北师大版高一数学必修一集合知识点

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆AB B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇（ ）⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==叫做象， 叫做原象。

北师大高一数学集合知识点数学是一门抽象而又广泛应用的学科，而数学中的集合是其中的一个基本概念。

在高中数学的学习中，我们需要熟悉和掌握关于集合的基本知识和运算法则。

本文将为大家介绍北师大高一数学集合知识点，帮助大家更好地理解和应用集合。

一、集合的概念集合是由确定的对象组成的整体。

这些对象称为集合的元素，用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。

例如，A={1, 2, 3, 4}表示一个集合A，它的元素是1、2、3、4。

集合中的元素是无序的，即集合中元素的排列顺序不影响集合的本身。

同时，集合中的元素是唯一的，即同一个元素不能重复出现在一个集合中。

二、集合的表示方法1. 列举法：直接列举集合中的元素。

例如，A={1, 2, 3, 4}。

2. 描述法：利用一个或多个性质描述集合中的元素。

例如，B={x|x是自然数且小于5}表示一个集合B，它的元素是小于5的自然数。

三、特殊集合1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

2. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用大写字母U表示。

四、集合的运算集合运算是对集合进行操作的方法，常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。

1. 并集：包含所有属于A或属于B的元素的集合称为A和B的并集，用符号∪表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

2. 交集：包含既属于A又属于B的元素的集合称为A和B的交集，用符号∩表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

3. 差集：属于A但不属于B的元素构成的集合称为A和B的差集，用符号\( \ A - B \)表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A - B={1}。

