对流扩散方程的离散格式

aE De Fe ,0 , aW Dw Fw ,0
对流项一阶迎风：
aW i 1 aE i 1 P ,0 1 P ,0 P D D



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传热与流体流动的数值计算
d i i 1 , ui 0 dx i x
i 1 i , ui 0 x
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
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§5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式
一、系数aE与aW 之间的内在联系
aE(i)与aW (i+1)共享同一个界面。 对流项中心差分：
Fe Fw aE De , aW Dw 2 2 aW i 1 aE i P P 1 1 P D D 2 2
二、对流项的中心差分
d d d u 采用控制容积积分法 对方程 dx dx dx e u e w u w P 2 2 x w x e
e w u e u w E W 2 2 x e x w
a E De Fe , 0 aW Dw Fw , 0 a P a E aW Fe Fw
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四、中心差分与一阶迎风格式的讨论
1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一 阶迎风格式的误差更小。 2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起 解的振荡，得到物理上看似合理的解。 3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格， 否则计算结果的误差较大。 4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信 息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。 5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风 格式。
2
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二、对流项的中心差分（续）
例：在一维模型方程离散求解的 均分网格中，已知W =100， E =200。试对P =0，1，2及4 四种情况按中心差分格式计算 P之值。
负系数会导致物理上不真实的解。
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三、对流项的迎风格式
Taylor展开法
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一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续）
0 eux 1 e Pex L 1 uL Pe L 0 e 1 e 1
Peclet数：
Pe
uL

0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
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二、混合格式(Spalding,1971)
0 aE 1 0.5Pe De Pe , Pe 2 , , 2 Pe 2 Pe 2
aE Pe , 1 0.5Pe , 0 De
§5.2 对流项的中心差分与迎风格式
一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解
d d d u dx dx dx
边界条件： x 0 , 0 ; x L , L
d


udx


C
C2
ln C1
ux
C1eux C2
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§5.1 对流项离散格式的重要性 及两种离散方式 一、对流项离散格式的重要性
1、数值解的准确性（假扩散） 2、数值解的稳定性 3、数值解的经济性
二、构造离散格式的两种方式
1、Taylor展开法 2、控制容积积分法
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两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。
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u w Fww W max Fw ,0 P max Fw ,0
W Fw ,0 P Fw ,0
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三、对流项的迎风格式（续）
迎风格式离散形式：
aPP aEE aWW
三、对流项的迎风格式（续）
e界面
ue 0 , P ; ue 0 , E
u e Fee P max Fe ,0 E max Fe ,0
w界面
P Fe ,0 E Fe ,0
uw 0 , W ; uw 0 , P
记：F = u 通过界面的流量。 D= x 界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。 F u u x = P D x 4/59
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二、对流项的中心差分（续）
Fe Fw Fe Fw De Dw P De E Dw W 2 2 2 2 aPP aEE aWW
aP aE aW Fe Fw Fe Fw , aE De , aW Dw 2 2
在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足， 则： aP aE aW 在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。 常物性条件下均分网格： 1 0.5P E 1 0.5P W P