2019合工大考研数三模拟试题

考研数学三分类模拟题2019年(22)(总分94.5, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 3.52.设X的分布函数为则α+b+c=______．SSS_FILL分值: 3.5答案:3由得c=1．由，得1=2-b，故b=1，再由F(a+)=F(a)，得a2-1=0，解得a=1或a=-1．但当a=-1时，不是分布函数(因为不是单调不减)，故a=-1舍去，综上，a+b+c=3．3.设A是三阶矩阵，将A的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为B．若|A|=a，则|B|=______．SSS_FILL分值: 3.5答案:a4.cos(x2-y)dxdy=______。

SSS_FILL分值: 3.5答案:2由积分中值定理知，存在(ξ，η)∈D:x2+y2≤2r2，使得。

5.设总体X～N(2，42)，从总体中取容量为16的简单随机样本，则SSS_FILL分值: 3.5答案:χ2(1)因为，即，所以，于是．二、选择题1.设(X1，X2，X3)为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:B因为统计量为样本的无参函数，故选B．2.函数，下列选项正确的是• A.没有不可导的点．• B.仅有1个不可导的点．• C.共有2个不可导的点．• D.共有3个不可导的点．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:C定义域内不连续或左、右导数不相等的都是函数不可导的点；此外含有无理根式的函数，求导后使分母为零的点也可能是不可导的点．对以上这几种情况要一一验证首先讨论使|x2-1|=0的点x1=1，x2=-1在x1=1处．可知f'+(1)=f'-(1)，f(x)在x=1处可导．在x2=-1处，可知f'+(-1)≠f'-(-1)，因而x2=-1是f(x)的1个不可导的点．此外，由于所以x=-4也是f(x)的1个不可导的点．总之，f(x)共有2个不可导的点，选项C正确．并非使绝对值号内的函数为零的点一定不可导，本题x2=1为一个例证．其原因是x=1使等于0．3.交换积分次序，则累次积分=A．．B．．C．．D．．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:A设，由累次积分限，可得二重积分的积分区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤x2)={(x，y)|0≤y≤4，≤x≤2)，然后再交换积分次序即得(A)．4.设f(x)连续，且满足则f(x)=______•**•**•**+ln2**+ln2SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:B原方程求导得f'(x)=2f(x)，即积分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，从而f(x)=e2x ln2．5.设A是n阶矩阵，下列命题错误的是______．• A.若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值• B.若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值• C.若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值• D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:A若r(E+A)＜n，则|E+A|=0，于是-1为A的特征值；若A的每行元素之和为-1，则根据特征值特征向量的定义，-1为A 的特征值；若A是正交矩阵，则A T A=E，令AX=λX(其中X≠0)，则X T A T=λX T，于是X T A T AX=λ2X T X，即(λ2-1)X T X=0，而X T X＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得-1为A的特征值，选A．6.设随机变量X和Y都服从正态分布，则______．•**+Y一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布•**与Y不相关，则X，Y相互独立D.若X与Y相互独立，则X-Y服从正态分布SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:D若X，Y独立且都服从正态分布，则X，Y的任意线性组合也服从正态分布，选D．7.实二次型经正交变换后化为，则______•**=0，b=0．•**=0，b=1．•**=1，b=0．**=1，b=1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:A相似，∴，得|A|=-(a-b)2=0，于是a=b，排除B，C；而当a=b=0时，A的特征值是0，1，2，选A，排除D．8.设A，B为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是•**+B是对称矩阵．•**是对称矩阵．•***+B*是对称矩阵．**是对称矩阵．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:B由于(A+B)T=A T+B T=A+B，又(kA)T=kA T=kA，有(A-2B)T=A T-(2B)T=A-2B从而(A)，(D)选项的结论是正确的．我们首先来证明(A*)T=(A T)*．只需证明等式两边(i，j)位置元素相的代数余等．(A*)T在(i，j)位置的元素等于A*在(j，i)位置的元素，为元素aij ．而矩阵(A T)*在(i，j)位置的元素等于A T的(j，i)位置元素的代数余子子式Aij．从而(A*)T=(A T)*=A*，故A*为对称式，为A在(i，j)位置元素的代数余子式Aij矩阵，(C)选项的结论是正确的．由于(AB)T=B T A T=BA，从而(B)选项的结论不正确．注意，当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA．三、解答题1.设f(x)连续，f(0)=1，令求F"(0)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 令x=rcosθ，y=rsinθ，则因为f(x)连续，所以F'(t)=2πtf(t2)且F'(0)=0，于是2.设(X，Y)的分布律为F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知Cov(X，Y)=．(Ⅰ)求a，b，c；(Ⅱ)求E(X2+Y2)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] (Ⅰ)因为，所以a+b=，从而c=Cov(X，Y)=E(XY)=E(X)·E(Y)=而已知Cov(X，Y)=(Ⅱ)E(X2+Y2)=3.设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]4.就常数a的不同取值情况，讨论方程xe-x=a(a＞0)的实根．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 令f(x)=xe-x-a，则f'(x)=(1-x)e-x，f"(x)=(x-2)e-x．令f'(x)=0，得驻点x=1．由于当x∈(-∞，1)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，1)单调增加，当x∈(1，+∞)时，f'(x)＜0，f(x)在(1，+∞)内单调减少，所以f(x)在x=1处取得极大值，即最大值为f(1)=e-1-a．则①当e-1-a＜0时，即时，f(x)≤f(1)＜0，方程xe-x=a无实根．②当e-1-a=0，即时，只有f(1)=0，而当x≠1时，f(x)＜f(1)=0，方程xe-x=a只有一个实根x=1．③当e-1-a＞0，即时，由于(xe-x-a)=-∞，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(-∞，1)内单调增加，则f(x)=0在(-∞，1)内只有一个实根．又因(xe-x-a)=-a＜0，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(1，+∞)内单调递减，则f(x)=0在(1，+∞)内只有一个实根．所以方程xe-x=a正好有两个实根．5.假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：元)的函数：Q=12000-80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q；每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4以π表示销售利润额，则π=(12000-80p)(p-2)-(25000+50Q)=-80p2+16160p-649000，π'(p)=-160p+16160，令π'=0，得p=101，由于π"|p=101=-160＜0，可见，p=101时，π有极大值，也是最大值(因为p=101是唯一驻点)．最大利润额π|p=101=167080(元)．6.设，求a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4【解】因为所以故a=1．又所以b=-4．设3阶矩阵SSS_TEXT_QUSTI7.t为何值时，矩阵A，B等价?说明理由；分值: 5.5[解]显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，SSS_TEXT_QUSTI8.t为何值时，矩阵A，C相似?说明理由.分值: 5.5[解]则C有三个不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩阵P，使得当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故知，当t=2时，有可逆矩阵Q，使得从而有(QP-1)-1A(QP-1)=C，即A～C．9.已知α=[1，k，1]T是A-1的特征向量，其中求k及α所对应的特征值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4【解】由题设A-1α=λα，λ是A-1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A-1可逆，λ≠0，即对应分量相等，得3+k=μ，2+2k=kμ，3+k=μ，得2+2k=k(3+k)，k2+k-2=0，得k=1或k=-2．当k=1时，α=[1，1，1]T，μ=4，当k=-2时，α=[1，-2，1]T，μ=1，1。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{},{}n n a b 对任意的正整数n 满足1+≤≤n n n a b a ，则（ ）.（A ）数列{},{}n n a b 均收敛，且lim lim →∞→∞=n n n n a b（B ）数列{},{}n n a b 均发散，且lim lim →∞→∞==+∞n n n n a b（C ）数列{},{}n n a b 具有相同的敛散性 （D ）数列{},{}n n a b 具有不同的敛散性（2）设()f x 满足'(0)0f =，32'()[()]f x f x x +=，则有（ ）.（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 是()=y f x 的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是()=y f x 的拐点（3）设函数(,)f x y 在点000()P x ,y 处的两个偏导数00'()x f x ,y 、00'()y f x ,y 都存在，则（A ）(,)f x y 在点0P 处必连续 （B ）(,)f x y 在点0P 处必可微 （C ）000lim (,)lim (,)x x y y f x y =f x y →→ （D ）00lim (,)x x y y f x y →→存在（4）下列命题中正确的是（ ）.（A ）设正项级数n =1n a ∞∑发散，则1n a n≥（B ）设212n =1(+)n-n aa ∞∑收敛，则n =1n a ∞∑收敛（C ）设n =1n n a b ∞∑收敛，则22=1=1,nn n n a b ∞∞∑∑均收敛（D ）设22=1=1,n nn n a b∞∞∑∑中至少有一个发散，则n =1(+)nn ab ∞∑发散（5）设,A B 为n 阶方阵，且()()r <r AB B ，则必有（ ）.（A ）=0B （B ）=0A （C ）≠0B （D ）≠0A （6）若=0Ax 的解都是=0B x 的解，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）,A B 的行向量组等价 （B ）,A B 的列向量组等价（C ）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示 （D ）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示（7）设随机变量011344X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭～，且1Cov(,)=8X Y ，则{}11===P Y X （A ）23 （B ）13 （C ）14 （D ）18（8）设总体2(,)X N μσ～，其中,μσ已知，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，样本方差2=11()1ni i S X X n =--∑2，则2()D S =（ ）. （A ）21n σ- （B ）221n σ- （C ）41n σ- （D ）421n σ-二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）111lim()122→∞++⋅⋅⋅+=++n n n n ______________.（10）2321(cos 22x x -+=⎰_____________.（11）函数222()2()()=---+-u x y y z z x 在点(1,2,2)处方向导数的最大值是_______. （12）微分方程1'''0x y y xe =x--的通解为___________________. （13）设,A B 均为三阶方阵，且3=A ，4=B ，则1*(2)(3)-=O A B O_____________.（14）设随机变量X 的概率密度函数和分布函数分别为()f x 和()F x ，当0≤x 时，()0=F x ；当0>x 时，()()1+=f x F x ，则当0>x ，()=f x ________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设23310⎧=-⎪⎨++=⎪⎩x t ty ty ，确定函数()=y f x ，求=022t d y dx .（16）（本题满分10分）设函数()f x 、()g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得''()''()f ξ<g ξ.（17）（本题满分10分）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ϕ有二阶导数，令22[,()]z f x y xy ϕ=-，求2zx y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设函数()f u 具有一阶连续偏导数，L 是以(1,1)A 和(3,3)B 为直径的左上半圆周，方向从A 到B ，计算曲线积分：11[()][()2]Lx xI f y dx f x dy x y y y=--+⎰.（19）（本题满分10分）将函数222()(1)ln(1)(1)f x x x x =++-+展开为x 的幂级数，并求级数1=1(1)(+1)n n n n ∞∑--的和.（20）（本题满分11分）（I ）设n 维向量组12,,,,s ⋅⋅⋅αααβ线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性表示的充要条件是12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性无关；（II ）设4维向量组11(1,,0,0)T b =α，22(1,,1,0)Tb =α，33(1,,1,1)T b =α，4(1,,0,1)T b =β，且β可唯一地由123、、ααα线性表示，求常数1234b b b b 、、、满足的条件.（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且=AB C ，其中110011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，110011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A .（22）（本题满分11分）设随机变量[0,2]XU π，sin Y X =，sin()Z X a =+，其中[0,2]a π∈为常数，问a 取何值时，Y 与Z 不相关，此时Y 与Z 是否独立?（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为2%，现从中任意抽取n件产品进行检验. （I）若已知n件产品中有3件次品，求n的矩估计值ˆn；（II）试利用中心极限定理，确定n至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于4%Φ=）的概率不小于97.7%.（(2)0.9772010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当0x →时，21)ln(1)x +是比ln(1)n x +高阶的无穷小，而ln(1)nx +是比lncos x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）.（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （2）设极限1x →=，则函数()f x 在x a =点处必（ ）.（A ）取极大值 （B ）取极小值 （C ）可导 （D ）不可导 （3）若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在任意方向的方向导数，则（ ）. （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）0000'(,),'(,)x y f x y f x y 均存在（D ）以上结论均不正确（4）数列{}{}{}n n n a b c 、、均满足n n n a b c ≤≤(1,2,n =⋅⋅⋅). 则下列命题正确的是（ ） （A ）数列{}{}n n a c 、均收敛，则数列{}n b 收敛 （B ）数列{}{}n n a c 、均发散，则数列{}n b 发散 （C ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均发散，则级数n=1nb∞∑发散（D ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均收敛，则级数n=1nb∞∑收敛（5）设A 为m n ⨯矩阵，m E 为m 阶单位阵，,()m n r m <=A ，则下列结论 ①A 经初等行变换为(,)m E O ； ②A 经初等列变换为(,)m E O ； ③T A A 正定； ④T AA 正定；⑤=Ax b 必有解； ⑥=0Ax 仅有零解 中正确的个数为（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设10001000010001⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭A，0001001001001000⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭B，则以下正确的是（）.（A）0+=A B（B）A与B相似（C）A与B合同但不相似（D）A与B等价但不合同（7）根据下列函数()F x的图形，指出可作为某随机变量X的分布函数()F x的是（）.（A）（B）（C）（D）（8）设12(,,,)(1)nX X X n⋅⋅⋅>为来自总体2(0,)X Nσ～的一个简单随机样本，则下列统计量中，是2σ的无偏估计且方差最小的为（）.（A）21X（B）2X（C）2S（D）n2=11iiXn∑二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）设函数3()f x x x=，则使得()(0)nf存在的最大正整数n=__________.（10）由半圆周21x y=-1,1,2y y x=-==所围成的平面图形D的形心坐标为____________.（11）二次积分551lnydxdyy x=⎰⎰____________.（12）微分方程''2'(1)xy y +y =e +x -的特解形式为___________________.（13）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量11t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，若向量,A αα线性相关，则t =__ （14）设随机变量()XP λ，()Y E λ，且X 与Y 独立，若已知EX EY =，则2(2)YE X =三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设0x >，证明：ln nx ne x ≥，其中n 为正整数.