圆的一般方程----典型题(好)

4.1.2 圆的一般方程【例1】判断二元二次方程224441290x y x y +-++=是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.【例2】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.【例3】设圆的方程为224x y +=，过点(0,1)M 的直线l 交圆于点A B 、，O 是坐标原点，点P为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．参考： 例1【分析】用配方法将其变形化成圆的标准形式或运用圆的一般方程的判断方法求解.【解】圆的方程可化为22131224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为12r =. 【点拨】要注意对于224441290x y x y +-++=来说，这里的91,3,4D E F =-==，而不是D=-4,E=12,F=9.例2：【分析】设出圆的一般方程，用待定系数法求解.【解】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-； 当0y =时，20x Dx F ++=，则122Dx x +=-.则1644201930()()422D E F D E F D E⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩， 解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=. 【点拨】用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.例3：【分析【动点P 为AB 的中点，所以点P 是由点A B 、而决定，另外点A B 、又由点(0,1)M 的直线l 来决定，找到最初的“动”是解决问题的关键.【解】设点P 的坐标为(,)x y ，1122(,)(,)A x y B x y 、．因A B 、在圆上，所以222211224,4x y x y +=+=． 两式相减得222212120x x y y -+-=． 所以12121212()()()()0.x x x x y y y y -++-+=当12x x ≠时，有12121212()0.y y x x y y x x -+++⋅=-①并且12121212,2,21.x x x y y y y y y x x x ⎧+=⎪⎪+⎪=⎨⎪-⎪-=⎪-⎩ ②将②代入①并整理得2211()24x y +-=③． 当12x x =时，点A B 、的坐标为（0，2），（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足③，所以点P 的轨迹方程为2211()24x y +-=． 【点拨】将所求点P 坐标设为(,)x y ，相应的已知点Q 的坐标设为00(,)x y ，再用x y 、表示00x y 、．即00(,)(,)x g x y y h x y =⎧⎨=⎩，然后代入已知点Q 满足的方程00()0f x y =,，消去00x y 、得到所求曲线的方程，体现设而不求思想．本题是将12121212,,22x x y y y y x x ++--看作整体进行代换．。

2.4.2 圆的一般方程（同步检测）一、选择题1.以圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝42.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)3.已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝04.圆x2＋y2－2ax＋6ay＋8a2＝0(a<0)的周长等于()A．22πa B．－22πaC．2πa2D．－2πa5.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3,0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是()A.x2＋y2＋6x＋5＝0B.x2＋y2－6x＋8＝0C.x2＋y2－3x＋2＝0D.x2＋y2＋3x＋2＝06.[多选]关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中正确的是()A．圆心在直线y＝－x上B．其圆心在x轴上C．过原点D．半径为2a7.若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于()A．1 B．－3C．0 D．2二、填空题8.已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________9.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________10.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________11.圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________三、解答题12.已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．13.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．14.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．15.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程．16.已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心坐标为(－1,0)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.2.D 解析：由题意可得42＋(－2)2－4×5m>0，即m<1.3.B 解析：把x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0配方得(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，代入各选项，可知直线2x ＋y ＋1＝0过圆心．4.B 解析：由已知得，圆的标准方程为(x －a)2＋(y ＋3a)2＝2a 2.因为a<0，所以半径r ＝－2a ，所以圆的周长为－22πa.5.C 解析：设PQ 中点坐标为(x ，y)，则P(2x －3,2y)，代入x 2＋y 2＝1，得4x 2＋4y 2－12x ＋8＝0，即x 2＋y 2－3x ＋2＝0.6.AC 解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a ，a)，半径为2|a|，故A 、C 正确．7.B 解析：设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，又由∠ACB ＝90°，C(2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4，代入上面的结果得m －2＋1＝－4，所以m ＝－3，符合m<1的条件．二、填空题8.答案：⎝⎛⎭⎫35，1解析：方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；点E 在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>35，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫35，1. 9.答案：(0，－1)解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10.答案：(－1,1), 5解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －3＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，因此圆心为(－1,1)，半径为 5.11.答案：(－∞，1)解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.三、解答题12.解：以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x ，y)，BC 中点D(x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧ 2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ① ∵|AD|＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．13.解：圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又因为半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D>0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.14.解：如图所示，设P(x ，y)，N(x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又点N(x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝⎛⎭⎫－95，125和点⎝⎛⎭⎫－215，285.15.解：(1)要使方程表示圆，则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36>0，整理得7m 2－6m －1<0，解得－17<m<1. (2)r ＝12 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＝ －7m 2＋6m ＋1＝－7()m －372＋167， 所以0<r ≤477，即该圆的半径r 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，477. (3)设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)． 因为－17<m<1，所以207<x<4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)⎝⎛⎭⎫207<x<4.16.解：(1)∵点P(a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0，∴a＝4，P(4,5)，∴|PQ|＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ＝3－5－2－4＝13.(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，∴|QC|＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，圆的半径是22，点Q在圆外，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.。

