数列的极限
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.
注：a 不一定是｛a n ｝中的项.
2.几个常用的极限：①∞
→n lim C =C （C 为常数）;②∞
→n lim
n
1
=0;③∞→n lim q n =0
（|q |＜1）.
3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞
→n lim a n =a ,
∞
→n lim b n =b 时，∞
→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;
∞
→n lim
（a n ·b n ）=a ·b ;
∞
→n lim
n
n
b a =b
a （
b ≠0）.
●点击双基
1.下列极限正确的个数是 ①∞
→n lim α
n 1=0（α＞0） ②∞
→n lim q n =0
③∞
→n lim
n
n
n n 3
232+-=－1 ④∞
→n lim C =C （C 为常数）
A.2
B.3
C.4
D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2.
∞
→n lim
［n （1－3
1）（1－4
1）（1－51） (1)
2
1
+n ）］等于 A.0 B.1
C.2
D.3
解析:
∞
→n lim
［n （1－3
1）（1－4
1）（1－5
1） (1)
2
1
+n ）］
=∞
→n lim ［n ×32×43×54×…×2
1++n n ］
=∞
→n lim
2
2+n n
=2. 答案:C ●典例剖析
【例1】 求下列极限： （1）∞
→n lim
7
5722
2+++n n n ;（2）
∞
→n lim
（
n
n +2－n ）;
（3）∞
→n lim （
2
2n +
2
4n +…+2
2n
n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因
n
n +2与
n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.
解:（1）∞
→n lim
7
57
222
+++n n n =∞→n lim 2
2757
12n
n n +++
=5
2.
（2）∞
→n lim （
n
n +2－n ）=
∞
→n lim
n
n n n ++2=∞
→n lim
1111++
n
=2
1.
（3）原式=∞
→n lim
2
2642n n
++++Λ=∞
→n lim
2
)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1
）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)
75(lim )
72(lim 22+++∞
→∞
→n n n n n =∞
∞=1,
②∵∞
→n lim （2n 2+n +7）,
∞
→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）
要避免出现下面两种错误： ①∞
→n lim （
n
n +2－n ）=
∞
→n lim
n
n +2－∞
→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞
→n lim
n
n +2－∞
→n lim n =∞－∞不存在.
对于（3）要避免出现原式=∞
→n lim 2
2n +∞
→n lim
2
4n +…+∞
→n lim
2
2n n =0+0+…+0=0这
样的错误.
【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．
（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ； （2）求∞
→n lim
1
122+-+-n n n n a a 的值．
解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,
∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.
∴S n ＝⎪
⎩⎪⎨⎧≠>--=).
10(1)
1(3)1(3c c c
c c n
n 且
（2）
∞
→n lim
1
122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n
n
n n c c 32321
1+---.
①当c =2时，原式＝－4
1;
②当ｃ＞2
时，原式＝∞→n lim c
c
c n n 3)2(23
)2
(11+⋅---＝－c 1;
③当0＜ｃ＜2
时，原式=∞→n lim
1
1
)2
(32)2(31--⋅+-n n c
c c ＝2
1.
评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.
【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）
2
=1,抛物线ϕ:y =（x －1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，
求∞→n lim
2
2
||||CD AB .
