高三数学试题数列的极限

2023高考数学济南卷数列的极限与和历年真题及答案数列是高中数学中重要的概念之一，它在数学中扮演着重要的角色。

在2023年的高考数学济南卷中，数列的极限与和是一个常见的考点。

本文将通过讨论数列的概念与性质，分析历年真题，并给出相应的答案，以帮助考生更好地理解与应对这一考点。

1. 数列的概念与性质数列可以简单地理解为按照一定规律排列的一系列数。

常见的数列有等差数列和等比数列，它们分别具有不同的特点与性质。

1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定。

通常用a表示首项，d表示公差，第n项可表示为an = a + (n-1)d。

对于等差数列，我们有以下性质：(1) 第n项公式：an = a + (n-1)d(2) 通项公式：an = a₁ + (n-1)d(3) 前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定。

通常用a表示首项，q表示公比，第n项可表示为an = a * q^(n-1)。

对于等比数列，我们有以下性质：(1) 第n项公式：an = a * q^(n-1)(2) 通项公式：an = a₁ * q^(n-1)(3) 前n项和公式（当q≠1时）：Sn = a * (1-q^n) / (1-q)2. 数列的极限与和历年真题与答案分析以下是几道历年高考数学济南卷中关于数列的极限与和的真题，以及相应的答案分析：2.1 2018年高考数学济南卷已知数列{an}满足a₁=1，对任意的正整数n，有aₙ₊₁ =(1+n)/(2+n) * aₙ，则数列{an}的前2018项和S₂₀₁₈等于多少？解析：根据题意，我们可以得到递推公式：aₙ₊₁ = (1+n)/(2+n) *aₙ。

观察递推关系可以发现，分子的部分形式和分母的部分形式非常相似，因此我们可以先尝试分解分式，得到aₙ₊₁ = 1-1/(2+n) * aₙ。

由此，我们可以将题目中的递推关系推广到通项公式：an = (2/3) * (1-1/(n+1))。

高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。

极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。

首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。

这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。

通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。

再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。

这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。

可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。

解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。

当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。

以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。

当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。

数学中的数列极限与函数求导练习题在数学的广袤领域中，数列极限和函数求导是两个极其重要的概念，也是我们深入理解微积分和高等数学的基石。

为了更好地掌握这两个关键知识点，让我们通过一系列的练习题来加深理解和提高应用能力。

一、数列极限练习题1、考虑数列＄＼｛a_n\｝＄，其中＄a_n ＝＼frac{n^2 1}｛n^2＋ 1}＄，求＄＼lim_{n ＼to ＼infty} a_n$。

解：＼＼begin{align}＼lim_{n ＼to ＼infty} a_n&＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼frac{n^2 1}｛n^2 ＋ 1}＼＼＆＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼frac{1 ＼frac{1}｛n^2}｝｛1 ＋＼frac{1}｛n^2}｝＼＼＆＝＼frac{1 0}｛1 ＋ 0}＼＼＆＝1＼end{align}＼2、已知数列＄＼｛b_n\｝＄满足＄b_n ＝＼frac{2n ＋ 3}｛3n 1}＄，求其极限。

解：＼＼begin{align}＼lim_{n ＼to ＼infty} b_n&＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼frac{2n ＋ 3}｛3n 1}＼＼＆＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼frac{2 ＋＼frac{3}｛n}｝｛3 ＼frac{1}｛n}｝＼＼＆＝＼frac{2 ＋ 0}｛3 0}＼＼＆＝＼frac{2}｛3}＼end{align}＼3、对于数列＄c_n ＝＼frac{＼ln n}｛n}＄，计算＄＼lim_{n ＼to ＼infty} c_n$。

解：先对＄c_n$ 使用洛必达法则：＼＼begin{align}＼lim_{n ＼to ＼infty} c_n&＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼frac{＼ln n}｛n}＼＼＆＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼frac{＼frac{1}｛n}｝｛1}＼＼＆＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼frac{1}｛n}＼＼＆＝0＼end{align}＼二、函数求导练习题1、求函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2x$ 的导数。

