤2 时， ≤0，f′（x）≥0 恒成立， 函数 f（x）在（0，+∞）递增； ②a＞2 时， ＞0，方程 x2-ax+1=0 有两根：x1=，x2=，且 0＜x1＜x2，函数 f（x）在（0，x1）上 f′（x）＞0， 在（x1，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞）上，f′（x）＞0，故函数 f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）在（x1，x2）上递减，x1+x2=a，x1•x2=1， 则 f（x1）-f（x2）=2ln +（x1-x2）（x1+x2-2a）第 10 页，共 11 页=2ln + - ，令 t= ，则 0＜t＜1，f（x1）-f（x2）=2lnt+ -t，令 g（t）=2lnt+ -t，0＜t＜1，则 g′（t）=- ＜0，故 g（t）在（0，1）递减且 g（ ）= -2ln2，故 g（t）=f（x1）-f（x2）≥ -2ln2=g（ ），即 0＜t≤ ，而 a2== + +2=t+ +2，其中 0＜t≤ ，∵（t+ +2）′=1- ≤0 在 t∈（0， ]恒成立，故 a2=t+ +2 在（0， ]递减，从而 a 的范围是 a2≥ ，故 a≥ ．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题． （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）得到 x1+x2=a，x1•x2=1，则 f（x1）-f（x2）=2ln +（x1-x2）（x1+x2-2a）=2ln + - ，令 t= ，则 0＜t＜1，f（x1）-f（x2）=2lnt+ -t，令 g（t）=2lnt+ -t，根据函数的单调性求出 a 的范围即可．第 11 页，共 11 页。

黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（ ） A ．78 B ．102C ．114D ．120【答案】C 【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论. 详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中， 有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C =种情况， 剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有14C 4=种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.2．已知三棱锥A BCD -的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别为()2,0,2A ，()2,1,2B ，()0,2,2C ，()1,2,0D ，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以xOy 平面为投影面，得到的俯视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】点()2,0,2A 在0x y 的投影为()2,0,0，点()2,1,2B 在0x y 的投影为()2,1,0，()0,2,2C 在0x y 的投影为()0,2,0，()1,2,0D 在xOy 的投影为()1,2,0，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C 3．已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞B ．(0,1)和(2,)+∞C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭和(2,)+∞D ．()1,2【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x 的范围，继而得到函数的单调递增区间． 【详解】函数f(x)＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x －5＋2x ＝2252x x x -+＝()()221x x x--＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f(x)的单调递增区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，，(2，＋∞)．故选C 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题．4．设函数133,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,3]D ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】讨论1x ≤和1x >两种情况，分别解不等式得到答案. 【详解】当1x ≤时，1()33xf x -=≤，故0x ≥，即[]0,1x ∈；当1x >时，3()1log 3f x x =-≤，解得19≥x ，即()1,x ∈+∞. 综上所述：[0,)x ∈+∞. 故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.5．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了全市高三期末联考，已知数学考试成绩()2100,X N σ~（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．120 B ．160C ．200D ．240【答案】C 【解析】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为31416002002-⨯= .选C.6．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(1,)+∞ B ．[)1,+∞C ．(,)e +∞D ．[),e +∞【答案】B 【解析】 【分析】2ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥恒成立，令()2ln x xf x x +=， 则问题转化为()max a f x ≥，对函数()f x 求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。

哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知函数f(x)=x 3−kx.从x =−2到x =2的平均变化率为3，则k 的值为( )A. 1B. 0C. 2D. −22. 函数f(x)=4x 2的导函数是( )A. f′(x)=2xB. f′(x)=4xC. f′(x)=8xD. f′(x)=16x3. 运动物体的位移s =3t 2−2t +1，则此物体在t =10时的瞬时速度为( )A. 281B. 58C. 85D. 104. 函数f(x)=x2−sinx,x ∈[0,π2]的最小值是( )A. π3+√32B. π4C. π6−√32 D. π3−√325. 设曲线y =a(e x −1)−x 在点(0,0)处的切线方程为y =x ，则a =( )A. 0B. 1C. 2D. 36. 若函数f(x)=ax 2−x +ln x 在区间(1,4)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A. [0,+∞)B. [14,+∞)C. [18,+∞)D. [332,+∞)7. 已知函数f(x)=x 2−alnx +1在(1,3)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (2,18)B. [2,18]C. (−∞,2]∪[18,+∞)D. [2,18)8. 若函数f (x )=e −x +tlnx 有两个极值点，则实数t 的取值范围是( )A. (0,1e )B. (−∞,1e )C. (−1e ,0)D. (1e ,+∞)9. 