最新知识点-立体几何知识点常见结论总结

一、空间点、线、面的位置关系1.1 点与点•点的定义：空间中的任意一点。

•点的坐标表示：a⃗=(a x,a y,a z)。

1.2 直线与直线•直线的定义：无限延伸的平面内的所有点。

•直线的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。

1.3 直线与平面•直线的平面方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。

•直线与平面的交点表示：设直线上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+ By0+Cz0+D=0。

1.4 平面与平面•平面的定义：无限延伸的平面内的所有点。

•平面的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。

1.5 平面与空间体•平面与空间体的交线表示：设空间体上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+By0+Cz0+D=0。

二、空间几何体2.1 柱体•柱体的定义：底面为圆形或矩形，顶面与底面平行的空间几何体。

•柱体的体积公式：V=底面积×高。

2.2 锥体•锥体的定义：底面为圆形或三角形，顶点在底面内的空间几何体。

•锥体的体积公式：V=1底面积×高。

32.3 球体•球体的定义：所有点与球心等距的空间几何体。

•球体的体积公式：V=4πR3。

32.4 空间四边形•空间四边形的定义：四个顶点在空间中的四边形。

•空间四边形的面积公式：S=12|a⃗×b⃗⃗|，其中a⃗和b⃗⃗为四边形的两条对角线。

三、空间角的计算3.1 线线角•线线角的定义：两条直线之间的夹角。

•线线角的计算公式：θ=arccos(|a⃗⃗⋅b⃗⃗||a⃗⃗||b⃗⃗|)，其中a⃗和b⃗⃗为两条直线的方向向量。

3.2 线面角•线面角的定义：直线与平面之间的夹角。

•线面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗⋅a⃗⃗||n⃗⃗||a⃗⃗|)，其中n⃗⃗为平面的法向量，a⃗为直线的方向向量。

3.3 面面角•面面角的定义：两个平面之间的夹角。

•面面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗1⋅n⃗⃗2||n⃗⃗1||n⃗⃗2|)，其中n⃗⃗1和n⃗⃗2为两个平面的法向量。

立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。

4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。

5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。

OABCD EF垂心立体几何高考知识点和解题思想汇总补充：三角形内心、外心、重心、垂心知识四心的概念介绍：（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

若P 为ABC ∆所在平面外一点, O 是点P 在 ABC ∆内的射影，则：①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与 所成角均相等, 则O 为ABC ∆的外心； ②若P 到ABC ∆的三边的距离相等, 则O 为△ABC 的内心；③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ∆的垂心． 常见空间几何体定义：1 ．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，这两个面为底面，其他面为侧面。

棱柱具有下列性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等； 2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。

3）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

棱柱的分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。

直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。

直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。

长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体2 ．棱锥：有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥．正棱锥具有性质：①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高． (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体．ABCO外心I K HEFD ABCM内心ABCDEFG 重心(3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形． 常见几何题表面积、体积公式 1．旋转体的表面积(1) 圆柱的表面积S ＝22r π＋2rl π ( 其中r 为底面半径，l 为母线长) ． (2) 圆锥的表面积S ＝2r π＋rl π（其中r 为底面半径，l 为母线长) ． (4) 球的表面积公式S ＝24R π ( 其中R 为球半径) ． 2．几何体的体积公式(1)柱体的体积公式V ＝Sh(其中S 为底面面积，h 为高)． (2)锥体的体积公式V ＝13Sh(其中S 为底面面积，h 为高)．(3)球的体积公式V ＝43π3R (其中R 为球半径)．三棱锥外接球问题：一、正四面体：如图1，正四面体ABCD 的边长为a ，高为h ，其外接球与内切球球心重合，且有关系：63r R h a +==，有外接圆球半径为：64a ，内切圆的球半径为：612a ，比例为3:1。

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

（二）异面直线所成角1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。

2.画法：借助辅助平面。

1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线1a和1b，我们把1a和1b所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。

2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)（三）线面角1.定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。

设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。

1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。

2.范围【0°，90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。

2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。

3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。

两条平行线的距离4.线到线的距离：异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则线段PQ 的长。

可编辑修改精选全文完整版高中立体几何知识点总结（通用5篇）高中立体几何知识点总结（通用5篇）总结是事后对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析的一种书面材料，它能够给人努力工作的动力，为此要我们写一份总结。