(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。

圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。

答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F+-提示①：将原方程配方并整理x ²+Dx+（2D）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E ）²+F=0（x+2D ）²+（y+2E ）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。

（x+2D ）²+（y+2E ）²=2244D E F+-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。

答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。

A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。

例1圆(Λ∙-3)2+(y-3)2=9±到直线3Λ-+4>'-11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线厶、厶的方程，从代数计算中寻找解答.解法圆(x-3)2 + (y-3)2=9 的圆心为q(3,3),半径∕ = 3∙设圆心O I到直线3x + 4V-Il = O的距离为〃，则∣3×3 + 4×3-Il∣√3¼41如图，在圆心Q同侧，及直线3x÷4y-ll=0平行且距离为1的直线厶及圆有两个交点，这两个交点符合题意.・•・及直线3x÷4y-ll = 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.・・・符合题意的点共有3个.解法二符合题意的点是平行于直线3Λ÷4y-ll = 0,且及之距离为1 的直线和圆的交点.设所求直线为3x + 4y + m = 0,贝∣J√=±≤ = 1,∙e∙ m+ll = ±5 9即In = -6 9或加= —16,也即∕1x3x + 4y-6 = 0 9⅛K∕23x + 4y-16 =0 •典型例设圆O1≡(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线厶的距离为〃】、心则∣3×3÷4×3-6L ∣3×3÷4×3-16L K•••厶及q相切，及圆q有一个公共点；厶及圆q相交，及圆q有两个公共点•即符合题意的点共3个•说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解:设圆心O I到直线3x + 4y-ll = 0的距离为〃,则^∣3×3÷4×3-11L2<3.√P74Γ•I圆O］到3x + 4y-ll = 0距离为1的点有两个•显然,上述误解中的〃是圆心到直线3x÷4y-ll = 0的距离,d<r,只能说明此直线及圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1∙到一条直线的距离等于定值的点，在及此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线及圆的公共点•求直线及圆的公共点个数，一般根据圆及直线的位置关系来判断, 即根据圆心及直线的距离和半径的大小比较来判断•典型例题三例3求过两点A(l,4)、B(3,2)且圆心在直线y = 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)及圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P及圆的位置关系，只须看点P及圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(兀-d}2 +(y-by =r2.∙.∙圆心在y = 0上，故b = 0.圆的方程为(X-^)2 + >,2= r2.又Y该圆过4(1,4)、B(3,2)两点..J(l-α)2 + 16 = ∕*2[(3-α), +4 = r2解之得：Q=-I, r2 = 20.所以所求圆的方程为(x + l)2+y2=20・解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(l,4)、3(3,2)两点，所以圆心C必在线段A3的垂直平分线/上，又因为S=苦1，故/的斜率为1，又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线/的方程为：y-3 = x-2即x-y + l = 0.又知圆心在直线y = 0上，故圆心坐标为C(-l, 0)・*. Φ⅛ r = ∖AC∖ =√(l + l)2+42 = λ∕20 ・故所求圆的方程为(X +1)2+ b =20・又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为J=IPq = λ∕(2 +1)2+42=√25>r.・•・点P在圆外.说明：木题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心及定点之间的距离和半径的大小关系来判定点及圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线及圆的位置关系呢？典型例题四例4圆X2 + y2 +2x + 4y-3 = 0上到直线x + y + ∖ = 0的距离为血的点共有().(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个分析：把X2 + y2 +2x+4y-3 = 0化为(x +1)2 +(y + 2)2 =8 ,圆心为(-1,-2), 半径为「= 2血，圆心到直线的距离为√Σ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于运，所以选C.