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第十二章 恒定电流一、电流1、载流子：形成电流的带电粒子 在导体内：自由移动的电子在半导体中：电子或空穴 在电解液中：正、负离子气体中：正、负离子，或自由电子。
2、电流导体中存在着大量可以自由运动的带电载流子，这些载流子所带的电荷称为自由电荷。
导体内如果存在电场，这些自由电荷将会在电场作用下作定向流动。
电荷的定向流动形成电流。
3、形成电流的条件：swf: 12-1 电源在导体内要维持一个电场，或者说在导体两端要存在有电势差。
二、电流强度：描述电流强弱的物理量1、定义：单位时间内通过导体任一截面的电量。
0d lim d t q q I t t∆→∆==∆2、说明：①I 是标量，不是矢量。
②规定正电荷流动的方向为电流正方向。
③在SI 制单位： 库仑/ 秒 = 安培常用毫安（m A ）、微安（μA ）④I 的大小和方向不随时间，则称为恒定电流。
三、电流密度矢量 j描述空间不同点电流的大小和方向。
Swf: 12-2电流的传播1、定义：电流密度矢量 的方向为空间某点处正电荷的运动方向，如图12-2所示。
它的大小等于单位时间内该点附近垂直于电荷运动方向的单位截面上所通过的电量。
2、说明： ①电流密度是一个矢量点函数，其方向为该点处正点荷运动的方向，即该点的电dSdI j =图12-1图12-2场强度的方向。
②在SI 制单位： 安培 / 米23、电流与电流密度的关系设某点处电流密度为j ，若截面 s d 的法向方向与电流密度的方向成 θ 角，则θcos jds dI = s d j dI ∙=如图12-3所示。
当已知电流密度的分布时，要求通过某一曲面S 的电流强度，对曲面S 作积分即可。
⎰∙=Ss d j I 通过某一曲面的电流强度是通过该面积的电流密度的通量。
4、电流的连续性方程在有电流分布的空间做一闭合曲面S ，规定其外法线方向为正。
根据电荷守恒定律，某一时间穿出该曲面的电量等于该曲面内电量的减少。
单位时间内由闭合曲面 S 流出的电量为 ⎰⎰⋅ss d j ，故有：dt dq s d j S -=⋅⎰ 电流的连续性方程电流密度矢量的通量等于该面内电荷减少的速率，电流的连续性方程是电荷守恒定律的一种数学表达式。
第三章 稳 恒 电 流§3.1 电流的稳恒条件和导电规律思考题：1、 电流是电荷的流动，在电流密度j ≠0的地方，电荷的体密度ρ是否可能等于0？ 答：可能。
在导体中，电流密度j ≠0的地方虽然有电荷流动，但只要能保证该处单位体积内的正、负电荷数值相等（即无净余电荷），就保证了电荷的体密度ρ＝０。
在稳恒电流情况下，可以做到这一点，条件是导体要均匀，即电导率为一恒量。
2、 关系式U=IR 是否适用于非线性电阻？答：对于非线性电阻，当加在它两端的电位差Ｕ改变时，它的电阻Ｒ要随着Ｕ的改变而变化，不是一个常量，其Ｕ－Ｉ曲线不是直线，欧姆定律不适用。
但是仍可以定义导体的电阻为Ｒ＝Ｕ／Ｉ。
由此，对非线性电阻来说，仍可得到Ｕ＝ＩＲ的关系，这里Ｒ不是常量，所以它不是欧姆定律表达式的形式的变换。
对于非线性电阻，Ｕ、Ｉ、Ｒ三个量是瞬时对应关系。
3、 焦耳定律可写成P=I 2R 和P=U 2/R 两种形式，从前者看热功率P 正比于R ，从后式看热功率反比于R ，究竟哪种说法对？答：两种说法都对，只是各自的条件不同。
前式是在Ｉ一定的条件下成立，如串联电路中各电阻上的热功率与阻值Ｒ成正比；后式是在电压Ｕ一定的条件下成立，如并联电路中各电阻上的热功率与Ｒ成反比。
因此两式并不矛盾。
4、 两个电炉，其标称功率分别为W 1、W 2，已知W 1>W 2，哪个电炉的电阻大？ 答：设电炉的额定电压相同，在Ｕ一定时，Ｗ与Ｒ成反比。
已知W 1>W 2，所以Ｒ1<R 2，5、 电流从铜球顶上一点流进去，从相对的一点流出来，铜球各部分产生的焦耳热的情况是否相同？答：沿电流方向，铜球的截面积不同，因此铜球内电流分布是不均匀的。