你想知道总结怎么写吗？下面是小编为大家整理的高中立体几何知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高中立体几何知识点总结篇11、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

立体几何知识点总结一、点、线、面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置，可以用来确定物体的位置。

2. 线：由无数个点组成，是一维的几何图形，没有宽度和高度，只有长度，可以用来表示物体的轨迹或连接两个点。

3. 面：由无数条线组成，是二维的几何图形，有长度和宽度，没有高度，可以用来表示物体的表面。

二、立体几何的基本元素1. 点、线、面的组合：在立体几何中，可以通过将点、线、面进行组合和运算得到更复杂的几何体，如球体、立方体等。

2. 立体体积：立体体积是指一个物体所占据的空间大小。

常见的表示立体体积的单位有立方米、立方厘米等。

3. 立体表面积：立体表面积是指一个物体外表面的总面积。

通常用平方米、平方厘米等单位来表示。

4. 立体的投影：立体的投影是指立体在不同平面上的投影图形。

常见的投影有正投影和斜投影两种。

三、常见的立体几何图形1. 球体：球体是由所有到一个点的距离相等的点组成的几何图形。

它具有无限个面，其中每个面都是一个圆。

2. 圆柱体：圆柱体是由两个平行的圆面和一个连接这两个圆面的侧面组成的。

它的底面和顶面是圆，侧面是矩形。

3. 圆锥体：圆锥体是由一个圆面和一个连接这个圆面和一个点的侧面组成的。

它的底面是圆，侧面是三角形。

4. 立方体：立方体是由六个相等的正方形组成的几何图形。

它的六个面都是正方形，每个面都有相同的边长。

5. 正四面体：正四面体是由四个相等的三角形组成的几何图形。

它的四个面都是等边三角形，每个面都有相同的边长。

四、常见的立体几何性质1. 对称性：立体几何中的许多图形具有对称性，即通过某个中心轴或中心点将图形分为两个相互对称的部分。

2. 平行性：立体几何中的平面和直线可以平行，即它们在空间中不相交，且永远保持相同的距离。

3. 垂直性：立体几何中的直线和平面可以垂直，即它们相互垂直交于一个点，形成直角。

4. 相似性：在立体几何中，如果两个图形的形状相似，则它们的对应边长比相等，对应角度相等。

立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

行。

8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。

- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。

- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。

- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

立体几何知识点归纳总结立体几何是数学中研究三维空间中几何形状和它们之间关系的学科。

它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在工程、建筑、物理学等多个领域都有广泛的应用。

以下是立体几何的一些关键知识点的归纳总结：1. 空间直线与平面：立体几何的基础是理解空间中的直线和平面。

直线是一维对象，而平面是二维对象。

在空间中，直线与平面可以相交、平行或位于同一平面内。

2. 空间角：立体几何中的空间角包括直线与直线之间的角度、直线与平面之间的角度以及平面与平面之间的角度。

这些角度的测量是立体几何中的重要内容。

3. 多面体与多边形：多面体是空间中由多条边和多个面组成的封闭形状，如立方体、四面体等。

多边形是平面上的封闭形状，如三角形、矩形等。

立体几何中研究多面体的面、边、顶点以及它们之间的关系。

4. 体积与表面积：计算立体图形的体积和表面积是立体几何中的核心问题。

对于规则的几何体，如立方体、球体、圆柱体等，有固定的公式来计算它们的体积和表面积。

5. 向量：向量是具有大小和方向的量，它在立体几何中用于描述空间中的位置、运动和力。

向量运算，如向量加法、标量乘法和点积，是解决立体几何问题的重要工具。

6. 坐标系：在立体几何中，通常使用笛卡尔坐标系来确定空间中点的位置。

通过三个坐标轴（通常是x、y和z轴），可以精确地描述空间中的任何一点。

7. 对称性：立体几何中的对称性包括反射对称、旋转对称和滑移对称。

对称性是理解几何形状和它们的性质的关键。

8. 投影：在立体几何中，投影是将三维对象映射到二维平面上的过程。

这在工程图纸和建筑设计中非常重要。

9. 锥体与柱体：锥体和柱体是常见的立体几何形状。

它们由一个底面和连接底面各点到一个共同顶点的线段组成。

锥体和柱体的体积和表面积的计算是立体几何中的重要内容。

10. 曲面：曲面是立体几何中的二维表面，它们可以是平面的，也可以是弯曲的。

曲面的研究包括曲面的方程、曲面的几何性质以及曲面上的路径等。

第九章：直线、平面、简单几何体小结一、重要的概念和定理 1.公理和推论公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在 这个平面内。