典型例题五例5 过点P(-3,-4)作直线/,当斜率为何值时，直线/及圆C：(X-I)2+(y + 2)2=4有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线/的方程为y + 4 = k(x + 3)即kx- y + 3k -4 = 0根据(/S有比+2 + 3£-4|刁y∣∖+k2整理得3k2-4k=0解得40≤k≤-•3典型例题六例6己知圆Ot√ + y2=4,求过点P(2,4)及圆O相切的切线. 解：T点P(2,4)不在圆O上，・•・切线PT的直线方程可设为y =心- 2)+4根据d = r•• •7+4|_2√f+P解得k=〉4所以y = -(x-2)÷4即3x-4y + 10 = 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为;ι=2∙说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.木题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于O解决(也要注意漏解)・还可以运用v÷>v = r2,求岀切点坐标•5、儿的值来解决，此时没有漏解•例7自点衣-3,3）发出的光线/射到兀轴上，被兀轴反射，反射光线所在的直线及圆C：√ + y2-4x-4y + 7 = 0相切（1）求光线/和反射光线所在的直线方程.切线的斜率为图3k = -^ik =—3 4进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x-3y + 3 = 0 或3x-4y-3 = 0最后根据入射光及反射光关于X轴对称，求出入射光所在直线方程为4x + 3y + 3 = 0 或3x+4y-3 = 0光路的距离为∖A'M∖ ,可由勾股定理求得PrMf=PrCf TCMf=7.说明：木题亦可把圆对称到兀轴下方，再求解.例8如图所示，已知圆O： x2+y2 =4及y轴的正方向交于A点，点B 在直线y = 2上运动，过B做圆O的切线，切点为C,求ΔABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法，设H(.y),找;r,y的关系非常难.由于H点随B , C点运动而运动，可考虑H, B , C三点坐标之间的关系. 解：设H(X,y), C(X ,y),连结4H, CH ,贝IJAH丄BC, CH丄AB f BC是切线OC丄BC,所以OC//AH, CHIIOA, OA = OC f所以四边形AOCH是菱形.所以∖CH∖ = ∖θA∖ = 2f得I y= y~2'又C(X ,y)满足∕÷∕=4,所以√÷(y-2)2=4(x≠0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程•做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析及动点相关联的点，如相关联点轨迹方程己知，可考虑代入法.典型例题九例9求半径为4,及圆√+∕-4x-2y-4 = 0相切，且和直线尸0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(X-Uy +(y-b)2 =r2.圆C及直线y = 0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为G(α,4)或C2(^,-4)・又己知圆X 2 + y 2 _ 4 X _ 2_ 4 = 0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则IGAI=4 + 3 = 7或IGAl=4-3 = 1・⑴当GS,4)时,(α-2)2÷(4-l)2=72,或(α-2)2+(4-1)2 = I2 (无解)，故可得0 = 2±2佰.・•・所求圆方程为(X-2-2√W+(V-4)2=42, 或(X - 2 + 2√10 )2 + (y - 4)2 = 42 .(2)当C?(“ , 一4)时，(α — 2)2 +(-4-1)2 = 7?,或(α一2)2 + (一4 — I)? = F (无解)，故α = 2 ± 2√6 .・•・所求圆的方程为(x-2-2√6)2+(y + 4)2=42, 或(x-2 + 2√z6)2+(y + 4)2 =42 .说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆及直线)=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(",4), 且方程形如(x-α)2+(y-4)2 =42・又圆x2 +y2 -4x-2y-4 = 0 ,即(x-2)2+(y-l)2=32 ,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则IcAI = 4 +3・故(«-2)2+(4-1)2 =72,解之得6∕ = 2±2√1O .所以欲求圆的方程为(X_2_2√"10)2+(y-4)2=42,或(X_2 + 2√Iθ)2+(y-4)2 = 42.上述误解只考虑了圆心在直线y = O上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况•也是不全面的.典型例题十例10已知圆x2 + y2+x-6y + m = O及直线x + 2y-3 = 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP丄O0,求实数加的值.分析：设P、0两点的坐标为(x l,y l)> (X2O12) »则由S • % =7, 可得⅜÷>'1>'2=0,再利用一元二次方程根及系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为上，由直线/及圆的方程构造以上为未知数的X X一元二次方程，由根及系数关系得出為p∙褊。