第二章 数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。

高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。

（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。

（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。

由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。

高三数学数列极限试题答案及解析1.过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，记原点为,面积为,则_______【答案】1【解析】记，，因为，即的极限点为，过且方向向量为的直线方程为，代入椭圆方程，解得直线与椭圆的两交点，而，因此.【考点】数列的极限.2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．4.若的展开式中的系数为，则=____________．【答案】2【解析】由二项式定理知的系数是，，所以.【考点】二项式定理，裂项相消求和，数列极限.5.数列的通项公式，前项和为，则=_____________.【答案】【解析】当时，，所以=.【考点】本小题主要考查裂项法求数列的前n项的和以及极限的求解，考查学生的运算求解能力.点评：裂项相消法和错位相减法是数列求和的常用方法，也是高考中经常考查的内容，要给予充分的重视.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.、已知正项数列满足：，且，是数列的第项，则.【答案】1【解析】解：由得即，8.设常数，展开式中的系数为，则______【答案】1【解析】解：用二项式定理展开，则通项公式为则因此极限值为19.计算．【答案】【解析】略10.计算： .【答案】【】【解析】本题考查极限、等差数列求和及组合数公式由等差数列的求和公式有又所以即11.若() =9，则实数= .【答案】【解析】略12.已知函数在处连续，则( )A．0B．1C．D．【答案】D【解析】略13.．【答案】2【解析】略14.…）的值为．【答案】【解析】略15.A．B．C．D．不存在【答案】B【解析】略16.的值为（）A．－2B．C．D．【答案】B【解析】略17.【答案】【解析】略18.计算：。

【答案】.【解析】.【考点】极限的计算.19.已知，则______________．【答案】28【解析】由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值．【考点】极限及其运算．20.．【答案】【解析】．【考点】极限的求法．。

高考数学数列的极限与收敛性选择题1. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则数列的前n 项和Sn的通项公式为（）A. S_n = n^2 + 1B. S_n = 3n + 1C. S_n = 2n^2 + 3n + 1D. S_n = 2n^2 - 3n + 12. 数列{an}的通项公式为an=3n^2-2n+1，求数列的前n项和Sn。

3. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。

4. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n 项和Sn。

5. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。

6. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，公比q=3，求数列的前n 项和Sn。

7. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n/n，求数列的前n项和Sn。

8. 已知数列{an}是等差数列，且a1=3，公差d=1，求数列的前n 项和Sn。

9. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。

10. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。

11. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。

12. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，求数列的前n项和Sn。

13. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。

14. 已知数列{an}是等比数列，且a1=3，公比q=2，求数列的前n项和Sn。

15. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。

16. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n项和Sn。

17. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。

18. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。

19. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。

高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数列极限1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。

（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。

记法：lim n n a A →+∞=；读作：“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”； 注意：（1）}{n a 是无穷数列；（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的； （3）不是所有数列都存在极限；如：21,n a n n N *=-∈；2.极限第二定义：对于无穷数列{}n a ，若存在一个常数A ，对于任意小的正数ε，总存在自然数m N *∈，使得当n m >时，n a A ε-<恒成立，则称A 是数列{}n a 的极限。

说明：lim n n a A →+∞=的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。

换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。

例1.求下列无穷数列极限：（1）数列 ,21,,161,81,41,21n ；（2）数列 ,1,,43,32,21+n n； （3）数列 ,)1(,,31,21,1nn---； 例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；（2）2,2,2,...,2,...----； （3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n ---； （4）11,2,4,8,16,...,2,...n -； （5）1,1,1,...,(1),...n ---；（6）3,........20102,.......20102010n n a n N n n n *≤⎧⎪=∈⎨>⎪-⎩解：（1）10limn n →∞=；（2）(2)2lim n →∞-=-； （3）(0.1)0lim n n →∞-=n )1.0(-＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n -无极限；（6）lim 2n n a →+∞=；归纳：（1）0,lim n aa n→∞=为常数；（2）(1,1)0,lim n n q q →∞∈-=；1,lim n n q q →∞=-不存在；,1lim n n q q →∞==（3）,0lim n an b ac cn dc →∞+=≠+；2,0,lim n an b a c cnd →∞+≠+不存在；2,0,0limn an ba c cn d→∞+≠=+； 3.极限的运算法则：(i)设lim ,lim ,,,,n n n n a A b B m n N k C *→+∞→+∞==∈为常数。

2023高考数学铜陵卷数列的极限历年真题及答案【2023高考数学铜陵卷数列的极限历年真题及答案】一、引言数列的极限在高考数学中占据着重要的地位，它是数学中的基本概念之一。