作用：判断直线在平面内的依据。

公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且这些公共点的集合是通过该公共点的一条直线。

作用：判断两个平面相交和共线的依据。

公理3.经过不在同一直线上的三个点，有且只 有一个平面。

推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且 作用：确定平面的依据。

只有一个平面。

推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4.同平行于一条直线的两条直线互相平行。

作用：判断平行的依据。

2.概念⑴直线与直线 ①异面直线：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

②异面直线所成角：如果a 、b 是异面直线，经过空间任意一点0作a '∥a ，b '∥b ，那么把a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线互相垂直。

显然若设异面直线所成角为α，则0<α≤2π。

③异面直线间的距离：和异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

⑵直线和平面①直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。

②直线和平面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直，这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

③射影：自一点P 向平面α引垂线，垂足P ' 叫做点P 在平面α内的正射影（简称射影）。

如果图形F 上的所有点在一平面内射影构成图形F '，则F '叫做图形F 在这个平面内的射影。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。

立体几何中的重要结论立体几何中的重要结论一、线在面内的判定1.一条直线上的两个点在一个平面内,这条直线在这个平面内.(公理1)2.一条直线和一个平面平行,过平面内一点与该直线平行的直线落在此平面内.3.一条直线和平面垂直,过垂足与该直线垂直的直线落在此平面内.4.平面与平面垂直,过其中一个平面内的一点与另一个平面垂直的直线必落在第一个平面内.5.过一点与已知直线垂直的所有直线必在过此点与已知直线垂直的平面内.6.过平面外一点与已知平面平行的所有直线必在过此点与已知平面平行的平面内.7.如果两个平面平行,过其中一个平面内的一点作与另一个平面平行的直线在第一个平面内.8.直线及直线外一点确定一个平面,则该点与直线上所有各点的连线在此平面内.9.两条相交直线确定一个平面,过其中一条直线上的一点(非交点)平行于另一直线的直线必在此平面内.二、忽视“线在面内”导致下列结论不成立1.过两异面直线外一点与两异面直线都平行的平面有且仅有一个.错:该平面有可能经过其中的一条直线,而使这样的平面不存在.2.如果一条直线和一个平面都垂直于同一个平面,则这条直线和已知平面平行.错:这条直线可能落在已知平面内.3.两条平行线中的一条平行于一个平面,则另一条也平行于这个平面.错:这条直线有可能落在这个面内.4.一条直线和平面的一条斜线垂直,则这条直线和斜线在平面内的射影垂直.错:如果已知直线不在平面内时不成立.5. 一条直线和斜线在平面内的射影垂直,则这条直线和斜线垂直.错:如果已知直线不在平面内时不成立.6.一条直线和平面内的一条直线平行,这条直线和这个平面平行.错:这条直线有可能落在这个面内.7.一条直线和两个平行平面中的一个平行,则必与另一个平行.错:这条直线有可能在另一个平面内.8.如果一条直线和另一条直线平行,则它和经过另一条直线的任何平面平行.错: 这条直线有可能落在这个面内.9.如果一条直线和一个平面同时垂直另一个平面,那么这条直线与已知平面平行.错: 这条直线有可能落在已知平面内.10.如果一条直线和一个平面同时垂直另一条直线,那么这条直线与已知平面平行.错: 这条直线有可能落在已知平面内.三、与异面直线有关的一组命题1.过两条异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条直线平行.2. 过两异面直线外一点与两异面直线都平行的平面至多有一个.3. 过两异面直线外一点与两异面直线都相交的直线至多有一条.4.与两异面直线都平行的平面平行.5.第一个平面内的一条直线平行于第二个平面, 第二个平面内的一条直线平行于第一个平面,如果这两条直线异面,则这两个平面平行.6.与两异面直线都平行且距离相等的平面有且仅有一个.(即异面直线公垂线段的中垂面)7.与两异直线都垂直的直线与公垂线平行.8.两直线异面垂直,过其中一条与另一条直线垂直的平面有且仅有一个.9.直线和平面平行,则它们的距离等于该直线与平面内与之异面的直线间的距离.10.两个平面平行,则它们的距离等于分别位于这两个平行平面内的两异面直线间的距离.四、正方体中的十个基本模型1.存在两两异面的三条直线.(如图中DD'、''CB、AB)2.过空间一点作与两异面直线都平行的平面不一定能作.(如图1过点O作与''CB、AB都平行的平面不存在)3. 过空间一点作与两异面直线都相交的直线不一定能作.