利用三角函数测高

DM
,DM=
x-n tanα
在Rt△HAM中，tanβ= HM ,DM= x - n
AM
tanβ
∵AM-DM＝AD，
∴ x - n - x - n =m,
tanβ tanα
mtanα• tanβ x= tanα - tanβ +n.
方案二
（1）如图（b）（测三个数据）
CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ.
AB=AG+1≈83（m）
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶
端宽度AD和高度DC都可以直接测得。从A、D、C三
点可看到塔顶端H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾 器(即测角仪).
(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设 计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要 求如下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，
加油，你是最棒的！
下表是小明所填实习报告的部分内容：
课题
在平面上测量某大厦的高AB A
测量示意图 测得数据
Eα F β
CD
测量项目
∠α
∠β
第一次 第二次 平均值
30° 16′ 44° 35′ 29° 44′ 45° 25′
G B
CD的长 60.11m 59.89m
做一做
1.请根据小明测得的数据,填写表中的空格;
1.6 利用三角函数测高
活动课题:利用直角三角形的边角关系测量
物体的高度.
活动方式:分组活动或全班交流
研讨.
活动工具:测倾器(或经纬仪,测角仪等),皮尺
等测量工具.
1、直角三角的边角关系：
tan A = a b
a = btan A
b= a tan A
2、仰角、俯角：
A
视线
铅
仰角
垂
线
俯角 水平线
视线
M
E
α C
N
L
aA
a
测量学校旗杆MN的高度(底部可以到达)
测
M
量
MN=Ltanα+ a
示 意
E
α
C
图
N
L
aA
测量项目
测
得 倾斜角α
数
据 测倾器高a
第一次
α=30°15′ a=1.23m
第二次
α=19°49 ′ a=1.21 m
平均值
α=30°2 ′ a=1.22m
AN的长L L=20.15m L=19.97m L=20.06m
要测量物体
MN的高度,使 M
用侧倾器测一
次仰角够吗？
为什么？
E
N
α C a
A
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.
要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的. 还需哪些条件，测量哪些数据呢？
M
E
β Dα
C
ba
N
B
A
如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行:
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一
（2）设HG＝x，HM＝x-n，
在Rt△CHG中，tanγ= HG
CG
x ,CG= tanx,
在Rt△HDM中，tanα = HM ,DM= x - n ,
DM
tanα
∵CG＝DM.
∴ x = x - n ，x= tanx tanα
ntan
并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离， 用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果 测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不计）
(2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度 HG（用字母I表示）
方案一
（1）如图（a）（测四个数据）
AD＝m.CD＝n，∠HDM＝α,∠HAM＝β
（2）设HG＝x，HM＝x-n， 在Rt△HDM中，tanα = HM
B
c
a
┌
b
C
活动一: 测量倾斜角（仰角或俯角）.
测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器 由度盘、铅锤和支杆组成(如图).
90 90
P
Hale Waihona Puke Baidu
Q
度盘
0
铅锤
支杆
活动一：测量倾斜角.
使用测倾器测量倾斜角 M 的步骤如下: 1.把支杆竖直插入地面,使 支杆的中心线、铅锤线和 度盘的0°刻度线重合,这 时度盘的顶线PQ在水平位 置. 2.转动度盘,使度盘的直径 对准目标M,记下此时铅锤 线所指的度数.
水平线
90° 60° 30°
90°
60°
0°
30°
活动一:测量倾斜角.
M
根据刚才测量 数据,你能求出 目标M的仰角 或俯角吗？说 说你的理由.
水平线
1
2
4
3
同角的余角 相等
活动二: 测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障 碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
计 算
在Rt△MCE中，ME = ECtanα=ANtanα=20.6×tan30°2′≈
过 20.6×0.578=11.60m,MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22
程 =12.82m
活 动 感 受
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接 测得测点与被测物体底部之间的距离.（如图）
tan a
N
EC-ED= ME － ME =b tan a tan
β Dα
C
b
a
B
A
ME tan - ME tan a = b tan a tan
ME
=
b tan
tan
a tan
- tan a
ME(tan tan a) = b tan a tan
MN = btana tan + a tan tana
如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？
可按下列步骤进行:
1.在测点A处安置测倾器, 测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部 M N的水平距离AN=L.
3.量出测倾器的高度AC=a E N
α
L
aC
A
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的 高度吗?说说你的理由.
在Rt△MCE中， ME=EC tanα=AN tanα=L tanα MN=ME+EN=ME+AC=L tanα+a
答：30°， 45°， 60m
2.已知测倾器的高CE=DF=1m，通过计算求
得，该大厦的高为__8_3___m (精确到1m).
解：在Rt△AEG中，
EG= AG =1.732AG
tan30°
在Rt△AFG中，FG= EG-FG=C D
AG tan45°
1.732AG-AG=60 AG=60÷0.732≈81.96
条直线上),测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之 间的距离AB=b.
根据测量数据, 你能求出物体 M MN的高度吗? 说说你的理由.
E
N
β Dα
C
ba
B
A
根据测量数据,物体MN的高度计算过程：
M
在Rt△MDE中，
ED=
ME
tan
在Rt△MCE中，
E
EC = ME