2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章2.2 圆的一般方程1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=03.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.24.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=05.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.310.已知圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=111.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或213.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.1014.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案B解析当a≠0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴当a≠0时,方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=0答案C解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.2答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0答案D解析易知圆C的半径为13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.答案(-2,1)2解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为2.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M 是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.答案x2+y2=4 解析设M(x,y),则x=x02,y=y02,即x0=2x,y0=2y.又点(x0,y0)在圆上,∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.答案3π4解析圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k2,当k=0时,rmax=1,直线y=(k-1)x+2的斜率为-1,倾斜角为3π4.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C三点都在圆上,∴A,B,C三点的坐标都满足所设方程,把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,得4D+E+F+17=0,-6D+3E+F+45=0,3D+F+9=0,解得D=1,E=-9,F=-12,所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1答案B解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,∴已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.∵圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,∴圆C的圆心C与点(0,1)关于直线x-y-2=0对称,半径也为1.设C(m,n),可得1-n-m=-1,12m-1+n2-2=0,解得m=3,n=-2,∴C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.11.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称答案ABC解析圆x2+y2-4x-1=0,即圆(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于5,故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称,故选ABC.12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或2答案A解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,则实数a=0或a=2,故选A.13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.10答案B解析由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.14.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.答案x2+y2-203x+4=0解析设M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-203x+4=0.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.答案(-∞,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C 的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D2<0,-E2>0,即D>0,E<0,所以D=2,E=-4,所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),∴a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).。

