2020届高三数学 模拟考试(三)理 人教版

绝密★启用前2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==+>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1答案：A通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 解：对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-， 从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 点评：本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题. 2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．答案：C先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求. 解：由题意可知3223iz i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.点评：本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）A ．智能类专业共有630人B ．该学院共有3000人C ．非文化类专业共有1800人D ．动漫类专业共有800人 答案：D根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案. 解： 该学院共有300300010%=人，B 正确； 由题意可知，文化类共有115%18%12%10%5%40%-----=， 而智能类共有40%3%6%10%21%---=， 所以智能类专业共有300021%630⨯=人，A 正确； 非文化类专业共有300060%1800⨯=人，C 正确； 动漫类专业共有15%3000450⨯=人，故D 错误. 故选：D. 点评：本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.4．已知数列{}n a 是等比数列，48,a a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．22±B ．2C ．2±D ．2-根据韦达定理可得48,a a 均为正数，再通过等比数列的性质可得6a . 解：方程2840x x -+=的两根分别为48,a a ，48480084a a a a +>⎧∴⎨>==⎩，∴4800a a >⎧⎨>⎩，由等比数列性质可知24864a a a ==，62a ∴=±又26460,2a a q a =>∴=.故选：B. 点评：本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<答案：D先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 解：Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<. 故选：D. 点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要答案：B通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 解：当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥； 反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂， 所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．206+B ．216+C ．20D ．392答案：A由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可. 解：由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图()()''''111123,1223,222222ABCE CED C AA D S S S ∆=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯⨯=在'AED ∆中，''22125,22AE ED AD =+== 可计算'AD 3'122362AED S ∆∴=⨯=，从而可得该几何体的表面积为332634206++⨯=+. 故选：A. 点评：本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ） A ．4种 B ．5种C ．31种D ．36种答案：C分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可. 解：该小朋友连正确两对的方法数为25220C ⨯=种； 连正确3对的方法数为35110C ⨯=种；连正确4对(即5对)的方法数为1种，至少连正确两对的方法数共有2010131++=种， 故选：C. 点评：本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1答案：B通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.解：由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确.故选：B. 点评：本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．194答案：C由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值.解：因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 点评：本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，,E F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则FM =u u u u r（ ）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r rD ．241515a b -r r答案：A连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，将,FE FA u u u r u u u r用,AB AC u u u r u u u r表示，则可得21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用平面向量基本定理列方程组求解. 解：连接,FA FD ，。

南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．236． 37．2n ＋1－2 8．62 9．8310．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞) 13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································ 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分 (2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． ··································································· 10分 因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ． ·················································· 12分 又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ． 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ·································· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ··································· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ························································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······························· 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45． ········ 8分因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ······················· 10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22． ····· 12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4． ····································································· 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． ···························································· 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55． 化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ·············································· 4分 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85， 所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ············································· 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ······························································· 12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． ···························································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． ··········· 4分 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ·································································· 10分因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．① ········································································ 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0． 因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ················· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． ····················································· 16分 19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ··················································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ························································· 4分 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ··························································· 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ························································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx (4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ·················································· 6分因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)． ··························································· 8分 (3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． ···················································· 10分 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点． ························································· 12分 因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0， 所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． ············································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2n (n －1)2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n (n －1)2，n ∈N *． ·················· 2分(2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ············································ 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． ··········· 6分 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ···················· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ·············································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p )n ]． ································································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．··································································· 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ········································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ························································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． ············· 2分曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2 ······························ 4分＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ········································································ 6分当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ·················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ········································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ····························································· 10分 22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ·············································· 2分 因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ············································································· 4分 (2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ····································· 6分所以sin ＜n ，AB →＞＝317．设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ·························· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等 ． ········································································································ 10分 23．（本小题满分10分）解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35．所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125． ········································ 2分(2)证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C nn ×(25)n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C nn ＋1×(25)n ＋1×35；······································································································ 4分 ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n2n ×(25)n ＋1×(35)n ；则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n2n ×(25)n ＋1×(35)n＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]， ························ 6分因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]－(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]。

南京市2020届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2．若z ＝a 1＋i＋i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为 ▲ ．3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ▲ ． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f (π2)的值为▲ ．7．已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则{a n }的前n 项和为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A －B 1CD 1的体积为 ▲ ．（第6题图）10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，f (－x )，x ＞0，g (x )＝f (x －2)．若g (x －1)≥1，则x 的取值范围为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA →⊥OB →．若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ▲ ． 12．若对任意a ∈[e ，＋∞) (e 为自然对数的底数) ，不等式x ≤e ax＋b对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ▲ ．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ．若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为 ▲ ．14．在△ABC 中，∠A ＝π3，D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin B sin C 的最大值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点． 求证：（1）EF ∥平面PCD ；（2）平面PAB ⊥平面PCD ．16．(本小题满分14分)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝m ·n ＋12．（1）若f (x 2)＝1，x ∈(0，π)，求tan(x ＋π4)的值；（2）若f (α)＝－110， α∈(π2，3π4)，sin β＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．FEPBDCA(第15题图)17．(本小题满分14分)如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径85海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝55．现一艘科考船以105海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇． （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点 (－2，0)和 (1，32)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标； （3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．(第18题图)19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝e xx2－ax＋a(a∈R) ，其中e为自然对数的底数．（1）若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；（2）若函数f(x)的定义域为R，且f(2)＞f(a)，求a的取值范围；（3）证明：对任意a∈(2，4)，曲线y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20．(本小题满分16分)若数列{a n}满足n≥2，n∈N*时，a n≠0，则称数列{a na n＋1}(n∈N*)为{a n}的“L数列”．（1）若a1＝1，且{a n}的“L数列”为{12n}，求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＝n＋k－3(k＞0)，且{a n}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若a n＝1＋p n－1，其中p＞1，记{a n}的“L数列”的前n项和为S n，试判断是否存在等差数列{c n}，对任意n∈N*，都有c n＜S n＜c n＋1成立，并证明你的结论．南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0，a ∈R ．若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q (0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⊥AC 1． （1）求AA 1的长．（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等，并说明理由．23．(本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n ∈N *)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为P n ． （1）求P 1；（2）证明：P n ＋1＜P n ．(第22题图)A 1CABB 1C 1P南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．