计算题
一等截面杆在轴向拉力P 作用下，测得杆件A 点处的横向线应变0.00003ε'=-，已知杆的横截面积2300A mm =，材料的弹性模量5210E MPa =⨯、泊松比0.28μ=，试求（1）轴向拉力的数值；（2）图1所示A 点在图2截面处的正应力和剪应力。
30
解：（1）
E E
εσεμ
'
==-=21.42857MPa N P F A E A E
A εσεμ
'
====-=6.43×103N （2）在A 点取单元体，并画A 点的应力状态图 21.43MPa x σσ== 0y xy στ==
cos 2sin 222
cos60
2216.07MPa
x y
x y
xy x x
ασσσσσατα
σσ+-=
+
-=
+
=
sin 2cos 22
sin 602
9.28MPa
x y
xy x
ασστατα
σ-=
+=
=
计算题
杆件上同时作用有如图所示的轴向力和横向力，大小均为10kN P =，杆件的截面为方形截面，截面边长为a =100mm ，杆件长度为l =1m 。试求出杆件的最大、最小正应力的大小。
解答：
画出其轴力图和弯矩图。
杆件的轴向应力为2
/P
P A a σ==轴（拉应力） 杆件的最大弯矩为max M Pl = max
max M y I
σ=弯曲max 412
a I = max 2
a y =±
带入可得max 436212
M a Pl
a a σ=±
=±弯曲max 则最大、最小正应力为： max max 2423
min
6212
M P a P Pl a a a a σσσ=±=
±=±弯曲max 轴
计算题
承受均布荷载作用的矩形截面木梁如图所示，已知l=4m ，b=140mm ，h=210mm ，q=2kN/m ，弯曲时木材的容许正应力[]10MPa σ=，（1）校核该梁的强度；（2）计算该梁能承受的极限荷载。
q
h
b
解答：
ql 8
M 图
（1） 做梁的弯矩图，梁的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为：
2323max 11
210441088
M ql N m ==⨯⨯⨯=⨯⋅
抗弯截面模量为：
222311
0.140.210.1031066
z W bh m -==⨯⨯=⨯
最大正应力为
3max max
2
410 3.88[]0.10310z M MPa W σσ-⨯===<⨯ 满足强度条件。
（2）根据梁的强度条件，梁的容许承受的最大弯矩为： max []z M W σ=
将2max 1
8M ql =带入，即
2
1[]8
z ql W σ= 从而梁的容许承受的极限荷载为：
2622
8[]80.103101010 5.15/4z W q kN m l σ-⨯⨯⨯⨯===
计算题：
图中为一松木压杆（59P λ=）的示意图，其两端的支承情况为：下端固定，上端在xoy 平面内不能水平移动与转动，在xoz 平面内可水平移动与转动。已知3l m =，100b mm =，
150h mm =，材料的弹性模量31010MPa E =⨯。
（1）计算该压杆的临界力；（2）从该杆的稳定角度出发，确定最合理的b 与h 的比值。
b
h x
y z l l z y x
h
b
b h
x
z
y
l xoy 平面xoz 平面
解：（1）计算临界力
由于杆的上端在xoy （纸面平面）与xoz （与纸面平面垂直的平面）内的支撑情况不同，因而，压杆在这两个平面内的柔度λ不同，压杆将在λ值大的平面内失稳。压杆在xoy 和xoz 面内的柔度值分别为 xoy 面52z λ=
=
=
=
xoz 平面138.6y λ==
=
y z λλ>，该杆若失稳，将发生在xoz 面内，59y p λλ>=，故可用欧拉公式计算临界力，其
值为
3
2
3
6
22220.10.121010101277.1()(23)
y cr EI P kN l ππμ⨯⨯⨯⨯⨯===⨯ （2）确定合理的b 与h 的比值
合理的b 与h 的比值，应该使在xoy 和xoz 两个平面内具有相同的稳定性，即应使两个平面的临界力22
1()
z
cr EI P l πμ'=与222()y cr EI P l πμ''=相等。依据cr
cr P P '''=有 332
2
2
2
121212()()hb bh E E
l l ππμμ=
得/1/4
b h ，即为从稳定考虑该杆横截面尺寸最合理的比值。