4.1.2 圆的一般方程（一）一、选择题1、圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为（）A. （4，–6），r=16B. （2，–3），r=4C. （–2，3），r=4D. （2，–3），r=162、由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（）A. 一个定点B. 一个椭圆C. 一条抛物线D. 一条直线3、已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是（）A. a=–1，b=2，r=2B. a=–1，b=2，r=4C. a=1，b=–2，r=2D. a=1，b=–2，r=44、方程x2+xy=x表示的曲线是（）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线5、已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为（）A. 1B.C. 3-D. 26、过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为（）A. x2+y2+4y–21=0B. x2+y2–4y–21=0C. x2+y2+4y–96=0D. x2+y2–4y–96=07、已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A. （2，+∞）B. （–2，+∞）C. （–∞，2）D. （–∞，1）8、曲线x2+y2x–4=0关于（）A. 直线x轴对称B. 直线y=–x轴对称C. 点（–2D. 点（，0）中心对称9、在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A. （1，+∞）B. （2，+∞）C. （–∞，–2）D. （–∞，–1）10、已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=（）A. 8B. 16C. 12D. 13二、填空题11、圆x2+y2–2x+4y=0的面积为______．12、圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为______．13、圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是______．14、若直线3x–4y+12=0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为______．15、若方程x2+y2–2mx+（2m–2）y+2m2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是______．三、解答题16、若方程x2+y2+2mx–2y+m2+5m=0表示圆，求：（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．17、若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．18、求满足下列条件的圆的一般方程：（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．19、已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．20、m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．答案第1页，共5页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】将圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的方程化成标准形式，得（x +2）2+（y –3）2=16，∴圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的圆心为C （–2，3），半径r =4，选C. 2、【答案】D【分析】本题考查轨迹方程.【解答】动圆x 2+y 2–4tx –2ty +5t 2–4=0可化为()()2224x t y t -+-=，∴圆心的坐标为()2,t t ，半径2r =.设圆心的坐标为(),x y ，则2,x t y t ==，消去参数t 得20x y -=，则圆心的轨迹为一条直线，故选D. 3、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆C 的一般方程为x 2+y 2+2x –4y +1=0，它的标准方程为（x +1）2+（y –2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，可得a =–1，b =2，r =2，选A. 4、【答案】C【分析】本题考查轨迹方程.【解答】方程x 2+xy =x 即x （x +y –1）=0，化简可得x =0或x +y –1=0．而x =0表示一条直线，x +y –1=0也表示一条直线，故方程x 2+xy =x 的曲线是两条直线，选C. 5、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–2x –2y +1=0，即（x –1）2+（y –1）2=1，表示以C （1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x 2+y 2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO 2=2，∴x 2+y 2的最小值为)21C.6、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】AB 的中点坐标为（0，-2），直线AB 的斜率为43-，∴垂直平分线的斜率为34，则线段AB 的垂直平分线方程为324y x +=，化简得3480x y --=①；同理得到AC的中点坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为13，∴垂直平分线的斜率为-3，则线段AC的垂直平分线的方程为53322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，化简得6240x y ++=②.联立①②解得0,2,x y =⎧⎨=-⎩则圆心坐标为()0,2-，圆的半径5r =，则圆的标准方程为()22225x y ++=，即224210x y y ++-=，故选A.7、【答案】C【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵方程x 2+y 2–2x +2y +a =0表示圆，∴22+22–4a ＞0，∴4a ＜8，∴a ＜2，选C. 8、【答案】B【分析】本题考查关于点、直线对称的圆的方程.【解答】曲线x 2+y 2x –4=0表示圆，且圆心坐标为（）；由于圆心在直线y =–x 上，∴曲线关于直线y =–x 对称．∴A 、C 、D 都不正确．选B. 9、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由已知圆的方程为x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0，则圆的标准方程为()()2224x a y a ++-=，故圆的圆心为(),2a a -，圆的半径为2，若曲线C ：x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0上所有的点均在第二象限内，则0a >，且2a ->，解得2a >，故a 的取值范围是()2,+∞，故选B. 10、【答案】D【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–4x +6y =0化为：（x –2）2+（y +3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a 2+b 2=4+9=13．选D ． 11、【答案】5π【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆的方程即（x –1）2+（y +2）21，–2圆，故圆的面积为π•r 2=5π，故答案为：5π．12、【答案】【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.答案第3页，共5页【解答】圆x 2+y 2–2x +6y +8=0，即圆（x –1）2+（y +3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，． 13、【答案】（–3，2）【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆x 2+y 2+6x –4y +12=0，即（x +3）2+（y –2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）． 14、【答案】x 2+y 2+4x –3y =0 【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r=1522=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15、【答案】（0，12）【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r=＞0．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0＜m ＜1．∴实数m 的取值范围是0＜m ＜12．故答案为：（0，12）． 16、【答案】（1）1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）圆心坐标为(),1m -，半径r = 【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，二元二次方程表示圆的条件. 【解答】（1）∵方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆， ∴()()()22222422450,D E F m m m +-=+--+>即22444200m m m +-->，解得15m <， 故m 的取值范围是1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）将方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0写成标准方程为()()22115x m y m ++-=-， 可得圆心坐标为(),1m -，半径r = 17、【答案】x 2+y 2–6x –6y +8=0． 【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则4201640240D F D F E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ②–①得：12+2D =0，∴D =–6， 代入①得：4–12+F =0，∴F =8， 代入③得：2E +8+4=0，∴E =–6， ∴D =–6，E =–6，F =8，∴圆的方程是x 2+y 2–6x –6y +8=0．18、【答案】（1）2244330x y x y +-+-=；（2）2226190x y x y +-+-=．【分析】本题考查圆的一般方程的求法.【解答】（1）=，故圆的方程为（x –2）2+（y +2）2=41，即2244330x y x y +-+-=；（2）由中点坐标公式得线段AB 的中点坐标为C （1，–3），即圆心的坐标，r==，故圆的方程为（x –1）2+（y +3）2=29，即2226190x y x y +-+-=．19、【答案】（1）最小值为（2）最小值为，最大值为；（3）最大值为【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】（1）实数,x y 满足x 2+y 2–4x +1=0，可化成()2223,x y -+= 其表示以点()2,0为半径的圆. 设yk x=，即y kx =，圆心()2,0到y kx =的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，=23k =，∴max min k k == 即yx（2）令y –x =t ，即x –y +t =0对应直线l ，答案第5页，共5页将直线l 平移，当l 与圆C ：（x –2）2+y 2=3相切时，t 达到最大或最小值， 由d=t，∴t 的最小值为，最大值为；（3）满足x 2+y 2–4x +1=0的点P （x ，y ）在以C （2，0）为圆心，x 2+y 2=|OP |2， ∵当P 、O 、C 三点共线时，|OP |达到最大值或最小值，∴当圆C 上的点P 在OC 延长线上时，|OP |的最大值为|OC得到x 2+y 2的最大值为（2当圆C 上的点P 在线段OC 上时，|OP |的最小值为|OC， 得到x 2+y 2的最大值为（）2综上所述，x 2+y 2的最大值为．20、【答案】1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=．【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】方程x 2+y 2–4x +2my +2m 2–2m +1=0，即()()222223x y m m m -++=-++， 它表示圆时，应有2230m m -++>，求得13m -<<. 当半径最大时，应有223m m -++最大，此时，1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=.。