236． 37．2n ＋1－2 8．62 9．8310．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞)13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································ 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ． ·································································· 10分 因为PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA ． ················································· 12分 又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD ．因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ································ 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ··································· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ························································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······························· 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45． ········ 8分因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ······················ 10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22． ····· 12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4． ····································································· 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． ··············································(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ， 即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ··············································· 4分 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k2＝85， 即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ············································ 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ······························································ 12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． ···························································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． ··········· 4分 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32，所以M (－1，±32)． ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ································································· 10分因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．① ········································································ 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ················· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． ···················································· 16分 19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ··················································· 2分(2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ·························································· 4分 方法1由f (x )＝e x x 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2． ①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意．②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ···························································· 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减，所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ························································· 8分 方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e a a． 因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )． 设函数g (x )＝e x x(4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ·················································· 6分 因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减． 又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)． ··························································· 8分(3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2， 所以切线方程为y －e x 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)． 由0－e x 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)， 化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． ··················································· 10分 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)，则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ．因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立， 所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2．因为所以函数h (x )最多有三个零点． ························································ 12分 因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0， 所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． ············································ 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ， 所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2n (n －1)2． 又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n (n －1)2，n ∈N *． ··················· 2分(2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1．方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2． 因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ············································· 4分 因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)， 所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0． 当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意．············ 6分 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增． 当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ···················· 6分 当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k ，k ∈N*， ············································· 10分 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p ).(1p ＋1p 2＋ (1)n －1＋1p n )， 即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p)n ]． ································································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p． 设c n ＝n p ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1， 所以存在等差数列{c n }满足题意． ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ． ··································································· 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ········································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ························································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． ············· 2分 曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2······························· 4分 ＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ········································································ 6分 当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ··················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ········································ 10分 C ．选修4—5：不等式选讲证明：因为a ，b 为非负实数， 所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ····························································· 10分22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)， 所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ·············································· 2分因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ·············································································· 4分(2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)，所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量．又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，。

宁夏银川唐徕回民中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 理考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合M={032|<--x x x }，N={1)2(log |21≥-x x }，则M ∩N=（ ） A. [3,25]B. (25,2]C. [25,2] D. (3,25) 2. 若复数i m m m m )65()43(22--+--表示的点在虚轴上，则实数m 的值是（ ） A. -1B. +4C. +4和-1D. -1和63. 下列说法正确的个数为（ ） ①若||b a >，则22b a >②若b a >，d c >，则d b c a ->-③若b a >，d c >，则bd ac > ④若0>>b a ，0<c ，则bc a c > A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知圆0138222=+--+y x y x 截直线01=-+y ax 所得的弦长为32，则a =（ ）A. 34-B. 43-C. 3D. 25. 已知m l ,是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断： ①m l ⊥ ②α//m ③α⊥l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，则其可以构成______个正确命题. A. 0B. 1C. 2D. 36. 某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5kg ；第二网捞出25条，称得平均每条鱼 3kg ；第三网捞出35条，称得平均每条鱼2kg ，则估计鱼塘中鱼的总质量为（ ） A. 186200kgB. 196000kgC. 190000kgD. 186250kg7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,，若cos 2b a =A ，B=3π，C=1，则△ABC 的面积为（ ）A.83 B.63 C.43 D.23 8. 在边长为2的等边三角形ABC 中，若D 是BC 边上的中点，点P 是线段AD 上的一动点，则·的取值范围是（ ）A. [-1.0]B. [-1,1]C. [43-,∞+) D. [43-,0] 9. 如图，已知函数)62tan(3π+=x y 的部分图像与坐标轴分别交于点D ，E ，F ，则△DEF 的面积等于（ ）A.4π B.2πC. πD. π210. 已知函数x x x f cos 41)(2+=的图像在点（)(,t f t ）处的切线的斜率为k ，则函数)(t g k =的 大致图像是（ ）11. 已知三棱锥D —ABC 四个顶点均在半径为R 的球面上，且AB=BC=2，AC=2，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）A.π81500B.π9100C.π925D. π412. 已知F 1，F 2是椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为63的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=1200，则C 的离心率为（ ） A.31B.21 C.32 D.41第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线C ：14222=-y a x 的焦距为34，则C 的离心率为 . 14. 已知55)4cos(=+πα，∈α(0，2π），则αtan = . 15. 《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

绝密★启用前2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B 中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.故选：C．点评：考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于容易题．2．已知复数z满足（1﹣i）•z＝3i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i答案：B利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解：（1﹣i ）•z ＝|3+i|，∴（1+i ）（1﹣i ）•z ＝2（1+i ），则z ＝1+i ． 故选：B ． 点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于容易题． 3．已知x •log 32＝1，则4x ＝（） A ．4 B ．6C ．432logD ．9答案：D利用对数的性质和运算法则及换底公式求解． 解：∵x •log 32＝1， ∴x ＝log 23，∴4x 243944log log ===9， 故选：D ． 点评：本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用，属于容易题．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A ．与非O 型血相比，O 型血人群对COVID ﹣19相对不易感，风险较低B ．与非A 型血相比，A 型血人群对COVID ﹣19相对易感，风险较高C ．与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID ﹣19的易感性要高 D ．与A 型血相比，非A 型血人群对COVID ﹣19都不易感，没有风险答案：D根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答． 解：根据A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知： A 型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感； 故而D 选项明显不对． 故选：D ． 点评：本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于中档题5．在二项式2()nx x-的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（） A ．﹣360 B ．﹣160 C ．160 D ．360答案：B根据展开式二项式系数最大，求出n ＝6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可． 解：∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大， ∴展开式共有7项，则n ＝6， 则展开式的通项公式为T k+1＝C 6kx 6﹣k （2x-）k ＝（﹣2）k C 6kx 6﹣2k ， 由6﹣2k ＝0得k ＝3，即常数项为T 4＝（﹣2）3C 36=-160， 故选：B ． 点评：本题主要考查二项展开式的应用，求出n 的值，结合展开式的通项公式是解决本题的关键．属于中档题．6．在△ABC 中，已知sin 2sin cos C A B =，则△ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形答案：B根据三角形内角和定理以及诱导公式,将sin 2sin cos C A B =化为sin()2sin cos A B A B +=,再根据两角和的正弦公式和两角差的正弦公式的逆用公式化为in 0()s A B -=,最后根据,A B 的范围,可得A B =.解：在△ABC 中,因为sin 2sin cos C A B =, 所以sin[()]2sin cos A B A B π-+=, 所以sin()2sin cos A B A B +=所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=, 所以sin cos cos sin 0A B A B -=, 所以in 0()s A B -=, 所以,A B k k Z π-=∈, 因为0,0A B ππ<<<<, 所以0,k A B ==,所以△ABC 一定是等腰三角形. 故选:B 点评：本题考查了三角形的内角和定理,考查了诱导公式,考查了两角和与差的正弦公式,属于基础题.7．已知两个单位向量,a b →→的夹角为120°，若向量c →═2a b →→-，则a →•c →=（） A ．52B ．32C ．2D ．3答案：A根据平面向量的数量积定义，计算即可． 解：由题意知|a →|＝|b →|＝1，且a →•b →=1×1×cos120°12=-，又向量c →═2a b →→-，所以a →•c →=22a a →→-•b →=2×1﹣（12-）52=．故选：A ． 点评：本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．8．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线()222210＞，＞0-=y x a b a b 上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3答案：B利用已知条件求出方程组，得到a ，c ，即可求解双曲线的离心率． 解：双曲线22221(0y x a b a b-=＞，＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22可得：22222222c a bca b c a b -=⎧=+=+⎩，解得a ＝1，c ＝3，b ＝2， 所以双曲线的离心率为：e ca==3． 故选：B ． 点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，属于中档题．9．设函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜则下列结论错误的是（）A ．函数f （x ）的值域为RB ．函数f （|x|）为偶函数C ．函数f （x ）为奇函数D ．函数f （x ）是定义域上的单调函数答案：A根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，f （x ）＝2x +1＞2，当x ＜0时，f（x ）＝﹣2﹣x﹣1＝﹣（2﹣x+1）＜﹣2，其值域不是R ，A 错误；对于B ，函数f （|x|），其定义域为{x|x ≠0}，有f （|﹣x|）＝f （|x|），函数f （|x|）为偶函数，B 正确；对于C ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，﹣x ＜0，有f （x ）＝2x +1，f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝﹣2﹣x﹣1，反之当x ＜0时，﹣x ＞0，有f （x ）＝﹣2x﹣1，f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝2x +1，综合可得：f （﹣x ）＝﹣f （x ）成立，函数f （x ）为奇函数，C 正确；对于D ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，f （x ）＝2x+1＞2，f （x ）在（0，+∞）为增函数，当x ＜0时，f （x ）＝﹣2﹣x﹣1＜﹣2，f （x ）在（﹣∞，0）上为增函数，故f （x ）是定义域上的单调函数； 故选：A ． 点评：本题考查分段函数的性质，涉及函数的值域、奇偶性、单调性的分析，属于中档题． 10．已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）（ω＞0，02πϕ＜＜）的最小正周期为π，且关于08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称，则下列结论正确的是（） A ．