（16）（本题满分10分）设()f x 是区间[,]a b 上单调增加的连续函数，且()0f a <，()0b af x dx >⎰. 证明： （I ）存在点(,)a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰；（II ）存在点(,)a b η∈，使得()()af x dx f ηη=⎰.（17）（本题满分10分）若曲线()y y x =上任一点处的切线在y 轴上的截距等于该点处法线在x 轴上的截距的2倍，且该曲线过点(1,0)，求该曲线方程.（18）（本题满分10分）计算曲面积分222222(1)x dydz y dzdx z dxdyI x y z ∑+++=++⎰⎰，其中∑为上半球球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.（19）（本题满分10分）求幂级数2=1(1)2n nn n x ∞-∑的收敛域与和函数.（20）（本题满分11分）确定参数,a b 的值，使线性方程组12341234234123413222354(3)3x x x x x x x x a x x x x x a x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪++++=⎩有解，并求其解（将通解用该方程的一个的特解及其导出组的基础解系表示）.（21）（本题满分11分）设12(,,,),(1,2,,),1TT n i a a a a R i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅=ααα，10a ≠，T =A αα. （I ）求A 的所有特征值和特征向量； （II ）当k 为何值时，k +E A 为正交阵； （III ）当k 为何值时，k -E A 为正定阵.（22）（本题满分11分）设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X 为至少有一个球的盒子的最小号码. （I ）求X 的分布律；（II ）若当X i =时，随机变量Y 在[0,]i 上服从均匀分布，1,2,3,4i =，求{}2P Y ≤.（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(0,)X N σ～的一个简单随机样本. （I ）求2σ的极大似然估计量2ˆσ，并判断其无偏性； （II ）求估计量2ˆσ的方差； （III ）问2ˆσ是否为2σ的一致估计量?2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知数列{},{}n n x y 满足1n y ≥，且lim 0n n n x y →∞=，则（ ）.（A ）lim n n x →∞=∞ （B ）lim n n x →∞不存在，但不是∞（C ）lim 0n n x →∞= （D ）lim n n x →∞存在，但不是0（2）设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，则“极限0lim '()x x f x →存在”是“()f x 在0x 处可导”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）设(,)f x y 在区域D 内具有二阶偏导数，则（ ）.（A ）必有22f fx y y x∂∂=∂∂∂∂ （B ）(,)f x y 在D 内必连续 （C ）(,)f x y 在D 必可微分 （D ）以上三个结论都不正确（4）设正项级数=1ln(1)nn +a ∞∑收敛，则级数=1(1)n n ∞∑-- ）.（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设、A B 为同阶可逆方阵，具有相同的特征值，则（ ）. （A ）=AB BA （B ）存在可逆矩阵C ，使得T=C AC B（C ）存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B （D ）存在可逆矩阵,P Q ，使得=PAQ B（6）设n 阶方阵A 的伴随矩阵*≠A O ，若123,,ξξξ是线性方程组=Ax b 的三个互不相等的解，则=0Ax 的基础解系为（ ）. （A ）13-ξξ （B ）12-ξξ，23-ξξ（C ）12-ξξ，23-ξξ，31-ξξ（D ）12+ξξ，23+ξξ，31+ξξ（7）设Ω为样本空间，,A B 为随机事件，且满足()0P A =，()1P B =，则（ ）. （A ）,A B =∅=Ω （B ）A B ⊂ （C ）AB =∅ （D ）()1P B A -=（8）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自2(,)X N μσ～的一个简单随机样本，2σ未知，n=11=i i X X n ∑，n2=11=()1i i S X X n ∑--2，()t n α为()t n 分布的上α分位点，则e μ的置信度为1α-的置信区间为（ ）.（A）αα22()()X X e n 1,e n 1⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （B）αα1122(1)(1)XX e n ,e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭---- （C）αα22exp{1)},exp{1)}X (n X (n ⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （D）αα1122exp{(1)},exp{(1)}X n X n ⎛⎫ ⎪⎝⎭----二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若[]x 表示不超过x 的最大整数，则211lim []nn x dx n →∞=⎰____________.（10）曲线sin y x =在点(,1)2π处的曲率圆方程为_________________.（11）设L 是上半圆周222(0,0)x y a y a +=≥>，则3222()()Lx y ds x y +=+⎰_____________. （12）设()f x 为可导函数，且,x y ∀均满足()()+()yxf x y e f x e f y +=，'(0)2f =，则()f x =_________________.（13）向量组1(1,1,2,3)T =-α，2(1,0,7,2)T=-α，3(2,2,4,6)T=-α，4(0,1,5,5)T =-α的极大线性无关组为__________________.（若有多组，只需填写一组）（14）设有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，现从中无放回地随机抽取3张，则得奖金额（单位：元）的数学期望是___________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设0x >，证明：arctan ln(1)1xx x+>+.（16）（本题满分10分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,0)与(1,2)，且0a <，确定,,a b c 的值，使得抛物线与x 轴所围成平面图形的面积最小，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（17）（本题满分10分）设(,)()y f x y F x =满足22220f fx y∂∂+=∂∂，其中F 具有二阶连续导数，求(,)f x y .（18）（本题满分10分）求极限2201lim cos(2)t xttt dx x y dy t+→-⎰⎰.（19）（本题满分10分）设交错级数1=1(1)(0,1,2,3,)n n n n u u n ∞≥=⋅⋅⋅∑--满足条件：（i ）1(1,2,3,)n n u u n +≥=⋅⋅⋅； （ii ）lim 0n n u →∞=.证明：1=1(1)n n n u ∞∑--收敛，且其和1S u ≤.（20）（本题满分11分）设m n ⨯A 为实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，证明： （I ）=0Ax 与T =0A Ax 同解； （II ）T T =A Ax A b （其中b 为任意n 维列向量）恒有解.（21）（本题满分11分）设三阶实对称阵A 的特征值为2,2,1，对应特征值2λ=的两个特征向量为12(1,1,0),(1,1,1)T T ==αα.（I ）证明3(0,0,1)T=α是A 的属于特征值2λ=的特征向量； （II ）求1-+A A 的各行元素之和；（III ）求正交变换=x P y ，化二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{}(,)01,G x y y x y =<<<上服从均匀分布，令0,01,0X U X <⎧=⎨≥⎩，0,121,12Y V Y <⎧=⎨≥⎩.（I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）求协方差Cov(,)X Y ，并问,X Y 是否不相关? （III ）求协方差Cov(,)U V .（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为,01(),120,bx x f x ax x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩其他，样本观察值为0.5,0.8,1.5,1.5.（I ）求a 与b 的极大似然估计值； （II ）设XY e =，求{2}P Y <的极大似然估计值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（IV ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）在下列直线中，不是．．曲线1(1)x xy e =+渐近线的为（ ）. （A ）0y = （B ）1y = （C ）y e = （D ）0x =（2）已知20lim(123)4x x x →++=21ax+bx ，则（ ）.（A ）ln 2,a b R =∈ （B ）10,ln 2a b ≠=（C ）1,ln 2a b R =∈ （D ）0,ln 2a b ≠= （3）空间曲线222241x y z L x y z ⎧++=⎨++=⎩: 在点(1,1,1)-处的切线与平面4x y z π-+=:的夹角为（ ）.（A ）0 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2（4）设级数=1(1)nn n a x ∞∑-在点1x =-处收敛，在点3x =处发散，则级数=13(1)()2nnn n a ∞∑-（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 （5）若n 阶实矩阵A 满足326116-+-=A A A E O ，则下列命题正确的是（ ）. （A ）-E A 可逆，+E A 也可逆 （B ）2-E A 可逆，2+E A 也可逆 （C ）3-E A 可逆，3+E A 也可逆 （D ）4-E A 可逆，4+E A 也可逆（6）设二次型T f =x Ax 的规范形为222123y y y -+，其中A 为三阶实对称矩阵，则以下结论中正确的个数为（ ）.①A 的特征值必为1,1,1- ②A 的秩为2③A 的行列式小于0 ④A 必相似于对角阵111⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⑤A 合同于对角阵111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⑥A 合同于对角阵123-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）设随机变量X 与Y 独立，且都服从[0,3]上的均匀分布，则{}1min(,)2P X Y <≤=（ ）. （A ）13 （B ）49 （C ）23 （D ）89（8）设总体2(,)X N μσ～，2σ未知，统计假设00H μμ=:，10H μμ<:. 12,,,nx x x ⋅⋅⋅为样本，x 为样本均值，2s 为样本方差，则在显著水平为α下0H 的拒绝域为（ ）. （A2(1)t n α≥- （B x u α- （C (1)x t n α≤-- （D (1)x t n α≥- 其中(0,1)U N ～，()T t n ～，数u α满足{}P U u αα>=，()t n α满足{}()P T t n αα>=二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）曲线(1)y x x =-与x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为___________.（10）设2ln 30x yz z ++=，则(1,3,1)dz-=_____________.（11）曲面22:10x y z ∑--+=在点(1,1,1)处的切平面π被柱面2214y x +=所截下部分的面积为__________.（12）设()f x 具有一阶连续导数，且满足方程0()'()x f x x tf x t dt =+-⎰，则()f x =_______（13）已知2253102x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的特征值为1,1,1---，则(,)x y =___________.（14）设总体(1,)X B p ～，1,1,1,0为来自总体X 的一个样本观察值，则2()D x 的矩估计值为_____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设常数0a >，0b >，证明不等式：22()a ba b a b e ae be ++≤+.（16）（本题满分10分）就k 的取值讨论方程2xe kx =的实根个数.（17）（本题满分10分）利用变换t =化简微分方程2242(16(0)d y dyx y e x dx dx+-=>，并求出此微分方程的通解.（18）（本题满分10分）计算曲线积3(2)()()CI x y z dx x dy x y z dz =+++++⎰，其中C 为2221x y +=与222x y z +=-的交线，从原点看去是逆时针方向.（17）（本题满分10分）就常数p 的不同取值，讨论级数1111246p P P -+-+⋅⋅⋅的敛散性.（20）（本题满分11分）已知向量组A ：1(0,1,2,3)T =a ，2(3,0,1,2)T=a ，3(2,3,0,1)T=a ； B ：1(2,1,1,2)T =b ，2(0,2,1,1)T =-b ，3(4,4,1,3)T=b ；证明向量组B 能由向量组A 线性表示，但向量组A 不能由向量组B 线性表示.（21）（本题满分11分）已知三阶实对称矩阵A 的特征值为121λλ==，32λ=，且A 的对应于特征值1的特征向量123(,,)T x x x 满足方程12320x x x --=，求正交矩阵Q ，使得T =Q AQ Λ为对角阵.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域G ：12x ≤≤，10y x≤≤ 上服从均匀分布，记U X =，V XY =，随机事件{}u A U u =≤，{}v B V v =≤. （I ）求()u P A 、()v P B 与()u v P A B ，其中12u ≤≤，01v ≤≤；（II ）分别求U 和V 的密度函数，及U 与V 的联合密度函数，并问U 与V 是否独立?（23）（本题满分11分）设随机变量()T t n ～，12(,)F F n n ～，常数()t n α、12(,)F n n α分别满足{()}=P T t n αα>，12{(,)}=P F F n n αα>. （I ）证明22()(1,)t n F n αα=； （II ）112211(,)(,)F n n F n n αα-=；（III ）已知0.05(6) 1.943t =，求0.90(6,1)F .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（V ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）函数13()lim(1)nnn f x x→∞=+在(,)-∞+∞内（ ）.（A ）处处可导 （B ）只有一个不可导点 （C ）恰有两个不可导点 （D ）至少有三个不可导点（2）设()f x 是(,)a b 区间内的连续函数，()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数，则（ ）. （A ）当()f x 在(,)a b 内无界时，()F x 在(,)a b 内也无界 （B ）当()f x 在(,)a b 内有界时，()F x 在(,)a b 内也有界 （C ）当()f x 在(,)a b 内单调上升时，()F x 在(,)a b 内也单调上升 （D ）当()f x 在(,)a b 内单调下降时，()F x 在(,)a b 内也单调下降 （3）设D 是由曲线sin ()22y x x ππ=-≤≤和直线2x π=-，1y =所围成的的区域，f 是连续函数，则322[1()]Dx y f x y dxdy ++=⎰⎰（ ）.（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2（4）设1,01()2,12x x f x x x +<≤⎧=⎨-+<≤⎩，又设()f x 展开的正弦级数为=1π()=sin 2nn n S x b x ∞∑，则(7)S =（ ）. （A ）32 （B ）32- （C ）12 （D ）12- （5）若,A B 为n 阶方阵，且(,)A B 经初等行变换可化为(,)n E C ，则矩阵C 为（ ）. （A ）1-B （B ）1-A （C ）1-A B （D ）1-B A （6）已知空间曲线11112222a xb yc zd l a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩:，平行于平面3333a x b y c z d π++=:，则矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的秩()r =A （ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）设随机变量,X Y 相互独立，2(0,)X N σ～，111233Y -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，则1X P Y ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（ ）.（A ）11()3σΦ （B ）21()3σΦ （C ）1()σΦ （D ）111()33σ+Φ （8）设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为0,min(,)0(,)min(,),0min(,)11,min(,)1x y F x y x y x y x y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则有（ ）.（A ）X 和Y 独立，且同分布 （B ）X 和Y 不独立，但同分布 （C ）X 和Y 独立，但不同分布 （D ）X 和Y 不独立，且不同分布二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）1x e dx -=⎰___________________.（10）tan 0xx +→=_________________.（11）设,f g 均可微，[,ln ()]z f xy x g xy =+，则z zxy x y∂∂-=∂∂________________. （12）微分方程'''y y y =满足初始条件(0)0y =，'(0)2y =的特解为y =_______________.（13）1234567800=000a a a a a a a a ____________________. （14）已知随机变量X 的密度函数为偶函数，1DX =，且用切比雪夫不等式估计得{}0.96P X ε<≥，则常数ε=____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上可微，且'()f x 在(,)a b 内单调增加，又()()f a f b A ==（常数），证明：(,)x a b ∀∈，恒有()f x A <.（16）（本题满分10分）已知222'()01()xf f xx xx-=+-，且(1)ln2f=，求()f x及()()nf x.（17）（本题满分10分）求函数4(,)3f x y xy x y=--在由抛物线24(0)y x x=-≥与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲线积分22()(4)4Lx y dx y x dyx y++-+⎰，其中L 为椭圆周2244x y +=的逆时针方向.（19）（本题满分10分）设有幂级数2=112(+)n nn x nn ∞∑. 求： （I ）该幂级数的收敛半径与收敛域； （II ）该幂级数的和函数在收敛区间内的导函数.（20）（本题满分11分）设向量(1,2,1)T=α，1(1,,0)2T=β，(0,0,8)T =γ，T =A αβ，T =B βα. 