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

圆的方程专项复习（学生版）典型例题分析A 组练习例1. 写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C （3，4例2．求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， （2）x 2+y 2+2by=0．例3. 求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；（２）过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．例4.已知圆的方程是x 2+y 2=1，求：（１）斜率为1的切线方程；例５．(1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？例６．求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．B 组练习例１ 求经过点(5,2),(3,2)A B ,且圆心P 在直线230x y --=上的圆的方程；例２. 求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．例３．求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶C 组练习例１．求以圆C 1：x 2+y 2-12x -2y -13=0和圆C 2：x 2+y 2+12x +16y -25=0的公共弦为直径的圆的方程。

例２．圆与y 轴相切，圆心P 在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为 例3 已知圆4)4()3(:22=-+-y x C , 点),(y x P 为圆C 上一动点。

（1）求y x的最大值与最小值；（2）若)0,1(),0,1(B A -，求22||||PB PA +的最大值与最小值。

A 组练习一、选择题：1.若圆的方程为0118622=--++y x y x ，则圆心坐标与半径为（ ）（A ）（-3,4），3 （B ）（-3,-4），３ （C ）（3,-4）,6 （D ）(-3,4),62.圆的一条直径的端点是)2,2(),0,2(-B A ，则圆的方程是（ ）A 、042422=++-+y x y xB 、042422=+--+y x y xC 、042422=-+-+y x y xD 、042422=--++y x y x3.已知圆的方程为x 2 + y 2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ ）A 3x + 2y + 1 = 0B 3x －2y + 1= 0C 3x －2y = 0D 3x + 2y = 04.方程014222=++-++a y x y x 表示圆，则a 的取值范围是( )A ．6->aB ．5->aC ．5<aD ．4<a5.直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且与直线x +2y =0垂直，则直线l 的方程为（ ）A.y =2xB.y =2x －2C.y =－21x +23D.y =21x +236.圆()2211x y -+=的圆心到直线3y x =的距离是 （ ）A. 12B. 2C. 1D. 7.若直线34120x y -+=与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ）A 、22430x y x y ++-=B 、 22430x y x y +--=C 、224340x y x y ++--=D 、224380x y x y +--+=8.过点A （1，-1），B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）A.22(3)(1)4x y -++=B. 22(+3)(-1)4x y +=C. 22(1)(1)4x y -+-=D. 22(+1)(1)4x y ++=9.方程y ）A.一条射线B.一个圆C. 两条射线D. 半个圆10. 以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（ ） A 、522=+y x B 、2522=+y x C 、422=+y x D 、1622=+y x二、填空题：1.已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .则经过两圆交点的公共弦所在直线方程____ _2.若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____3.过点O （0，0），A （1，1），B （1，－5）的圆方程是__________．4.点(5112)a a +，在圆22(1)1x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是____________5.与x 轴相交与A(1,0)和B(5,0)_______.6.经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，且半径为2的圆的标准方程是_______.7.已知圆C 的圆心坐标为C （1，3），且该圆经过坐标原点，它的标准方程为_______.8.已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为_______.9.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为_______.10.直线240x y ++=截226210x y x y +-++=所得弦长为三、解答题：1.求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切．2.（1）已知：224x y +=，求过点（1）的切线方程。