f （1）＜f （0）＜f （2） B ．f （0）＜f （2）＜f （1） C ．f （2）＜f （0）＜f （1） D ．f （2）＜f （1）＜f （0）答案：D根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可． 解：∵函数的最小周期是π， ∴2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝sin （2x+φ）， ∵f （x ）关于08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称，∴2×（8π-）+φ＝k π，k ∈Z ， 即φ＝k π4π+，k ∈Z ，∵02πϕ＜＜，∴当k ＝0时，φ4π=，即f （x ）＝sin （2x 4π+），则函数在[8π-，8π]上递增，在[8π，58π]上递减，f （0）＝f （4π）， ∵4π＜1＜2，∴f （4π）＞f （1）＞f （2）， 即f （2）＜f （1）＜f （0）， 故选：D ． 点评：本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键，属于中档题．11．已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）＝x ﹣[x]，则函数x xg x f x e=+（）（）的零点个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B函数x x g x f x e =+（）（）的零点个数，即方程xxf x e =-（）的零点个数，也就是两函数y＝f （x ）与y x xe=-的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案． 解：函数x x g x f x e =+（）（）的零点个数，即方程xxf x e =-（）的零点个数，也就是两函数y ＝f （x ）与y x xe =-的交点个数．由y x x e =-，得y ′21x x xx e xe x e e--=-=． 可知当x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减，当x ＞1时，y ′＞0，函数单调递增．作出两函数y ＝f （x ）与y xxe =-的图象如图：由图可知，函数xxg x f x e =+（）（）的零点个数为2个． 故选：B ． 点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，3AC =，D 为AC 上的一点（不含端点），将△BCD 沿直线BD 折起，使点C 在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是（） A ．（12，1） B ．（12，32） C ．（32，1） D ．（0，32） 答案：A由题意，OC ⊥平面ABD ，根据三余弦定理，线线角的余弦值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积，从而求解. 解：由题意，OC ⊥平面ABD ， 如图：设∠CBD ＝θ，∠CBO ＝θ1，则∠ABD ＝60°-θ；则cos θ＝cos θ1×cos （60°﹣θ） 所以cos θ1()6013cos cos tan θθθ==︒-+∵θ∈（30°，60°）； ∴OB ＝cos θ1∈（12，1）． 故选：A ．本题考查△ABC 的折叠和三余弦定理（最小角定理），要求熟悉余弦定理，属于中档题． 二、填空题13．已知cossin22αα-=，则sin α＝_____． 答案：45将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解． 解：∵225cossinαα-=， ∴两边平方可得：cos 22α+sin 22α-2cos 1sin 225αα=，可得1﹣sin α15=， ∴sin α45=． 故答案为：45．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于容易题．14．若曲线f （x ）＝e x cosx ﹣mx ，在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为34π，则实数m ＝_____． 答案：2对函数求导，然后得f ′（0）314tan π==-，由此求出m 的值． 解：f ′（x ）＝e x（cosx ﹣sinx ）﹣m ．∴3'0114f m tan π=-==-（）． ∴m ＝2． 故答案为：2 点评：本题考查导数的几何意义以及切线问题．抓住切点处的导数为切线斜率列方程是本题的基本思路．属于容易题．15．已知F 1，F 2是椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，P 是椭圆C ．上的一点，∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的面积为43，则b ＝_____． 答案：2根据正余弦定理可得PF 1•PF 2＝16且4c 2＝（2a ）2﹣16，解出b 即可． 解：△F 1PF 2的面积12=PF 1•PF 2sin120°34=PF 1•PF 2＝43，则PF 1•PF 2＝16， 又根据余弦定理可得cos120°2221212122PF PF F F PF PF +-=⋅，即4c 2＝PF 12+PF 22+16＝（2a ）2﹣32+16，所以4b 2＝16，解得b ＝2， 故答案为：2． 点评：本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____． 答案：433设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，用h 表示出a ，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V 取最大值时对应的h 值． 解：设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，如图所示；则h 2+2a 2＝（2×2）2， 所以a 2＝812-h 2，所以正四棱柱容器的容积为V ＝a 2h ＝（812-h 2）h 12=-h 3+8h ，h ∈（0，4）；求导数得V ′32=-h 2+8，令V ′＝0，解得h 3=，所以h ∈（0，3）时，V ′＞0，V （h ）单调递增；h ，4）时，V ′＜0，V （h ）单调递减；所以h =时，V 取得最大值．故答案为：3． 点评：本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题． 三、解答题17．若数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n+123n S =． （1）求S n ； （2）设b n 1n s =，求证：b 1+b 2+b 3+…+b n 52＜． 答案：（1）S n ＝（53）n ﹣1；（2）详见解析． （1）由数列的递推式：a n+1＝S n+1﹣S n ，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得b n 1n s ==（35）n ﹣1，由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 解： （1）a n+123n S =，可得a n+1＝S n+1﹣S n 23=S n ， 由a 1＝1，可得S 1＝1，即S n+153=S n ，可得数列{S n }是首项为1，公比为53的等比数列， 则S n ＝（53）n ﹣1；（2）证明：b n 1n s ==（35）n ﹣1， 则b 1+b 2+b 3+…+b n 31()55532215n-==--•（35）n 52＜．点评：本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查定义法和运算能力、推理能力，属于中档题．18．如图，已知点S 为正方形ABCD 所在平面外一点，△SBC 是边长为2的等边三角形，点E 为线段SB 的中点．（1）证明：SD//平面AEC ；（2）若侧面SBC ⊥底面ABCD ，求平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值． 答案：（1）详见解析；（215． （1）连接BD 交AC 于F ，连接EF ，由已知结合三角形的中位线定理可得EF ∥SD ，再由直线与平面平行的判定可得SD ∥平面AEC ；（2）取BC 的中点O ，连接OF 并延长，可知OF ⊥OC ，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得：OS ⊥OF ，OS ⊥OC ，建立空间直角坐标系，分别求出平面CDS 与平面ACE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值． 解：（1）证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF ，∵ABCD 为正方形，F 为BD 的中点，且E 为BS 的中点， ∴EF ∥SD ．又SD ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ， ∴SD ∥平面AEC ；（2）取BC 的中点O ，连接OF 并延长，可知OF ⊥OC ，在等边三角形SBC 中，可得SO ⊥BC ，∵侧面SBC ⊥底面ABCD ，且侧面SBC ∩底面ABCD ＝BC ， ∴SO ⊥平面ABCD ，得OS ⊥OF ，OS ⊥OC ．以O 为坐标原点，分别以OF ，OC ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得：A （2，﹣1，0），C （0，1，0），E （0，12-3，D （2，1，0），S （0，03． ()200CD →=，，，(03CS →=-，，，()220AC →=-，，，1322AE →⎛=- ⎝⎭，，． 设平面CDS 与平面ACE 的一个法向量分别为()n x y z ，，=，()111m x y z =，，．由2030n CD x n CS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取z ＝1，得()031n →=，，； 由1111122013202m AC x y m AE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取x 1＝1，得(3m →=，，． ∴cos231525m nm n m n→→→→→→⋅===⋅＜，＞． ∴平面ACE 与平面SCD 15． 点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定、法向量与数量积的应用、空间角，考查空间想象能力与思维能力、计算能力，属中档题．19．2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X （40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？ 答案：（1）485512；（2）3． （1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P （A ）38=，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，，设物流公司每天的营业利润为Y ，若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 解：（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”， 则P （A ）38=， ∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p 22120333335355485()()()88888512C C C ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，， 设物流公司每天的营业利润为Y ， 若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，P（Y＝4000）78=，P（Y＝1600）18=，∴Y的分布列为：∴E（Y）＝4000160086⨯+⨯=3700元．若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，P（Y＝6000）58 =，P（Y＝3600）14 =，P（Y＝1200）18 =，∴Y的分布列为：∴E（Y）600036001200848=⨯+⨯+⨯=4800元，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，P（Y＝8000）18 =，P（Y＝5600）12 =，P（Y＝3200）14 =，P（Y＝800）18 =，∴Y的分布列为：∴E（Y）8000560032008008248=⨯+⨯+⨯+⨯=4700，∵4800＞4700＞3700＞2000，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 点评：本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝ax ﹣（a+2）lnx 2x-+2，其中a ∈R ． （1）当a ＝4时，求函数f （x ）的极值；（2）试讨论函数f （x ）在（1，e ）上的零点个数．答案：（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析．（1）把a ＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求． 解：（1）当a ＝4时，f （x ）＝4x ﹣6lnx 2x -+2，()()22221162'4x x f x x x x--=-+=（），x ＞0，易得f （x ）在（0，12），（1，+∞）上单调递增，在（112，）上单调递减， 故当x 12=时，函数取得极大值f （12）＝6ln2，当x ＝1时，函数取得极小值f （1）＝4，（2）()()222122'ax x a f x a x x x--+=-+=（）， 当a ≤0时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，f （x ）＜f （1）＝a ≤0，此时函数在（1，e ）上没有零点；当a ≥2时，f （x ）在（1，e ）上单调递增，f （x ）＞f （1）＝a ≥2，此时函数在（1，e ）上没有零点； 当02a e≤＜即2e a ≥时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，由题意可得，1020f a f e ae a e =⎧⎪⎨=--⎪⎩（）＞（）＜， 解可得，0()21a e e -＜＜，当22a e ＜＜即21e a＜＜时，f （x ）在（1，2a ）上单调递减，在（2e a ，）上单调递增， 由于f （1）＝a ＞0，f （e ）＝a （e ﹣1）()2224120e e e e e ---=-＞＞，令g （a ）＝f （2a ）＝2﹣（a+2）ln 2a-a+2＝（a+2）lna ﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h （a ）2'2g a lna ln a ==+-（），则22'a h a a-=（）＜0， 所以h （a ）在（22e ，）上递减，h （a ）＞h （2）＝1＞0，即g ′（a ）＞0， 所以g （a ）在（22e ，）上递增，g （a ）＞g （2e ）＝240e-＞， 即f （2a）＞0，所以f （x ）在（1，e ）上没有零点， 综上，当0＜a ()21e e -＜时，f （x ）在（1，e ）上有唯一零点，当a ≤0或a ()21e e ≥-时，f （x ）在（1，e ）上没有零点．点评：本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．21．已知动直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，且点M 在x 轴上方．（1）若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q ，若|FQ|＝8，求直线l 的斜率； （2）设点P （x 0，0），若点M 恒在以FP 为直径的圆外，求x 0的取值范围．答案：（1）3±；（2）x 0∈[0，1）∪（1，9）． （1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得MN 的中点坐标，进而可得MN 的中垂线方程，令y ＝0可得Q 的坐标，进而求出|QF|的值，由题意可得直线l 的斜率；（2）由题意可得∠FMP 为锐角，等价于MF MP →→⋅＞0，求出MF MP →→⋅的表达式，换元等价于h （t ）＝t 2+（3﹣x 0）4+x 0，t ＞0恒成立，分两种情况求出x 0取值范围． 解：（1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x ＝ty+1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），线段MN 的最大E （x 0，y 0），联立直线与抛物线的方程可得：214x ty y x =+⎧⎨=⎩，整理可得y 2﹣4ty ﹣4＝0， 所以y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，所以y 0＝2t ，x 0＝ty 0+1＝2t 2+1，即E （2t 2+1，2t ）， 故线段MN 的中垂线方程为：y ﹣2t ＝﹣t （x ﹣2t 2﹣1）， 令y ＝0，则Q （2t 2+3，0）， 所以|FQ|＝|22+3﹣1|＝8， 解得t =，所以直线l 的斜率k 1t ==； （2）点M 恒在以FP 为直径的圆外，则∠FMP 为锐角，等价于MF MP →→⋅＞0，设M （214y ，y 1），F （1，0），P （x 0，0），则MP →=（x 0214y -，﹣y 1），MF →=（1214y -，﹣y 1），故MF MP →→⋅=（x 0214y -）（1214y -）+y 1242113164y y =++（1214y -）x 0＞0恒成立， 令t 214y =，t ＞0，原式等价于t 2+3t+（1﹣t ）x 0＞0对任意t ＞0恒成立，即t 2+（3﹣x 0）4+x 0＞0对任意t ＞0恒成立， 令h （t ）＝t 2+（3﹣x 0）4+x 0，t ＞0， ①△＝（3﹣x 0）2﹣4x 0＜0，即1＜x 0＜9，②0030200x h ∆≥⎧⎪-⎪≤⎨⎪≥⎪⎩（），解得0≤x 0≤1，又因为x 0≠1，故x 0∈[0，1）， 综上所述x 0∈[0，1）∪（1，9）． 点评：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合及点在圆外的性质，属于中难题． 22．如图，在极坐标系中，曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，曲线C 2是以22C π⎫⎪⎭，为圆心的圆，曲线C 1、C 2都过极点O ．（1）分别写出半圆C 1，C 2的极坐标方程； （2）直线l ：()3R πθρ=∈与曲线C 1，C 2分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为C 2上的动点，求△PMN 面积的最大值． 答案：（1）1:C 802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2:C ()230sin ρθθπ=≤≤；（2）334． （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果． 解：（1）曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， 曲线C 2是以232C π⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心的圆，转换为极坐标方程为()230sin ρθθπ=≤≤．（2）由（1）得：|MN|＝|823|133M N cossinππρρ-=-=．显然当点P 到直线MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大． 此时点P 为过C 2且与直线MN 垂直的直线与C 2的一个交点， 设PC 2与直线MN 垂直于点H ， 如图所示：在Rt △OHC 2中，|223|6HC OC sinπ==所以点P 到直线MN 的最大距离d 22333||3C HC r =+==， 所以113333122PMNSMN d =⨯⋅=⨯=点评：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|． （1）解关于x 的不等式f （x ）≤5；（2）若函数f （x ）的最小值记为m ，设a ，b ，c 均为正实数，且a+4b+9c ＝m ，求11149a b c++的最小值．答案：（1）{x|﹣2≤x ≤3}；（2）3．（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后根据f （x ）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f （x ）的最小值m ，然后由a+4b+9c ＝m ，根据111111149349a b c a b c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭（a+4b+9c ），利用基本不等式求出11149a b c++的最小值． 解：（1）f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|212312211x x x x x -⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜． ∵f （x ）≤5， ∴2152x x -≤⎧⎨⎩＞或﹣1≤x ≤2或2151x x -+≤⎧⎨-⎩＜，∴﹣2≤x ≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x ≤3}．（2）∵f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|⩾|（x ﹣2）﹣（x+1）|＝1 ∴f （x ）的最小值为1，即m ＝3， ∴a+4b+9c ＝3．()11111114949349a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 14499334949b a b c c a a b c b a c ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭21 1323⎛+= ⎝3， 当且仅当1493a b c ===时等号成立， ∴11149a b c++最小值为3． 点评：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

湖北省黄冈中学2020届高三5月第三次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．根据复数的几何意义，复数z 都可以表示为)20)(sin (cos ||πθθθ<≤+=i z z ，其中||z 为z 的模，θ称为z 的辐角.已知i z 33-=，则z 的辐角为（ ）A ．32π B ．34π C ．5 D ．611π 2．已知:p “100>a ”，q ：“2110log <a ”，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1510=a ，且72S S =，则=8a （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．下图是某企业产值在2020年~2020年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（ ）A. 2020年产值比2020年产值少B. 从2020年到2020年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2020年D. 2020年的产值年增长率可能比2020年的产值年增长率低5．已知点)4,1(-P ，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．y x 412=B ．y x 42=或x y 162-=C ．x y 162-=D ．y x 412=或x y 162-=6．已知)2,2(,ππβα-∈，βαtan ,tan 是方程010122=++x x 的两根，则=+2tan βα（ ）A ．34B ．2-或21C ．21D ．2-7．陶艺选修课上，小明制作了空心模具，将此模具截去一部分后，剩下的几何体三视图如图所示，则剩下的模具体积为（ ）A ．π312-B ．π212-C ．π38-D ．π+88．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：1161.0)320sin(,3420.020sin 0≈≈）A ．24,180sin210n n S ⨯⨯= B ．18,180sin 210n n S ⨯⨯= C ．54,360sin210n n S ⨯⨯= D ．18,360sin 210nn S ⨯⨯= 9．对33000分解质因数得115323300033⨯⨯⨯=，则33000的正偶数因数的个数是（ ） A ．48 B ．72 C ．64 D ．96 10．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则（ ）A.)()()(c f b f a f <<B. )()()(a f c f b f <<C.)()()(b f c f a f <<D. )()()(a f b f c f <<11．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰∆Rt ，2=AB ，2π=∠=∠CBD BAD ，且二面角C BD A --的大小为65π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．π12B ．π20C ．π24D ．π3612．直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，CD AD AB 22==.若P 为ABC ∆边上的一个动点，且AD n AB m AP +=，则下列说法正确的是（ ）A ．满足21=m 的P 点有且只有一个 B ．n m 21-的最大值不存在 C ．n m +的取值范围是]23,0[ D ．满足1=+n m 的点P 有无数个二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知n x x )12(32-展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值是 .14．某旅行团按以下规定选择E D C B A ,,,,五个景区游玩：①若去A ，则去B ；②C B ,不能同时去；③D C ,都去，或者都不去；④E D ,去且只去一个；⑤若去E ，则要去A 和D .