各点的热功率密度p=j 2/σ不相等。
6、 在电学实验室中为了避免通过某仪器的电流过大，常在电路中串接一个限流的保护电阻。
附图中保护电阻的接法是否正确？是否应把仪器和保护电阻的位置对调？ 答：可以用图示的方法联接。
高中物理竞赛辅导讲义第8篇 稳恒电流【知识梳理】一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律）流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。
即∑I =0。
若某复杂电路有n 个节点，但只有（n −1）个独立的方程式。
2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律）对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。
即∑U =0。
若某复杂电路有m 个独立回路，就可写出m 个独立方程式。
二、等效电源定理1． 等效电压源定理（戴维宁定理）两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。
2． 等效电流源定理（诺尔顿定理）两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I 0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。
三、叠加原理若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。
四、Y−△电路的等效代换如图所示的（a ）（b ）分别为Y 网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系时完全等效。
1． Y 网络变换为△网络122331123R R R R R R R R ++=， 122331231R R R R R R R R ++=122331312R R R R R R R R ++=2． △网络变换为Y 网络12311122331R R R R R R =++，23122122331R R R R R R =++，31233122331R R R R R R =++五、电流强度与电流密度 1．电流强度 （1）定义式：q I t∆=∆。
（2）宏观决定式：U I R=。
（3）微观决定式：I neSv =。
2．电流密度在通常的电路问题中，流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中电流的流动情况时，用电流强度描述就过于粗糙了。
高二物理 第十四章稳恒电流第一节、第二节、第三节 知识精讲 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第十四章稳恒电流第一节欧姆定律第二节电阻定律电阻率第三节半导体与其应用二. 知识要点：1. 电流电流的定义式：tq I =，适用于任何电荷的定向移动形成的电流。
对于金属导体有I=nqvS 〔n 为单位体积内的自由电子个数，S 为导线的横截面积，v 为自由电子的定向移动速率，约为10－5m/s ，远小于电子热运动的平均速率105m/s ，更小于电场的传播速率3×108m/s 〕，这个公式只适用于金属导体，千万不要到处套用。
2. 电阻定律导体的电阻R 跟它的长度l 成正比，跟它的横截面积S 成反比。
sl R ρ= 〔1〕ρ是反映材料导电性能的物理量，叫材料的电阻率〔反映该材料的性质，不是每根具体的导线的性质〕。
单位是Ω m 。
〔2〕纯金属的电阻率小，合金的电阻率大。
〔3〕材料的电阻率与温度有关系：① 金属的电阻率随温度的升高而增大〔可以理解为温度升高时金属原子热运动加剧，对自由电子的定向移动的阻碍增大。
铂较明显，可用于做温度计；锰铜、镍铜几乎不随温度而变，可用于做标准电阻〕。