4. 补集：全集U中不属于集合A的元素构成的集合称为A的补集，用符号\( \ A' \)表示。

例如，若全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={2, 3}，则A'={1, 4, 5}。

北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第一节 集合的概念及其运算考 点 串 串 讲1．集合的概念与表示(1)集合与元素一般地，某些指定的对象集在一起，就称为一个集合，也简称集．或者说，符合某种条件(或具有某种性质)的全体就构成了一个集合．通常用大写字母A ，B ，C ，…表示集合，集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写字母a ，b ，c ，…表示．(2)集合的分类①集合⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 按元素的性质分⎩⎪⎨⎪⎧ 数集点集具有其他属性的集合按元素的个数分⎩⎪⎨⎪⎧ 空集有限集无限集②空集：不含任何元素的集合叫作空集，通常用符号∅表示．如：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝14x －2y ＝3是空集，一方面它说明了方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝14x －2y ＝3无解，另一方面从解析几何的角度分析，说明了直线2x －y ＝1与直线4x －2y ＝3平行，没有公共点，因此由这两条直线的公共点组成的集合是一个空集．注意集合{∅}、空集∅、数字0和{0}的区别与联系：∅⊆{∅}，∅∈{∅},0∈{0}，∅≠0，∅≠{0}．(3)基本数集专用符号常用的基本数集有正整数集N *或N ＋、自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 和复数集C ，它们之间满足的关系是N *N Z Q R C.要认识清楚这些集合的意义．(4)集合中元素的性质集合的元素具有确定性、互异性、无序性．①确定性：对于集合A 和某一对象x ，有一个明确的判断标准，要么x ∈A ，要么x ∉A ，二者必居其一．如：“所有的高个子”、“学习成绩好的人”．这类对象没有明确的标准，因此不能构成集合．②互异性：集合中的相同元素只能算作一个，即集合中没有重复的元素．如：{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，而不能写成{1,1}．③无序性：集合中的元素是无序的．如：{1,2}与{2,1}是同一个集合．两个集合相等：当且仅当它们的元素完全相同时，这两个集合才相等．(5)元素与集合的关系①元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系，某个对象x要么在集合A中，要么不在集合A中．如果x在A中，记为：x∈A，读作“x属于A”；如果x不在A中，记为：“x∉A”，读作“x不属于A”．如：3∈{3,5,8}，而2∉{3,5,8}．②元素与集合之间是个体与整体的关系．③“∈”与“∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系，除非某个集合是另一个集合中的“元素”！如：{1}∈{1,3,5}，{2}∉{1,3,5}，这样的写法是错误的，而{1}∈{{1}，{3}，{1,3}}这种写法是正确的，因为在这里集合{1}是集合{{1}，{3}，{1,3}}中的元素了．(6)集合的表示法集合的表示法有列举法，描述法，图示法(Venn图法)．①列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内的表示法．列举法适用于元素为有限个的集合或自然数集或其子集．如：Z＝{0，±1，±2，±3，…}，N*＝{1,2,3，…}．②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．如：不等式|x|≤1的解集可以用描述法表示为：{x||x|≤1}．大括号中“|”的前面是集合的代表元素，后面是元素所满足的条件，即集合中所有元素共同具有的本质特性，有时“|”用“：”代替，如{a＋2b：a∈Q，b∈Q}．对于描述法需注意看清代表元素：如集合{x|y＝x－1}，表示函数y＝x －1的定义域，而集合{y |y ＝x －1}则表示函数y ＝x －1的值域．还有方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0g (x ，y )＝0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ f (x ，y )＝0g (x ，y )＝0，这个集合中元素的形式是有序数对(x ，y )，其几何意义就是两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的交点．如方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝23x －y ＝6的解集应写成⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2y ＝0或{(2,0)}，而不能写成{2,0}，前者是单元集，即方程组只有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，亦即两直线只有唯一的公共点P (2,0)，而{2,0}是一个二元集．③图示法：有时为了直观起见，用“框”或“圆”表示集合及其相互关系，这种表示法叫作Venn 图法．如图所示．各种表示法是可以相互转化的．如：{x||x|≤3，x∈Z}＝{0，±1，±2，±3}．2．集合之间的关系(1)子集、真子集①定义：如果对于集合A中的任何一个元素x，都有x∈B，则称集合A为集合B 的子集，记作A⊆B或B⊇A.特别地，如果A是B的子集，且在集合B中至少有一个元素x∉A，则称A是B 的真子集，记作A B，或B A.如Q R，N Z.