那么，这个旅游团最多能去的景区为 .15．已知双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ，以虚轴为直径的圆O 与C 在第一象限交于点M ，若2MF 与圆O 相切，则双曲线C 的离心率为 .16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….若第n 次“扩展”后得到的数列为1，1x ，2x ，…，t x ，2，并记)21(log 212⋅⋅⋅⋅=t n x x x a Λ，其中12-=n t ，*N n ∈，则数列}{n a 的前n 项和为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为c b a ,,，且满足22)(,1c b bc a bc -=-= （1）求ABC ∆的面积； （2）若41cos cos =C B ，求ABC ∆的周长. 18．如图，矩形ABCD 中，42==AB AD ，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与DCE ∆折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直.（1）求证：//BC 平面ADE ； （2）求二面角C BE A --的余弦值.19.随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过kg 1的包裹收费10元；重量超过kg 1的包裹，在收费10元的基础上，每超过kg 1（不足kg 1，按kg 1计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？20．如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为21,F F ，⊥2MF x 轴，直线1MF 交y 轴于H 点，42||=OH ，Q 为椭圆E 上的动点，Q F F 21∆的面积最大值为1. （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点)0,4(S 作两条直线与椭圆E 分别交于D C B A ,,,，且使x AD ⊥轴，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21．已知函数x ae ax x x f -+=221)(，)(x g 为)(x f 的导函数. （1）求函数)(x g 的单调区间；（2）若函数)(x g 在R 上存在最大值，求函数)(x f 在),0[+∞上的最大值； （3）求证：当0≥x 时，)sin 23(3222x e x x x-≤++.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点O 重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线C 的极坐标方程是)4sin(22πθρ-=.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0）.设)2,1(P ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数aa x x f 21||)(+-=（0≠a ）. （1）若不等式1)()(≤+-m x f x f 恒成立，求实数m 的最大值； （2）当21<a 时，函数|12|)()(-+=x x f x g 有零点，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．10 14．C 和D 15．3 16．43231-+=+n S n n三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解：（1）∵bc a c b =-+222，∴21cos =A ，即060=A ， ∴43sin 21==∆A bc S ABC ；（2）∵21)cos(cos =+-=C B A ，∴21cos cos sin sin =⋅-⋅C B C B 由题意，41cos cos =⋅C B ，∴43sin sin =⋅C B ， ∵34sin sin )sin (2==C B bc A a ，∴1=a ， ∴3)(12)(22222-+=--+=-+c b bc c b a c b ∵1222=-+a c b ，∴2=+c b ． ∴ABC ∆的周长为321=+=++c b a ．18.解：（1）分别取DE AE ,中点N M ,，分别连接MN CN BM ,,，则AE BM ⊥且DE CN ⊥∵平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直， ∴⊥BM 平面⊥CN ADE ,平面ADE ，由线面垂直性质定理知CN BM //，又CN BM =， ∴四边形BCNM 为平行四边形，MN BC // 又⊄BC 平面ADE ，∴//BC 平面ADE .（2）如图，以E 为原点，EA ED ,为x ，y 正半轴，建立空间直角坐标系xyz E -，则)2,0,2(),2,2,0(C B .平面ABE 的一个法向量)0,0,1(1=n ，设平面CBE 的法向量),,(2z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅02202222z x EC n z y EB n ，取1-=y 得)1,1,1(2--=n ∴3331||||,cos 212121-=-=<n n n n ，注意到此二面角为钝角， 故二面角C BE A --的余弦值为33-. 19. 解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率363605f ==， 故可估计概率为35， 显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数X 服从二项分布，即3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为32252314455625C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为830415100+⨯=，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为26015310010003⨯⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为2351521009753⨯⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司不应将前台工作人员裁员1人.20．解：（1）设)0,(c F ，由题意可得12222=+b y a c ，即ab y M 2=∵OH 是12F F M ∆的中位线，且4OH =∴2MF =，即2b a =，整理得242a b =.①又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时， 12F F M ∆的面积最大， ∴1212c b ⨯⨯=，整理得1bc =，即()2221b a b -=，② 联立①②可得1246=-b b ，变形得0)12)(1(242=++-b b b ，解得12=b ，进而22=a∴椭圆E 的方程为1222=+y x （2）设),(),,(2211y x C y x A ，则由对称性可知),(),,(2211y x B y x D -- 设直线AC 与x 轴交于点)0,((t ，直线AC 的方程为)0(≠+=m t my x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x t my x ，消去x ，得022)2(222=-+++t mty y m ，∴22,222221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，由A B S 、、三点共线AS BS k k =，即121244y y x x -=--， 将11x my t =+， 22x my t =+代入整理得()()122140y my t t y my t +-++-=， 即()()1212240my y t y y +-+=，从而()()22222402m t mt t m ---=+，化简得()2420m t -=，解得12t =，于是直线AC 的方程为12x my =+， 故直线AC 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.同理可得BD 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭， ∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭. 21．解：（1）由题意可知，xae a x x f x g -+==)(')(，则xae x g -=1)('当0)('>x g ，∴)(x g 在),(+∞-∞上单调递增；当0>a 时，解得a x ln -<时，0)('>x g ，a x ln ->，0)('<x g ，∴)(x g 在)ln ,(a --∞上单调递增，在),ln (+∞-a 上单调递减.综上，当0≤a 时，)(x g 的单调递增区间为),(+∞-∞，无递减区间；当0>a 时，)(x g 的单调递增区间为)ln ,(a --∞，单调递减区间为),ln (+∞-a . （2）由（1）可知，0>a 且)(x g 在a x ln -=处取得最大值，1ln ln )ln (1ln--=-+-=-a a aea a a g e，即01ln =--a a ，观察可得当1=a 时，方程成立令)0(1ln )(>--=a a a a h ，aa a a h 111)('-=-= 当)1,0(∈a 时，0)('<a h ，当),1(+∞∈a 时，0)('>a h∴)(a h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，∴0)1()(=≥h a h ，∴当且仅当1=a 时，01ln =--a a ， 所以x e x x x f -+=221)(，由题意可知0)()('≤=x g x f ，)(x f 在),0[+∞上单调递减， 所以)(x f 在0=x 处取得最大值10021)0(02-=-+⨯=e f . （3）由（2）可知，若1=a ，当0≥x 时，1(-≤fx ，即1212-≤-+x e x x ，可得2222-≤+x e x x ，)sin 23(322)sin 23(32222x e e x e x x x x x --+-≤--++令1]2)3sin 2([12)3sin 2()(2++-=++-=x e e e x e x F x x x x ，即证0)(≤x F令2)3sin 2()(+-=x e x G x ，]3)4sin(22[)3cos 2sin 2()('-+=-+=πx e x e x G x x ∵1)4sin(≤+πx ∴03)4sin(22<-+πx ，又0>x e ，∴ 0]3)4sin(22[<-+πx e x ，∴0)('<x G ，)(x G 在),0(+∞上单调递减，1)0()(-=≤G x G ，∴01)(≤+-≤x e x F ，当且仅当0=x 时等号成立所以)sin 23(3222x e x x x -≤++.22．解：（1）曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，化为)cos 22sin 22(222θθρρ-= 化为)cos 2sin 22θρθρρ-=，∴x y y x 2222-=+曲线C 的方程为2)1()1(22=-++y x当0=α时，直线2:=y l代入曲线C 可得11±=+x ，解得0=x 或2-∴2||=AB .（2）将⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x 代入到2)1()1(22=-++y x 得，03)sin 2cos 4(2=+++t t αα由0>∆，得012)sin 2cos 4(2>-+αα 化简得1)(sin 532≤+<ϕα（其中2tan =ϕ）， ∴3),sin 2cos 4(2121=++-=+t t t t αα∴212212221222)(||||t t t t t t PB PA -+=+=+ 6)(sin 206)sin 2cos 4(22-+=-+=ϕααα∴22||||PB PA +]14,6(∈.23．解：（1）∵)21|(|21||)()(a a m x a a x m x f x f +-+-+-=+- ||||a m x a x -+--=|||)()(|m a m x a x =-+--≤，∴1||≤m即m 的最大值为1.（2）ax a x x x f x g 21|12||||12|)()(+-+-=-+= 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--+<≤+-+-<+++-=21,121321,121,1213)(x a a x x a a a x a x a a x x g ∴)(x g 在]21,(-∞上是减函数，在),21[+∞上是增函数， ∴a a a a g x g -+=--+⨯==2121121213)21()(min 由题意得02121≤-+a a 解得021<≤-a 或1≥a 又21<a ， ∴a 的取值范围是}021|{<≤-a a .。

2019年河南省郑州市高考第三次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有： =32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有： =24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有： =8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有： =1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc 即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈=e2﹣=（x﹣2），当x∈．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4， 5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h （x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。

安徽省合肥市2020届高三高考数学（理科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R C A B =（ ）A.{}23x x << B.{}23x x ≤<C.{}023x x x <≤<或D.{}023x x x ≤≤<或2.若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，z 1＝1+i ，则12z z ⋅＝（ ） A.﹣2B.﹣2iC.2D.2i3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为（ ） A.59B.49C.445D.21354.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个顶点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.35.“关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ） A.113a << B.12a ≥C.213a << D.112a ≤<6.已知tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝（ ）A.19C.137.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A.10101010887⨯-斗B.9101010887⨯-斗C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +b ＝2c cos B ，则2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A. B.3C. D.49.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝6，AA 1＝2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD ＝∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于（ ）A.23πB.πC.43π11.已知不等式e x ﹣x ﹣1＞m [x ﹣ln （x +1）]对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.（﹣∞，1]D.（﹣∞，e ]12.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝G ，H 分别为直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P .若2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是点N ，则PMN 的周长为（ ）A.12B.16C.24λD.32λ第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．14.在544x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2的系数为______. 15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c .点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D .在下列所给的命题中，正确的有______.（请写出所有正确命题的编号） ①三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为（a 2+b 2+c 2）π； ②S A •S △BCO ＝S D 2； ③S A 3＜S B 3+S C 3+S D 3；④若三条侧棱与底面所成的角分别为α1，β1，γ1，则sin 2α1+sin 2β1+sin 2γ1＝1； ⑤若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为α2，β2，γ2，则cos 2α2+cos 2β2+cos 2γ2＝1.三、解答题（题型注释）17.已知函数()cos (sin )f x x x x ωωω=+（ω＞0）. （1）求函数f （x ）的值域；（2）若方程f （x [0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围. 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，11AC ，M 为线段AC 的中点.（1）求证：平面1BMC ⊥平面11A BC ； （2）求点C 到平面11A BC 的距离.19.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.20.已知函数()x x f x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R. （1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2214x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线P A 的位置关系，并说明理由.22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.D【解析】1.先求得集合{|0R C A x x =≤或2}x ≥，再结合集合的交集运算，即可求解. 由题意，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<， 则{|0R C A x x =≤或2}x ≥，所以()R C A B ={0x x ≤或23}x ≤<.故选：D. 2.B【解析】2.首先求2z ，再根据运算法则求12z z ⋅的值. 由条件可知21z i =--()()12112z z i i i ∴⋅=+--=-，故选：B 3.C【解析】3.基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=，每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区的概率.解：从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，每个小区安排2人，则基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=， 每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为：849045m P n ===， 故选：C 4.D【解析】4.写出其中一条渐近线方程by x a=，整理成一般式0bx ay -=，顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离公式即可求解.渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 所以顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离2a d ==即12b c =，所以a c =离心率c e a ==故选：D 5.C【解析】5.首先根据题意得到221xxa =+，令2x t =，()111f t t =-+，再根据()f t 的范围结合选项即可得到答案.由题知：()212xxa +=，221xxa =+，令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++， 因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C 6.B【解析】6.到1tan 3πα⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而注意到2tan tan 333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并利用两角和差的正切公式计算.11tan 3πα-⎛⎫⎪⎪=-=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2tan tan 333πππαα+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,故选：B. 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可． 由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10； 设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-；∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.B【解析】8.应用余弦定理化角为边，然后变形后应用基本不等式可得最小值．由余弦定理得2222cos 22a c b a b c B c ac +-+==⨯，21c ab b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选：B ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故349982.48v =≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.A【解析】10.根据∠APD ＝∠CPM ，求出在平面11DCC D 内P 点性质，确定其轨迹后可计算出交线长． 显然在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11DCC D ，PD ⊂平面11DCC D ，∴AD PD ⊥，同理MC PC ⊥，tan tan AD CMAPD CPM PD PC∠==∠=， 因为M 是BC 中点，所以1122CM BC AD ==，∴2PD PC =，在平面11DCC D 内以DC 中x 轴，棱DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图，则(3,0),(3,0)D C -，设(,)P x y ，由2PD PC =得2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得22(5)16x y -+=，所以P 为在以(5,0)H 为圆心，4为半径的圆上，由于14HC =<，因此该圆与11C D 交点，设交点为Q ，圆与CD 交于点K ，则P 点在侧面11DCC D 的轨迹就是圆弧QK ，作QN CD ⊥于N ，则12QN CC ==， 又4HQ =，∴6QHN π∠=，QK 的长度为2463ππ⨯=， 故选：A ．11.C【解析】11.设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，求出函数的导数，通过讨论m 的取值范围，结合函数的单调性判断.由题意可知，当0x >时，()1ln 10xe x m x x ----+>⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，则()1111xf x e m x ⎛⎫'=--- ⎪+⎝⎭，()()21x m f x e x ''=-+， ①当0m ≤时，()0f x ''>恒成立，()f x '∴单调递增，()00f '=，0x ∴>时，()()00f x f ''>=，()f x ∴单调递增，又()00f =，0x ∴>时，()()00f x f >=，符合题意，②0m >时，()()321x mf x e x '''=++，()0f x '''∴>恒成立，()f x ''单调递增，()01f m ''=- ，（ⅰ）当10m -≥，即01m <≤时，与①同理，符合题意； （ⅱ）当10m -<，即1m 时，()00f ''<， 当x →+∞时，()0f x ''>，且()f x ''连续，∴由零点存在性定理可知，存在()00x ∈+∞,，使得()00f x ''=00x x ∴<<时，()0f x ''<，()f x '递减，又()00f '=，00x x ∴<<时，()0f x '<，()f x 递减，()00f =，00x x ∴<<时，()0f x <，不合题意，综上，m 的范围是(],1-∞. 故选：C 12.A【解析】12.分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用点斜式可写出直线AH 的方程和直线DG 的方程，然后将其联立成方程组求出点P 的坐标，进一步得到点P 的坐标满足2211612x y +=，最后结合椭圆的定义，求得PMN 的周长.