求：（I ）4A ，4B ； （II ）x 为3维列向量，且满足22442=++B A x A x B x γ，求x .（21）（本题满分11分）已知三元二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 经过正交变换=x P y 化为标准形2221232y y y -+. （I ）求行列式1*2--A A ； （II ）求3224--+A A A E .（22）（本题满分11分）若随机变量X的概率密度函数22(ln )2,>0()=0,0x X x f x x μσ--⎧≤⎩就称X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布.（I ） 证明X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布的充要条件是2ln (,)U X N μσ=～；（II ）设X 与Y 相互独立，且均服从参数为2(,)μσ的对数正态分布，证明：V XY =服从参数为2(2,2)μσ的对数正态分布.（23）（本题满分11分）设12,,,(1)n X X X n ⋅⋅⋅>为来自总体()X P λ～的样本，其中未知参数0λ>. （I ）求λ的极大似然估计ˆλ； （II ）证明ˆ()n P n λλ～.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）设ln ()sin 1xf x x x =-，则()f x 有（ ）. （A ）两个可去间断点 （B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点，一个跳跃间断点 （D ）一个可去间断点，一个无穷间断点 （2）设函数()f x 在2x =处连续，且2()1lim22x f x x →=-. 函数()g x 在2x =的某邻域内可导，且2'()1lim22x g x x →=-，则（ ）. （A ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处二阶导数存在 （B ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处也取极小值 （C ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处取极小值 （D ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处二阶导数存在（3）设曲面22222{(,,)1,0}123x y z x y z z ∑++=≥:，并取上侧，则不等于．．．零的积分为（ ）. （A ）2xd y d z ∑⎰⎰ （B ）x d y d z ∑⎰⎰ （C ）2z d z d x ∑⎰⎰ （D ）z d z d x ∑⎰⎰（4）若幂级数=0(+1)nnn a x ∞∑在1x =处收敛，则级数=0nn a∞∑（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设n 阶方阵12(,,,)n =⋅⋅⋅A ααα，12(,,,)n =⋅⋅⋅B βββ，(,,,)=⋅⋅⋅12n AB γγγ，记向量组（I ）：12,,,n ⋅⋅⋅ααα； （II ）：12,,,n ⋅⋅⋅βββ； （III ）：,,,⋅⋅⋅12n γγγ. 如果向量组（III ）线性相关，则（ ）.（A ）向量组（I ）与（II ）都线性相关 （B ）向量组（I ）线性相关（C ）向量组（II ）线性相关（D ）向量组（I ）和（II ）至少有一个线性相关（6）设四阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中12,αα线性无关，3α不能由12,αα线性表示，412323=-+αααα，*A 为A 的伴随矩阵，则*()r =A （ ）.（A ）0 （B ） （C ）2 （D ）3 （7）设,X Y 为随机变量，3{0}5P XY ≤=，4{m a x (,)0}5P XY >=， 则{m i n (,)0}P X Y ≤=（ ）. （A ）（B ） （C ） （D ） （8）设随机变量(,0.1)i X B i ～，1,2,,15i =⋅⋅⋅，且1215,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立，则15=1{816}i i P X <<∑为（ ）.（A ）0.325≥ （B ）0.325≤ （C ）0.675≥ （D ）0.675≤二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）设曲线()y f x =在点(1,0)处的切线在y 轴上截距为1-，则1l i m [1(1)]n n f n→∞++=______________. （10）设为连续函数，且1[()()]1f x xf xt dt +=⎰，则()f x =_____________.（11）设(,)f x y 可微，1'(1,3)2f -=-，2'(1,3)1f -=，(2,)yz f x y x=-，则13x y dz ===（12）121220122cos cos y y y dy x dx dy x dx +=⎰⎰⎰⎰________________.（13）三阶方阵,A B 满足关系式+=E B AB ，A 的三个特征值分别为3,3,0-，则B 的特征值为_____________.（14）设22(200)χχ～，则由中心极限定理得2{240}P χ≤近似等于___________.（用标准正态分布的分布函数()Φ⋅表示）三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数π2π2()ln sin n f x x x xdx -=π-⎰，其中n 为正整数，试讨论方程()0f x =根的个数.（16）（本题满分10分）设12a =，111()(1,2,)2n n na a n a +=+=⋅⋅⋅. 证明： （I ）lim n n a →∞存在； （2）级数=11(1)nn n a a ∞+-∑收敛.（17）（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上具有二阶导数，且()0f a <，()0f b <，()0baf x dx =⎰. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得''()0f ξ<.（18）（本题满分10分）设当0x >时，()f x 可导，且(1)2f =.（I ）试确定()f x ，使在右半平面内[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分； （II ）求(,)u x y ； （III ）计算曲线积分[2()]()Cy f x dx xf x dy -+⎰，其中C 是右半平面内从点(1,0)到点(2,2)的任一条简单曲线.（19）（本题满分10分）设有微分方程'',1''2'0,1y y x x y y y x -=<⎧⎨-+=>⎩，试求在(,)-∞+∞内可导的函数()y y x =满足此方程，且有(0)0y =，'(0)1y =.（20）（本题满分11分）设A 为三阶方阵，并有可逆阵123(,,)P p p p ，(1,2,3)i i =p 为三维列向量，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP . （I ）证明：12,p p 为()-=0E A x 的解，3p 为2()-=-E A x p 的解，且A 不可相似对角化； （II ）当211212112--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，求可逆矩阵P ，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP .（21）（本题满分11分）已知二次型112312323112(,,)(,,)34325x f x x x x x x xa x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的秩为，求常数a 的值，并求一个正交变换化该二次型为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为4,01,01(,)0,x y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）设2U X =和2V Y =的密度函数分别为()U f u 和()V f v ，求(),()U V f u f v ，并指出(,)U V 所服从的分布； （III ）求22{1}PU V +≤.（23）（本题满分11分）设l n Y X =，Y 的密度函数为,0()0,0y Y e y f y y λλ-⎧≥=⎨<⎩（1λ>）. （I ）求EX ；（II ）设12,,n XX X ⋅⋅⋅为来自总体X 的简单随机样本，求E X 的极大似然估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设函数在(,)-∞+∞内有定义，下列结论正确的是（ ）. （A ）若lim ()2x f x π→∞≠，则2y π=不是曲线()y f x =的水平渐近线 （B ）若0lim ()x f x →≠∞，则0x =不是曲线()y f x =的铅直渐近线（C ）若()lim1x f x x→∞=，则曲线()y f x =必有斜渐近线 （D ）以上都不对（2）设2arctan()()=lim +1n x n n e f x x →∞，则()f x （ ）.（A ）处处可导 （B ）在点1x =-处可导（C ）在点0x =处可导 （D ）在点1x =处可导（3）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有00'(,)x f x y a =，00'(,)y f x y b =，则下列结论正确的是（ ）.（A ）00lim (,)x x y y f x y →→存在，但(,)f x y 在点00(,)x y 处不连续（B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）()0,x y d z a d x b d y =+（D ）00lim (,)x x f x y →及00lim (,)y y f x y →都存在且相等（4）设(n+1)πn πsin n xu dx x =⎰，则=1n n u ∞∑为（ ）. （A ）发散的正项级数 （B ）收敛的正项级数（C ）发散的交错级数 （D ）收敛的交错级数（5）设22221111ab c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，,,,a b c d 为互异实数，则下列说法正确的是（ ）. （A ）齐次线性方程组=0Ax 只有零解 （B ） 齐次线性方程组T=0A Ax 有非零解 （C ）齐次线性方程组T=0A x 有非零解 （D ）齐次线性方程组T=0AA x 有非零解（6）设,A B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.（A ）若,A B 为等价矩阵，则,A B 的行向量组等价 （B ）若,A B 的行列式相等，则,A B 为等价矩阵（C ）若=0Ax 与=0B x 均只有零解，则,A B 为等价矩阵 （D ）若,A B 为相似矩阵，则=0Ax 与=0B x 同解（7）设有随机事件,,A B C ，(),(),()(0,1)P A P B P C ∈，若C 分别与,A B 独立，A B =∅.则有（ ）.（A ）A 与B C 独立 （B ）B 与A C 独立 （C ）C 与AB 独立 （D ）,,A BC 两两独立（8）设总体2(,)X N μσ～，其中2,μσ均未知. 假设检验问题为2010H σ≤:,2110H σ>:,已知25n =，0.05α=，20.05(24)36.415χ=，且根据样本观察值计算得212s =，则检验结果为（ ）.（A ）接受0H ，可能会犯第二类错误 （B ）拒绝0H ，可能会犯第二类错误 （C ）接受0H，可能会犯第一类错误 （D ）拒绝0H，可能会犯第一类错误二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）不定积分222arctan 2(1)1xx edx x +=+⎰__________________.（10）设曲线222C x xy y a ++=:的长度为L ，则s i n ()s i n ()s i n ()s i n ()x yx y C a e b e d s e e +=+⎰_________. （11）设()y y x =是由10sin 10ln(1)x t e t x y t dt +⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩⎰所确定的函数，则0t dy dx ==______________.（12）以21C y C x x=+为通解的微分方程______________________. （13）设A 为三阶方阵，A 的第一行元素为1,2,3，行列式A 中第二行元素的余子式为1,2,3a a a +++，则常数a =__________.（14）设(,)f x y 为二维随机变量(,)X Y 的密度函数，2U Y =，V X =-，则(,)U V 的密度函数(,)U V f u v =________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设曲线()y y x =由参数方程给出：ln x t t =，ln 1()t y t t e=>. （I ）求()y y x =的单调区间、极值、凹凸区间和拐点； （II ）求曲线()y y x =，直线1x e=-，x e =及x 轴所围平面区域的面积A .（16）（本题满分10分）求微分方程()x dyf xy y dx⋅=经变换xy u =后所转化的微分方程，并由此求微分方程22(1)y xy d x x d y +=的通解.（17）（本题满分10分）求幂级数2121(1)(1)nn n n x n∞+--∑=的收敛域及和函数()S x .（18）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：（I ）2()[()()]a b b aaf x dx f x f a b x dx +=++-⎰⎰；（II ）利用（I ）计算π23π6cos (2)xI dx x x π=-⎰.（19）（本题满分10分）在椭球面222221x y z ++=上求一点P ，使得三元函数222(,,)f x y z x y z=++在点P 处沿方向=-l i j 的方向导数最大.（20）（本题满分11分）设,,A B C 均为n 阶方阵，⎛⎫=⎪-⎝⎭AA M CBC .（I ）证明：M 可逆的充要条件为,A B 均可逆； （II ）如果M 可逆，求其逆矩阵1-M .（21）（本题满分11分）设13λ=，26λ=，39λ=是三阶对称矩阵A 的三个特征值，其对应的特征向量依次为11(2,2,1)3T =-α，21(1,2,2)3T =-α，31(2,1,2)3T =-α. （I ）证明112233369TTT=++A αααααα；（II ）设(1,2,3)T=β，分别将β和nA β用123,,ααα线性表示.（22）（本题满分11分）设1()X P λ～，2()Y P λ～，且X 与Y 相互独立.（I ）证明：12()X Y P λλ++～； （II ）求已知3X Y +=时，X 的条件分布.（23）（本题满分11分）设总体X 的密度函数为22,0()0,0x x e x f x x θθ-⎧⎪>=⎨⎪≤⎩，其中(0)θθ>为未知参数，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的简单随机样本.（I ）求θ的极大似然估计量θ； （II ）指出θ是否为θ的无偏估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）求抛物线2y x x =+与23y x x =-的公切线为（ ）.（A ）1y x =-- （B ）1y x =-+ （C ）1y x =- （D ）1y x =+ （2）设220()(1)x t f x x e dt -=+⎰，则有（ ）.（A ）(2010)(0)0f=，11()0f x dx -=⎰（B ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -=⎰（C ）(2010)(0)0f =，11()0f x dx -≠⎰（D ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -≠⎰（3）设当0r +→，222()r C y d x x d yI x y x y -=++⎰与nr 为同阶无穷小，其中C为圆周2221x y r +=，取逆时针方向，则n 等于（ ）. （A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）设()y y x =是方程22(1)0x y d x x d y +-=及条件(0)1y =的解，则120()y x dx =⎰（ ）. （A ）ln 3- （B ）l n 3 （C ）1l n 32-（D ）1l n 32（5）设12,ηη为线性方程组12311232123322x x x a x x x a x x tx a-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的两个不同解，则必有（ ）.（A ）2t =，1230a a a ++= （B ）2t ≠，312a a a =+ （C ）2t =，312a a a =+ （D ）2t ≠，312a a a ≠+（6）设二次型123(,,)T f x x x =x Ax ，其中T=A A ，a =A ，()1r a b +=E ，则（ ）.（A ）对任意的0a >，0b >，正定 （B ）对任意的0a >，0b <，正定 （C ）对任意的0a <，0b >，正定 （D ）对任意的0a <，0b <，正定 （7）已知随机变量010.250.75X⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量12,αα线性无关，则向量组12X -αα,12X -+αα线性相关的概率为（ ）.（A ）0.25 （B ）0.5 （C ）0.75 （D ） （8）设总体X 的密度函数2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，1234,,,X X X X 为来自总体X 的简单随机样本，则(4)1234m a x (,,,)X X X X X =的密度函数为(4)()X f x =（ ）. （A ）20,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩ （B ）80,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩（C ）78,010,x x ⎧<<⎨⎩其他 （D ）34,010,x x ⎧<<⎨⎩其他二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若()x x f t dt xe -=⎰，则1(ln )f x dx x+∞=⎰____________. （10）设函数()y x 满足2''(1)'xy x y x y e +-+=，且'(0)1y =. 若20()lim x y x xa x →-=，则a = （11）设()f r 在[0,1]上连续，则22221lim()n n x y x y f dxdy →∞+≤+=⎰⎰_____________.（12）已知向量222(,,)xy yz zx =A ，则(1,1,2)()grad div -=A ________________.（13）设,A B 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅为B 的n 个特征值，若存在可逆阵P ，使得11--=-+B PAP P AP E ，则12n λλλ++⋅⋅⋅=______________. （14）设(,)(0,14,90)X Y N ;;～，则{1}P X Y <-=_______________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）旋转曲面224z x y =+上某点M 处的切平面为π，若平面π过曲线：2x t =，y t =，3(1)z t =-上对应于1t =的点处的切线，试求平面π的方程.（16）（本题满分10分）设()Df t x y tdx d y =-⎰⎰，其中D ：01x ≤≤，01y ≤≤，[0,1]t ∈.（I ）求()f t 的表达式； （II ）证明'()0f t =在(0,1)内有且仅有一个根.（17）（本题满分10分）求数项级数=1(1)(21)!n n nn ∞-+∑的和.（18）（本题满分10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()0f a =，()1f b =，()1()f c a c b =-<<. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得2(1)'()2()0f f ξξξξ+-=.（19）（本题满分10分）（I ）设连续函数()f x 对任意的x 均满足()()2xf x af =，其中常数(0,1)a ∈. 证明()()2n nxf x a f =，进而再证(,)x ∀∈-∞+∞，()0f x ≡； （II ）设()g x 具有二阶连续导数，且满足22()3x xg t dt x x =+⎰，求()g x 所满足的微分方程，并求()g x .。