②作为定义的特殊情况有：(ⅰ)空集是任何非空集合的真子集，即∅A，空集是任何集合的子集，即∅⊆A；(ⅱ)任何集合A都是它本身的子集，即A⊆A.③注意：(ⅰ)在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合．因为如果这样就无法理解上面(ⅱ)中的两种特殊性质；(ⅱ)子集与真子集的区别就在于“A⊆B”允许A＝B或A B，而“A B”是不允许“A＝B”的，所以若“A⊆B”则“A B”不一定成立．④若集合A中的元素有n个，则集合A 的子集有2n个，其证明方法需要用到排列组合知识．如集合A＝{0,1,2}的子集有23＝8个，它们分别是：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，其中真子集有23－1＝7个，即集合{0,1,2}除外，其余的7个都为真子集．(2)两个集合的相等关系——集合的相等①定义：对于两个集合A、B，如果A ⊆B，同时B⊆A，那么A＝B.②注意：(ⅰ)从两个集合相等的定义，可以看出，若两个集合相等，则两个集合的元素完全相同，反之也成立；(ⅱ)教材中用彼此互相包含来定义相等．实际上也给出了两个集合相等的证明方法．3．集合的运算(1)交集①定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A 且x∈B}．用Venn图表示，图中阴影部分为A∩B.②根据定义，用Venn图不难验证下述交集的性质．③注意：(ⅰ)根据定义可知A∩B是由集合A与集合B的公共元素所组成的集合，如果A与B没有公共元素，则A∩B＝∅.这一条可以看成是对定义的补充，所以又有了A∩∅＝∅；(ⅱ)如果集合B不确定而已知A∩B＝∅，则应分两种情况考虑，一种是B≠∅的情形，另一种是B＝∅的情形，在实际解题过程中有不少同学常常忽略这种情形．(2)并集①定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫作集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．②根据定义，用Venn图可以验证并集的性质．(3)全集与补集①全集(ⅰ)定义：全集是相对于所研究的问题而言的，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作是一个全集，常用U、I或S来表示．(ⅱ)注意：全集具有相对性，如研究有理数或无理数时常取实数集为全集．②补集(ⅰ)定义：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A⊆S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫作S的子集A 的补集(或余集)，记为∁S A，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．用Venn图表示，图中阴影部分为∁S A.(ⅱ)根据定义及上图可以得出：∁S(∁S A)＝A，∁S∅＝S，∁S S＝∅.(4)集合中元素的个数①card(A)＋card(∁U A)＝card(U)②card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)(容斥原理)③card(A∩B)＝card(A)－card(A∩∁UB)＝card(B)－card(B∩∁U A)典例对对碰题型一集合的表示方法例1用列举法表示下列集合：(1){x|62－x∈Z，x∈Z}；(2){x|x＝ab，a∈Z，|a|＜2，b∈N*且b≤3}；(3){(x，y)|y＝2x，x∈N且1≤x＜4}．解析(1)∵62－x∈Z，∴|2－x|是6的因数，故|2－x|＝1或|2－x|＝2或|2－x|＝3或|2－x|＝6，即x＝1、3、4、0、－1、5、－4、8.∴{x|62－x∈Z，x∈Z}＝{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．(2)由a∈Z，|a|＜2，知a＝－1、0、1，由b∈N*且b≤3，知b＝1、2、3.所以ab的值为－11、1、11、－12、2、12、－13、3、13.考虑到集合中元素的互异性，故原集合可用列举法表示为{－1,0,1，－12，12，－13，13}．(3)∵x∈N且1≤x＜4，∴x＝1、2、3，其对应的y值分别为2、4、6，故原集合用列举法可表示为{(1,2)，(2,4)，(3,6)}.变式迁移1试用列举法表示下列集合：(1)24的正约数；(2)数轴上与原点的距离小于1的所有点；(3)平面直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的点；(4)所有非零偶数；(5)所有被3除余数是1的数．解析 (1){1,2,3,4,6,8,12,24}；(2){x ||x |＜1}；(3){(x ，y )|y ＝x }；(4){x |x ＝2k ，k ∈Z ，k ≠0}或{x |x 2∈Z 且x ≠0}；(5){x |x ＝3k ＋1，k ∈Z}.题型二 元素与集合的关系例2设全集为R ，A ＝{x |x 2－5x －6＞0}，B ＝{x ||x －5|＜a }(a 是常数)，且11∈B ，则有( )A ．(∁R A )∪B ＝RB．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝RD．A∪B＝R解析∵A＝{x|x＜－1或x＞6}，又11∈B，∴可知B不是空集．∴a＞0，B＝{x|5－a＜x＜5＋a}．∴由|11－5|＜a知a＞6，因此，有5－a ＜－1,5＋a＞6.于是A∪B＝R.答案 D变式迁移2已知－3∈A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，求a的值及对应的集合A.解析由－3∈A，可知，a－3＝－3或2a－1＝－3.当a－3＝－3，即a＝0时，A ＝{－3，－1,1}；当2a－1＝－3，即a＝－1时，A＝{－4，－3,2}.题型三集合与集合之间的包含关系例3设集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，则()A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝∅解析M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}＝{x|x＝k＋24，k∈Z}．