解：分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,(0,(2,0),(2,0)A D M N --,因为2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），所以(8,(4,))H G λλ-， 所以直线AH的方程为82y x x λλ=-=- 直线DG的方程为y x =+=+，联立这两条件直线方程可得点28(1P λλ+ 所以2222224222222222228()6412(1)412(1)111161216(1)12(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλ-+-+++++=+===++++即点P 的坐标满足2211612x y +=，所以点P 的轨迹是以O 为对称中心，,N M分别为左右焦点的椭圆，其中4,2a b c ===，则椭圆的定义可知，28PM PN a +==所以PMN 的周长为8412PM PN MN ++=+= 故选：A 13.480；【解析】13.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 14.﹣960【解析】14.把式子化为二项式，然后写出二项展开式通项公式，令x 的指数为2，求得项数后得系数．10544x x =⎛⎫ ⎪⎝-+⎭，10511010(2)rr r r r rr T C C x --+⎛==- ⎝，令52r ，3r =，所求系数为3310(2)960C -=-．故答案为：960-． 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n nb -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④⑤【解析】16.建立空间直角坐标系，利用坐标法可以得到⑤正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得到④正确；由'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，进而可得②正确；构造长方体，可得①正确；特殊排除可知③错误.如图所示建立空间直角坐标系，设(),,M x y z ,并构造如图所示的长方体.ABFC DGHE - 连接DO 并延长交BC 于O',则'AO BC ⊥，则AM =222222222222cos cos cos 1x y z AM AM AM αβγ⎛⎫⎪++=++= ⎪⎝⎭,故⑤正确； 当M 与O 重合时，结论仍然正确，由于各侧棱与底面所成的角与侧棱与AO 所成的角互为余角，故④正确；由于'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，∴2'O A O O O D '=⨯',∴2A BCOD S S S ⋅＝,故②正确；三棱锥A ﹣BCD 外接球的的直径是长方体ABFC DGHE -的对角线2222,,AH AH a b c =++外接球的表面积为()()2222242R R a b c πππ==++,故①正确；当1a b c ===时，33331128BCDS S S ⎛⎫==== ⎪⎝⎭， 可得33338B C D S S S ++=，而33A S ==⎭3333A B C D S S S S >++,故③错误， 综上，正确的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤.17.（1）；（2）5463ω≤<．【解析】17.（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）解方程()2f x =，由第二小的正数解[0,]π∈，第三小的正数解大于π可得出ω的范围．（1）2()cos (sin )sin cos f x x x x x x xωωωωωω==+)1sin 2cos 2122x x ωω=++sin(2)32x πω=++， 因为sin(2)[1,1]3x πω+∈-，所以()f x的值域是22,]22． （2）()sin(2)3f x x πω=+=，sin(2)03x πω+=，23x k πωπ+=，显然0x ≠，32k x ππω-=，k Z ∈，因为方程在[0,]π上只有两个解，又0>ω，所以232332πππωπππω⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得5463ω≤<．18.（1）证明见解析；（2【解析】18.（1）首先根据四边形11A ACC为菱形，11AC 得到1ACC ∠△为等边三角形，从而易证1AC C M ⊥，AC BM ⊥，得到AC ⊥平面1BMC ，又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC ，再利用面面垂直的判定即可得到平面1BMC ⊥平面11A BC .（2）首先根据平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥得到1C M ⊥平面ABC .再以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到面的距离即可.（1）因为四边形11A ACC 为菱形，所以11A C AC ⊥.又因为11AC =，所以160ACC ∠=，即1ACC ∠△为等边三角形. 因为11AC CC =，M 为线段AC 的中点，所以1AC C M ⊥. 因为AB BC =，M 为线段AC 的中点，所以AC BM ⊥.又因为1C M BM M =，所以AC ⊥平面1BMC .又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC .又11A C ⊂平面11A BC ，所以平面1BMC ⊥平面11A BC . （2）因为平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥， 所以1C M ⊥平面ABC .以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：()0,1,0C，)B，(1C，(10,A -，则()110,2,0AC =，(1BC =-，(10,CC =-，设平面11A BC 的法向量(),,n x y z =，则1112030n AC y n BC ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1,0,1n = 所以点C到平面11A BC 的距离1322CC n d n⋅===. 19.（1）28天；（2）①分布列见解析，25；②56750000.【解析】19.（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数； （2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；②甲不适宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可.解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(]90,110的天数为2天，所以估计空气质量指数在(]90,100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145C P X C ===，()11624230481145C C P X C ⋅===，()262301229C P X C ===， ∴X 的分布列为∴2()012145145295E X =⨯+⨯+⨯=. ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310， ∴2223219375671010101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎝⎭. 20.（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】20.（1）求导后，对a 分类讨论，利用导数符号可得函数的单调性； （2）根据1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，可得当*n N ∈且2n ≥时，111ln 11n n n n >--+，再利用裂项求和可证不等式. （1）因为()x xf x e e a -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a-+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以22x ae ->或22xa e -<-，所以xe >xe <所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22a a aa x，所以()f x 在⎛⎝⎭上递减，在,ln ⎛-∞ ⎝⎭和⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增. （2）由（1）知，当2a =时，()2x xf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数， 所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >，即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+， 所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+， 所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.（1）证明详见解析；（2）动点Q 的轨迹方程是2241x y +=，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.【解析】21.（1）根据对称性设点,A B 的坐标，再设()00,P x y ，代入斜率公式，化简即可；（2）由条件可知2OP OQ =-，利用点()00,P x y 的坐标满足220014x y +=，代入可得点Q 的轨迹方程，设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则由条件可知22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后分类讨论两种情况，当20y ≠和20y =，分别求直线PA 的方程，判断直线与曲线的位置关系.（1）设()00,P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --1010PA y y k x x -=-，1010PB y y k x x --=-- ()()()()()222210101010222210101101144PA PB x x y y y y y y k k x x x x x x x x ------⋅=⨯===------， 所以直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值14-； （2）设(),Q x y ，()00,P x y0OA OB OP ++=，∴点O 是ABP △的重心，且2OA OB OQ +=，2OP OQ ∴=-，即02x x =-，02=-y y ，220014x y +=，即2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程是2241x y +=设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当20y ≠时，220022111414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减得：()()22221010104x x y y -+-=，化简得1010210102144y y x x x x x y y y -+=-⋅=--+，1021024PAy y x k x x y -∴==--， ∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-，将2224x x y y +=-代入动点Q 的轨迹方程得()()2222222244410x y x x x y +++-=，（Δ） 将222214x y +=代入（Δ），整理得2222440x x x x ++= ，222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切；②当20y =时，()2,0B 或()2,0-，且PA k 不存在，即直线PA ⊥x 轴， 若()2,0B ，则()00,P x y ，()00,A x y -，002,22x y Q +⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 2OP OQ =-，00222x x +∴=-⨯，解得：01x =-， 同理可得，若()2,0B -，解得01x =，因此直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切，综上所述，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα． 由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。

2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,22．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和893．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.26．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i i yy =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．20．已知抛物线()2:20C x pyp =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，)M ．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,2【答案】C【分析】根据一元一次不等式可解得集合A ，再根据函数值域求法可求得集合B ，由交集运算即可得出结果.【详解】由题意可得{}2A x x =>，由函数值域可得{}0B y y =≥，所以{}2A B x x ⋂=>．故选：C 2．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和89【答案】C【分析】根据中位数的概念即可求得.【详解】解：由题意得：所有成绩从小到大排列，第二十位是78，第二十一位是80，则中位数为7880792+=.故选：C 3．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】C【分析】根据复数的除法运算与减法运算得2i z =+，进而根据复数的概念求解即可.【详解】解：由题意可知()()()41i 4i i 2i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+，所以，z 的虚部为1.故选：C.4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=【答案】B【分析】由离心率可得12b a =，从而可得渐近线方程，根据焦点到渐近线的距离为1可得c ，从而可求a ，故可得双曲线的方程.【详解】由题可知c a =，222514b e a =+=，得12b a =，则渐近线方程为20x y ±=，焦点到渐近线的距离为1，1=，可解得c =，所以2a =，由222c a b =+得1b =.所以双曲线方程为2214x y -=.故选:B.5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.2【答案】A【分析】玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，将圆柱侧面展开，线段AB 的长就是沿该圆柱表面由A 到B 的最短距离．【详解】本题考查传统文化与圆柱的侧面展开图.由题意，将玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，现沿该圆柱表面由A到B ，如图，将圆柱侧面展开，可知()min 8.4AB =≈.故选：A ．6．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<【答案】B【分析】由偶函数的性质可得m 的值，即可得函数()f x 的解析式，分析函数单调性，结合对数的运算性质比较大小.【详解】()21x mf x -=-（m 为实数）是R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，即2121x m x m ----=-，∴--=-x m x m ，即()()22x m x m --=-，∴0mx =，则0m =，此时()21xf x =-，0.5log 30a =<，()2log 540b f ==>，()(0)0c f m f ===，则a c b <<．故选：B7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱【答案】C【分析】根据三视图还原出立体图形即可得到答案.【详解】根据其三视图还原出其立体图形如下图所示，易得其为五棱柱，故选：C.8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质可得解.【详解】由22||12||||2ab a b a b ≥⇒+≥≥，而222a b +≥不一定能得到1ab ≥，例如，0,2a b ==，所以“1ab ≥”是“222a b +≥”的充分而不必要条件.故选：A 9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据已知得到22cos c bc A =，利用正弦定理可求得sin 2sin cos =C B A ，结合三角形内角和为π以及两角和的正弦公式可求得in 0()s A B -=，即可确定三角形形状.【详解】解：根据22AB BA CA =⋅得到：22cos c bc A =，由正弦定理2sin sin b cR B C==，可得2sin 2sin sin cos C B C A =，又C 为三角形的内角，得到sin 0C ≠，可得sin 2sin cos =C B A ，又[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+，∴sin()sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B B A +=+=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，∴in 0()s A B -=，且A 和B 都为三角形的内角，∴A B =，则ABC 的形状为等腰三角形．故选：D ．10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种【答案】D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：(2,2,1),(3,1,1)两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有2213531322C C C A 90A ⋅=种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有3113521322C C C A 60A ⋅=种.综上，选法共有9060150+=.故选:D.11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点【答案】D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭π3-ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '－0＋0－所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为24M =-，最小值为24m =--，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由()11f =，()31f =-解出,a b 的值可判断①；由周期和奇偶函数的性质计算()20231f =-可判断②；作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据图象可判断③；讨论当0m >和0m <，方程()mx m f x -=的解的个数可判断④.【详解】因为()()110f x f x -+-=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，()00f =.因为()()8f x f x +=，所以()f x 的周期为8.又()()21111f a =-++=，所以10a +=，所以1a =-，()3311f b =+-=-，所以3b =-，故①正确.因为，()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，故②错误.易知()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据函数()f x 为奇函数，及其周期为8，得到函数()f x 在R 上的图象，如图所示，由()f x 的图象知，当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ，故③正确.由题意，知直线()1y mx m m x =-=-恒过点()1,0，与函数()f x 的图象在y 轴右侧有3个交点根据图象可知当0m >时，应有51m m ⨯-<，即14m <，且同时满足()mx m f x -=，[]8,10x ∈无解，即当[]8,10x ∈时，()()()108f x x x =--，()()108x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1616m -<<+所以1164m -<<.当0m <时，应有31m m ⨯->-，即12m >-，且同时满足()mx m f x -=，[]6,8x ∈无解，即当[]6,8x ∈时，()()()68f x x x =--，()()58x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1212m --<<-+1122m -<<-+综上，1164m -<或1122m -<<-+.故选：C.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.【答案】45【分析】求导，求出斜率，进而可得倾斜角.【详解】()212f x x '=-+,则()11211f '=-+=，即函数()12f x x x=+在1x =处切线的斜率为1，则倾斜角为45 故答案为：45 14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．【答案】【分析】表示出(3,a b x -=- ，其与b =数量积为0，可算得出x .【详解】解：因为(2,)a x =-，b = ，所以(3,a b x -=-又()a b b -⊥，则()30a b b x -⋅=-= 故x =故答案为：15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．【答案】3【分析】根据题意可得12EF EF ⊥，利用椭圆性质可得()()22222a b b c -+=，结合222a b c =+，即可求得22c a .【详解】如图所示，连接2EF ，易得12EF EF ⊥，圆2F 的半径r b =，所以2EF b =，而122EF EF a +=，所以12EF a b =-，122F F c =，所以()()22222a b b c -+=，且有222a b c =+，化简可得23a b =，所以()22249a a c =-，所以2259a c =，可得22c a =．故答案为：16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(),1e -∞-【分析】图象恰有两对关于x 轴对称的点,即0x ∃>,使得()()f x g x -=,即ln e 1xax x x -+=-有两解,对等式全分离,构造()ln e 1x x x h x x-+=,求导求单调性,求出值域,对图象进行判断,即可得出a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,所以0x >时()()f x g x -=有两解,即ln e 1x ax x x -+=-有两解,所以ln e 1x x x a x-+=有两解,令()ln e 1x x x h x x -+=,则()()()2e 11x x h x x --'=,所以当()0,1x ∈时,()0h x '>,函数()h x 单调递增;当()1,x ∈+∞时,()0h x '<,函数()h x 单调递减,所以()h x 在1x =处取得极大值,()11e h =-,且()0,1x ∈时,()h x 的值域为(),1e -∞-;()1,x ∈+∞时,()h x 的值域为(),1e -∞-,因此ln e 1x x x a x-+=有两解时,实数a 的取值范围为(),1e -∞-.故答案为:(),1e -∞-三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．【答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可.【详解】（1）由题知，设{}n a 的公差为d ，由题意得42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，即11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+，所以{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）证明：由（1）得21n a n =+，所以111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-<⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i iy y =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ471yx =+；预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．【分析】（1）利用相关系数的计算公式即可得解；（2）先利用已知数据和公式得到y 关于x 的线性回归方程，再将2024年所对应的年份编号代入线性回归方程即可得解．【详解】解：（1）由已知数据得()11234535x =⨯++++=，17101425y =⨯=，()()()2222152101210i i x x=-=-+-+++=∑，()()55115260053142470iii i i i x x yy x y x y ==--=-=-⨯⨯=∑∑，所以4700.993.16149.89r ≈≈⨯．