(如图1过点O作与''CB、AB都相交的直线不存在).4. 存在四个面均为直角三角形的四面体.(如图1中四面体ABDD')5.一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直,这两个二面角无任何关系.(如图3中二面角CADA--'与二面角MCCD--'')6.与两异面直线都垂直的直线必与公垂线平行.(如图1中'DD与AB、''CB都垂直,它与公垂线'BB平行)7.一条直线与两个相交平面都平行,则该直线必与交线平行.(如图1中直线'BB与平面DA'和图3图2图1NA'CCA'CA B BA A B平面D C '都平行,则'BB 与'DD 平行).8.两个相交平面都与第三个平面垂直,则交线必与第三个平面垂直.( 如图1中平面D A '和平面D C '都垂直于平面AC ,则'DD 与平面AC 垂直).9. 三个内角为直角的四边形不一定为矩形.(如图2空间四边形''D ABB )10.过两条互相垂直的异面直线中的一条,有且只有一个平面与另一条直线垂直.(如图2中AB 、''C B 异面垂直,则过AB 只能作平面''A ABB 与直线''C B 垂直)五、直线与平面平行的性质1.直线和平面平行,则该直线与平面内的所有直线平行或异面.2.直线和平面平行,过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.3.直线和平面平行,过平面内一点与该直线平行的直线必在此平面内.4.分别位于两相交平面内的两条直线都与交线平行.5.一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线与它们的交线平行.6.直线和平面平行,夹在直线和平面间的平行线段相等.六、平面与平面平行的判定1.如果一个平面内的两相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行.2.一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,这两个平面平行.3.平行于同一平面的两个平面平行.4.垂直于同一直线同两个平面平行.5.如果两个平面与两条异面直线都平行,那么这两个平面平行.6. 第一个平面内的一条直线平行于第二个平面, 第二个平面内的一条直线平行于第一个平面,如果这两条直线异面,则这两个平面平行.7.平面的同侧有不共线的三点到平面的距离相等,则这三点确定的平面与已知平面平行.七、平面与平面平行的性质1.分别位于两个平行平面内的两条直线平行或异面.2.如果两个平面平行,那么第一个平面内的所有直线平行于第二个平面.3.如果一个平面与两个平行平面都相交,那么它们的交线平行.4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.5.一条直线和两个平行平面所成的角相等.6.一平面与两个平行平面所成的角相等.7.夹在三个平行平面间的平行线段对应成比例.8.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交. 9. 平行于同一平面的两个平面平行.八、平面与平面垂直的判定1. 两个平面所成的二面角为直二面角,则这两个平面互相垂直.2.一个平面经过了另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.3.α⊥a ,β⊥b ,且b a ⊥,则βα⊥.4.一个平面与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直.九、其它结论与方法1.无论线面关系如何,在一个平面内都有无数条直线与已知直线垂直.2.共顶点的多个面角的和必小于360度.正四棱锥的各个侧面必为锐角三角形.正六棱锥的各个侧面不可能为正三角形. 3.无论四棱锥的底面形状如何,分别位于四条侧棱上的四点可以为平行四边形. 4.正n 棱锥侧棱与底面所成的角为θ,侧面与底面所成的角为?,则rR=?θtan tan . 5.求直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值用展平(两点之间距离最短). 求平面上的动点到两个定点的距离之和的最小值用对称(点关于面的对称). 6.侧面上的点的轨迹与侧面和底面所成的角有关; 底面上的点的轨迹可用空间直角坐标系求轨迹.十、三棱锥的顶点在底面上的射影1.三侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心.2.三侧面与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心.3.顶点到底面三角形的三边的距离相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心.4.三侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心.5.垂心四面体中, 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心. 特例:①直角四面体中,顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心.②正三棱锥中, 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心.。