② 半导体的电阻率随温度的升高而减小〔半导体靠自由电子和空穴导电，温度升高时半导体中的自由电子和空穴的数量增大，导电能力提高〕。
③ 有些物质当温度接近0 K 时，电阻率突然减小到零——这种现象叫超导现象。
能够发生超导现象的物体叫超导体。
材料由正常状态转变为超导状态的温度叫超导材料的转变温度T C 。
我国科学家在1989年把T C 提高到130K 。
现在科学家们正努力做到室温超导。
3. 欧姆定律RU I =〔适用于金属导体和电解液，不适用于气体导电〕。
电阻的伏安特性曲线：注意I —U 曲线和U —I 曲线的区别。
还要注意：当考虑到电阻率随温度的变化时，电阻的伏安特性曲线不再是过原点的直线。
[例1] 实验室用的小灯泡灯丝的I —U 特性曲线可用以下哪个图象来表示〔 〕解：灯丝在温度达到一定值时会发光发热，而且温度能达到很高，因此必须考虑到灯丝的电阻随温度的变化而变化。
2013年浙江大学物理竞赛讲义——恒定电流稳恒电流讲义一、电路的基本概念及规律1.电流强度电荷的定向运动形成电流，电流强度即单位时间内通过导体任一截面的电量。
设在时间间隔△t 通过某一截面的电量为△Q ，则电流强度为QI t∆=∆ 电流的微观表达式 ：υnes I =（其中n 为电荷的数密度，S 为导体的横截面积，v 为电荷定向移动的速度） 2.电流密度在通常情况的电路问题中，通过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中的电流的流动时，用电流强度描述就过于粗糙了，这是因为电流在截面上将会有一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。
为此需引入电流密度j ，电流密度的定义，考虑导体中某一给定点P ，在该点沿电流方向作一单位矢量n ，并取一面元△S 与n 垂直，设通过△S 的电流强度为△I ，则定义P 点处电流密度的大小为nev =∆∆=SIj电流密度的单位为安培／米2（A·m －2）。
通过导体任一有限截面△S 的电流强度为：∑=∞→∆⋅=ni ii n S j I 1lim3．电动势正电荷在电场力的作用下从高电势处移到低电势处，而一非静电力把正电荷从低电势处搬运到高电势处，提供非静电力的装置称为电源．电源内的非静电力克服电源内静电力作用，把流到负极的正电荷从负极移到正极．若正电荷q 受到非静电力f →非，则电源内有非静电场，非静电场的强度E 非也类似电场强度的定义：k f E q=非将非静电场把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时所做的功定义为电源的电动势，即W E l qε=⋅∆=∑非非4．欧姆定律通过一段导体的电流强度与导体两端的电压成正比，与电阻R 成反比，即RU I =这条定律，只适用于金属和电解液，即R 为闭合回路的欧姆定律：对于上图可把a 、b 两点连起来形成一闭合回路，则0abU U -=，即 12120Ir IR Ir εε-++++=，1212-I r r Rεε=++，写成一般形式：i iI R ε=∑∑二、题型与方法题型一：复杂电路的计算问题 方法一：基尔霍夫定律1：基尔霍夫第一定律——节点定则：流入任何一个节点的总电流必等于流出该节点的总电流.1234I I I I +=+注意：N 个节点，可以列N-1个独立方程2：基尔霍夫第二定律——回路定则： 沿任一闭合回路的电势变化的代数和为零（或沿任一闭合回路,升高的电势等于降落的电势）注意：M 个网孔，可以列M 个独立方程【例1】如图所示，电源电动势V V 0.1,0.321==εε，内阻Ω=Ω=0.1,5.021r r ，电阻Ω=Ω=Ω=Ω=0.19,5.4,0.5,0.104321R R R R ，求电路中三条支路上的电流强度。