因为y 与x 的相关系数近似为0.9，接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()51215470ˆ4710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ1424731ay bx =-=-⨯=，放所求线性回归方程为ˆ471yx =+．将2024年对应的年份编号9x =代人回归方程得ˆ4791424y=⨯+=，故预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)22【分析】（1）已知条件求出AB ，BD ，AD 的长度，勾股定理证得BD AD ⊥，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，有PO AD ⊥，得PO ，勾股定理证得PO OC ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，有BD OP ⊥，所以BD ⊥平面APD .（2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，求相关向量的坐标，求平面APD 和平面CEP 的一个法向量，利用向量夹角公式求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值【详解】（1）在直角梯形ABCD 中，易得AB ＝4，BD =AD =，∴222AD BD AB +=，∴BD ⊥AD ．取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，易得PO ⊥AD ，PO =，如图所示，在△CDO 中，易得OC ==，又PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO ⊥OC ，又PO ⊥AD ，AD OC O = ，,AD OC ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥OP ，又BD ⊥AD ，AD OP O ⋂=，,AD OP ⊂平面APD ，∴BD ⊥平面APD ．（2）如图，以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且与PO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），()A ，()0,B ，)E，P，()C ，∴(CP =，()CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为()10,1,0n =．设平面CEP 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取y ＝1，得()20,1,1n = ，∴122cos ,2n n =，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为22．20．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()010*******y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d ，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y +∈，4,PAB S ⎡∈⎣△21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.【答案】(1)2(2)1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由()e e g =可求出1ea =，则()1e xf x x -=+，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；（2）令()1log 1x a F x ax -=--（0x >），则()111ln ln x F x xa a x a -⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分11ln 10ln a a a----≥和10ea <<讨论函数的零点即可.【详解】（1）由()1e e e 1log e e ea g a =⇒++=⇒=，所以()1e x f x x -=+，()11e xf x -'=-，令()01f x x '=⇒=，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 的极小值为()12f =；（2）()()1log 1x a f x g x a x --=--，令()1log 1x a F x a x -=--（0x >），()F x 存在唯—的零点，()11111ln ln ln ln x x F x a a xa a x a x a --⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，()()11ln ln x x a x a a ϕ-'=+，令()10ln x x aϕ'=⇒=-，当10ln x a<<-时，()0x ϕ'<；当1ln x a>-时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()11ln min 11ln ln ax a a a ϕϕ--⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，①若11ln 10ln aa a----≥，即111ln ln ln ln a a a ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1ln t a-=，所以()111ln ln 10t t t t t ⎛⎫--≤⇒-+≥ ⎪⎝⎭，所以1t ≥，所以11ln a -≥，即11ea <时，()()min 00x F x ϕ'≥⇒≥，所以()F x 在()0,∞+上递增，注意到()10F =，所以()F x 存在唯一的零点，符合题意②当10e a <<时，()100ln aϕ=->，()min 0x ϕ<，()22213(ln )133ln ln ln a a a a a aϕ-=-=，令22()3(ln )1t a a a =-，10ea <<，则221()3[2(ln )2ln ]6ln (ln 1)t a a a a a a a a a'=+⋅⋅=+，因为10ea <<，所以ln 1a <-，所以()6ln (ln 1)0t a a a a '=+>，所以22()3(ln )1t a a a =-在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2221113()3(ln 110e e e e t a t ⎛⎫⎛⎫<=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22213(ln )133ln 0ln ln a a a a a aϕ-=-=>所以()x ϕ即()F x '在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点1x ，2x ，()F x 在()10,x 上递增，()12,x x 上递减，()2,0x 上递增，而()11ln 0ln F a a'=-<，所以121x x <<，()1log 1x a F x a x -=--，当110a x a -<<时，()111log 11(1)0a F a a x a x -------<-=<；当1x a >时，()10log 10a F x a>--=，而()()110F x F >=，()()210F x F <=，所以()F x 在()10,x ，()12,x x 和()2,x +∞上各有一个零点，共3个零点了，舍去.综上，a 的取值范围为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB = ，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则121222221,cos 4sin cos 4sin t t t t ααααα+=-=-++，∵2AM MB = ，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)(]0,8.【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出()21,312,121,1x m x m g x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+，根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，当2x >时，()32f x =>成立；当12x -≤≤时，()212f x x =->，则322x <≤；当1x <-时，()32f x =-<不合题意，综上，()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）因为0m >，所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，当1x <-时，()g x 单调递增，当1x m -≤≤时，()g x 单调递增，当x >m 时，()g x 单调递减，所以当x m =时，()g x 取得最大值，()()max 1g x g m m ==+，∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤，解得：108m -≤≤，又0m >，则08m <≤，∴m 的取值范围是(]0,8.。

山东省威海市2020届高三三模数学试题一、选择题1．已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x==，则AB =（ ）A ．[]0,1B ．[)0,+∞C ．{}1,1-D ．{}0,1【答案】A【解析】2210,11y x x =-≥-≤≤，{}[)2|0,B y y x===+∞，AB =[][)[]1,10,+=0,1=-∞，故选：A2．已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()236(23)ai i a a i ++=-++，所以对应的点为()6,23a a -+，代入直线y x =可得623a a -=+，解得1a =，故选：C 3．若log 0a b <（0a >且1a ≠），221bb->，则（ ）A ．1a >，1b >B ．01a <<，1b >C ．1a >，01b <<D ．01a <<，01b <<【答案】B 【解析】因为221b b->，所以20b b ->，因为0b >，所以1b >，因为log 0a b <，1b >，所以01a <<，故选：B4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立冬的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长短 【答案】D【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，则1351512d =+，解得10d =（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ,首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸）.故选项A 正确；春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-=．秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，所以B 正确；立冬的晷长为10a ，10191590105a a d ∴=+=+=，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故D 错误.故选：D5．有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（ ） A ．从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B ．从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C ．从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 D ．从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签 【答案】C【解析】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C 6．已知向量(2,2OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（ ）A ．()1,3B ．()3,1-C ．()3,1D ．()1,3-【答案】D【解析】由题意，向量(2,2OP =，则10OP =OP 与x轴的夹角为α，则cos αα==4545sin sin 45cos()cos cos ααα︒︒-︒==+=4545cos s sin()sin co in 452210s ααα︒︒+︒==++=，可得cos()()14510OP α+=-=︒-，45sin()310OP α︒+== 所以'(1,3)OP =-.故选：D.7．已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则1()ni f i ==∑（ ） A ．21n - B ．122n-C ．112n -D ．122n -【答案】B【解析】由所求式子可得(0)0f ≠，令0x y ==可得：(0)(0)(0)(0)22f f f f ⋅=⇒=，令1x y ==可得：(1)(1)1(2)22f f f ⋅==，令1,2x y ==可得：2(1)(2)1(3)22f f f ⋅==，令2x y ==可得：3(2)(2)1(4)22f f f ⋅==，∴11()2n f n -=，∴11101101(12)112222222()122n nni n n i i f i +---==-==++++==--∑∑，故选：B.8．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（ ）A ．2βα=B ．2αβ=C ．αβ=D ．2παβ+=【答案】D【解析】作正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：∵由正四棱柱性质知1AA ⊥平面1111D C B A ， ∴111AA B D ⊥．∵底面1111D C B A 是正方形， ∴1111B D A C ⊥，∴11B D ⊥平面1111D C B A ，则1B AO ∠是直线1AB 与平面11ACC A 所成的角，即1=B AO α∠．∵11CD A B ∥，∴11BA C ∠是直线1CD 与直线11A C 所成的角，即11=BAC β∠．∵11A B B A =，11AOB O =，OA OB =，∴11A BO B AO △≌△，∴111=BAC AB O β∠∠=，∵11BD ⊥平面1111D C B A ，∴1B O OA ⊥，∴11+=+2B AO AB O παβ∠∠=，故选：D 二、多选题9．随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则 性别 甲专业报考人数 乙专业报考人数 性别 甲专业录取率乙专业录取率男 100 400 男 25% 45% 女300100女30%50%A ．甲专业比乙专业的录取率高B ．乙专业比甲专业的录取率高C ．男生比女生的录取率高D ．女生比男生的录取率高【答案】BC【解析】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人； 甲专业的录取率为259028.75%100300+=+，乙专业的录取率为1805046%400100+=+，所以乙专业比甲专业的录取率高. 男生的录取率为2518041%100400+=+，女生的录取率为905035%300100+=+，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.10．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<将()y f x =的图象上所有点向左平移3π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图象．若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（ ） A ．()y f x =图象与,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．()f x 在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在50,4π⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有3个解 D ．()g x 在5,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭有仅有3个极大值点 【答案】AC【解析】将函数()()sin f x x ωϕ=+将()y f x =的图象上所有点向左平移3π个单位，可得sin[()]3y x πωϕ=++，再横坐标缩短为原来的12，可得()sin(2)3w g x wx πϕ=++，因为函数()g x 的最小正周期为2π，即222w ππ=，解得2w =，可得()2sin(4)3g x x πϕ=++．又由函数()g x 为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈，当1k =，可得56πϕ=，所以()5sin(2)6f x x π=+．对于A ：令52,6x k k Z ππ+=∈，即5,212k x k Z ππ=-∈，当1k =时，12x π=，即函数()f x 的图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以A 是正确的； 对于B ：当5(0,)12x π∈时，5552663x πππ<+<，所以函数()f x 在区间5(0,)12π不是单调函数，所以B 不正确；对于C ：由()253sin(4)sin(4)cos4362g x x x x πππ=++=+=-，因为()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得5sin(2)cos26x x π+=-，32cos20,)0223x x x π-+=-=，2,,,326k x k k Z x k Z ππππ∴-=∈=+∈．又527(0,),,,4636x ππππ∴=，所以()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在50,4π⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有3个解，所以C 正确； 对于D ：由5(,)124x ππ∈，则4(,5)3x ππ∈，4x π=或43x π=，即4x π=或34x π=时，()f x 取得极大值，所以()g x 在5,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭有仅有2个极大值点，所以D 不正确，故选：AC ． 11．已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（ ）A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD【解析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确； 因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AF CF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（ ） A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1x e=处取得极大值 C ．()011f << D ．()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD【解析】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，即满足()()2'ln xf x f x x x x -=，∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()ln f x xx x '⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数），∴()21ln 2f x x x bx =+，∵211111ln 2b f e ee e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b =，∴()211ln 22f x x x x =+，∴()112f =，满足()011f <<，∴C 正确，∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴B 错误，A 、D 正确，故选：ACD 四、解答题13．()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．【答案】15-【解析】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-， 14．已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示） 【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】因为//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③； 因为//l α，所以α内存在一条直线m 与l 平行，又l β⊥，所以m β⊥，所以可得αβ⊥，即①③作为条件，可以得出②；因为αβ⊥，l β⊥，所以//l α或者l α⊂，因为l 是平面α外的直线，所以//l α，即即②③作为条件，可以得出①；15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q，则双曲线的离心率为________． 【答案】32【解析】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c y a b -=，解得：2by a=±，设2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ．根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a =，则,P Q 两点到渐近线的距离225bc b bc b a cc---++=，c b >，上式去掉绝对值为225bc b bc b a c c +-+=，即52b a =，那么22312c b a a =+=.∴双曲线的离心率32e =. 16．我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．【答案】278sin cos θθ+ 1313 【解析】如下图所示，过点O 分别作OA AE ⊥，OB BF ⊥，则OEA BOF θ∠=∠=， 在Rt OAE △中，27OA =，则27sin sin OA OE θθ==，同理可得8cos OF θ=， 所以，278sin cos EF OE OF θθ=+=+.令()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()3333222222278cos tan 27cos 8sin 8sin 27cos 8sin cos sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-+='=，令()00f θ'=，得3027tan 8θ=，得03tan 2θ=，由0220003tan 2sin cos 1sin 0θθθθ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得00313sin 213cos 13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当00θθ<<时，()0f θ'<；当02πθθ<<时，()0f θ'>.则()()0min 1313313213f f θθ===四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )3cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若7b =sin 3sin A C =，求BC 边上的高．【解析】3(cos )sin a b C c B -=及正弦定理可得33cos sin sin A B C B C =，将()sin sin A B C =+3sin sin sin 0B C B C -=， 解得tan 3B =，所以3B π=．（Ⅱ）由sin 3sin A C =，得3a c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得222793c c c =+-，解得1c =． 所以BC 边上的高为3sin c B =． 18．从条件①()21n n S n a =+()12n n n S S a n -=≥，③0n a >，22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，________．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 【解析】若选择①，因为()21n n S n a =+，*n N ∈，所以()1122n n S n a ++=+，*n N ∈， 两式相减得()()11221n n n a n a n a ++-=++，整理得()11n n na n a +=+． 即11n na a n n+=+，*n N ∈． 所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列．111n a a n ==，所以n a n =．（或由11n n a n a n++=，利用相乘相消法，求得n a n =） 所以k a k =，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以()()2232k k k ++=， 所以2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍）， 所以6k =． 若选择②，()2n a n =≥1n n S S -=-，=，易知0n S >1=，所以11a ==n =，2n S n =，∴121n n n a S S n -=-=-()2n ≥， 又1n =时，11a =也满足上式， 所以21n a n =-.