4.1.2 圆的一般方程（二）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的一般方程是（ ） A. x 2+y 2+2x ﹣2y +1=0 B. x 2+y 2﹣2x +2y +1=0 C. x 2+y 2+2x ﹣2y =0D. x 2+y 2﹣2x +2y =02、已知点P 是圆x 2+y 2﹣4x +3=0上的任意一点，那么点P 与原点距离的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43、圆x 2﹣6x +y 2﹣16=0的周长是（ ）A. 25πB. 10πC. 8πD. 5π4、已知方程()2213104x y kx k y +++-+=表示圆，则实数k 的取值范围是（ ）A. k ＞3B. k ≤﹣2C. ﹣2＜k ＜3D. k ＞3或k ＜﹣25、已知点M （3，1）在圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y +2k +4=0外，则k 的取值范围是（ ）A. 162k -<<B. 162k k <->或 C. k ＞﹣6D. 12k <6、与圆x 2+y 2﹣4x +6y +3=0同圆心，且过（1，﹣1）的圆的方程是（ ） A. x 2+y 2﹣4x +6y ﹣8=0 B. x 2+y 2﹣4x +6y +8=0 C. x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣8=0D. x 2+y 2+4x ﹣6y +8=07、方程ax 2+ay 2﹣4（a ﹣1）x +4y =0表示圆，则实数a 的取值范围是（ ） A. RB. （﹣∞，0）∪（0，+∞）C. （0，+∞）D. （1，+∞）8、若圆O ：x 2+y 2=4与圆C ：x 2+y 2+4x ﹣4y +4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）A. x +y =0B. x ﹣y =0C. x +y +2=0D. x ﹣y +2=09、圆：x 2+y 2﹣4x +6y =0的圆心坐标和半径分别为（ ）A. （﹣2，3），13B. （﹣2，3）C. （2，﹣3）D. （2，﹣3），1310、方程x 2+y 2﹣ax +2y +1=0不能表示圆，则实数a 的值为（ ）A. 0B. 1C. ﹣1D. 2二、填空题：请将答案填在题中横线上．11、若圆x 2+y 2+2x ﹣2y +F =0的半径为1，则F =______．12、过圆C：x2+y2+2x﹣1=0的圆心，且斜率为1的直线方程为______．13、圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则其圆心坐标是______，半径是______．14、若方程x2+y2+x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为______．15、已知实数x，y满足x2﹣4x+3+y2=0，则21x yx++-的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、已知A（3，7）、B（3，﹣1）、C（9，﹣1），求△ABC的外接圆方程．17、已知方程x2+y2﹣2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．18、求圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程．19、求下列圆的方程：（1）求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的一般方程；（2）求圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．答案第1页，共4页参考答案1、【答案】D【分析】本题考查圆的一般方程的求法.【解答】根据题意，要求圆的圆心为（1，﹣1），且过原点，且其半径r == 则其标准方程为（x ﹣1）2+（y +1）2=2，变形可得其一般方程是x 2+y 2﹣2x +2y =0，选D ． 2、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程，点与圆的位置关系.【解答】易知原点在圆x 2+y 2﹣4x +3=0外，又原点到圆心（2，0）的距离为2，半径为1，∴点P 与原点距离的最小值为2﹣1=1．选A. 3、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程的互化.【解答】圆x 2﹣6x +y 2﹣16=0化为标准方程是（x ﹣3）2+y 2=25，∴圆的半径是r =5，周长是2πr =10π．选B. 4、【答案】D【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件. 【解答】∵方程()2213104x y kx k y +++-+=表示圆，∴2213(1)44k k +--⨯>0，即2k 2﹣2k ﹣12＞0，k 2﹣k ﹣6＞0，解得k ＞3或k ＜﹣2．选D ． 5、【答案】A【分析】本题考查点与圆的位置关系，二元二次方程表示圆的条件.【解答】根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y +2k +4=0，则4+16﹣4（2k +4）＞0，解得k 12<①；若点M （3，1）在圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y +2k +4=0外， 则9+1﹣6+4+2k +4＞0，即2k +12＞0，解得k ＞﹣6②， 综合①②可得：﹣6＜k 12<，选A. 6、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】由圆C ：x 2+y 2﹣4x +6y +3=0，得（x ﹣2）2+（y +3）2=10， ∴圆C 的圆心坐标为C （2，﹣3），∵过M （1，﹣1），∴|CM|==x 2+y 2﹣4x +6y +3=0同圆心， 且过（1，﹣1）的圆的方程是（x ﹣2）2+（y +3）2=5．即x 2+y 2﹣4x +6y +8=0．