通过掌握数列的极限性质和求解方法，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。

在铜陵地区的高考数学卷子上，数列的极限问题经常会出现。

本文将为大家梳理2023年铜陵高考数学卷上涉及数列的极限题目，并提供详细的解析答案。

二、历年真题与解析1. 2019年铜陵高考数学卷题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n^2+1}$，求$\lim\limits_{n \to \infty}a_n$。

解析：由已知的数列通项公式，当$n$趋于无穷大时，分母的$n^2$项的影响将远远大于1，因此可以忽略1的存在。

同时，$n$的指数次幂将使分母的影响趋于无穷大，使得数列的值趋近于0。

因此，$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$。

2. 2020年铜陵高考数学卷题目：已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，若$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=100$，且$a_1=-2, d=5$，求数列的公差$d$。

解析：根据题意，$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=100$，即当$n$趋向无穷大时，数列的前$n$项和趋近于100。

代入等差数列的前$n$项和公式，得到$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(-4+(n-1)5)}{2}=100$。

化简方程，得到$-\frac{5}{2}n^2+9.5n-100=0$。

解方程，得到$n=10$。

由公差$d$的性质，可得到$a_{10}=a_1+9d$，代入已知条件，得到$-2+9d=100$。

解方程，最终求得$d=12$。

数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。

而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。

在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。

本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。

练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。

通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。

2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。

解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。

洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。

数列一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在数列2，5，22，11，…中，如果52是这个数列中的一项，那么它的项数是（ ）．A ．6B ．7C ．10D ．11（2）数列0，2，0，2，…的通项为n a ，下列公式不能作为已知数列的通项公式的是（ ）．A ．nn a )1(1-+= B ．2π)1(sin 22-=n a nC ．π)1cos(1+-=n a nD ．1)1(1--+=n n a（3）已知数列{n a }中，11=a ，32=a ，且*)()1(1221N ∈-=--++n a a a n n n n ，那么4a 等于（ ）．A ．365B ．21C ．17D ．10（4）n S 是数列}{n a 的前n 项和，且),3,2,1(log 3 ==n n S n ，那么数列}{n a （ ）． A ．是公比为3的等比数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公比为31的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列（5）等差数列}{n a 中，81073=-+a a a ，4411=-a a ，那么它的前13项和为（ ）． A ．168 B ．156 C ．78 D ．152（6）等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=+++a a a a a a ，则75a a +等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 （7）数列}{n a 中，n n a n ++=11，若其前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）．A ．9B ．10C ．99D ．100（8）若a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 成等差数列，n 是b ，c 的等差中项，则n cm a +的值为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 （9）数列}{n a 中，已知n a n 211-=，记||||||||321n n a a a a S ++++= ，那么等于（ ）．A ．25B ．50C ．100D ．150（10）等比数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）．A ．14B ．16C ．18D ．20 （11）在50到350之间的所有个位数字是1的整数的和为（ ）． A ．5 880 B ．5 539 C ．5 208 D ．4 877（12）现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）．二、填空题：（13）n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且05=S ，729=S ，则++++13121110a a a a20a + ＝__________．（14）在10到2000之间形如*)(2N ∈n n 的各数的和为__________．（15）数列}{n a 中，1)97(+⋅=n n n a ，则此数列的最大项为__________．（16）已知数列}{n a 满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，那么数列}{n a 的前n 项和的公式为n S ＝__________．三、解答题：（17）在4与64之间插入三个正数a 、b 、c ，使4，a ，b 与b ，c ，64都成等比数列，且使a ，b ，c 成等差数列，求a 、b 、c 的值．（18）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为n S ，5502=k S ． （Ⅰ）求a 和k 的值；（Ⅱ）求数列}1{n S 的前n 项和n T ．（19）数列}{n a 为正项的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6 560，且在前n 项中数值最大的项为54．求这等比数列的首项1a 与公比q ．（20）已知α 、β 、γ 都是锐角，2tan 2tan3γα=，且2tan β ＝tan γ ，求证：α ，β ，γ 成等差数列．（21）在等比数列}{n a 中，1531=+a a ，前4项和为45．设3log )5(122+-=n n a n C ，试问数列}{n C 中有没有最小值？