十、稳恒电流1.电流---（1）定义:电荷的定向移动形成电流. （2）电流的方向:规定正电荷定向移动的方向为电流的方向.在外电路中电流由高电势点流向低电势点，在电源的内部电流由低电势点流向高电势点（由负极流向正极）.2.电流强度: ------（1）定义:通过导体横截面的电量跟通过这些电量所用时间的比值，I=q/t（2）在国际单位制中电流的单位是安.1mA=10-3A，1μA=10-6A（3）电流强度的定义式中，如果是正、负离子同时定向移动，q应为正负离子的电荷量和.2.电阻--（1）定义:导体两端的电压与通过导体中的电流的比值叫导体的电阻. （2）定义式:R=U/I，单位:Ω（3）电阻是导体本身的属性，跟导体两端的电压及通过电流无关.3★★.电阻定律（1）内容:在温度不变时，导体的电阻R与它的长度L成正比，与它的横截面积S成反比.（2）公式:R=ρL/S. （3）适用条件:①粗细均匀的导线;②浓度均匀的电解液.4.电阻率:反映了材料对电流的阻碍作用.（1）有些材料的电阻率随温度升高而增大（如金属）;有些材料的电阻率随温度升高而减小（如半导体和绝缘体）;有些材料的电阻率几乎不受温度影响（如锰铜和康铜）.（2）半导体:导电性能介于导体和绝缘体之间，而且电阻随温度的增加而减小，这种材料称为半导体，半导体有热敏特性，光敏特性，掺入微量杂质特性.（3）超导现象:当温度降低到绝对零度附近时，某些材料的电阻率突然减小到零，这种现象叫超导现象，处于这种状态的物体叫超导体.5.电功和电热（1）电功和电功率:电流做功的实质是电场力对电荷做功.电场力对电荷做功，电荷的电势能减少，电势能转化为其他形式的能.因此电功W=qU=UIt，这是计算电功普遍适用的公式.单位时间内电流做的功叫电功率，P=W/t=UI，这是计算电功率普遍适用的公式.（2）★焦耳定律:Q=I 2 Rt，式中Q表示电流通过导体产生的热量，单位是J.焦耳定律无论是对纯电阻电路还是对非纯电阻电路都是适用的.（3）电功和电热的关系①纯电阻电路消耗的电能全部转化为热能，电功和电热是相等的.所以有W=Q，UIt=I 2Rt，U=IR（欧姆定律成立），②非纯电阻电路消耗的电能一部分转化为热能，另一部分转化为其他形式的能.所以有W>Q，UIt>I 2 Rt，U>IR（欧姆定律不成立）.★ 6.串并联电路电路串联电路(P、U与R成正比) 并联电路(P、I与R成反比)电阻关系 R串=R1+R2+R3+ 1/R并=1/R1+1/R2+1/R3+电流关系 I总=I1=I2=I3 I并=I1+I2+I3+电压关系 U总=U1+U2+U3+ U总=U1=U2=U3=功率分配 P总=P1+P2+P3+ P总=P1+P2+P3+7.电动势 --（1）物理意义:反映电源把其他形式能转化为电能本领大小的物理量.例如一节干电池的电动势E=15V，物理意义是指:电路闭合后，电流通过电源，每通过1C的电荷，干电池就把15J的化学能转化为电能.（2）大小:等于电路中通过1C电荷量时电源所提供的电能的数值，等于电源没有接入电路时两极间的电压，在闭合电路中等于内外电路上电势降落之和E=U 外+U内.★★ 8.闭合电路欧姆定律（1）内容:闭合电路的电流强度跟电源的电动势成正比，跟闭合电路总电阻成反比.（2）表达式:I=E/（R+r）（3）总电流I和路端电压U随外电阻R的变化规律当R增大时，I变小，又据U=E-Ir知，U变大.当R增大到∞时，I=0，U=E（断路）.当R减小时，I变大，又据U=E-Ir知，U变小.当R减小到零时，I=E r ，U=0（短路）.9.路端电压随电流变化关系图像U端=E-Ir.上式的函数图像是一条向下倾斜的直线.纵坐标轴上的截距等于电动势的大小;横坐标轴上的截距等于短路电流I短;图线的斜率值等于电源内阻的大小.10.闭合电路中的三个功率（1）电源的总功率:就是电源提供的总功率，即电源将其他形式的能转化为电能的功率，也叫电源消耗的功率 P 总 =EI.（2）电源输出功率:整个外电路上消耗的电功率.对于纯电阻电路，电源的输出功率.P 出 =I 2 R= 2 R ，当R=r时，电源输出功率最大，其最大输出功率为Pmax=E 2/ 4r（3）电源内耗功率:内电路上消耗的电功率 P 内 =U 内 I=I 2 r（4）电源的效率:指电源的输出功率与电源的功率之比，即η=P 出 /P总 =IU /IE =U /E .11.