高等数学期末复习
第八章 向量代数与空间解析几何
一、内容要求
1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标
2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系
3、会运用定义和运算性质求向量数量积
4、会运用定义和运算性质求向量的向量积
5、掌握向量数积和向量积的定义形式
6、掌握向量模的定义与向量数量积关系
7、掌握向量的方向余弦概念
8、掌握向量的平行概念
9、掌握向量的垂直概念
10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲
面
11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量
13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量
14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量
二、例题习题
1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （内容要求1）
A. )2,4,1(-Q
B. )2,0,1(-Q
C. )0,4,1(-Q
D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D
2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2
,,0321π
θθθ≤
≤），则
=++322212cos cos cos θθθ（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3
解：由作图计算可知，222
123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（内容要求2）
3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2
,,0321π
θθθ≤
≤），则
=++322212cos cos cos θθθ ;
解：222
123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（内容要求2）
4、向量)3,1,1(-=a
，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；
A. 0
B. 1
C. 2
D. )2,11,5(---
解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。（内容要求3） 5、向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-⋅=a b
解：2624i j k -=-++a ，所以(2)61224(1)6-⋅=-⨯+⨯+⨯-=-a b ，所以填6-。（内容要求3）
6、设a =2 i +2j +2k ，b =3j -4k ，则a ·b = 。
解：23202(4)2a b ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，所以填-2。（内容要求3）
7、向量}3,0,1{=a
，}2,1,1{-=b ，则=⨯b a ( )；
A. 6
B. 6-
C. }1,1,3{-
D. }1,1,3{--
解：1
33112
i
j k
a b i j k ⨯==+--，所以选C 。（内容要求4）
8、向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a
,则=⨯b a ；
解：3
122111
i
j k
a b i j k ⨯=-=---，所以填2i j k --，或填{1,1,2}--。（内容要求4）
9、a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ⋅=( ).
(A) sin ab θ (B) sin a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ 解：由定义，选D 。（内容要求5）
10、设,a b 为非零向量，则a b ⋅( )a b ⋅. (A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠
解：因为||||cos θ⋅=⋅a b a b ，所以|||||cos |||||θ⋅=⋅⋅≤
⋅a b a b a b ，选B 。（内容要求5） 11、已知1,a b ==，且a 与
b 的夹角为4
π
，则a b +=( ). (A)
(B) 1 (C) 2 (D) 1解：2
2
2
||||2||
||cos 5θ+=++⋅=a b a b a b ，所以，+=a b A 。（内容要求6） 12、设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ). (A) +=+a b a b (B) -=-a b a b
(C) +=-a b a b (D) +=-a b a b
解：2
2222||||2||||cos ||||θ+=++⋅=+a b a b a b a b ，（cos θ=0）
2
2222||||2||||cos ||||θ-=+-⋅=+a b a b a b a b
所以选C 。（内容要求6）
13、设向量a
与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，则
=++γβα222cos cos cos ;
解：2
2
2
cos cos cos 1αβγ++=，所以填1。（内容要求7） 14、设向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，已知,4
,4
π
βπ
α=
=
则
γ=
解：因为向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，,4
,4
π
βπ
α=
=
222cos cos cos 1αβγ++=，所以cos 0γ=，2
πγ=
，所以填2
πγ=
。（内容要求7）
15、设{1,2,3},{2,4,}a b λ=-=，且//a b ，则λ=( )；
(A)
103 (B) 10
3
- (C) 6- (D) 6 解：因为//a b ，所以123
24λ
-==，所以选C 。（内容要求8）
16、设向量{2,1,10}a =--，{4,2,1}b =-，则向量a 与向量b 的关系是( ). (A) 平行 (B) 斜交
(C) 垂直 (D) 不能确定 解：0⋅=a b ，所以选C 。（内容要求9）
17、已知向量}4,1,1{,-=⊥a b a
，}1,,2{-=m b ，则=m ( )；
A. 1
B. 1-
C. 2
D. 2-
解：因为a b ⊥，所以2402a b m m ⋅=--=⇒=-，所以选D 。（内容要求9）
18、在空间直角坐标系中, 方程4
92
2y x z +=表示的曲面是( )； A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面
解：4
92
2y x z +=为椭圆抛物面，所以选A 。（内容要求10） 19、在空间直角坐标系中，方程2
2
2
=+z x y 表示的曲面是 ( ).