2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x ∈R |x 2﹣4x ＜0}，集合N={0，4}，则M ∪N=（ ） A ．[0，4] B ．[0，4） C ．（0，4] D ．（0，4）2．设i 为虚数单位，复数z=，则z 的共轭复数=（ ） A ．﹣1﹣3i B ．1﹣3i C ．﹣1+3iD ．1+3i3．在正项等比数列{a n }中，a 1008•a 1009=，则lga 1+lga 2+…+lga 2019=（ ）A ．2019B ．2019C ．﹣2019D ．﹣20194．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（ ）A ．﹣=1 B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=15．直线m ：x +（a 2﹣1）y +1=0，直线n ：x +（2﹣2a ）y ﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m 、n 关于原点对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m ，n 分别为204，85，则输出的m=（ ）A ．2B ．7C ．34D ．857．若等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，都有S n ≤S 10，则（ ） A ．∀n ∈N *，都有a n ＜a n ﹣1 B ．a 9•a 10＞0 C ．S 2＞S 17 D ．S 19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0]C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125π C．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++1+…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN 面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2019=（）A．2019 B．2019 C．﹣2019 D．﹣2019【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2019=a2•a2019=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2019=a2•a2019=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2019=lg（a1a2•…•a2019•a2019）==﹣2019．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）B．a9•a10＞0A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0]C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．==26﹣r．分别令=1，=3，【分析】（2+）6的展开式中，T r+1进而得出．==26﹣r．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125π C．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=±2．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=（3n﹣1）﹣2n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN 面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），∴S△PMN=2，当MN与坐标轴垂直时，S△PMN∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF ∽△POC ，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r ，由△PDF ∽△POC ，可得半径为5，由切割线定理可得，PD •PC=PB •PA •解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD 的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC 、OE ，则∠COE=2∠CDE ，∵=，∴∠AOC=∠AOE ，∴∠AOC=∠CDE ，∴∠COP=∠PDF ，∵∠P=∠P ，∴△PDF ∽△POC∴=，∴PF •PO=PD •PC ，由割线定理可得PC •PD=PA •PB ，∴PF •PO=PA •PB ．（2）设圆的半径为r ，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF ∽△POC ，可得=， 即有PD •OC=PO •DF ，即4r=（2+r ），解得r=5． 由切割线定理可得，PD •PC=PB •PA •即为4（4+CD ）=2（2+2r ），即有CD=r ﹣3=5﹣3=2，则弦CD 的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C ：（α为参数），直线l ：（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 的极坐标方程，直线l 的普通方程；（2）点A 在曲线C 上，B 点在直线l 上，求A ，B 两点间距离|AB |的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．2019年10月4日。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一.选择题订—8小題每小题4分,共32分•下列每题给岀的四个选项中，只有一个选项符合题 目要求的，请将所选项苗的字母填在答题纸指定位置上.• • •(1)曲线丁=匚二渐进线的条为()x 2-l0 (B)1 (C)2 (D) 3(C) x(x + l)l(x + l)(x-l)故limy = x = l 为垂直渐近线；x->r又由limj = l,故》=1为水平渐近线，无斜渐近线，故渐近线的条数为2.⑵设函数/(x)=(e'—lXk-2)・・・0-”)，其中"为正整数，则/'(0)=()(A) (_l)i(T! (B) (-1)0-1)! (C) (-1)"%!(D) (-1)5!【答案】(A)【解阳巩。

