2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2
230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=
A .[-2,-1]
B .[-1,2）
C .[-1,1]
D .[1,2）
2.32
(1)(1)i i +-=
A .1i +
B .1i -
C .1i -+
D .1i --
3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是
A .()f x ()g x 是偶函数
B .|()f x |()g x 是奇函数
C .()f x |()g x |是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为
A 3
B .3
C 3m
D .3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
A .18
B .38
C .58
D .78
6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =
A .
203 B .165 C .72 D .158
8.设(0,)2π
α∈，(0,)2π
β∈，且1sin tan cos βαβ
+=，则
A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
9.不等式组1
24
x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：
1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,
3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是
A .2p ，3P
B .1p ，4p
C .1p ，2p
D .1p ，3P
10.已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =
A .72
B .5
2
C .3
D .2
11.已知函数()f x =3
2
31ax x -+，
若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为
A .（2，+∞）
B .（-∞，-2）
C .（1，+∞）
D .（-∞，-1）
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A 62
B .42
C .6
D .4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.8()()x y x y -+的展开式中2
2
x y 的系数为 .(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1
()2
AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2
s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；本文来自有途高考网
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2
δ近似为样本方差2
s .
(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .
15012.2.
若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.
19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.
(Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o
160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），
椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为
3F 是椭圆的焦点，直线AF 23，O 为坐标原点.
(Ⅰ)求E 的方程；有图高考网
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
21. (本小题满分12分)设函数1
(0ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为
(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE
.(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.
(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若0,0a b >>，且11
ab a b
+=
(Ⅰ) 求3
3
a b +的最小值；
（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案（B 卷）
一选择题
1. A
2.D
3.C
4.A
5.D
6.C 7 .D 8. C 9. B 10.B 11.C 12.B
二填空题
13.-20 14.A 15.90度 16.错误！未找到引用源。
三解答题
17.解：
（I ）由题设，错误！未找到引用源。
=bSn-1，错误！未找到引用源。
=bSn-1 两式相减的错误！未找到引用源。
=b 错误！未找到引用源。
由于错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
）由题设，由（I ）知 解得b=4
故错误！未找到引用源。
，由此可得
{错误！未找到引用源。
}是首项为1，公差为4的等差数列，错误！未找到引用源。
{错误！未找到引用源。
}是首项为3，公差为4的等差数列，错误！未找到引用源。
=4n-1 所以错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
因此存在b=4，使得数列为等差数列
（18）解
（I ）收取产品的质量指标值的样本平均数a 和样本方差b 分别是 a=200 b=150
（错误！未找到引用源。
）由上诉可此，Z~N(200，165),从而 P （187.8<Z<212.2）=P(200-12.2<Z200+12.2)=0.6826
一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意可知X~B(100,0.6826),所以EX=100错误！未找到引用源。
（19）解：
（I ） 连结1BC ，交1B C 于点O ，连结AO 。
因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点。
又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，由于AO ⊂平面ABO ，故1B C AO ⊥ 又1B O CO =，故AC=1AB ， ……6分 （II ）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 。
又因为AB=BC ，所以BOA BOC ∆≅∆。
故OA OB ⊥，从而OA 、OB 、1OB 两两相互垂直。
以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示的空间指教坐标系O-xyz.
因为160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角角，又AB=BC ，则A 3，B （1,0,0），13
(0,,0)B ，
3C(0,,133(0,AB =,113(1,0,A B AB ==,113
(1,0,B C BC ==
设(x,y,z)n =式平面1A AB 的法向量，则
1110
n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩ 即 33
0303y z x z ⎧=⎪⎨
⎪-=⎪⎩
所以，取n=（133
设m 是平面111A B C 的法向量，则11010
m AB m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
同理可取m=（1，33
则cos n m =
1
7
m n n m ⋅= 所以，所求角A-A 2B 2-C 1的余弦值为17
(20)解：
（1）设F(C,0)，由条件知，223c 3c ==得又
2223
a 2,
b 12
c a c a ===-=所以 故E 的方程为2
14
x y +=
故设l:y=kx-2,P(x 1,x 2)
将y=kx-2代入24x +y 2
=1得
（1+4k 2
）x 2-16kx+12=0
当2
16(43)k ∆=-＞0，即2
k ＞3
时， 1.2x 28243k k ±- 从而2
1k +12x x -|=222
41*4341k k k +-+ 又点O 到直线PQ 的距离2
1
k +。
所以OPQ ∆的面积
21443
.||2opq k s d PQ -== ………………..9分 243k t -=，则t ﹥0, 244
4
4opq t s t t t ∆==
++ 因为t+4
t
≥4.当且仅当t=2,即k=±7时等号成立，且满足∆﹥0.
所以，△OPQ 的面积最大时，l 的方程为
………………….12分
（21）解：
（I ）函数f （x ）的定义域为()0,+∞，f ’（x ）=112ln x
x x x a b b a x x x e e e e x
--+-+，
由题意可得f （1）=2 ，f ’（1）=e
故a=1，b=2………………5分
（II ）由（I ）知，f （x ）=12ln x x x x e e -+，从而f （x ）＞1等价于xlnx ＞2x
x e
e --.
设函数g （x ）=xlnx ，则g ’(x)=1+lnx
所以当x ∈(0, 1e ) 时，g ’(x)＜0；当x ∈（1
,e +∞）时，g ’(x)＞0.
故g （x ）在（0，1e ）单调递减，在（1
e
，+∞）单调递增，从而g （x ）在(0,)+∞的最小
值为g （1e ）=- 1
e
……………8分
设函数h （x ）= 2x
x e
e --，则h ’（x ）= (1x)x e --.
所以当(0,1)x ∈时，h ’（x ）＞0；当(1,)x ∈+∞时，h ’（x ）＜0.
故h （1）在（0,1）单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而h （x ）在(0,)+∞
的最大值为h （1）= 1e
-
综上，当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （X ）＞1……………………….12分
(22)解：
（I ）由题设知A,B,C,D 四点共圆，所以∠D=∠CBE 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E ……5分
（II ）设BC 的中点为N,连结MN ，则由MB=MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上。
又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD 所以AD//BC,故∠A=∠CBE
又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E 。
由（I ）知，∠D=∠E ，所以∆ADE 为等边三角形。
（23）解：
（I ）曲线C 的参数方程为2cos ,
3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）
直线l 的普通方程为2x+y-6=0
（II ）曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）到l 的距离为
53sin 65
d θθ=+-
则()
0255sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角，且tan α=4
3
当()sin θα+=-1时，PA 取得最大值，最大值为5
5
当()sin θα+=1时，PA 25
（24）解：
（I 11ab a b ab =+≥，得ab ≥2，且当2
故3333a +b 2a b 42a=b=2≥，且当时等号成立
所以33a +b 的最小值为42（II ）由（I ）知，2a+3b 26ab ≥≥43
由于436，从而不存在a，b，使得2a+3b=6
捷登教育/。