因为1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()22221k k +=-， ∴3k =或13k =-，又*k N ∈，∴3k =． 若选择③，因为()2*2n n n a a S n N+=∈，所以()211122n n n aa S n ---+=≥，两式相减得()221112222n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥，因为0n a >，∴()112n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列， 所以()111n a n n =+-⨯=，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()2232k k k ++=， ∴6k =或1k =-，又*k N ∈，∴6k =．19．携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为1315，服务水平的满意率为23，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人． （Ⅰ）完成下面22⨯列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【解析】（Ⅰ）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得22⨯列联表经计算得22300(180208020)75 5.77 5.0242001002604013K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关． （Ⅱ）X 的可能值为0，1，2．则0220802100316(0)495C C P X C ===，1120802100160(1)495C C P X C ===，220210019(2)495C P X C ===， ()0124954954955E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为18095%300300⨯=，只有一项满意的客户流失的概率为1003434%300300⨯=，对二者都不满意的客户流失的概率为201785%300300⨯=． 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为9173413005++=，故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为4301444411131555625P C C ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．已知直三棱柱111ABC A B C -，11AB AC AA ===，M ，N ，P 分别为11A C ，1AB ，1BB 的中点，且AP MN ⊥．（1）求证：//MN 平面11B BCC ； （2）求BAC ∠；（3）求二面角1A PN M --的余弦值．【解析】（1）证明：取11B C 的中点Q ，连接MQ ，NP ，PQ ， 则有11//MQ A B ，且1112MQ A B =，//PN AB ，且12PN AB =， 又11//AB A B ，11AB A B =，所以//PN MQ ，且PN MQ =， 所以PNMQ 为平行四边形，所以//MN PQ ， 又MN ⊄平面11B BCC ，PQ ⊂平面11B BCC ， 所以//MN 平面11B BCC ．（2）设AB a =，AC b =，1AA c =，BAC θ∠=， 由已知可得，1a b c ===，且0a c b c ⋅=⋅=， 则12AP a c =+，1111111122222NM PQ BB B C c b a ==+=+-， 因为AP MN ⊥，所以11112222AP NM a c c b a ⎛⎫⎛⎫⋅=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22111224a b a c =⋅-+11cos 024θ=-=，所以1cos 2θ=，即60BAC ∠=︒． （3）在平面ABC 内过点A 做射线l 垂直于AB ，易知AB ，l ，1AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,14M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,22N ⎛⎫⎪⎝⎭， ()10,1,0n =为平面1A PN 的一个法向量，131,,442MN ⎛=⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02PN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 设()2,,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则131042102x y z x ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1y =，则230,1,n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则12121227cos ,714n n n n n n ⋅===⋅⨯，所以二面角1A PN M --的余弦值为27．21．已知函数()()34xf x x e =-．（Ⅰ）求证：当0x >时，()y f x =的图象位于直线40x y ++=上方； （Ⅱ）设函数()()()235xh x f x exx a =+-+-，若曲线()y h x =在点M 处的切线与x 轴平行，且在点()(),N t h t 处的切线与直线OM 平行（O 为坐标原点），求证：1321t a e ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭．【解析】（Ⅰ）由题意，当0x >时，()y f x =的图象位于直线40x y ++=上方， 即证当0x >时，()3440xe x x -++>恒成立，令()()344xg x ex x =-++，可得()()'311x g x e x =-+，则()()()''320x g x e x =+>，所以()'g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()''00g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=， 所以当0x >时，()f x 的图象始终在直线40x y ++=上方． （Ⅱ）因为()()()()22351xx h x f x exx a e x a =+-+-=+-，则()()2'1x h x e x =+，设()00,M x y ，则()()200'10x h x e x =+=，所以01x =-，所以21,M a e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2OM k a e =-，所以()()22'1t h t e t a e =+=-． 要证1321t a e ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭，即证32(1)t a e≤+-，即证32(1)(1)t t e t +≤+，即证1t t e +≤， 下面证明1x e x ≥+．令()1xF x e x =--，∴()'1xF x e =-， 所以当0x >，()'0F x >，0x <，()F'0x <， 所以()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增， 所以()()00F x F ≥=，即1x e x ≥+，所以232(1)(1)t a e t t e ≥-=++，1321t a e ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭．22．已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b +=， 整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯⨯=2c =， 所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=， 解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+， 同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m--==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++ ()()22222121m m m m+=++，将上式分子分母同除()21m m +可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△， 令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >， 所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．。

数学（理）试卷1. 单选题（5分）已知集合A ={x ∣x 2−x >0}，B ={x ∣log 2x <2}，则A ∩B =（） A.{x ∣1<x <4} B.{x ∣x <0或1<x <2} C.{x ∣x <0或1<x <4} D.{x ∣1<x <2} 2. 单选题（5分）下列命题中，真命题的是（） A.∃x 0∈R ，e x 0⩽0 B.∀x ∈R ，2x >x 2C.a +b =0的充要条件是ab=−1D.若x ，y ∈R ，且x +y >2，则x ，y 中至少有一个大于 1 3. 单选题（5分）已知函数y =f(2x −1)的定义域是[−2，3]，则y =f(x)√x+2的定义域是（） A.[−2，5]B.(−2，3]C.[−1，3]D.(−2，5]4. 单选题（5分） 若1a <1b <0，则下列不等式中正确的是（）A.a <bB.|a|>|b|C.a +b >abD.b a +ab>2 5. 单选题（5分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A.23AB ⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗ B.−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.16AB ⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗ D.−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 单选题（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1≠0，S 2=a 4，则a 5S 3=（） A.1 B.23 C.53D.797. 单选题（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y =f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)，若g(x)的最小正周期为2π，且g (π4)=√2，则f (3π8)=（）A.−2B.−√2C.√2D.2 8. 单选题（5分）已知定义在R 上的函数f(x)=x ∙2|x|，a =f(log 3√5)，b =−f (log 312)，c =f(ln3)，则a ，b ，c的大小关系为（） A.c >b >a B.b >c >a C.a >b >c D.c >a >b 9. 单选题（5分）圆内接四边形ABCD 中，AD =2，CD =4，BD 是圆的直径，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A.12 B.−12 C.20 D.−20 10. 单选题（5分）等差数列{a n }是递增数列，满足a 7=3a 5，前n 项和为S n ，下列选项错误的是（） A.d >0 B.a 1<0 C.当n =5时S n 最小 D.S n >0时n 的最小值为8 11. 单选题（5分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC =2√3，a +b =6，acosB+bcosAc =2cosC ，则c =（）A.2√7B.4C.2√3D.3√3 12. 单选题（5分）已知实数a >0且a ≠1，函数f(x)={a x ，x <1x 2+4x +alnx ，x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.2≤a ≤5B.a <5C.3<a <5D.1<a ≤2 13. 填空题（5分）已知向量m ⃗⃗ =(−1，2)，n ⃗ =(2，λ)，若m⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则2m ⃗⃗ +n ⃗ 与m ⃗⃗ 的夹角余弦值为__________． 14. 填空题（5分）已知等比数列{a n }满足：a 4+a 6=10，a 2∙a 8=2，则1a 4+1a 6=__________．15. 填空题（5分）若“∃x ∈[1，2]，使2x 2−λx +1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是__________． 16. 填空题（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有__________． （1）ω=2（2）f(x)的图象关于直线x =2π3对称（3）f(x)=2cos (2x −π6)（4）f(x)在[−5π6，−π3]上的值域为[−2，1]17. 解答题（12分）已知函数f(x)=sin (π3+x)sin (π6−x)+2cos 2(π12+x)．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）设a <0，若函数g(x)=f(2x +a)−1为奇函数，求a 的最大值． 18. 解答题（12分）已知等差数列{a n }的前n (n ∈N ∗)项和为S n ，数列{b n }是等比数列，a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5−2b 2=a 3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若c n =1S n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <34．19. 解答题（12分）已知函数f(x)=ax 2−3x +2lnx(a ∈R)．（1）若a =12，求函数f(x)的极值；（2）若直线y =x −3与曲线y =f(x)相切，求实数a 的值． 20. 解答题（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请在（1）△ABC 的面积S =√34(b 2+c 2−a 2)，（2）2bsinAcosB =(2c −b)sinB 两个条件中，选择一个完成下列问题： （1）求A ；（2）若a =2√3，求△ABC 的周长l 的取值范围． 21. 解答题（12分）已知函数f(x)=x 2−2lnxx −a．（1）若f(x)≥0，求实数a 的取值范围；（2）若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，证明：x 1x 2<1． 22. 解答题（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =2sinα，其中α为参数α∈(0，π)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(4√2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ−π4)+5√2=0.（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 23. 解答题（10分）已知函数f(x)=|2x −3|+|x −2| （1）求不等式f(x)≤3的解集M ；（2）设M 中的最小的数为m ，正数a ，b 满足a +b =3m ，求b 2+5a +a 2b的最小值．参考答案及解析1. 【答案】A 【解析】集合A ={x ∣x 2−x >0}={x ∣x <0或x >1}． B ={x ∣log 2x <2}={x ∣0<x <4}． ∴A ∩B ={x ∣1<x <4}． 2. 【答案】D 【解析】根据指数函数的性质可知e x >0恒成立，所以A 错误．当x =−1时，2−1=12<(−1)2=1，所以B 错误．若a =b =0时，ab无意义，即充分性不成立，所以C 错误．假设x ，y 都小于1，则x <1，y <1，所以x +y <2与x +y >2矛盾，所以假设不成立，所以D 正确．3. 【答案】D 【解析】因为函数y =f(2x −1)的定义域是[−2，3]． 即f(2x −1)中x ∈[−2，3]． 则2x −1∈[−5，5]．所以y =f(x)√x+2有意义．必有{−5⩽x ⩽5x +2>0．解得−2<x ⩽5．所以y =√x+2的定义域是(−2，5]．4. 【答案】D 【解析】∵1a <1b<0⇔0>a >b ．∴AB 错误．∵a +b <0，ab >0． ∴a +b <ab ． ∴C 错误． ∵b a +ab >2√1=2． ∴D 正确． 5. 【答案】B 【解析】连接BD ．∵AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点．BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．6. 【答案】B 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ． ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ． 若a 1≠0，S 2=a 4． ∴2a 1+d =a 1+3d ． 解得a 1=2d ． ∴a 5S 3=a 1+4d 3a 1+3d =6d 9d =23． 7. 【答案】C 【解析】因为f(x)是奇函数（显然定义域为R ）． 所以f(0)=Asinφ=0． 所以sinφ=0． 又|φ|<π． 所以φ=0．由题意得g(x)=Asin (12ωx)，且g(x)最小正周期为2π．所以12ω=1，即ω=2．所以g(x)=Asinx ．所以g (π4)=Asin π4=√22A =√2．所以A =2．所以f(x)=2sin2x ．所以f (3π8)=√2．8. 【答案】D 【解析】当x >0时，f(x)=x ∙2|x|=x ∙2x ． 因为f ′(x)=2x +x ∙ln2∙2x >0． 所以函数f(x)在x >0时是增函数．因为f(−x)=−x ∙2∣−x∣=−x ∙2x =−f(x)． 所以函数f(x)是奇函数．所以有b =−f (log 312)=f (−log 312)=f (log 32)．因为ln3>1>log 3√5>log 32>0，函数f(x)在x >0时是增函数． 所以c >a >b ． 9. 【答案】B 【解析】因为BD 是圆的直径．所以∠BAD =∠BCD =90∘．所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|DA⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠ADB −|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BDC =|DA⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=22−42=−12 10. 【答案】C 【解析】由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7=3a 5，可得a 1+6d =3(a 1+4d )，解得a 1=−3d ，又由等差数列{a n }是递增数列，可知d >0，则a 1<0，故AB 正确． 因为S n =d 2n 2+(a 1−d 2)n =d 2n 2−7d 2n ，由n =−−7d 2n d=72可知，当n =3或4时S n 最小，故C 错误．令S n =d 2n 2−7d 2n >0，解得n <0或n >7，即S n >0时n 的最小值为8，故D 正确． 11. 【答案】C 【解析】 acosB+bcosA c=sinAcosB+sinBcosAsinC=sin(A+B)sin(A+B)=1．即有2cosC =1． 可得C =60∘．若S △ABC =2√3，则12absinC =2√3．即为ab =8． 又a +b =6．由c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b)2−2ab −ab =(a +b)2−3ab =62−3×8=12． 解得c =2√3． 12. 【答案】A 【解析】∵函数f(x)在R 上单调递增． ∴当x <1时，有a >1．当x ⩾1时，f ′(x)=2x −4x 2+a x =2x 3−4+ax x 2⩾0恒成立．令g(x)=2x 3+ax −4，x ∈[1，+∞)． 则g ′(x)=6x 2+a ． ∵a >0．∴g ′(x)>0，即g(x)在[1，+∞)上单调递增． ∴g(x)⩾g(1)=2+a −4=a −2． 要使当x ⩾1时，f ′(x)⩾0恒成立． 则a −2⩾0． 解得a ⩾2．∵函数f(x)在R 上单调递增．∴还需要满足a 1≤1+41+aln1，即a ⩽5．综上，a 的取值范围是2⩽a ⩽5． 13. 【答案】2√55【解析】∵向量m ⃗⃗ =(−1，2)，n ⃗ =(2，λ)． 若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 则m⃗⃗ ∙n ⃗ =−2+2λ=0． ∴λ=1，2m ⃗⃗ +n ⃗ =(0，5)．∴2m ⃗⃗ +n ⃗ 与m ⃗⃗ 的夹角余弦值为(2m⃗⃗⃗ +n ⃗ )∙m ⃗⃗⃗ |2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |∙|m ⃗⃗⃗ |=2|4+λ|∙√5=2√55． 14. 【答案】5 15. 【答案】(−∞，3] 16. 【答案】（1）（3） 【解析】f(x)min =−2．∴A =2，34T =7π12+π6=34π．∴T =π=2πω．∴ω=2． f (7π12)=2sin (76π+φ)=−2． ∴76π+φ=3π2． ∴φ=π3．f(x)=2sin (2x +π3)，（1）对． f (2π3)=2sin (5π3)≠±2，则x =2π3不是对称的，（2）错． f(x)=2sin (2x +π3)=2sin (2x −π6+π2)=2cos (2x −π6)，（3）对．−5π6≤x ≤−π3．则−53π≤2x ≤−2π3．则−43π≤2x +π3≤−π3．−1≤sin (2x +π3)≤√32．∴−2≤f(x)≤√3，（4）错． 17. 【答案】（1）最小正周期为π，值域为[−12，52]（2）−π3 【解析】（1）f(x)=sin (π3+x)cos (π3+x)+cos (π6+2x)+1=12sin (2x +2π3)+cos (2x +π6)+1 =12cos (2x +π6)+cos (2x +π6)+1=32cos (2x +π6)+1 所以f(x)的最小正周期为π，值域为[−12，52]．（2）g(x)=f(2x +a)−1=32cos (4x +2a +π6)．因为g(x)是奇函数．所以2a +π6=kπ+π2(k ∈Z)． 所以a =kπ2+π6(k ∈Z)．因为a <0．所以a 的最大值为−π3． 18. 【答案】（1）a n =2n +1b n =2n−1 （2）见详解 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ． 因为a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5−2b 2=a 3．得到{q +3+3+d =103+4d −2q =3+2d ，所以d =2，q =2．即a n =2n +1，b n =2n−1．（2）由（1）知，S n =n(3+2n+1)2=n(n +2)所以c n =1S n =1n(n+2)=12(1n −1n+2)即T n =12(1−13+12−14+⋯+1n −1n+2)=12(1+12−1n +1−1n +2)=34−12(1n +1+1n +2)<3419. 【答案】（1）极大值为−52；极小值为2ln2−4（2）a =1 【解析】（1）当a =12时，f(x)=12x 2−3x +2lnx ．则f(x)定义域为(0，+∞)，f ′(x)=x −3+2x =x 2−3x+2x =(x−1)(x−2)x．∴当x ∈(0，1)∪(2,+∞)时，f ′(x)>0． 当x ∈(1，2)时，f ′(x)<0．∴f(x)在(0，1)，(2，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减． ∴f(x)的极大值为f(1)=12−3=−52．极小值为f(2)=2−6+2ln2=2ln2−4．（2）假设y =x −3与f(x)相切于点(t ，at 2−3t +2lnt)．∵f ′(x)=2ax −3+2x ．∴f ′(t)=2at −3+2t =1，即2at 2−4t +2=0． 又t −3=at 2−3t +2lnt ．∴4t −2=8t −4lnt −6，即lnt =t −1．令g(t)=lnt −t +1，则g ′(t)=1t −1=1−t t．∴当t ∈(0，1)时，g ′(t)>0． 当t ∈(1，+∞)时，g ′(t)<0．∴g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减． ∴g(t)max =g(1)=0，即lnt =t −1有唯一解：t =1． ∴2a −4+2=0． 解得：a =1． 20. 【答案】 （1）A =π3 （2）(4√3，6√3] 【解析】（1）选择条件（1）S =√34(b 2+c 2−a 2)=12bcsinA ．∴√3(b 2+c 2−a 2)2bc=sinA，即√3cosA =sinA ．∴tanA =√3． ∵0<A <π．∴A =π3．选择条件（2）2bsinAcosB =(2c −b)sinB ．由正弦定理得2sinBsinAcosB =(2sinC −sinB)sinB ． ∵0<B <π． ∴sinB ≠0．∴2sinAcosB =2sinC −sinB ，即2sinAcosB =2sinAcosB +2sinBcosA −sinB ．解得cosA =12．∵0<A <π．∴A =π3．（2）∵由正弦定理可得a sinA =b sinB =csinC=4．∴b =4sinB ，c =4sinC ．∴△ABC 的周长l =4(sinB +sinC)+2√3=4[sinB +sin (2π3−B)]+2√3 =4(32sinB +√32cosB)+2√3=4√3(√32sinB +12cosB)+2√3=4√3sin (B +π6)+2√3∵B ∈(0，2π3)，B +π6∈(π6，5π6)．∴sin(B+π6)∈(12，1]．