题型一 题型二
解:设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理科题为事件 B,
则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件 A∩B.
(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为A25=20. 根据分步乘法计数原理,事件 A 的总数为A13 × A14=12.故 P(A)=1220 = 35. (2)因为事件 A∩B 的总数为A23=6, 所以 P(A∩B)=260 = 130. (3)方法 1:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽
令A=“2次都取得白球”,包括2个基本事件, 因此 P(A)=A252 = 110.
题型一 题型二
解法二用概率乘法公式.
令Ai=“第i次取得白球”(i=1,2), 则A=A1∩A2, 由乘法公式,得
P(A)=P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=25
×
1 4
=
110.
反思 公式 P(B|A)=������(������������(⋂������)������) 既是条件概率的定义,同时又是求条件
知道第一名同学没有抽到奖券的条件下,即事件A发生的前提
下,P(B|A)=
1 2
,显然知道了事件A的发生,影响了事件B的发生的概率.
事实上,在已知事件A没有中奖的前提下,奖券情况已经发生了变化,
只有1张能中奖和1张不能中奖,与原来的2张不能中奖和1张中奖不
同了,从而基本事件空间发生变化了,所以概率不同了,这就是条件
������(������) ������(������)
=
13.
答案:B
1234 5
4.6位同学参加百米短跑初赛,赛场共有6个跑道,已知甲同学被排在
第一跑道,则乙同学被排在第二跑道的概率是
.
解析:甲同学排在第一跑道后,还剩5个跑道,则乙排在第二跑道的 概率为15.
答案:15
1234 5
5.从一副不含大、小王的扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,若
12
(2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件概率P(A),P(A∩B) 三者之间的关系,由条件概率公式可以解决下列两类问题:一是已 知P(A),P(A∩B),求P(B|A);二是已知P(A),P(B|A),求P(A∩B).
12
【做一做】 已知 P(A∩B)=130,P(A)=35,则 P(B|A)等于( )
第一次抽到A,则第二次也抽到A的概率为
.
解析:若设“第1次抽到A”为事件A,“第2次抽到A”为事件B,则
P(A)=542 = 113,P(A∩B)=113 × 117,则 P(B|A)=������(������������(⋂������)������) = 117.
答案:117
2.2.1 条件概率
-21-
������
复试验时,条件频率������������������������������的稳定值即为条件概率 P(B|A),又因为事件
AB
发生的频率������������������、事件
������ห้องสมุดไป่ตู้
A
发生的频率������������的稳定值分别为
������
P(A∩B),P(A),于是有 P(B|A)=������(������������(⋂������)������).
在具体题目中,一定要先弄清谁是A,谁是B,是否是条件概率问题 等.
题型一 题型二
题型一
求条件概率
【例1】 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依 次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率. 分析根据分步乘法计数原理先计算出事件总数,然后计算出各种 情况下的事件数后即可求解.
1234 5
3.已知事件 A 发生时,事件 B 一定发生,并且 P(A)=13P(B),则 P(A|B)为
()
A.3
B.
1 3
C.
2 3
D.
1 2
解析:∵事件A发生时,事件B一定发生,
∴P(A∩B)=P(A).
∴P(A|B)=������(������������(⋂������)������)
=
B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮
一次命中的概率
C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次
品的概率
D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是
2 5
,
则小明在一次上学路上遇到红灯的概率
答案:B
1234 5
2.下列说法正确的是( ) A.P(B|A)<P(A∩B) B.P(B|A)=������������((������������))是可能的 C.0<P(B|A)<1 D.P(A|A)=0 答案:B
题型一 题型二
题型二 条件概率公式的变形应用
【例2】 袋中有2个白球、3个黑球,从中依次取出2个球,求取出 的两个都是白球的概率.
分析可用古典概型概率求解,也可理解为“在第一次取到白球的 条件下,第二次取到白球”的条件概率.
解法一用古典概型方法.袋中有5个球,依次取出2个,包括 A25个基 本事件.
概率的公式.公式中有P(B|A),P(A),P(A∩B),只要知道其中两个就可
求另外一个.条件概率问题,常见的类型有:
(1)取球模型,如摸彩票、取球、抽试题等.
(2)射击模型,如射击问题、天气预报、电路闭合等.
(3)抛硬币模型,如抛硬币、掷骰子等.
1234 5
1.下面几种概率是条件概率的是( )
A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率
2.2 条件概率与事件的独立性
-1-
2.2.1 条件概率
-2-
1.在具体情境中,理解条件概率的意义. 2.学会应用条件概率解决实际问题.
12
1.事件A与B的交(积) 由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的交(或积), 记做D=A∩B(或D=AB).
12
2.条件概率 对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生 的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)表示.
A.
9 50
B.
1 2
C.
9 10
D.
1 4
3
解析:P(B|A)=������(������������(⋂������)������)
=
10 3
=
12.
5
答案:B
1.怎样理解条件概率的存在?
剖析3张奖券只有1张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,最
后抽的同学中奖概率P(B)=
1 3
与第一名同学抽到的是一样的.而在
概率中的“条件”的意义,事实上就是“前提”的意思,这也就说明了条
件概率的存在.
2.怎样求条件概率? 剖析(1)从古典概型角度看,事件有限定的前提条件,则各事件包 含的基本事件个数发生了变化,故首先要准确计算各事件包含的基 本事件个数,然后得出条件概率,即P(B|A)=���������(���(���������������)���) ,n(AB)表示AB同时 发生所包含的基本事件的个数,同理n(A)表示事件A发生所包含的 基本事件的个数.当然这个公式只是对于古典概型而言,即组成事 件A的各基本事件发生的概率相等.(等可能事件) (2)把(1)的公式进行推广,便得到条件概率公式: P(B|A)=���������(���(���������������)���),事件 AB 表示 A,B 同时发生.
事件 AB 发生了 nAB 次,则在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的频率
������������������称为事件
������������
B
发生的条件频率,可改写为������������������������������
=
������������������
������������������ ,考虑到大量重
条件概率公式 P(B|A)=������(������������(⋂������)������),P(A)>0.
12
知识拓展 (1)计算条件概率的公式为 P(B|A)=������(������������(⋂������)������),P(A)>0,它
可以用频率的稳定值来解释:设进行 n 次试验,事件 A 发生了 nA 次,
到理科题的概率为
P(B|A)=������(������������(⋂������)������)
=
3 10 3
=
12.
5
方法 2:因为事件 A∩B 的总数为 6,事件 A 发生的总数为 12,所以
P(B|A)=162 = 12.
题型一 题型二
反思 在具体到每一个事件的求解过程中,古典概型起着重要的 作用,条件概率也是一种概率,因此,事实上仍可以按照古典概型的 一般定义考虑求解的方法.