2024年高考数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的重要内容之一。

在高考中，立体几何的知识点主要包括空间几何、立体图形的面积与体积等方面。

下面是对2024年高考数学立体几何知识点的总结，供考生参考。

一、空间几何1. 空间几何中的点、线、面的概念和性质。

点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的大小，用字母表示。

线是由一组无限多个点构成的集合，用两个点的字母表示。

面是由无限多条线构成的，这些线共面且没有相交或平行关系。

2. 空间几何中的垂直、平行等概念和性质。

两条线在同一平面内，如果相交角为90°，则称两线垂直。

两条线没有相交关系，称两线平行。

3. 点到直线的距离的计算。

点到直线的距离等于该点在直线上的正交投影点的距离。

二、立体图形的面积与体积1. 立体图形的分类和性质。

立体图形包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等。

各种立体图形具有不同的性质，如球体表面上每一点到球心的距离都相等。

2. 立体图形的面积计算。

（1）球体的表面积计算公式：S = 4πr²，其中r为球的半径。

（2）圆柱体的侧面积计算公式：S = 2πrh。

（3）圆柱体的全面积计算公式：S = 2πrh + 2πr²。

（4）圆锥体的侧面积计算公式：S = πrl，其中r为圆锥底面半径，l为斜高。

（5）棱柱体的侧面积计算公式：S = ph，其中p为棱柱底面周长，h为高。

3. 立体图形的体积计算。

（1）球体的体积计算公式：V = 4/3πr³，其中r为球的半径。

（2）圆柱体的体积计算公式：V = πr²h。

（3）圆锥体的体积计算公式：V = 1/3πr²h。

（4）棱柱体的体积计算公式：V = ph。

（5）棱锥体的体积计算公式：V = 1/3Bh，其中B为底面积，h为高。

三、立体几何的一般理论1. 点、线、面的位置关系。

在空间中，点、线、面可以相互相交、平行、垂直等。

立体几何知识点总结(全)垂直直线：相交成直角的直线。

三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：只有在三维空间中才有，点在平面上方或下方的判断需要借助向量的概念。

四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一个点都在平面上；直线与平面相交：有且只有一个交点；直线与平面平行：没有交点，且方向与平面的法向量垂直；直线与平面垂直：直线方向与平面的法向量相同或相反。

五．平面与平面的位置关系两个平面相交：有且只有一条公共直线；两个平面平行：没有公共直线；两个平面重合：所有点都相同。

改写：一。

空间几何体的三视图在空间几何体中，正视图是指光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度。

侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度。

俯视图是指光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。

三视图中反应的长、宽、高的特点有“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。

二。

空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）、建立斜坐标系x'O'y'，使x'O'y'=45（或135）以及画对应图形。

在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半。

直观图与原图形的面积关系为S直观图= S原图/4.三。

空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积为S侧面=2πr×l，圆锥侧面积为S侧面=πr×l，圆台侧面积为S侧面=πr×l+πR×l。

柱体的体积为V柱体=S×h，锥体的体积为V锥体=S×h/3，台体的体积为V台体=S上+S下+√S上×S下×h/3.球的表面积和体积分别为S=4πR2和V球=4πR3/3.正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥，正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

立体几何知识梳理一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；Ⅲ、两个特征三角形：（1）POH ∆（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）POB ∆（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径） 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题． 对棱间的距离为a 2（正方体的边长） 正四面体的高a 6（正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为32a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=） 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台． 3.2 正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点． 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱．4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2 圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)； V 球 = 4/3 π R 3 （三）空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+圆锥的表面积：2S rl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 ：V S h =⨯底；锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =++⨯下上（；球体的体积：343V R π=斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．如图，已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内一条直线．①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA．即垂直射影则垂直斜线．②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA．即垂直斜线则垂直射影．（10）若一直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内所有直线．补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lα=∅，则l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)．2线面斜交和线面角：l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ．2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面．判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明．⑵利用判定定理证明．⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面．⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个．⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面．5、面面平行的判断：（4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．（13）垂直于同一条直线的两个平面平行．6、面面垂直的判断：（15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直．判定定理：性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：①不共线的三点；②直线和直线外一点；③两条相交直线；④两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短．（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角．（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内．（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线．（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直．（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行．（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行．四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角．o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ （3）二面角：关键是找出二面角的平面角，o o α≤<； 五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长．求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算．注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式．。