卜応用2(叽H 」—)(宀2)・十一)\ ・ XT O xXT Ox= lim(沪 _2卜・(0泾_?2)= -1乂(一2)・・・(1_") = (一1广论一1)!⑶设函数/(f)连续，则二次积分建d&J/(F>dr= ()⑷ 恥厲3+>，：/(宀畑(B)『阿爲仗+y 澜©仇£^^7/(宀》沁 (D) J ：d 叫笃於+〉讪【答案】(B)【解析】由0S8S 兰，可知积分区域在第一象限，2由 2cos^<r <2,可知工‘ + >' S 4,2工 S X 2 — y 1. (2r cos 6 <r 2) 故 Z = j ，."d.xj^T /(r pF )d )',故选(B)・【答案】⑷己知级数£(-1)月丽sing 绝对收敛，级数£匕工 条件收敛，则 n-l i "0<a<- (B) i<a<l(C) l<a<- (D) ^<a<2 2 2 2 2【答案】【解析】由£(-1)”石血4绝对收敛 心1 wR 1 1 3即收敛，则有a —>1,即a>-, a 严 2 2由£空条件收敛，则有0 <2 — aSl, BPl<a<2.3综上：-<^<2,故选(D)・2(A)(D)J 01-10 ,a z « 1 9 a 、■ -11 •GG L <,其中q c : Q c 4为任意常数，则下列向量组(A) a 】a 2(B)ai a i a(C) 6 3 4【答案】c【解析】0 i -1|內,他,％|= 01 1 一1 =C] X 一1 1=0 9qq(\ ⑹设力为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且严】肿=0、° 0 0、1 ° ,若卩=(6，@,@)0乙0 = (a 】-a ：J a 2 4)则 Q'}AQ =()(5)设 q 线性相关的为故a l ；O3.a 4必定线性相关，从而应选C.1}=『/(3嗣=[(1鬧=比=手 D r^r<l4‘1 0 o'‘1 0 o'<2 0 O'<2 0 0、(A) 0 2 0(B) 0 1 0(C) 0 1 0(D)0 2 0、o o l y卫o 2J(0 0 2J、0 0 1)Z1 0 0、"1 0 oO = (c5 + 勺。