电阻的测量原理是欧姆定律.因此只要用电压表测出电阻两端的电压，用安培表测出通过电流，用R=U/I 即可得到阻值.①内、外接的判断方法:若R x 大大大于R A ，采用内接法;R x 小小小于R V ，采用外接法.②滑动变阻器的两种接法:分压法的优势是电压变化范围大;限流接法的优势在于电路连接简便，附加功率损耗小.当两种接法均能满足实验要求时，一般选限流接法.当负载R L较小、变阻器总阻值较大时（RL的几倍），一般用限流接法.但以下三种情况必须采用分压式接法: a.要使某部分电路的电压或电流从零开始连接调节，只有分压电路才能满足.b.如果实验所提供的电压表、电流表量程或电阻元件允许最大电流较小，采用限流接法时，无论怎样调节，电路中实际电流（压）都会超过电表量程或电阻元件允许的最大电流（压），为了保护电表或电阻元件免受损坏，必须要采用分压接法电路.c.伏安法测电阻实验中，若所用的变阻器阻值远小于待测电阻阻值，采用限流接法时，即使变阻器触头从一端滑至另一端，待测电阻上的电流（压）变化也很小，这不利于多次测量求平均值或用图像法处理数据.为了在变阻器阻值远小于待测电阻阻值的情况下能大范围地调节待测电阻上的电流（压），应选择变阻器的分压接法.。
第三章 稳恒电流前几章（真空、导体与电介质）为静电学，涉及静止电荷的电现象；本章论述有关运动电荷知识。
带电粒子运动伴有电量迁移而形成电流，若电流不随t 而改变，则称为稳恒电流，即直流(DC)。
研究方法：路论，重点以金属导体为例研究规律及计算。
§1 稳恒电流的闭合性及导电规律一、电流电荷的定向移动形成电流。
1、产生电流的条件产生电流需要两方面的条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧.;);(.;);(,机械作用等化学作用本章以此为主电场作用的某种作用有迫使电荷作定向运动对半导体中：电子、空穴离子、电子流电解液、气体中：正负本章以此为主金属中：自由电子即载流子荷存在可以自由移动的电 2、电流方向惯例规定：正电荷流动的方向。
多数情况下导电由负电荷引起，而正电荷沿某方向定向运动与负电荷沿反方向运动产生相同效果（注：有例外，如霍耳效应）。
二、电流强度和电流密度矢量1、电流强度I金属中自由电子作无规则热运动，即使在K T 0=，仍s m u 610≈热，但0=热u 。
故无宏观净电量迁移。
定向运动形成宏观净电荷迁移，此定向运动为漂移运动v需由电场提供力作用来完成，漂v 虽小，约为104-sm 量级，但却形成宏观电流。
电流强弱用电流强度I 描述，定义如下：dtdq I =即导体中单位时间通过的某一给定截面的电量为通过该面的电流强度。
（不涉及导体截面粗细和截面上电流详细分布）。
[说明](1) I 为标量，单位为:安培（A ）—— SI 制中基本单位之一。
秒库安11=， A mA A μ6310101==(2) 仅粗略描述单位时间内通过某一曲面（可大可小、可任意形状）的总电量，不够点点详细，如图4-1所示。
(a) I 相同，但分布有别 (b) 高频趋肤(c) 电阻法探矿 (d) 用电流场模拟静电场图4-1下面引入电流密度矢量J详细描述电流场分布。
2、电流密度矢量J),,(z y x J J=是空间坐标的矢函数，其定义为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=⊥，即电流方向。
沿该处正电荷运动方向—方向通过的电量向单位时间、单位截面导体中某点垂直电流方—大小;ds dt dq JE A 2s 1s B+ VE+V[说明](1) J的单位为2mA，一般),(t r J J=，空间、时间而变，构成矢量场---电流场。
可引入电流线、电流管的概念：电流线——即J 线，其上切向代表电流方向、数密度表示J的大小； 电流管——即由J线围成的管状区域。
例：导线表面为一自然电流管。