若有，求出这最小项，并指明项数；若没有，说明理由． （22）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型进口车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？参考答案一、选择题：（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）C （9）B （10）B （11）A （12）B 提示：（1）给出数列的一个通项公式是13-=n a n ．令5213=-n ，得n ＝7．（3）在已知递推公式中令n ＝1，可得83=a ．再令n ＝2得3654=a ．（4）nn S 3=故31=a ，当n ≥2时，132-⋅=n n a ．（5）由已知可求得74=d ，7601=a ．（6）由已知可得36)1(22821=+q q a ．故6)1(241=+q q a ，而)1(24175q q a a a -=+． （7）n n a n -+=1，故11-+=n S n ．（8）由已知有⎪⎩⎪⎨⎧+=+==.2,2,2c b n b a m ac b 消b 得（2m －a ）（2n －c ）＝ac ．（9）由2110211≤⇔≥-n n ．故当n ＝1，2，3，4，5时0>n a ，n ≥6时0<n a ．（10）由11)1(41=--q q a 、31)1(81=--q q a 可得31148=--q q ．故24=q ，11-=q a ．因此)1)(1)(1()1)(1(216216120191817q q q q q q q a a a a a ++-=++=+++ ＝16)1()()1)(1()(4442244=-=+-q q q q q ． （11）这些数可组成51为首项，341为末项的等差数列，且共有30个数．（12）n 层的正三角钢管垛总共用钢管数为2)1(+n n ，这里求使1002)1(≤+n n ，*N n ∈，且n 尽量大，经估算知n ＝19．二、填空题：（13）528 （14）2032 （15）54)97(4=a （16）)3(232n n +．提示：（13）n n S n 1022-=．所求为920S S -． （14）这些数组成以42为首项，2为公比，共7项的等比数列．（15）927)97(11n a a n n n -⋅=-++，故n ＝1，2，3时，n n a a >+1；n ≥4时，n n a a <+1． （16）由)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，则1321)1(32--++++n a n a a a ＝ （n －1）n （n ＋1）（n ≥2）．两式相减得()233≥+=n n a n ，且61=a ．于是)(33*Ν∈+=n n a n ． 三、解答题：（17）设a ＝b －d 、c ＝b ＋d ．则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.64)(,4)(22b d b b d b 解得d ＝15． 代入可得0225342=+-b b ，故b ＝25，b ＝9（舍去）．于是a =10，b =25，c =40． （18）（1）依题意有3a ＋a ＝8，故a ＝2．于是等差数列前三项为2，4，6，其首项为2，公差为2．又由5502=k S ，得550222)1(2=⋅-+k k k ．解得k ＝50．（2）由（1）)1(22)1(2+=⋅-+=n n n n n S n ．111)1(11+-=+=n n n n S n ．1111)111()3121()211(+=+-=+-++-+-=n nn n n T n ．（19）若q ＝1，则有n n S S 22=与题意不符，故q ≠1．于是依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--.56061)1(,801)1(211qq a q q a nn 两式相除，并化简可得081822=+-n n q q ．故81=n q 或1=n q （舍去）．由81=nq ，故q ＞1，所以数列}{n a 前n 项中，n a 最大，即54=n a ． 由5411==-n n q a a ，得q q a n 541=，即q a 54811=． 再把81=nq 代入801)1(1=--q q a n 中可得11-=q a ．由此解得21=a ，q ＝3．（20）βγγγγγγγαγαγαtan tan 212tan 12tan2tan 12tan2tan 2tan2tan12tan2tan 2tan243==-=-+=-+=+．且α 、β 、γ 均为锐角，故2π20<+<γα，2π0<<β，于是βγα=+2，即α ，β ，γ 成等差数列．（21）设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+.45)1(,15)1(32121q q q a q a 解得⎩⎨⎧==.2,31q a ∴ 123-⋅=n n a ，nn a 21223⋅=+，225)25(21022log )5(22222--=-=-=n n n n C n n ．又*Ν∈n ，于是当n ＝2或3时，n C 最小，为－12．（22）（Ⅰ）因为2006年关税税款为2001年的41，故所减少的关税税款为244332=⨯（万元）．所以2006年A 型车价格64－24＝40（万元）．因为5年后B 型车价格应不高于A 型车价格的90%，故B 型车价格≤40×90%＝36（万元）．又2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所以平均每年至少降价2万元．（Ⅱ）依题意，2001年存入33万元，5年到期时连本带息可得5)811(33%.+⨯（万元）．而5)811(33%.+⨯＞33（1＋5×0.018＋10×0.000324）＝36.07692（万元）．因此，能买一辆依（Ⅰ）中所述5年后降价为36万元以下的B型车．数列的极限【教学目标】⒈认知目标①使学生加深对数列极限概念的理解.②掌握数列极限的四则运算法则及运用条件.③掌握求数列极限的一些常用方法.⒉能力目标①培养学生观察抽象能力与严谨推理的能力.②培养学生分析问题解决问题的能力.⒊情感目标①激发学生勇于克服困难勤于探索的精神.②培养学生严谨的学习态度，通过对问题转化培养辩证唯物主义观点. 【教学重点】运用数列的四则运算法则求数列的极限.【教学难点】求含参数的式子的极限时，要注意对参数值的分类讨论.【教学课型】复习课【教学过程】（一）数列极限概念的理解.学生课前练习：⑴已知Aann=∞→lim,则在区间()εε+-AA,外（ε为任意小的正常数）这数列{}n a的项数为（填“有限项”或“无穷项”）⑵下列命题正确的是（）①数列(){}31n-没有极限②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-nn21的极限为0③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④ ⑶()BA b aB b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件⑷ 212lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n r r ，则r 的取值范围是（ ） A －2121<<r B 21->r C 21>r D 1-<r （5）1312lim 22--+∞→n n n n 的值为（ ） A －21 B －32 C 21 D 32知识归纳：1) 数列{}n a 的极限定义：任给0>ε，存在N ＞0，当n>N 时，ε<-A a n 恒成立.记作Aa n n =∞→lim . 注意：①N 与ε有关.②Aa n n =∞→lim 的几何意义是当n>N 时，n a 对应的点全部落在区间()εε+-A A ,之内.2) 数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim≠≠=∞→B b B Ab a n n n n .注意：和与积必须是有限的。