2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知R是实数集，集合A={-1，0，1}，B={x|2x-1≥0}，则A∩（∁R B）=（）A. B. C. {1} D. {-1，0}2.已知i是实数集，复数z满足z+z•i=3+i，则复数z的共轭复数为（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2+iD. 2-i3.执行如图所示的程序框图，若输入x=-1，则输出的y=（）A.B.C.D.4.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3=4，S6=10，则a3=（）A. B. C. D.5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 66.若直线y=k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k的取值范围是（）A. （-∞，1]B. [0，2]C. [-2，1]D. （-2，2]7.为了得到函数y=sin x的图象，只需将函数的图象（）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位8.若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A. B. C. D.9.已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A. 2或10B. 4或8C.D.10.已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|=（）A. B. C. D.11.若存在两个正实数x，y使得等式x（1+ln x）=x ln y -ay成立（其中ln x，ln y是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A. （0，]B. （0，]C. （-∞，]D. （-∞，]12.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知，，若，则k=______．14.在的展开式中，x4的系数为______．15.已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2），则cos（a1-a2）=______．16.如图是数学家Ger min alDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|=8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n=2a n-1+2n-1（n≥2），数列{b n}满足b n=a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18.在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.已知：在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P-AG-C的余弦值．20.已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2=4|AB|，求证：直线m 与直线l的交点P在定直线上．21.已知函数f（x）=x2-ax lnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y=f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x=t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．23.设f（x）=3|x-1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2=k，求证：+≥．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：因为，所以∁R B={x|x＜}．又A={-1，0，1}，所以A∩（∁R B）={-1，0}．故选：D．先解不等式得出集合B，再求B的补集，最后与A求交集．本题考查集合交、并、补的运算，考查对基本概念和运算的掌握．利用集合补集和交集的定义是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数运算，对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，属于基础题．将z+z•i=3+i化为，对其进行化简得到z，利用共轭复数的性质得到.【解答】解：z+z•i=3+i可化为z====2-i∴z的共轭复数为=2+i.故选C．3.答案：D解析：解：输入x=-1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案．本题考查循环结构程序框图的输出结果．当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环．4.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．列出关于a1，d的方程组并解出，即可求得a3的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3=4，S6=10，∴3a1+3d=4，6a1+d=10，联立解得：a1=，d=∴．故选：A．5.答案：B解析：解：由标准数据，计算=×（14+16+18+20+22）=18，=×（12+10+7+a+3）=；由点（，）在线性回归方程=-1.15x+28.1上，∴=-1.15×18+28.1，则32+a=7.4×5，解得a=5．故选：B．求出，将其代入线性回归方程=-1.15x+28.1中，即可得出a的值．本题考查了样本中心点（，）在线性回归方程上的应用问题，是基础题．6.答案：B解析：【分析】画出不等式组表示的平面区域，直线y=k（x+1）过定点A（-1，0），数形结合得出k＞0，求出k AC，得出实数k的取值范围．对于求斜率的范围的线性规划，过定点作直线与不等式组表示的平面的区域有公共点，从而确定斜率的范围．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示直线y=k（x+1）过定点A（-1，0），直线y=k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点则k＞0，k AC==2，∴k∈[0，2]．故选：B．7.答案：A解析：解：将函数的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y=sin（x+）的图象；再把它的图象再向右平移个单位，可得y=sin x的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，对于古典概型求概率：可用事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数之比得出事件A的概率．考查运算求解能力，是基础题．利用古典概型概率公式即可得出函数f（x）=x5a+x b是奇函数的概率．【解答】解：从集合{-1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素共有 =20种，要使得函数f（x）=x5a+x b是奇函数，必须a，b都为奇数共有=6 种，则函数f（x）=x5a+x b是奇函数的概率为P==．故选：B．9.答案：B解析：解：由可得．在△MCN中，CM=CN=2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a=4或8．故选：B．由圆的性质可得出圆心C到直线l的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数a的值．本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离．在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便．10.答案：D解析：解：过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D．设A（，y1），B（，y2），则MN=y1-y2．∵S△MFN=5，∴，即（y1-y2）p=10，①∵，∴，即，∴y1=-4y2，②∵AF=AM=，，∴，③联立①②③解得y1=4，y2=-1，p=2．∴|AB|=．故选：D．过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D．设A（，y1），B（，y2），分别利用△MFN的面积为5，及抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数与方程，考查函数的单调性，属于中档题.对x（1+ln x）=x ln y-ay进行变形，将求a的取值范围转化为求f（t）=-t-t lnt的值域，利用导数即可得出实数a的取值范围．【解答】解：x（1+ln x）=x ln y-ay可化为a=，令，则t＞0，f（t）=-t-t lnt，∵f′（t）=-2-ln t，∴函数f（t）在区间上单调递增，在区间上单调递减．即==,则a∈．故选：C．12.答案：B解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于较难题.菱形ABCD中，∠DAB=60°，△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折过程中，点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线上，三棱锥的高最大时，平面ABD⊥平面BCD．【解答】解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A-BCD如图：点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A-BCD的高为△AEC过A点的高；所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，AD=DC=1，AE=，EC′=，AC′=|cos∠ADC′|=||=，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为，故选：B．13.答案：8解析：【分析】本题考查了平面向量共线定理的坐标表示与运算问题，是基础题．由向量平行的坐标运算即可得出．【解答】解：+2=（9，2+2k），3-=（-1，6-k）；∵（+2）∥（3-），∴9（6-k）-（-1）（2+2k）=0，解得k=8．故答案为8．14.答案：-解析：解：通项公式T k+1=（x3）8-k（-）k=（-）k x24-4k，由题意可知24-4k=4，解得k=5则x4的系数为（-）5=-，故答案为：-．由二项式展开的通项公式确定k的值，即可得到x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出r，代回通项即可．15.答案：-解析：解：∵=2cos[+（x-）]cos（x-）+sin x=cos2x+sin x=-2sin2x+sin x+1，∵sin x∈[-1，1]，∴f（x）∈（-2，），对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2），则f（a1）=-2，f（a2）=，即sin a1=-1，sin a2=，cos a1=0，∴cos（a1-a2）=cos a1cos a2+sin a1sin a2=0+=-．对f（x）进行化简得到f（x）=-2sin2x+sin x+1，根据正弦函数和二次函数的单调性得到f（a1）=-2，f（a2）=，进而确定sin a1=-1，sin a2=，cos a1=0，利用两角差的余弦公式得到cos（a1-a2）．本题主要考查了三角函数的求值，本题的关键在于“变角”将cos（x+）变为cos[+（x-）]结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．16.答案：解析：解：如图，圆锥面与其内切球O1、O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A，则O1B⊥AB，O2A⊥AB，过O1作O1D⊥O2A于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt△O1O2D中，DO2=3-1=2，O1D==2．∴cosα===．∵O1O2=8，CO2=8-O1C，∵△EO2C∽△FO1C，∴=，解得O1C=2．∴CF===．即cosβ==．则椭圆的离心率e===．故答案为：．利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β的余弦值，即可得出椭圆离心率．本题考查了“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cosβ与圆锥母线与轴的夹角的余弦cosα之比，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）证明：当n=1时，a1=1，故b1=6．当n≥2时，a n=2a n-1+2n-1，则b n=a n+2n+3=2a n-1+2n-1+2n+3=2[a n-1+2（n-1）+3]，∴b n=2b n-1，∴数列列{b n}是等比数列，首项为6，公比为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=3×2n，∴a n=b n-2n-3=3×2n-2n-3，∴S n=3×（2+22+……+2n）-[5+7+……+（2n+3）]=3×-=3×2n+1-n2-4n-6．解析：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（Ⅰ）利用等比数列的定义结合a1=1，a n=2a n-1+2n-1（n≥2），b n=a n+2n+3．得出数列{b n}是等比数列．（Ⅱ）数列{a n}是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前n项和S n．18.答案：解：（Ⅰ）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读100 24 124不经常阅读50 26 76合计150 50 200则K2==≈5.546＞5.024，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且x～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X0 1 2 3 4P∴E（X）==．解析：（Ⅰ）根据题意填写列联表，利用公式求出K2，比较K2与5.024的大小，即可得出有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，利用二项分布公式求出相应的概率，即可得出X 的分布列和期望．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：（Ⅰ）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCD与四边形OBCD均为菱形∴OB⊥AC，OB∥CD，则CD⊥AC，∵△PAD为等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD．PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD，∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO，∴GH⊥CD．又∵GH∩AC=H，AC，GH⊂平面GAC，∴CD⊥平面GAC；（Ⅱ）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．设AD=4，则P（0，0，2），A（0，-2，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，，）．=（0，2，2），=（，，）．设平面PAG的一法向量=（x，y，z）．由，得，即．令z=1，则=（1，，1）．由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量．∴二面角P-AG-C的平面角θ的余弦值cosθ=．解析：（Ⅰ）分别证明CD⊥AC和GH⊥CD，即可得出CD⊥平面GAC；（Ⅱ）以O为空间坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．分别求出平面PAG、平面AGC的法向量、，利用cosθ=得出二面角P-AG-C的余弦值．本题考查线线、线面、面面垂直的判定定理，考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由已知，得，∴，∴b2=3，∴椭圆C的标准方程．（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线l的斜率存在．令l：y=k（x-1），（k≠0），m：y=-k（x+t），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），N（x N，y N）．将直线m的方程代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2-3）=0，∴x M+x N=-，x M x N=，|MN|2=（1+k2）．同理|AB|==．由|MN|2=4|AB|得t=0，此时，△=64k4t2-16（3+4k2）（k2t2-3）＞0，∴直线m：y=-kx，∴，即点P的定直线x=上．解析：（Ⅰ）根据椭圆的性质及已知条件求出a，b，即可得出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设出直线l和直线m的直线方程，分别代入椭圆C的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出|MN|，|AB|，根据|MN|2=4|AB|确定l的值，联立直线l和直线m的方程得到点P的坐标，从而确定点P在定直线上．本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．g（x）=f'（x）=2x-a ln x-a，g'（x）=2-当a≤0时，g'（x）＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）单调递增，函数y=g（x）没有极值．当a＞0时，由g'（x）=0，得x=，函数y=g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．函数y=g（x）的极小值为，没有极大值．（Ⅱ）对∀x∈[1，e]，f（x）＞0恒成立，即对∀x∈[1，e]，x2-ax lnx+a+1＞0，∴对∀x∈[1，e]，x-a ln x+＞0．令h（x）=x-a ln x+，则h'（x）=1-=．①当a+1≤1，即a≤0时，对∀x∈[1，e]，h'（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=1-0+＞0，解得a＞-2，∴-2＜a≤0满足题意．②当a+1≥qe时，即a≥qe-1，对∀x∈[1，e]，h'（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=e-a+＞0，解得a＜∴e-1满足题意．③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e-1时，对于x∈[1，a+1]，h'（x）＜0；对于x∈[a+1，e]，h'（x）＞0．∴h（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∴．即1+-ln（a+1）＞0设H（a）=1+-ln（a+1），由于H（a）在（0，e-1）单调递减，∴H（a）＞1-＞0，即h（x）min=aH（a）＞0，∴0＜a＜e-1满足题意．综上①②③可得，a的取值范围为：．解析：（Ⅰ）由导数的求导法则得出g（x）=2x-a ln x-a，利用导数求极值的步骤得出极值．（Ⅱ）构造函数令，求导得到，利用导数求最值的方法对a的值进行分类讨论，即可得出实数a的取值范围．本题在求a的取值范围时，直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式从而求出参数的取值范围，属较难题．22.答案：解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2=4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）=4，可得ρ2+3（ρsinθ）2=4，则x2+y2+3y2=4，则曲线E的直角坐标方程为.（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t=2cosα，则B（2cosα，±sinα）,要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，-sinα）,∴==,∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[-1，1],当，即时，△AOB的面积取最大值．解析：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y可把曲线E的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）利用参数方程求出A，B的坐标，再求△AOB的面积及其最大值．本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=3|x-1|+|x+1|=，当x=1时，f（x）取得最小值，即k=f（1）=2；（2）证明：依题意，m2+4n2=2，则m2+4（n2+1）=6．所以==，当且仅当，即m2=2，n2=0时，等号成立．所以．解析：（1）将函数表示为分段函数，再求其最小值；（2）利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式．本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值．含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解．已知或pa+qb（m，n，p，q是正常数，a，b∈R+）的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值．。

2019考研数学三证明题详解及答案一、问题背景介绍2019考研数学三中的证明题是该科目中的一项重要部分。

本文将对2019年考研数学三的证明题进行详细解析，并提供答案及说明。

二、第一道证明题详解题目：证明若函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，则必在该区间上有界。

证明过程：首先，我们可以利用反证法来证明这个结论。

假设函数 f(x) 在区间[a,b] 上连续，但却无界。

由于 f(x) 在 [a,b] 上连续，所以在该区间上 f(x) 是有界的。

根据闭区间上连续函数的性质，连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。

所以，我们可以找到 f(x) 在 [a,b] 上的最大值 M 和最小值 m。

假设 f(x) 在 [a,b] 上无界，那么必然存在一个数 A，使得对于任意的x∈[a,b]，f(x) > A。

在区间 [a,b] 上，我们可以找到无限个点 x1，x2，x3...，它们都满足 f(x) > A。

由于 f(x) 是有界的，所以必然存在一条水平线 y = M+1，位于最大值 M 上方。

根据连续函数的性质，我们可以找到开区间 (c,d)，其中 c∈[a,b]，这样在 (c,d) 内的任意一个点 x 都满足 f(x) > A。

然而，由于连续性的定义，我们知道 f(x) 是有界函数，所以在 (c,d) 的某一点 x' 上，f(x') ≤ M。

这与 f(x') > A 相矛盾。

因此，假设不成立。

即证明了函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续时必有界。

三、第二道证明题详解题目：证明方程 x^2 - 4x + 3 = 0 的解集为{1, 3}。

证明过程：首先，我们可以通过求根公式来解方程 x^2 - 4x + 3 = 0。

根据求根公式，对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以表示为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