选B.7、【答案】B【分析】本题考查点二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵a≠0时，方程为[x22aa--]2+（y2a+）2()22422a aa-+=，由于a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1＞0恒成立，∴a≠0且a∈R时方程表示圆，选B．8、【答案】D【分析】本题考查关于直线对称的圆的方程.【解答】由于圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程为x﹣y+2=0，选D. 9、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程的互化.【解答】圆：x2+y2﹣4x+6y=0，即圆：（x﹣2）2+（y+3）2=13，故圆心坐标和半径分别为（2，﹣3） C.10、【答案】A【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】方程x2+y2﹣ax+2y+1=0转换为标准式为：222()(1)24a ax y-++=，由于该方程不能表示圆，故a=0，选A.11、【答案】1【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由圆x2+y2+2x﹣2y+F=0，得半径r1==，解得F=1．故答案为：1．12、【答案】x﹣y+1=0【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程的互化.【解答】圆C：x2+y2+2x﹣1=0化为（x+1）2+y2=2，则圆心为（﹣1，0），∴经过圆心（﹣1，0）且斜率为1的直线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．13、【答案】（﹣1，﹣2）【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，即（x+1）2+（y+2）2=5，则其圆心坐标位（﹣1，﹣2）（﹣1，﹣2）14、【答案】（﹣∞，12）【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵方程x2+y2+x+y+m=0，即212x⎛⎫++⎪⎝⎭（y12+）212=-m，表示圆，∴12-m＞0，求得m12<，则实数m的取值范围为（﹣∞，12），故答案为：（﹣∞，12）．15、【答案】[73，+∞）【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】∵实数x，y满足x2﹣4x+3+y2=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．则21311x y x yx x++-++==--131yx++-，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，如图．当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．设AB的方程为y+3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣3=0，由CB=1，=1，求得k43 =．而AE的方程为x=1，故k+1的范围为[73，+∞），故答案为：[73，+∞）．16、【答案】x2+y2﹣12x﹣6y+20=0或（x﹣6）2+（y﹣3）2=25．【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】设外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．将ABC三点坐标代入方程得：222222373703(1)309(1)90D E FD E FD E F⎧++++=⎪+-+-+=⎨⎪+-+-+=⎩，解得12620DEF=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，圆的方程为x2+y2﹣12x﹣6y+20=0或（x﹣6）2+（y﹣3）2=25．17、【答案】（1）﹣1＜t＜1；（2）（x﹣1）2+y2=1．答案第3页，共4页【分析】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆的条件.【解答】（1）由圆的一般方程，得4﹣4t2＞0，∴﹣1＜t＜1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．18、【答案】（x+7）2+（y+1）2=1．【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，关于直线对称的圆的方程.【解答】∵圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0转化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，∴其圆心为（1，3），r=1，设（1，3）关于直线2x+y+5=0对称点为（a，b）．则有32111325022baa b-⎧-⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯++=⎪⎩⇒71ab=-⎧⎨=-⎩，故所求圆的圆心为：（﹣7，﹣1）．半径为1．∴所求圆的方程为：（x+7）2+（y+1）2=1．19、【答案】（1）x2+y2﹣8x+6y=0；（2）（x﹣1）2+（y+4）2=8．【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程.【解答】（1）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有20 42200 FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：D=﹣8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0；（2）过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心为（1，﹣4），∴半径r==，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．。