一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA=++②（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos1αβγ++=，222sin sin sin2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222c o s c o s c o s2αβγ++=，222sin sin sin1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V（其中c为底面周长，h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边A B侧面母线旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： S圆柱侧=2rh π；S圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2024年高考数学立体几何知识点总结（____字）一、空间几何体的基本概念和性质1. 点、线、面的定义和性质2. 各类多面体的定义和性质，如正多面体、柱面、棱锥等3. 空间角的定义和性质，包括平面角、空间角的比较大小等4. 体积和表面积的计算，包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等的计算公式二、立体几何的投影问题1. 平行投影和中心投影的性质和应用2. 空间几何体在平行投影和中心投影下的变换关系和性质三、立体几何的位置关系和判定方法1. 点与平面的位置关系判定，如点在平面上、点在平面外等2. 点与直线的位置关系判定，如点在线上、点在线段上等3. 直线与平面的位置关系判定，如直线在平面上、直线与平面相交等4. 空间几何体的位置关系判定，如两个平面的相交、两个直线的关系等四、等腰三角形与正弦定理、余弦定理的应用1. 等腰三角形的性质和判定方法2. 正弦定理和余弦定理的概念和应用，如求解三角形的边长、角度等五、平面与空间直线的交点、平面与空间直线的位置关系1. 平面与空间直线的交点的判定和求解方法2. 平面与空间直线的位置关系的判定方法，如平面与直线相交、平面与直线平行、平面与直线垂直等六、球与平面的交线和球与直线的位置关系1. 球与平面的交线的判定和性质，如球与平面相切、相离等2. 球与直线的位置关系的判定和性质，如球与直线相切、相离、相交等七、向量的应用1. 向量的定义和基本性质2. 向量的共线与共面的判定方法3. 向量的投影和数量积的应用，如求解多边形的面积、平行四边形的面积等八、平面直角坐标系和空间直角坐标系的应用1. 平面直角坐标系的建立和使用方法2. 空间直角坐标系的建立和使用方法3. 平面直角坐标系和空间直角坐标系的转化九、解析几何与立体几何的综合应用1. 点、线、面方程的求解和应用2. 几何图形的平移、旋转和对称变换的解析几何表示方法3. 空间几何体的投影和旋转的解析几何表示方法以上就是2024年高考数学立体几何的知识点总结。

2024年高考数学立体几何知识点总结高考数学中的立体几何，是考查考生对空间图形的认识和理解，以及解决问题的能力。

以下是2024年高考数学立体几何的主要知识点总结：一、立体几何的基本概念1. 空间直角坐标系：了解三维空间的坐标系，掌握在空间直角坐标系下求两点之间距离和判定点与多面体关系的方法。

2. 几何体的分类与特征：了解各种几何体的定义、特征和性质，包括点、直线、平面、多面体等，熟悉各种几何体的命名和常见几何体的特征。

二、多面体与球的性质1. 正多面体：熟悉正多面体的定义、性质和相关定理，如正四面体、正六面体、正八面体等的性质，掌握计算正多面体的体积和表面积的方法。

2. 欧拉定理：了解欧拉定理的内容和证明思路，应用欧拉定理求解相应问题。

3. 球的性质：了解球的定义、性质和相关定理，如球面上的点和圆应用球的性质进行计算。

三、立体空间的位置关系1. 空间几何体的位置关系：了解空间几何体之间的位置关系，包括平行与垂直关系、相交与平面关系、点在立体内部与外部的关系等。

2. 空间向量的应用：熟悉空间向量的概念、性质和运算，掌握使用空间向量判断几何体的位置关系的方法。

四、立体几何中的投影1. 投影的概念与性质：了解投影的基本概念和性质，包括平行投影和斜投影的性质，熟悉使用投影解决几何问题的方法。

2. 截痕法与截面应用：掌握截痕法求解几何问题的基本思路和方法，熟练运用截痕法和截面方法解决立体几何问题。

五、向量运算在立体几何中的应用1. 向量投影的应用：了解向量投影的概念和性质，应用向量投影解决立体几何中的相关问题。

2. 向量混合积和向量积的应用：掌握向量混合积和向量积的定义和性质，应用向量混合积和向量积求解相关问题。

六、空间坐标系中的方向余弦与方向角1. 方向余弦的概念与性质：了解方向余弦的概念和性质，掌握方向余弦在立体几何中的应用方法。

2. 方向角的概念与计算：了解方向角的定义和计算方法，熟练求解立体几何中与方向角相关的问题。