2023高考数学江苏卷数列的极限历年真题及答案2023年高考即将来临，数学作为一门重要科目，对于考生来说也是相当重要的一部分。

在数学高考中，数列的极限是一个常见的考点。

江苏卷作为高考中的一个地方试卷，对数列的极限也会有相应的考查。

为了帮助考生更好地复习数列的极限，本文将为大家整理一些江苏卷历年的数列极限真题及答案。

1. 2018年江苏卷已知数列{an}满足an = √(n^2 + 1) - n，求lim(n→∞)an。

解答思路：对于此题，我们可以利用极限的运算性质来求解。

根据数列的定义，当n趋近无穷大时，我们可以将√(n^2 + 1)与n进行类似"除以最高次"的操作，即将n开出来。

这里我们可以利用差的平方公式进行变形。

解答步骤：首先利用差的平方公式对an进行变形：an = √(n^2 + 1) - n= √(n^2 + 1) - √n^2= (√(n^2 + 1) - √n^2) × (√(n^2 + 1) + √n^2) / (√(n^2 + 1) + √n^2)= (n^2 + 1 - n^2) / (√(n^2 + 1) + √n^2)= 1 / (√(n^2 + 1) + √n^2)接下来，我们对an进行进一步变形：1 / (√(n^2 + 1) + √n^2)= 1 / (√(n^2) × (√(1 + 1/n^2)) + √n^2)= 1 / (n × (√(1 + 1/n^2)) + n)= 1 / (n × (√(1 + 1/n^2)/n + 1))由于我们要求的是当n趋近无穷大时的极限，那么我们可以将其中的1/n作为一个无穷小，即：lim(n→∞)(1 + 1/n^2)^(1/2)/n = lim(n→∞)1/n = 0因此，极限lim(n→∞)an = 1/(0 + 1) = 1。

2. 2019年江苏卷已知数列{an}满足an = (n + 1)! / (1! + 2! + 3! + ... + n!)，求lim(n→∞)an。

证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。

＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。

综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。

121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。

＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

高中数学数列与极限练习题及参考答案以下是针对高中数学数列与极限练习题的练习题及参考答案：一、选择题1. 以下哪个数列是等差数列?A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：B2. 若数列 {an} 为等差数列，常数为 d，差为 a1 - a0，以下哪个不等式成立？A. a100 > a50 + 50dB. a100 > (a0 + a100)/2C. a100 > a50 + (50/2 - 1)dD. a100 > a50 + (50/2)d参考答案：D3. 以下哪个数列是等比数列？A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：A4. 给定 {an} 为等比数列，公比为 q，首项为 a0，以下哪个等式成立？A. a0 + a3 = a1 + a2B. a2q = a4C. a1 - a0 = (1 - q)a0D. a5 + a2 = a4 + a3q参考答案：D二、计算题1. 已知数列 {an}，其中 a0 = 1，a1 = 2，a2 = 4，求 a3 和 a4。