2018-2019学年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）一、选择题最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

1．已知集合A={x∈R|0＜x＜2}，则∁R A=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}2．i为虚数单位，复数=（）A． +i B． +C． +i D．﹣i3．等比数列{a n}中，a3=16，a5=4，则a7=（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．4．从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，这两个数字之和是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．若实数x，y满足不等式组，则z=x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．已知p：∃x∈R，x2＜0；q：∀x＞2，log x＜0，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∨￢q7．若函数f（x）=2x+x﹣2016的一个零点x0∈（n，n+1），则正整数n=（）A．11 B．10 C．9 D．88．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出v的值为（）A．31 B．32 C．63 D．649．已知双曲线﹣=1的左焦点在抛物线y2=20x的准线上，且双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．某几何体的三视图如图所示，其正视图由一个半圆和一个矩形构成，则该几何体的表面积为（）A．12+2πB．14+2πC．14+π D．16+π11．直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，]B．[0，]∪[，π]C．（0，]∪[，π） D．[0，]∪[，π）12．若关于x的不等式sin（x+1）≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题13．已知函数f（x）=x3+ax，若f（2）=10，则a=______．14．已知tanα=2，则sin2（+α）﹣sin（3π+α）cos（2π﹣α）=______．15．已知=（1，t），=（t，﹣6），则|2+|的最小值为______．16．如图，△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=∠D=60°，△ADC是锐角三角形，DA+DC 的取值范围为______．三、解答题17．等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a3•a4=a12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某高中为了解全校学生每周参加体育运动的情况，随机从全校学生中抽取100名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下：每周参与运[0，4）[4，8）[8，12）[12，16）[16，20]动的时间（单位：小时）频数24 40 28 6 2（1）作出样本的频率分布直方图；（2）①估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数；②若该校有学生3000人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数．19．如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD 的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上的任意一点作圆C的切线l与椭圆E交于A，B两点，都有OA⊥OB（O为坐标原点），求r的值．21．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．2016年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x∈R|0＜x＜2}，则∁R A=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义求出集合A的补集即可．【解答】解：∵集合A={x∈R|0＜x＜2}，∴∁R A={x|x≤0或x≥2}．故选：D．2．i为虚数单位，复数=（）A． +i B． +C． +i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===，故选：A．3．等比数列{a n}中，a3=16，a5=4，则a7=（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【考点】等比数列的性质．【分析】直接利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：等比数列{a n}中，a3=16，a5=4，则a7===1．故选：A．4．从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，这两个数字之和是偶数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，先求出基本事件总数，再求出这两个数字之和是偶数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数字之和是偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，基本事件总数n=，这两个数字之和是偶数包含的基本事件个数m==3，∴这两个数字之和是偶数的概率为p===．故选：B．5．若实数x，y满足不等式组，则z=x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得，由z=x﹣y，得：y=x﹣z，显然直线过（2，0）时，z最大，z的最大值是2，故选：D．6．已知p：∃x∈R，x2＜0；q：∀x＞2，log x＜0，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∨￢q【考点】复合的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合的真假即可．【解答】解：p：∃x∈R，x2＜0，是假，q：∀x＞2，log x=﹣＜0，是真，故p∧q是假，p∧￢q是假，￢p∧q是真，p∨￢q是假，故选：C．7．若函数f（x）=2x+x﹣2016的一个零点x0∈（n，n+1），则正整数n=（）A．11 B．10 C．9 D．8【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别求出f（10）和f（11）并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间，即可求出n．【解答】解：∵f（10）=210+10﹣2016＜0，f（11）=211+11﹣2016＞0，∴f（x）=2x+x﹣2016的存在零点x0∈（10，11）．∵函数f（x）=2x+x﹣2016在R上单调递增，∴f（x）=2x+x﹣2016的存在唯一的零点x0∈（10，11）．∵函数f（x）=2x+x﹣2016的一个零点x0∈（n，n+1），则整数n=10．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出v的值为（）A．31 B．32 C．63 D．64【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的v，n的值，当n=6时不满足条件n≤5，退出循环，输出v的值为63即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=2，n=1，v=1满足条件n≤5，执行循环体，v=3，n=2满足条件n≤5，执行循环体，v=7，n=3满足条件n≤5，执行循环体，v=15，n=4满足条件n≤5，执行循环体，v=31，n=5满足条件n≤5，执行循环体，v=63，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出v的值为63．故选：C．9．已知双曲线﹣=1的左焦点在抛物线y2=20x的准线上，且双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程可得c=5，即a2+b2=25，求得渐近线方程可得=，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的准线为x=﹣5，可得双曲线﹣=1的左焦点为（﹣5，0），即c=5，即a2+b2=25，又渐近线方程为y=±x，由题意可得=，解得a=3，b=4，可得双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，其正视图由一个半圆和一个矩形构成，则该几何体的表面积为（）A．12+2πB．14+2πC．14+π D．16+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个球的，下面是一个长方体．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个球的，下面是一个长方体．∴该几何体的表面积=2×（2×2+1×2）+1×2+1×2+=14+π．故选：C．11．直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，]B．[0，]∪[，π]C．（0，]∪[，π） D．[0，]∪[，π）【考点】直线的一般式方程．【分析】设直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角为θ，可得tanθ=﹣，对a分类讨论，利用基本不等式的性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：设直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，a=0时，tanθ=0，可得θ=0；a＞0时，tanθ≥=﹣1，当且仅当a=1时取等号，∴θ∈；a＜0时，tanθ≤1，当且仅当a=﹣1时取等号，∴θ∈；综上可得：θ∈∪．故选：D．12．若关于x的不等式sin（x+1）≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】设x+1=t，则sint≤at的解集为[0，+∞），根据函数y=sinx与y=ax的图象关系解答即可．【解答】解：由已知，设x+1=t，则sint≤at的解集为[0，+∞），根据函数y=sinx与y=ax的图象关系，当x≥0时，切线斜率y′=cosx的最大值为1，所以要使sin（x+1）≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），只要a≥1；故选：D．二、填空题13．已知函数f（x）=x3+ax，若f（2）=10，则a=1．【考点】函数的值．【分析】将x=2代入f（x）的表达式，得到8+2a=10，解出a的值即可．【解答】解：已知函数f（x）=x3+ax，若f（2）=10，即f（2）=8+2a=10，则a=1，故答案为：1．14．已知tanα=2，则sin2（+α）﹣sin（3π+α）cos（2π﹣α）=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，代入tanα=2计算即可得解．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2（+α）﹣sin（3π+α）cos（2π﹣α）=cos2α+sinαcosα====．故答案为：．15．已知=（1，t），=（t，﹣6），则|2+|的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算便可得出，从而进行数量积的坐标运算即可求出，这样配方即可求出5（t2﹣4t+8）的最小值，从而得出的最小值．【解答】解：=（2+t，2t﹣6）；∴=5（t2﹣4t+8）=5（t﹣2）2+20；∴t=2时，取最小值20，即取最小值．故答案为：．16．如图，△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=∠D=60°，△ADC是锐角三角形，DA+DC 的取值范围为．【考点】正弦定理．【分析】在△BAC中，由余弦定理可得：AC2=42+22﹣2×4×2×cos60°，AC=2．在△ADC中，设∠CAD=α，则∠ACD=120°﹣α．由于△ADC是锐角三角形，可得30°＜α＜90°．由正弦定理可得：===4．化简整理即可得出．【解答】解：在△BAC中，由余弦定理可得：AC2=42+22﹣2×4×2×cos60°=12．∴AC=2．在△ADC中，设∠CAD=α，则∠ACD=120°﹣α．∵△ADC是锐角三角形，∴0°＜α＜90°，0°＜120°﹣α＜90°，可得30°＜α＜90°．由正弦定理可得：===4．∴AD=4sin，DC=4sinα，∴AD+DC=4sin+4sinα===4sin（α+30°），∵30°＜α＜90°，∴60°＜α+30°＜120°，∴sin（α+30°）∈．∴AD+DC∈．故答案为：．三、解答题17．等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a3•a4=a12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由已知a3•a4=a12，求得d=1，即可写出通项公式；（2）b n=a n•2n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，采用乘以公比错位相减法，求得T n．【解答】解：a3•a4=a12．（a1+2d）（a1+3d）=（a1+11d），解得：d=1，a n=n，数列{a n}的通项公式，a n=n；b n=a n•2n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1，T n=n•2n+1﹣2n+1+2=（n﹣1）2n+1+2∴T n=（n﹣1）2n+1+2．18．某高中为了解全校学生每周参加体育运动的情况，随机从全校学生中抽取100名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下：每周参与运动的时间（单[0，4）[4，8）[8，12）[12，16）[16，20]位：小时）频数24 40 28 6 2（1）作出样本的频率分布直方图；（2）①估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数；②若该校有学生3000人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表，作出频率分布直方图即可；（2）①利用频率分布直方图求出中位数与平均数；②根据频率分布直方图，求出每周参与体育运动的时间不低于8小时的频率与频数．【解答】解：（1）根据频率分布表，作出频率分布直方图，如图所示：（2）①∵0.24+0.40＞0.5，∴中位数在区间[4，8）内，设中位数为x，则0.24+（x﹣4）×0.1=0.5，解得x=6.6，即估计该校学生每周参与体育运动时间的中位数为7.6小时，平均数为2×0.24+6×0.4+10×0.28+14×0.06+18×0.02=6.88；②根据频率分布直方图得，该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的频率是：0.28+0.06+0.02=0.36，∴估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数是3000×0.36=1080．19．如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD 的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．【考点】直线与平面平行的性质．【分析】（1）由BD是AC边上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此证明BD⊥平面PCD，即可证明PE⊥BD；（2）连接BE，交DM与点F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，证明△DEF是等边三角形，再利用直角三角形的边角关系求出的值即可．【解答】解：（1）∵BD是AC边上的高，∴BD⊥CD，BD⊥PD，又PD∩CD=D，∴BD⊥平面PCD，又PE⊂平面PCD中，∴BD⊥PE，即PE⊥BD；（2）如图所示，连接BE，交DM与点F，∵PE∥平面DMN，∴PE∥NF，又点N为PB中点，∴点F为BE的中点；∴DF=BE=EF；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF是等边三角形，设DE=a，则BD=a，DC=BD=3a；∴==．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上的任意一点作圆C的切线l与椭圆E交于A，B两点，都有OA⊥OB（O为坐标原点），求r的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和短轴的概念，结合a，b，c的关系，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）讨论切线的斜率不存在和为0，求得A，B的坐标，由垂直的条件可得r；证得圆x2+y2=上任一点（m，n）的切线与椭圆的交点A，B，都有OA⊥OB．设出切线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，即可得到半径r的值．【解答】解：（1）由题意可得e==，2b=2，即b=1，a2﹣c2=b2=1，解得c=，a=2，即有椭圆E的方程为+y2=1；（2）当切线l的斜率不存在，即l：x=r时，代入椭圆方程可得A（r，），B（（r，﹣），由OA⊥OB，可得r2﹣（1﹣）=0，解得r=；当当切线l的斜率为0，即l：y=r时，代入椭圆方程可得A（2，r），B（﹣2，r），由OA⊥OB，可得r2﹣4（1﹣r2）=0，解得r=；只要证得圆x2+y2=上任一点（m，n）的切线与椭圆的交点A，B，都有OA⊥OB．由两直线垂直的条件可得切线的方程为mx+ny=（nm≠0），联立椭圆方程，消去y，可得（n2+4m2）x2﹣x+﹣4n2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，即有y1y2=（﹣mx1）（﹣mx2）=（+m2x1x2﹣m（x1+x2））= [+m2•﹣m•]=，则x1x2+y1y2=+===0，即OA⊥OB．故r=．21．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据基本不等式求最值的方法可求出实数a的取值范围；（2）求出函数的导数，h'（x）=3e3x﹣3ae x=3e x（e2x﹣a），令h'（x）=0得e2x=a，故，分当0≤x＜时与当x＞时，再讨论导数的正负与单调性的规律，得出极值．【解答】解：（1）∵g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，定义域：（0，+∞）∴g'（x）=∵函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，g'（x）=≥0在（0，+∞）恒成立，即a≤在（0，+∞）恒成立，即可，令t（x）=，只需a≤t（x）最小值∵x＞0，∴=，当且仅当=2x，时上式取等号，∴t（x）最小值∴a．（2）由（1）以及条件得：1＜a≤，∵h（x）=e3x﹣3ae x，∴h'（x）=3e3x﹣3ae x=3e x（e2x﹣a），令h'（x）=0得e2x=a，∴，∵1＜a≤，∴，∴≤=，∴，当0≤x＜时，2x＜lna，∴e2x＜e lna=a，∴e2x﹣a＜0，∴h'（x）＜0，∴h（x）在[0，]上递减；当x＞时，2x＞lna，∴e2x＞e lna=a，∴e2x﹣a＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在[，ln2]上递增；∴当时，函数h（x）取极小值，∴=﹣3a=﹣=．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．2016年9月10日。