(2) J与电流密度ρ的关系① 一种载流子：v nq v J==ρ，v 为漂移速率，n 为荷电q 的粒子数密度，如图4-2；② 多种载流子：∑=ii i v Jρ。
即使0=ρ（电中性），但并不代表0=J （因为v可不同）。
图4-2图4-33、I 与J的关系即强度与通量的关系，如图4-3所示。
∵⊥⊥=⋅=ds dIds dt dq J∴ds J s d J ds J dI θcos =⋅=⋅=⊥θsd jυvh =1=s故⎰⋅=ss d J I类似于电通量与场强的关系：⎰⋅=se s d Eφ。
三、电流连续性方程 稳恒电流的闭合性1、电荷守恒定律的数学表述研究J 通量与电荷时间变化率dt dq 的关系：在电流场中任取闭合面S ，其体积为V ，如图4-4，其内含电荷总量()t q 为()⎰=vdV t r t q ),(ρ图4-4单位时间内通过闭合面S 流出的总电量为：⎰⋅ss d J，据电荷守恒，此流出量必等于面S 内电荷的减少率，即dtdq s d J s-=⋅⎰ 此即电荷守恒定律的数学表述，也称之为电流连续性方程。
它表明电流场中电流线是有头有尾的起自正电荷减少处、止于正电荷增加处。
2、稳恒电流条件及闭合性(1) 稳恒电流条件一般),(t r J J=，电流场J 总是伴随电场E （因为E 推动q 形成J ），而该电ssd )(t q v j场又是由导体各处（内、外及表面上）分布着的电荷ρ所激发，即：ρ→E→J欲使电流J 稳恒，即)(r J J =，则需空间各处的q 分布不随t 而变，有0=dt dq，由电荷守恒得稳恒电流条件为0=⋅⎰ss d J(2) 稳恒电流的闭合性由0=⋅⎰ss d J可得稳恒电流线的一个重要性质——闭合性：稳恒电流从闭合面S 某处流入的电流线条数与流出数相等，电流场中找不到J 线的源和尾，即J线闭合而不中断。
J线的闭合性就决定了稳恒电路是闭合电路。
如图4-5，分析如下：(a) (b)图4-5在图4-5(a)中，已充电的C ，让其放电形成暂时电流，空间ρ乃至E分布变化，因而J不稳定；在图4-5(b)中，若C 换成电源，则电流线闭合。
(3) 说明点：① 空间电荷分布不变，不意味着电荷不动，而应是动态分布，即：任何地方流失的电荷必被别处流来的电荷所补充。
② 稳恒电流对应的电场称为稳恒电场，仍遵从：⎰⎰=⋅v ss d E dV 10ρε ， 0=⋅⎰l l d E故仍可有电势概念，不过相比静电场，稳恒电场要求要放宽些，静电场仅为稳恒电场之特例。
Q +Q-cRRεI四、欧姆定律（不含源）1、欧姆定律的积分形式欲形成电流I ，则需电场力推动电荷定向运动，有了E，在导体两端就有电压U ，I 与U 的关系满足欧姆定律RUI =，或GU I = 其中R 为电阻，反映导体对电流的阻碍作用，单位：Ω，且Ω 10 =1M Ω ,10 =1k Ω63。
R G 1=称为电导，反映导体对电流的导通能力，单位：西门子。
称RUI =为欧姆定律的积分形式，是因为其中各量均具有积分形式：⎰⋅=ss d J I ⎰⋅=ll d E Usdl R lρ⎰= 对于粗细均匀、材料均匀的导体，其电阻为sl R ρ= 式中ρ为电阻率（单位：m ⋅Ω），s l ，为几何尺寸。
而电导率为ρσ1=当导线的ρ、S 任一或都不均匀时，基于上述R 表示形式和电阻串联规律，S 、ρ积分流动点的函数：),,(),,,(z y x s z y x ==ρρ，积分路径l 应沿电流线方向，垂直面取与J s，如图4-6。
图4-6可见，R 与电流方向有关。
满足欧姆定律的媒质称为欧姆媒质。
I1s s2s jsdrdl =+[说明两点](1) R 与ρ是不同的物理量。
ρ描写导体本身特性，与材料、温度有关；R 描写一段导体性质，除与上述有关外，还与几何形状、尺度等有关。
(2) 导体或元件的伏安特性，有线性、非线性之分，其伏安曲线如图4-7所示。
线性时，R 与I 、U 无关；非线性时，R 与I 、U 有关（如：二极管）。
图4-72、欧姆定律的微分形式电流由电场推动电荷形成，故E j~有直接联系。