参考答案：a3 = 8，a4 = 162. 给出等比数列 {an}，其中 a1 = 2，a2 = 8，求公比 q。

参考答案：q = 43. 如果知道 {an} 是等差数列，a3 = 13，a6 = 28，求 a17。

参考答案：a17 = 674. 若 {an} 是等比数列，a3 = 20，a6 = 320，求公比 q。

参考答案：q = 4三、证明题1. 证明等差数列 {an} 的通项公式为 an = a0 + nd。

参考答案：通过递推法可得出 an = an-1 + d，即 {an - d} 为等差数列，且 a0 = a0 + 0d，故得证。

高等数学数列极限习题集及答案1. 数列的定义数列是由按确定的顺序排列的一列数所构成的。

数列可以用一般的形式表示为a1,a2,a3,...,a a,...，其中a a表示数列中的第n个数。

2. 数列的极限数列的极限可以理解为数列中的数随着a的增大而趋近于某个值。

数列极限的概念在高等数学中非常重要。

2.1 数列的无穷极限当数列的某一项越来越接近无穷大或无穷小的时候，我们称其为数列的无穷极限。

无穷极限可以分为正无穷大极限和负无穷大极限。

正无穷大极限：当数列的每一项都大于某一个正数M时，我们说数列逼近正无穷大，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=∞$。

负无穷大极限：当数列的每一项都小于某一个负数-M时，我们说数列逼近负无穷大，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=-∞$。

2.2 数列的有界性和有界变差性数列的有界性和有界变差性是数列收敛性的重要条件。

有界性：如果数列的所有元素都在某个范围内，就说这个数列是有界的。

即存在正数M，使得对所有的n有|a a|≤a。

有界变差性：对于给定的正整数N，把[a1,a2],[a2,a3],...,[aa−1,aa]称为数列的N个相邻项。

如果存在一个常数M，对于所有的N都有相邻项和的绝对值|a2−a1|+|a3−a2|+...+|a a−a a−1≤a，则称数列有界变差。

2.3 数列的收敛和散度数列的收敛和散度是数列极限的两种基本性质。

数列的收敛：如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|a a−a|<a，则称数列收敛于L，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=L$。