若关于x 的不等式x 3−3x 2−9x +2≥m 对任意x ∈[−2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A. (−∞,7]B. (−∞,−20]C. (−∞,0]D. [−12,7]10. 不等式2xln x ≥−x 2+ax −3对x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (−∞,4]C. (0,+∞)D. [4,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 函数f(x)=13x 3−2x 2+3x −1的单调递增区间为____________．12.函数f(x)=√1−2x⋅e x+1的极大值为________．13.已知函数f(x)=(2x−3)e x+a有三个零点，则实数a的取值范围是______ ．x)=√2，且当x∈(0,π)时，14.已知f(x)是定义在(−π,π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π4f′(x)sinx+f(x)cosx>0，则不等式f(x)sinx<1的解集为________________三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15.求过原点作曲线C：y=x3−3x2+2x−1的切线方程．16.已知函数f(x)=ax3+(a−1)x2+48(a−2)x+b是奇函数．(1)求f(x)的单调区间及极值;(2)当x∈[1,5]时，求函数f(x)的最值．ax3+x2+1(a≤0)．17.求函数的单调区间f(x)=−1318.已知函数f(x)=xe x−a(x2+x)(a∈R)．2(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查函数的变化率，关键是掌握函数变化率的计算公式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式计算f(2)与f(−2)的值，由变化率计算公式计算可得答案．解：函数f(x)从x=−2到x=2的平均变化率Δy Δx =f(2)−f(−2)2−(−2)=16−4k4=3，解得k=1．故选A．2.答案：C解析：解：∵f′(x)=8x，故选：C．直接求导即可得出答案．本题考查导函数，正确利用导数的运算法则是解决问题的关键．3.答案：B解析：利用导数的物理意义v=s′和导数的运算法则即可得出．本题考查了导数的物理意义v=s′和导数的运算法则，属于基础题．解：∵v=s′=6t−2，∴此物体在t=10时的瞬时速度=6×10−2=58．故选：B．4.答案：C解析：因为函数f(x)=x2−sinx,x∈[0,π2]，所以f′(x)=12−cosx，令f′(x)=0，则x=π3，可知在给定区间上x=π3取得最小值是π6−√32，选C5.答案：C解析：解：y =a(e x −1)−x 的导数为y′=ae x −1， 在点(0,0)处的切线斜率为a −1=1， 解得a =2， 故选：C ．求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a +1=1，即可得到a 的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．6.答案：C解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 解：f ′(x)=2ax −1+1x =2ax 2−x+1x，若f(x)在(1,4)递增，则2ax 2−x +1≥0在(1,4)恒成立， 即a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)，g ′(x)=2−x 2x 3，令g ′(x)>0，解得：1<x <2， 令g ′(x)<0，解得：2<x <4， 故g(x)在(1,2)递增，在(2,4)递减， 故a ≥g(x)max =g(2)=18， 故选C ．7.答案：A解析：本题主要考查函数单调性问题以及利用导数求函数单调性问题，属于中档题．求出f′(x)，分类讨论a≤0和a>0时函数的单调性，使f′(x)=0的一个解在(1,3)内即可得解．解：∵函数f(x)=x2−alnx+1，定义域为(0,+∞)，∴对其求导得f′(x)=2x−ax =2x2−ax；当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上是增函数，不符合题意;当a>0时，在(√a2,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在(0,√a2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，∵函数f(x)=x2−alnx+1在(1,3)内不是单调函数，∴1<√a2<3，则2<a<18．故选A．8.答案：A解析：本题考查函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．由函数f(x)=e−x+tlnx有两个极值点，可得f′(x)=−e−x+tx=0有两个正根，即t=xe−x有两个正根，令g(x)=xe−x，利用导数可得g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，g(x)max=g(1)=1e，又x→+∞时，g(x)→0，x>0且x→0时，g(x)→0，可得t的取值范围．解：函数f(x)=e−x+tlnx有两个极值点，f′(x)=−e−x+tx=0有两个正根，即t=xe−x有两个正根，令g(x)=xe−x，g′(x)=e−x−xe−x，当g′(x)>0时，x<1，故y=g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，g(x)max=g(1)=1e，当x→+∞时，g(x)→0，当x>0且x→0时，g(x)→0，所以t∈(0, 1e)，故选A．9.答案：B解析：解：设y=x3−3x2−9x+2，则y′=3x2−6x−9，令y′=3x2−6x−9=0，得x1=−1，x2=3，∵3∉[−2,2]，∴x2=3(舍)，列表讨论：x(−2,−1)−1(−1,2)f′(x)+ 0−f(x)↑极大值↓∵f(−2)=−8−12+18+2=0，f(−1)=−1−3+9+2=7，f(2)=8−12−18+2=−20，∴y=x3−3x2−9x+2在x∈[−2,2]上的最大值为7，最小值为−20，∵关于x的不等式x3−3x2−9x+2≥m对任意x∈[−2,2]恒成立，∴m≤−20，故选：B．设y=x3−3x2−9x+2，则y′=3x2−6x−9，令y′=3x2−6x−9=0，得x1=−1，x2=3(舍)，由f(−2)=0，f(−1)=7，f(2)=−20，知y=x3−3x2−9x+2在x∈[−2,2]上的最大值为7，最小值为−20，由此能求出关于x的不等式x3−3x2−9x+2≥m对任意x∈[−2,2]恒成立的m的取值范围．本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10.答案：B解析：本题考查恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，是中档题．由已知可得，x>0，令，利用导数求出x=1时，y取最小值4，由此可得实数a的取值范围．解：由2xln x≥−x2+ax−3，得，设，则ℎ′(x)=(x+3)(x−1)．x2当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=4.所以a≤ℎ(x)min=4．故a的取值范围是(−∞,4]．11.答案：(−∞,1)，(3,+∞)x3−2x2+3x−1，所以f′(x)=x2−4x+3，解析：解：因为f(x)=13由f′(x)=x2−4x+3>0，得：x<1或x>3，所以原函数的单调增区间为(−∞,1)，(3,+∞)．故答案为(−∞,1)，(3,+∞)．x3−2x2+3x−1的单调递增区间，先求该函数的导函数，让导函数大于0求解x的求函数f(x)=13范围。