如图4-8，J 与E方向相同，有RUI ∆=∆图4-8将slR l E U s J I ∆∆=∆=∆∆=∆σ1,,代入上式，并考虑方向得 IαUIU场j l∆s∆I∆U∆EE J σ=该式表明，J 与E 点点对应，当地的E 推动当地的ρ形成J 。
E稳恒，则J 也稳恒；一旦E消失，则J 也消失。
[推广](1) 以上E指稳恒场，非稳恒场时也成立；(2) 以上不含非静电场力对应的场K，而当在电源内时有)(K E J +=σ五、电功率 焦耳定律1、电功 电功率电流通过导体时，正电荷从高电势到低电势。
若电路两端电压为U ，则当q 单位的电荷通过它时，电场力做功为IUt qU A ==因而，电功为IUt A W ==而单位时间做功称为电功率IU tWP ==表明：若两端电压U ，流入电流为I ，则此段电路吸收功率即为IU ，与该电路中用电器的性质无关。
单位为：(1) 电功A — J, 1KW ·H =3.6×106 J 称为一度电；(2) 电功率p — W ,10KW =103 W 。
2、焦耳定律电流通过欧姆媒质时，其电阻为 R ，则电能以热的形式释放。
热能：t RU Rt I IUt A Q 22====； 热功率：RU R I t Q P 22===---焦耳定律；热功率密度：σσ22J E E J p ==⋅= ，表示单位体积欧姆媒质所耗热功率。
推导如下：在导体内，取S=1、V=1的截面体元，如图4-9。
则图4-9E U J I ==,，代入IU P =，得E J JE p⋅==。
对于欧姆媒质，E J σ=，所以σσ22J E p ==。
六、金属导电的经典微观解释1、金属经典电子论金属可视为晶格点阵上的原子实（微振动）与自由电子（热运动）之集合。
忽略电子间的相互作用，遵从a m F=（经典！），电子与晶格的作用仅考虑碰撞时，用一次碰撞理论（即一次碰撞，电子动能即丧尽，散向何方随机）。
如图4-10，当无外电场时，自由电子参与无规则热运动v，其平均值为零；当有外电场作用时，自由电子参与两种运动：热运动v （与E 无关）、漂移运动u（与E有关），且v u <<。
设电子数密度为n ，则形成宏观电流为u ne u J-==ρ以下求u （反向与E u）。
2、欧姆定律的解释j即导出电导率σ与微观量的关系。
图4-10 图4-11自由电子在电场E 中获得加速度：E m e a-=。
因与晶格碰撞受阻，速度增加受限制。
下面考察相邻两次碰撞的细节：设相邻两次碰撞之间历经λτ平均自由程平均自由时间，其间平均速率为v v u u ≈+=3 （ v u << 热运动速率）所以，vλτ=，且因v 与E 无关，故τ也与E 无关。
在相邻两次之间，由初始漂移00=u至末速1u，如图4-11，有τττE me a a u u-==+=01求得自由程内平均漂移速度为τE me u u u 21210-=+=将vλτ=τ 代入之，得E vm e u λ21-=再将此式代入前述u ne J-=，便得Ee-+晶格u+121u 00=u匀加速11 / 11 E vm ne J )2(2λ= 最后，将上式与以前E J σ=对比，可得电导率为vm ne 22λσ= 式中各量均与E 无关，故J 正比于E ，解释了欧姆定律。
[理论评价]T v ∝ （ 据热力学208)(v mkT dv v vf v ≈==⎰∞π，电子热运动） T 1∝∴σ，即 T ∝ρ，表明：随T ↑，电阻增大，与以前定性地一致。
但可惜地是与实验结果T ∝ρ不符合。
需借助量子理论加以解释。
至于焦耳定律的解释，这里从略：其方法类似，考虑电子所获动能经碰撞交给晶格，单位体积传递给晶格能量为 22)2(E vm ne A λ=。
3、金属导线导电的图象室温下，电子平均热运动速率s m v /10~5，而漂移s m u /10~4-，u 虽小却是形成I 的基础。
电路以光速联系，E J σ=表明：当地的E 推动当地的ρ形成J ，电流非传播能量的载体，能量通过导线周围空间传递。