数列的散度：如果数列不存在极限，就称该数列是发散的。

2.4 数列极限的性质数列极限具有以下性质：1.基本性质：数列极限若存在，则必唯一。

2.保号性质：如果数列的极限存在且为正数（或负数），则从某项开始，数列的各项都是正数（或负数）。

单元练习8 数列极限数学归纳法2002.11 班级：____________；姓名：______________; 成绩：___________.一. 选择题：(每小题4分，共4×14 = 56分)将答案填入下表中(A)是等差数列不是等比数列； (B)是等比数列不是等差数列；(C)既是等差数列又是等比数列； (D)既不是等差数列也不是等比数列；2. 已知数列{a n}的前n项和为S n = 3n + k (k为常数) ,那么下述结论正确的是(A)k为任意实数时{a n}为等比数列； (B)k=－1时{a n}是等比数列；(C)k=0时{a n}是等比数列； (D){a n}不可能成为等比数列；3. 已知a,b,c成等比数列，a,x,b和b,y,c都成等差数列，且xy ≠ 0 ,则axcy+的值为(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4 ;4. 在等差数列{a n}中，a n =22n npn q-+(其中p、q是非零常数)，则p ,q应满足的关系式是(A) p－q = 0 ; (B) p + q = 0 ; (C) p－2q = 0 ; (D) p + 2q = 0 ;5. 若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和A n和B n满足ABnnnn=++71427(n∈N) ,则ab1111=(A) 74; (B)32; (C)43; (D)7871;6. 等差数列{a n}中，a1 + a4 + a7 = 15 ,a3 + a6 + a9 = 3 ,则该数列前9项的和等于(A) 18 ; (B) 45 ; (C) 36 ; (D) 27 ;7. 等差数列{a n}中，a10 < 0 ,a11 > 0 ,且| a10 | < a11 ,S n为其前n项之和，则(A)S1,S2,…,S10都小于零 ,S11 ,S12 ,…都大于零；(B) S1,S2,…,S5都小于零 ,S6 ,S7 ,…都大于零；(C) S1,S2,…,S19都小于零 ,S20 ,S21 ,…都大于零；(D) S1,S2,…,S20都小于零 ,S21 ,S22 ,…都大于零；8. 已知数列a1 ,a2 ,…,a10的各项均为正数，条件甲：该数列不是等比数列；条件乙：a1 +a10 < a5 +a6 .则乙是甲的(A)充要条件；(B)必要不充分条件；(C)充分不必要条件；(D)既不充分也不必要条件；9. 在0和16间插入两个数, 使前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于(A) 8 ; (B) 10 ; (C) 12 ; (D) 16 ;10. 数列{a n}中, a1 ,a2,a3成等差数列, a2 ,a3 ,a4成等比数列, a3 ,a4 ,a5的倒数成等差数列, 则a1 ,a3 ,a5(A)成等差数列；(B)成等比数列；(C)倒数成等差数列；(D)对数成等比数列；11. 已知首项a1为正数，公比| q | < 1的无穷等比数列从第二项起各项之和不大于第一项的一半，则公比q的范围是(A) q <13; (B) q ≤13; (C) q ≤13且q ≠ 0 ; (D) －1< q ≤13且q ≠ 0 ;12. 等差数列{a n}的首项a1 =－5 ,它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4，则抽去的是(A) a8 ; (B) a6 ; (C) a10 ; (D) a11 ;13. 已知1 + 2·3 + 3·32 + 4·33 + … + n·3n-1 = 3n (na－b) + c对一切n∈N 都成立，那么a ,b ,c的值为(A) a =12,b = c =14; (B)a = b = c =14; (C)a = 0,b = c =14; (D)不存在 ;14. 下列极限值： limn→∞1121+-=⎧⎨⎪⎩⎪()())n nn为奇数（为偶数; a>b>0 ,lim n→∞a a b a b ban n n nn++++--+1221=1a b-;lim n →∞(123n +223n +…+n n23)= 0 ; limn →∞n n n n 2222112121+--+--= 2.其中正确的有(A) 0个 ; (B) 1个 ; (C) 2个 ; (D) 3个 ; 二. 填空题：(每小题5分，共5×7 = 35分)15. 在数列{a n }中，已知a 1 = 1 ,a 2 = 5 ,a n+2 = a n+1－a n (n ∈N) ,则a 2002等于____________ .16. 若{a n }是等比数列，a 4a 7 =－512 ,a 3+a 8 = 124,且公比为整数，则a 10 = ________________ .17. 数列{a n } ,{b n }满足a n b n = 1, a n = n 2+ 3n + 2，则{b n }的前十项的和为__________________ .18. 若lim n →∞[ 1+(r + 1)n] = 1 ,则r 的取值范围是___________________________ .19. 已知数列{a n }满足S n = 4－a n －22-n(n ∈N), 则通项公式a n =________________________ .20. 若lim n →∞(3a n + b n ) = 8 , lim n →∞(6a n －b n ) = 1 ,则lim n →∞(4a n －b n )=_______________________ .21. 无穷等比数列中，所有奇数项之和等于36，所有偶数项之和为12，则此数列从第________项开始每一项都小于0.1 . 三. 解答题：(4小题共59分)22. 设{a n }是等差数列，a 1 = 1 ,S n 是它的前n 项和，{b n }是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n 项和，如果a 3 = b 2 ,S 5 =2T 2－6 ,lim n →∞T n = 9 ,求{a n } ,{b n }的通项公式 .23. 已知递增等比数列{a n }的前三项之积为512，且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列. 求证：11a +22a +…+na n< 1 . 24. 已知等差数列{a n }的第三项a 3 = 8，其前20项的和为610. 今从该等差数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，并按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，记数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n. (1). 求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2). 对一切自然数n，试比较2S n与T n的大小，并证明你的结论.25. 在XOY平面上有一点列P1 (a1, b1), P2 (a2, b2), …, P n (a n, b n), …，对每个自然数n，点P n位于函数y = 2000(a10)x (0 < a < 10)的图象上，且点P n、点(n, 0)与点(n + 1, 0)构成一个以P n为顶点的等腰三角形. (1) 求点P n的纵坐标b n的表达式；(2) 若对每个自然数n，以b n, b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3) 设B n= b1b2…b n(n∈N). 若a取(2)中规定的范围内的最小整数，求数列{B n}的最大项的项数.答案：15.-1;16. 512 ; 17. 5/12 ; 18. -2<r<0 ; 19. n/2n-1 ; 20. -1 ; 21.7 ; 22. 提示:a n=(n+1)/2; b n= 6(1 /3)n-1 ; 23. 提示：由条件推出a2 = 8 ,q= 2 ,∴a n = 2n+1 ,令S n=1/a1+2/a2+…+n/a n ,由1/2s n=S n-1/2S n = 1/22 + 1/23 +…+1/2n+1－n/2n+2 , ∴S n = 1-1/2n-n/2n+2 < 1 ; 24. 提示：(1).a n = 3n - 1, b n = 3×2n－1; (2). S n = (3n2+n)/2, ∴2S n = 3n2+n, T n = 3×2n+1－n－6, 分别计算n = 1, 2, 3时2S n与T n, 猜想T n > 2S n，用数学归纳法证明; 25. 提示：(1) a n = n+12, ∴b n=2000(a/10)n+1/2; (2) ∵函数y =2000(a10)x (0 < a < 10)递减∴对每个自然数n有b n>b n+1 > b n+2以b n, b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n+2+ b n+1> b n.即(a/10)2+ (a/10)－1 > 0 解得5(√5- 1)<a<10; (3) ∵5(√5- 1)<a<10 ∴a =7 b n = 2000(7/10)n+1/2数列{b n}是一个递减的正数数列. 对每个自然数n > 2, B n = b n B n-1. 于是当b n > 1时, B n > B n-1，当b n < 1时, B n < B n-1，因此，数列{B n}的最大项的项数n满足b n> 1且b n+1< 1, 由b n= 2000(7/10)n+1/2> 1得n < 20.8 ∴n = 20*. 在等差数列{a n}中，若a3+a9+a15+a17 = 4 ,则a11 的值等于______________ . (1) *. 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小的角是100︒，最大的角是140︒，这个多边形的边数为________________ . (6)*. 首项是125,第10项起开始比1大的等差数列的公差的范围是__________.(8/75<d≤3/25)*. 数列1, (1+2), (1+2+22), …,(1+2+22+…+2n-1)的前n项和的表达式为___________.(2n+1-n-2)*. 设f (n) = 1 +12+13+…+1n,是否存在g (n)使等式f (1) + f (2) +…+ f (n－1) = g (n)·f (n)－g (n)对n ≥2的一切自然数都成立?并证明你的结论 .提示：若n=2时满足条件的g (n)存在，则1=g(2)(1+1/2)－g(2) , g(2) = 2 ;若n = 3时g(n)存在，则g(3) = 3 ,猜想g (n)存在且g (n) = n (n≥2) .用数学归纳法证明g(n)=n时等式成立 .。

