单位圆与三角函数线

课后作业
P21 A 1.（2）、（4） P22 B 1.（2）
(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？
数轴上的向量 A B 的坐标是一个实数，这个实
数的绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向
相同取正，反之取负。
y P(-2,3) N
A
B
Mo x
(4) 从定义看出：角α 的三角函数是两个 变量的比值。为了简单地计算其正余弦、 正切我们可以使分母为1。
当r=1时，即p点到原点的距离为1。所有满足条件 的点构成什么图形？
问题2：在单位圆中能不能用一条线段直观地表 示角α的正弦值、余弦值？如 果能，怎样找 出 这条线段？
问题3：在单位圆中，怎样用一条线段来表 示α的正切值？
2. 三角函数线
设任意角α的顶点 在原点，始边与x轴的 正半轴重合，终边与 单位圆相交于点P(x，
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin)


7
的8 正弦线
和余弦线，那么下列结论中正确的是（ ）
AM P O M 0 BO M 0M P
CO M M P 0 DM P 0O M
6、利用三角函数线比较三角函数值的大小
（ 1） sin 5π 与 sin 7π
4
6
（ 2） cos 5π 与 cos 7π
4
6
（ 3） tan 5π 与 tan 7π
N1

x
O M A(1,0)
y），过P作x轴的垂线，
B'(0,-1)
垂足为M； 做PN垂直
y轴于点N，
则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)
其中cosα=OM，sinα=ON.
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α
的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.
x
以水平线为x轴，以转轮半径为
单位长建立直角坐标系。
设P 点为转轮边缘上的一点,
它表示座椅的位置，记 xOP
，则由正弦函数的定义可知，
MPsin
知识链接
（1）角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
y
P(x,y)
α
o
x
cos x r
sin y r
ta n y x
（2）角α 的正弦、余弦、正切值与终边上 P点的位置是否有关？
(三)
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想 的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.
教学重点
正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
教学难点
正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值
摩天轮
数学源于生活
我们首先建立下面的坐标系： P y
在观览车转轮圆面所在的平面

内，以观览车转轮中心为原点， M O
课前预习
1、单位圆 半径为1的圆
B(0,1) y
P(cos,sin) N1

x
A'(-1,0) O M A(1,0)
叫单位圆。
B'(0,-1)
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与
x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).
而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).
问题1：设角的终边与单位圆交于点P，则p点 的坐标是什么？
4
、 2
3
的正弦线、余弦
线、正切线。
例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (3) tan2和tan3.
(2) cos1和cos1.5;
解：由三角函数线得
sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
tan2<tan3
练习2 若 5 则下3列各式中正确的（ ）
C
4
2
问题5：角与它的三角函数线之间存在着对应 关系，这种对应关系是不是函数关系？与三角 函数线的数量之间呢？
角的三角函数线是三角函数定义的几何表示， 它的数量等于这个角的三角函数值。
典型例题
例1：作出 2 的正弦线、余弦线和正切线。
3
y P
Mo
A(1,0) x
T
解：在直角坐标系中作单位圆。以ox轴方向为
x1=30º, x2=150º. 变式：去掉 0º<x<360º的限制呢？
例4：利用三角函数线证明：
若 0,则 sincos1
2
解：如图， 单位圆O与 角α的 终边交于点P，与x 轴的正半轴 交于点A，过P作PM垂直于x轴于 点M，则由三角函数的定义可知：
sinα=MP, cosα=OM, 由MP+OM>OP 知， sinα+cosα>1
y
y'
以A为原点建立y’轴与y 轴同向，y’轴与α角的终边
P T (1,tan)

x
(或其反向延长线)相交于点
O 1 A(1,0)
T(或T ’)，则tanα=AT(或
T'
AT ’)
我们把轴上的向量 O M ,O N 和 A T (或 A T ') 分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
问题4：观察思考：三角函数线的方向和符号？ 当角α的终边在坐标轴上时，它的三角函数线及 其数量是如何变化的？
4、若 则 下 列各式中正确的（ ）
4
2
A 、 s in c o s ta n B 、 c o s ta n s in
C 、 ta n s in c o s D 、 s in ta n c o s
5、如果 M P和 OM 分别是角
则： A P ,sinM P ,tanA T
由 S O A P S 扇 形 O A P S O A T 知
1MP1AP1AT 2 22
即 sintan
y
T
P
α O M A（1，0）x
典型例题
1、下列四个命题中(1)α一定时，单位圆中的正弦线一定； （2）单位圆中有相同正弦线的角相等；（3）α与α+π 有相同的正切线；（4）具有相同正切线的两个角终边在 同一条直线上。不正确的命题个数是 （ ）
A：0
B：1
C：2
D：3
2、已知α是第一象限角，则下列等式中可能成立的是 （）
A：sinα+cosα=1.2 C： sinαcosα=1.3
B： sinα+cosα=-0.9 D： sinα+cosα=－1.2
3、在（0，π/2）内，使sinx>cosx成立的x的取值 范围是 ____________.
4
6
课堂小结
1、网络结构
单位圆
三角函数线
2、数学思想：数形结合
正弦线 余弦线 正切线
3、主要内容
（1）给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的
正弦线、余弦线、正切线。
（2） 三角函数线的位置 ：
正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上 的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上 的射影的有向线段；
y P
α O M A（1，0）x
变式：当R时比较 sin cos 与 1 的关系。
sincos1
例5 当 （0 ， ） ，试比较实数α ，
2
sin α ，tan α的大小。
分析：如图
单位圆O与 角α的终边交于 点P，与x 轴的正半轴交于 点A，过P作PM垂直于x轴于 M，过A作单位圆的切线，交 α的终边与点T ,连接AP，
人教B必修4
1.2.2单位圆与三角函数线
y
M1 o
P1
T
Ax
高一数学 冯伟
学习目标
(一)知识目标
1.单位圆的概念. 2.有向线段的概念. 3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.
(二)能力目标
1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念. 2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余 弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示 出来.
A s in c o s ta n B c o s ta n s in C ta n c o s s in D s in ta n c o s
例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0º<x<360º)
解：由在y轴上找 到y=0.5的点，做 x轴的平行线， 交单位圆于点P 和P’两点，由三 角函数线知
始边作 2 的终边与单位圆交于P点，作
3
PM⊥ox轴，垂足为M，由单位圆与ox轴正方
向的交点A作ox轴的垂线与OP的反向延长线
交于T点，则
sin2MP,cos2OM,tan2AT.
3
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3
3
即2的 正 弦 线 为 MP， 余 弦 线 为 OM ， 正 切 线 为 AT.
3
练习1.分别作出 3
正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，
为有向线段 A T
（3） 特殊情况：
① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与 点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量 为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线 变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。