2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数在复平面上的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．5．（3分）若向量的夹角为120°，，，则＝（）A．B．C．1D．26．（3分）若函数的最小正周期为，则f（x）图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．7．（3分）已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c8．（3分）在区间[﹣4，4]上任取一个实数a，使得方程表示双曲线的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin B＝2b sin C，cos B＝，b＝3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P 在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．11．（3分）若圆锥SO1，SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为4，，则这两个圆锥公共部分的体积为（）A．B．8πC．D．12．（3分）已知t＞2，点A（t，lnt），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4）），则△ABC 的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，ln2）C．D．二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）抛物线x2＝8y的焦点坐标为．14．（3分）设点（x，y）是不等式组表示的平面区域内的点，则过点（x，y）和点（﹣2，﹣4）的直线的斜率的取值范围是．15．（3分）函数f（x）＝x2﹣2x﹣1﹣|x﹣1|的所有零点之和等于．16．（3分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x，若对任意实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则cos（α1﹣α2）＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4＝6a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（1）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出6人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这6位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD 是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比．20．已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆C上，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，求的取值范围．21．已知函数（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k，求证：+≥．2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：，在复平面上的对应点为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．【解答】解：因为，所以∁R B＝{x|x＜}．又A＝{﹣1，0，1}，所以A∩（∁R B）＝{﹣1，0}．故选：D．3．【解答】解：输入x＝﹣1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3＝4，S6＝10，∴3a1+3d＝4，6a1+d＝10，联立解得：a1＝，d＝∴．故选：A．5．【解答】解：因为，又，，，所以，解得（舍去）或．故选：C．6．【解答】解：函数f（x）的最小正周期为，解得ω＝3.，令，解得，取k＝1，可得f（x）图象的一条对称轴为．故选：C．7．【解答】解：A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确．B，若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确．C，若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确．D，如图，由a∥b可得b∥α，易证b∥c，故D正确．故选：D．8．【解答】解：若方程表示双曲线，则（a+2）（a﹣3）＜0，解得﹣2＜a＜3．在区间[﹣4，4]上任取一个实数a，当a∈（﹣2，3）时，题中方程表示双曲线，由几何概型，可得所求概率为．故选：D．9．【解答】解：由a sin B＝2b sin C结合正弦定理可得ab＝2bc，则a＝2c．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得，解得，则a＝3．又，所以．故选：B．10．【解答】解：由可得．在△MCN中，CM＝CN＝2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a＝4或8．故选：B．11．【解答】解：易得S，O1，O2，O在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示．A1B1是圆锥SO1底面圆的直径，A2B2是圆锥SO2底面圆的直径，两直径都与OS垂直．在△OA1S中，SA1＝4，OA1＝OS＝4，则可得OO1＝O1S＝2．在△OA2S中，，则，则OA2⊥OS．又O2A2⊥O2S，所以点O，O2重合．这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为，高为O1S＝2，所以所求体积为．故选：A．12．【解答】解：如图，点A（t，lnt），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4））都在曲线y ＝lnx上，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，易得A1B1＝B1C1＝2，AA1＝lnt，BB1＝ln（t+2），CC1＝ln（t+4）．设△ABC的面积为S，则＝[lnt+ln （t+2）]+[ln（t+2）+ln（t+4）]﹣2[lnt+ln（t+4）]＝2ln（t+2）﹣lnt﹣ln（t+4）＝．又t＞2，则随t的增大而减小，，所以，即△ABC面积的取值范围为．故选：D．二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.13．【解答】解：抛物线x2＝8y中，p＝4，焦点在y轴上，则其焦点坐标为（0，2）；故答案为（0，2）．14．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A（1，1），B（1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．记P（﹣2，﹣4），过点（x，y）和点P（﹣2，﹣4）的直线的斜率为k，由图象可得k PB≤k≤k PC，而，所以，即过点（x，y）和点（﹣2，﹣4）的直线的斜率的取值范围为．故答案为：．15．【解答】解：令f（x）＝x2﹣2x﹣1﹣|x﹣1|＝0，则（x﹣1）2﹣|x﹣1|﹣2＝0．设t＝|x﹣1|≥0，则t2﹣t﹣2＝0，解得t＝﹣1（舍去）或t＝2．所以t＝|x﹣1|＝2，解得x＝﹣1或x＝3．所以函数f（x）有两个零点﹣1，3，它们之和等于﹣1+3＝2．故答案为：2．16．【解答】解：对任意实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则f（α1）为最小值，f（α2）为最大值．因为，而﹣1≤sin x≤1，所以当sin x＝﹣1时，f（x）取得最小值；当时，f（x）取得最大值．所以．所以cosα1＝0．所以．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）由a3+a4＝6a5，得6q2﹣q﹣1＝0，解得或．∵数列{a n}为递减数列，且首项为1，∴．∴．（2）∵，∴．两式相减得＝＝，∴．18．【解答】解：（1）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读10024124不经常阅读502676合计15050200则＝，∴有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关；（2）城镇居民150人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有50人．采取分层抽样抽取出6人，则其中经常阅读的有4人，记为A，B，C，D；不经常阅读的有2人，记为x，y．从这6人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，BC，BD，CD，Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，xy，共15种．被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有6种，∴所求概率为．19．【解答】证明：（1）取AD的中点为O，连接OP，OC，OB，设OB交AC于H，连接GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形．∴OB⊥AC，OB∥CD．∴CD⊥AC．∵△P AD为等边三角形，O为AD中点，∴PO⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD且平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面P AD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD．∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO．∴GH⊥CD．又∵GH∩AC＝H，∴CD⊥平面GAC．（2）三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比为：＝．20．【解答】解：（1）由题意，可知：∵椭圆C经过点，∴可将点P坐标代入椭圆方程，得：，又∵△PF1F2的面积为，∴，解得：c＝1．∵a2﹣b2＝c2＝1，即a2＝b2+1，∴可将a2＝b2+1代入，解得：a2＝2，b2＝1．∴椭圆C的方程为．（2）由（1），可知：F1（﹣1，0），F2（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若直线l的斜率不存在，则可得点A，B的坐标分别为，则＝（﹣2，），＝（﹣2，﹣）∴．②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：y＝k（x+1），代入椭圆方程，得：（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）＝0．∴△＝16k4﹣8（1+2k2）（k2﹣1）＝8k2+8＞0．∴，．∴＝＝＝．又∵k2≥0，∴．综上①②可知，的取值范围为．21．【解答】解：（1）＝，由f'（x）＝0得x＝1或x ＝a．当a＝1时，f'（x）≥0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增．当a＜1时，函数f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减．当a＞1时，函数f（x）在3，（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．（2）证明：要证∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1，即证x∈[0，+∞），f（x）min≥﹣1．①由（1）可知，当a＞1，x∈[0，+∞）时，f（x）min＝min{f（0），f（a）}．f（0）＝﹣1，．设，a＞1，则，∴g（a）在（1，+∞）单调递增，故，即f（a）＞﹣1．∴f（x）min＝﹣1．②当a＝1时，函数f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）min＝f（0）＝﹣1．③当3﹣e≤a＜1时，由（1）可知，x∈[0，+∞）时，f（x）min＝min{f（0），f（1）}．又∵f（0）＝﹣1，，∴f（x）min＝﹣1．综上，当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2＝4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）＝4，可得ρ2+3（ρsinθ）2＝4，则x2+y2+3y2＝4，则曲线E的直角坐标方程为；（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t＝2cosα，则B（2cosα，±sinα）．要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，﹣sinα）．∴＝＝．∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[﹣1，1]．当，即时，△AOB的面积取最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|x+1＝，当x＝1时，f（x）取得最小值，即k＝f（1）＝2；（2）证明：依题意，m2+4n2＝2，则m2+4（n2+1）＝6．所以＝＝，当且仅当，即m2＝2，n2＝0时，等号成立．所以．。