2023高考数学内蒙古卷数列的极限与和历年真题及答案随着高考的逐渐临近，为了帮助同学们更好地准备数学科目，本文将重点讨论2023年高考数学内蒙古卷中与数列的极限与和相关的题目。

我们将深入分析这些问题，并提供历年真题以及详细的答案解析，希望能对同学们的备考有所帮助。

一、数列的极限数列的极限是数学中一个重要的概念，也是高考数学中常见的考点。

在解答与数列的极限相关的问题时，我们需要掌握以下几个基本知识点：1. 数列极限的定义：对于一个数列{an}，若存在实数A，对于任意给定的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - A|<ε成立，则称A为数列{an}的极限，记作lim(an) = A。

2. 数列极限的性质：数列极限具有唯一性，即一个数列只能有一个极限值。

此外，若一个数列存在极限，则该数列必定是有界的。

3. 常见数列的极限：包括等差数列、等比数列以及递推数列等等。

对于这些常见数列，我们可以通过递推关系式或性质进行极限的求解。

二、数列的和除了极限，数学中还有一个与数列相关的概念是数列的和。

在高考数学中，通过求解数列的和问题，可以考察学生对于数列的理解和运算能力。

下面我们来介绍一些常见的数列和的求解方法：1. 等差数列的和：对于公差为d的等差数列{an}，前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = (a1 + an) * n / 2。

2. 等比数列的和：对于公比为q的等比数列{an}，前n项和Sn可以使用以下公式进行求解：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

3. 部分和与无穷和：在实际问题中，我们常常需要求解数列的部分和或无穷和。

对于收敛的无穷级数，我们可以通过特定的方法（如通项公式、夹逼准则等）计算其和值。

三、历年真题与答案解析为了帮助同学们更好地理解数列的极限与和的概念，下面列举了一些历年高考数学内蒙古卷中的相关题目，请同学们先自行尝试解答，然后再对比下方给出的详细解析，以便查漏补缺。