∴△ABC的周长l=4√3sin(B+π6)+2√3∈(4√3，6√3]．21. 【答案】（1）(−∞，1]（2）见详解【解析】（1）函数f(x)=x2−2lnxx−a的定义域为(0，+∞)．f′(x)=2x−2(1−lnx)x2=2(x3+lnx−1)x2．设r(x)=x3+lnx−1．所以r′(x)=3x2+1x>0．所以函数r(x)=x3+lnx−1在(0，+∞)上单调递增．又r(1)=0．故x∈(0，1)时，r(x)<0，f′(x)<0．x∈(1，+∞)时，r(x)>0，f′(x)>0．所以当x=1时，函数f(x)=x2−2lnxx−a取得最小值为f(1)=1−a．因为f(x)≥0，即1−a≥0．所以a≤1．所以a的取值范围是(−∞，1]．（2）不妨设x1<x2．由（1）可得，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增．所以0<x1<1<x2，0<1x2<1．因为f(x1)=f(x2)=0．所以f(x1)−f(1x2)=f(x2)−f(1x2)=(x2+1x2)(x2−1x2−2lnx2)．设函数g(x)=x−1x−2lnx(x>1)．则g′(x)=1+1x2−2x=(x−1)2x2>0(x>1)，函数g(x)在(1，+∞)上单调递增．所以g(x2)=x2−1x2−2lnx2>g(1)=0．所以f(x1)−f(1x2)>0，即f(x1)>f(1x2)．又函数f(x)=x2−2lnxx−a在(0，1)上单调递减．所以0<x1<1x2<1．所以x1x2<1．22. 【答案】（1）ρsinθ−ρcosθ+10=0x 212+y24=1(y>0)（2）6√2【解析】（1）∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π4)+5√2=0．即ρsinθ−ρcosθ+10=0．由x =ρcosθ,y =ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x −y −10=0．将曲线C 的参数方程{x =2√3cosαy =2sinα消去参数α． 得曲线C 的普通方程为x 212+y 24=1(y >0)． （2）设Q(2√3cosα，2sinα)(0<α<π)．点P 的极坐标(4√2，π4)化为直角坐标为(4，4)．则M(√3cosα+2，sinα+2)．∴点M 到直线l 的距离d =|√3cosα−sinα−10|√2=|2sin (α−π3)+10|√2≤6√2． 当sin (α−π3)=1，即α=5π6时，等号成立． ∴点M 到直线l 的距离的最大值为6√2．23. 【答案】（1）M ={x ∣23⩽x ⩽83} （2）132【解析】（1）原不等式可化为{x <32,3−2x +2−x ⩽3或{32⩽x ⩽22x −3−x +2⩽3或{x >22x −3+x −2<3． 解得23≤x <32或32≤x ≤2或2<x ≤83． 综上所述，原不等式的解集为M ={x ∣23⩽x ⩽83}． （2）由（1）可知m =23． 所以a +b =2．所以b 2+5a +a 2b =(2−a)2+5a +(2−b)2b =a 2−4a+9a +62−4b+46=a +b +9a +4b −8=9a +4b −6=12(9a +4b)(a +b)−6 =12(9b a +4a b +13)−6⩾12(2√9b a 4a b +13)−6=132当且仅当2a =3b =125时等号成立． 所以b 2+5a +a 2b 的最小值为132．。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6 参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若集合A ＝{x|x ≤m}，B ＝{x|x ≥－1}，且A ∩B ＝{m}，则实数m 的值为________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则|z|的值为________．3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________．4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为________天．5. 执行如图所示的流程图，输出k 的值为________．6. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y ＝±2x ，则其离心率的值为________．7. 若三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. “ω＝2”是“函数f(x)＝sin (ωx ＋π6)的图象关于点(5π12，0)对称”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 在△ABC 中，C ＝B ＋π4，AB ＝324AC ，则tan B 的值为________．10. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝2n －1＋(－1)n (2n －1)，则2a 100－S 100的值为________． 11. 若集合P ＝{(x ，y)|x 2＋y 2－4x ＝0}，Q ＝{(x ，y)||x ＋2|y≥15}，则P ∩Q 表示的曲线的长度为________．12. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋e x ，x>0，e 2x －1，x ≤0的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是________．13. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点．若AB →·AD →＝90，则 AB →·AE →的值是________．14. 若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2－4xy ＋4y 2的最小值是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)若函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是2π，且图象经过点N(π3，1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 在△ABC中，若f(A)＝85，f(B)＝1013，求cos C的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：(1) PA∥平面BDE；(2) 平面PAC⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN(M，N为切点)，同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A，B分别在l1，l2上)．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．(所有道路宽度忽略不计)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为k 1，k 2，k 3，k 4.① 若k 1＋k 2＝215，求直线PQ 的斜率；② 求(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值．如果存在常数k使得无穷数列{a n}满足a mn＝ka m a n恒成立，则称{a n}为P(k)数列．(1) 若数列{a n}是P(1)数列，a6＝1，a12＝3，求a3；(2) 若等差数列{b n}是P(2)数列，求{b n}的通项公式；(3) 是否存在P(k)数列{c n}，使得c2 020，c2 021，C2 022，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{c n}；若不存在，请说明理由．设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若函数f(x)在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；(3) 设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＝m(m 为实数)，曲线C ：ρ＝2cos θ＋4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取最大值时，求实数m 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为4 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23. 若有穷数列{a n }共有k 项(k ≥2)，且a 1＝1，a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，当1≤r ≤k －1时恒成立．设T k ＝a 1＋a 2＋…＋a k .(1) 求T 2，T 3； (2) 求T k .2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学参考答案及评分标准1. －12. 103. 34 4. 12 5. 4 6.5 7. 8 8. 充分不必要 9. 2 10. 299 11.2π312. 1＋e 2 13.1752 14. 3815. 解：(1) 因为f(x)的最小值是－2，所以M ＝2.(2分)因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω＝1.(4分)又由f(x)的图象经过点N(π3，1)，可得f(π3)＝1，sin(π3＋φ)＝12，所以φ＋π3＝2k π＋π6或φ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，所以φ＝π2，故f(x)＝2sin(x ＋π2)，即f(x)＝2cos x ．(6分)(2) 由(1)知f(x)＝2cos x. 又f(A)＝85，f(B)＝1013，故2cos A ＝85，2cos B ＝1013，即cos A ＝45，cos B ＝513.因为在△ABC 中，A ，B ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－（45）2＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（513）2＝1213，(10分)所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cos Acos B －sin Asin B)＝－(45×513－35×1213)＝1665.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， 因为底面ABCD 是菱形，故O 为BD 中点． 因为点E 是PC 的中点，所以AP ∥OE. (2分)因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ，所以AP ∥平面BDE.(6分)(2) 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，PC ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PC ⊂平面PBC ，所以PC ⊥平面ABCD.(9分)又BD ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又PC ⊥BD ，AC ∩PC ＝C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC. (12分)又BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE.(14分)17. 解：连结CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ，OP ＝OC －PC ＝10－1cos θ，AB ＝2OP ＝20－2cos θ.设新建的道路长度之和为f(θ)，则f(θ)＝PM ＋PN ＋AB ＋OP ＝2tan θ－3cos θ＋30.(6分)由1<PC ≤10得110≤cos θ<1.设cos θ0＝110，θ0∈(0，π2)，则θ∈(0，θ0]，sin θ0＝31110，f ′(θ)＝2－3sin θcos 2θ.令f′(θ)＝0得sin θ＝23.(10分)设sin θ1＝23，θ1∈(0，θ0]，则θ，f ′(θ)，f (θ)的情况如下表：由表可知当θ＝θ1时f(θ)有最大值，此时sin θ＝23，cos θ＝53，tan θ＝25，f (θ)＝30－ 5.(13分)答：新建道路长度之和的最大值为30－5千米．(14分) 注：定义域扩展为(0，π2)，求出最值后验证也可．18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，所以b ＝1.当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形． 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故PF 1＝32a ，PF 2＝12a.由PF 21＝PF 22＋F 1F 22得94a 2＝14a 2＋4c 2＝14a 2＋4(a 2－1)，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (4分)(2) ① 设直线PQ ：y ＝k(x －1)，代入到椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， (6分)所以k 1＋k 2＝y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝k[（x 1－1）（x 2－3）＋（x 2－1）（x 1－3）]（x 1－3）（x 2－3），化简可得k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7＝215，(10分) 解得k ＝1或k ＝78，即为直线PQ 的斜率．(12分)② 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝0. 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知k 1＋k 2＝2k8k 2＋7，同理可得k 3＋k 4＝－2k 8＋7k 2，(14分)故(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝－4k 256k 4＋56＋113k 2＝－456（k 2＋1k2）＋113≥－456×2k 2×1k2＋113＝－4225， 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时取等号．综上，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值为－4225.(16分)19. 解：(1) 由数列{a n }是P(1)数列得a 6＝a 2a 3＝1，a 12＝a 2a 6＝3，可得a 3＝13.(2分)(2) 由{b n }是P(2)数列知b mn ＝2b m b n 恒成立，取m ＝1得b n ＝2b 1b n 恒成立． 当b 1＝0，b n ＝0时满足题意，此时b n ＝0.当b 1≠0时，由b 1＝2b 21，可得b 1＝12，取m ＝n ＝2得b 4＝2b 22. 设公差为d ，则12＋3d ＝2(12＋d)2，解得d ＝0或d ＝12.综上，b n ＝0或b n ＝12或b n ＝n2，经检验均合题意．(8分)(3) (解法1)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，则有c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020⇒c 2 020·q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020·c 2 020，可得q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020 ①，c 2 020×2 021＝kc 2 020·c 2 021⇒c 2 020·q 2 020×2 021－2 020＝kc 2 020·c 2 020·q ，可得q 2 020×2 021－2 021＝kc 2 020 ②.综合①②可得q ＝1，(10分)故c 2 020×2 020＝c 2 020，代入c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020得c 2 020＝1k ，则当n ≥2 020时c n ＝1k .(12分)又c 2 020＝kc 1·c 2 020⇒c 1＝1k.当1<n<2 020时，不妨设n i ≥2 020，i ∈N *且i 为奇数，由c ni ＝c n ×ni －1＝kc n ×c ni －1＝kc n ×c n ×ni －2＝k 2(c n )2×c ni －2＝…＝k i －1(c n )i . 而c ni ＝1k ，所以1k ＝k i －1(c n )i ，(c n )i ＝(1k )i ，c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k .(16分)(解法2)同解法1得，当n ≥2 020时c n ＝1k.当1<n<2 020时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，而c n ×2 020＝1k ，c 2 020＝1k ，故c n ＝1k ，以下同解法1.(解法3)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，显然{c n }的所有项及k 均不为零，c 1＝1k ，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，当1≤n ≤2 018时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，c (n ＋1)×2 020＝kc n ＋1c 2 020， 两式相除可得c n ＋1c n ＝c （n ＋1）×2 020c n ×2 020＝q 2 020，故当1≤n ≤2 019时，{c n }也为等比数列，(10分) 故c n ＝c 1×q 2 020(n－1)＝1k ×q 2 020(n －1)，则c 2＝1k ×q 2 020，c 4＝1k×q 6 060. 由c 4＝k(c 2)2得q 2 020＝1，且当1≤n ≤2 019时c n ＝1k，(12分)则c 2 020＝kc 2c 1 010＝k ×1k ×1k ＝1k ，c 2 025＝kc 5c 405＝k ×1k ×1k ＝1k ，所以c 2 025c 2 020＝1＝q 5，所以q＝1，故当n ≥2 020时c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝－3ln x ＋x 3，所以f′(x)＝－3x ＋3x 2＝3(x 3－1x)，(1分)由f′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．(3分) (2) 由题意得f′(x)＝－3x ＋3x 2＋2ax －2a ＝3（x －1）x [x 2＋(2a 3＋1)x ＋1]． 令g(x)＝x 2＋(2a3＋1)x ＋1(x>0)，则f′(x)＝3（x －1）xg(x)．当2a 3＋1≥0，即a ≥－32时，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4<0，即－92<a<32时，此时g(x)>0恒成立，f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4＝0，即a ＝－92或a ＝32时，易得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；(6分)当Δ＝(2a 3＋1)2－4>0时，解得a<－92或a>32(舍去)，当a<－92时，设g(x)的两个零点为x 1，x 2，所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2.又g(1)＝2a 3＋3<0，所以0<x 1<1<x 2，故f′(x)＝3x(x －x 1)(x －1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 1，1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，x 2)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)>0；所以f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增； 所以x ＝1是函数f(x)极大值点． 综上所述a<－92.(10分)(3) ① 由(2)知当a ≥－92时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)至多有两个零点，欲使f(x)有两个零点，需f(1)＝1－a<0，得a>1，此时f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax>－3ln x －2ax ，f(1a )>3ln a －2，当a>e 时，f(1a )>0，此时函数f(x)在(0，1)上恰有1个零点；(12分)又当x>2时，f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax(x －2)>－3ln x ＋x 3. 由(1)知φ(x)＝－3ln x ＋x 3在(1，＋∞)上单调递增，所以f(e)>－3＋e 3>0，故此时函数f(x)在(1，＋∞)上恰有1个零点； 由此可知当a>e 时，函数f(x)有两个零点．(14分)② 当a<－92时，由(2)知f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增；而0<x1<1，所以f(x1)＝－3ln x1＋x31＋ax1(x1－2)>0，此时函数f(x)也至多有两个零点．综上①②所述，函数f(x)的零点个数m的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意知Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，b ＋1＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，(4分) 所以矩阵A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4.由f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝－1.(8分)当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵A 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)B. 解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0.(2分)又曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0， 所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，(8分)当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2×2－m ＝0，解得m ＝5.(10分) C. 解：由柯西不等式有(12＋12＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋2z)2＝1，(6分) 所以x 2＋y 2＋z 2≥16(当且仅当x 1＝y 1＝z 2，即x ＝y ＝16，z ＝13时取等号)，(8分)所以x 2＋y 2＋z 2的最小值是16.(10分)22. 解：(1) 当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为42，又P(2，0)，取A(2，22)，(1分) 所以(22)2＝2p·2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x.(2分) (2) 由题意知S △APF ＝12·FP ·|y A |＝12|y A |，S △BPO ＝12·OP ·|y B |＝|y B |.因为S △APF ＝S △BPO ，所以|y A |＝2|y B |.(4分)当k AB ＝0时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以k AB ≠0，故设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，代入抛物线方程得y 2－4my －8＝0, 所以y A ＋y B ＝4m ，y A y B ＝－8.(6分) 当y A >0，y B <0时，y A ＝－2y B ，－2y 2B ＝－8，所以y B ＝－2，x B ＝y 2B4＝1，所以k PB ＝2，直线AB 的方程为2x －y －4＝0.(8分)当y A <0，y B >0时，同理可得直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0. 综上所述，直线AB 的方程为2x±y －4＝0.(10分)23. 解：(1) 当k ＝2时，r ＝1，由a 2a 1＝2（1－2）1＋1＝－1，得a 2＝－1，T 2＝0.(1分)当k ＝3时，r ＝1或2，由a 2a 1＝2（1－3）1＋1＝－2，得a 2＝－2.由a 3a 2＝2（2－3）2＋1＝－23，得a 3＝43，T 3＝13.(3分) (2) 因为a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，由累乘法得a 2a 1·a 3a 2·…·a r ＋1a r ＝2（1－k ）2·2（2－k ）3·…·2（r －k ）r ＋1， 所以a r ＋1＝(－2)r （k －1）2·（k －2）3·…·（k －r ）r ＋1＝(－2)r k ！k （r ＋1）！（k －r －1）！，(5分)所以a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1.(6分) 当r ＝0时，a 1＝1也适合a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1， 所以T k ＝1－2k [C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k ]，(8分) 即T k ＝1－2k [C 0k (－2)0＋C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k－1]， 所以T k ＝1－2k [(1－2)k －1]＝12k [1－(－1)k ]．(10分)。