∵2k＋1为奇数，而k＋2为整数，∴M N，故选B.答案 B变式迁移3(2011·南京调研)满足条件{1,2,5}M A＝{1,4,8，x，y，x－y}的所有不同集合M的个数为________．答案12个解析由条件2∈A且5∈A，知A＝{1,4,8,2,5,3}或{1,4,8,2,5，－3}或{1,4,8,2,5,7}．若M为四元素集合，则有{1,2,5,4}、{1,2,5,8}、{1,2,5,3}、{1,2,5，－3}、{1,2,5,7}共5个；若M为五元素集合，则有{1,2,5,4,8}、{1,2,5,4,3}、{1,2,5,4，－3}、{1,2,5,4,7}、{1,2,5,8,3}、{1,2,5,8，－3}，{1,2,5,8,7}共7个．所以符合条件的集合M 有12个.题型四有关子集和真子集的问题例4写出集合{a，b，c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解析子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．点评(1)虽然问题简单，但在解题过程中常常漏掉空集与集合本身，一定要予以相当的关注．(2)若集合中含有n个元素，则其子集的个数为2n个，其真子集的个数为2n－1个.变式迁移4写出满足{a ，b }⊆A ⊆{a ，b ，c ，d }的所有集合A .解析 由题设的包含关系知，一方面A 是集合{a ，b ，c ，d }的子集，与此同时又包含集合{a ，b }，A 中必至少要含有元素a 、b ，而c 、d 两个元素可不含、含一个或含二个．故满足条件的集合A 有：{a ，b }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，c ，d }.题型五 集合的相等例5已知以3个实数为元素给出的集合用列举法表示时，既能表示为{1，a ，b a }的形式，又能表示为{0，a 2，a ＋b }的形式，试求实数a 、b 的值．分析 设P ＝{1，a ，b a }，Q ＝{0，a 2，a＋b }，依题意即是在P ＝Q 的条件下求实数a 、b 的值，由于有限集集合的相等即是对应元素之间的一一相等，由此可以建立一个关于a 、b 的方程组，但建立这一方程组时要注意讨论，并要保证所求的a 、b 使得集合中元素的互异性得到满足．解析 依题意有{1，a ，b a }＝{0，a 2，a＋b }，∴有a ＝0或b a ＝0，而a ＝0显然与集合中元素的互异性矛盾，∴b a ＝0，即b ＝0，∴{1，a ，b a }＝{1，a,0}＝{0，a 2，a ＋b }＝{0，a 2，a }，∴a 2＝1，∴a ＝±1，当a ＝1时，a 2＝1与集合中元素的互异性矛盾，故舍去，当a ＝－1时，{1，a ，b a }＝{0，a 2，a ＋b }＝{0，－1,1}，因此，a ＝－1，b ＝0.变式迁移5已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，试求x ，y .解析 因为A ＝B,0∈B ，所以0∈A ，又因为lg(xy )有意义，所以xy ≠0.同样也有x≠0，因此只能得到lg(xy)＝0，故xy＝1,1∈A,1∈B.于是|x|＝1或y＝1.①当|x|＝1时，x＝±1，若x＝1时，则集合A中的两元素x，xy都为1，而这与元素的互异性矛盾．若x＝－1时，由xy＝1，则y＝－1.这时A＝{－1,1,0}，B＝{0，－1,1}满足题设条件．②当y＝1时，由于xy＝1，所以x＝1.这也与集合A中的三元素要互异相矛盾．综合①、②可得：x＝－1，y＝－1.题型六集合的运算例6设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x＜1}，则(∁R M)∩N等于()A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}C．{x|x＜1} D．{x|－2≤x＜1}分析本题是以不等式的解集为实数集的子集，考查集合的运算，这是集合类命题的常见题型，进行相关运算时要注意逐步进行．如本题可以先求M在集合R中的补集，再求它与N的交集．解析∵∁R M＝{x|x＜－2，或x＞2}，∴(∁R M)∩N＝{x|x＜－2}．答案 A点评进行不等式解集间的集合运算时，当遇到较为复杂情况时，要注意利用数轴来表示各个不等式的解集，以便能直观地分析出各个集合之间的关系.变式迁移6已知A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，且A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，求a、b、c的值．解析∵A∩B＝{3}，∴3∈B，即9＋3c＋15＝0，∴c＝－8.∴B＝{3,5}＝A∪B，∴A⊆B，又∵A∩B＝{3}，∴A≠B，∴A＝{3}．此时必有a2－4b＝0，且－a2＝3，∴a＝－6，b＝9，因此，a＝－6，b＝9，c＝－8.题型七Venn图的应用例7已知全集U＝{x∈N*|x＜10}，且∁A∩B＝{1,9}，∁U A∩∁U B＝{6,8}，A∩B U＝{2,4}，求集合A和B.分析全集U中的两个子集A、B，可以将全集分成∁U A∩B、A∩∁U B、A∩B和∁U A∩∁U B四大块，本题在化简集合U、明确全集U中的元素后，就能利用Venn图反映出对全集U的四块划分，从而直接写出集合A和B来．解析依题意，全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，作出Venn图如图所示，容易知道A＝{2,3,4,5,7}，B＝{1,2,4,9}．点评对于全集中的任意集合A、B、C，用Venn图可以验证它们之间满足下列性质：(1)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；(2)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C).变式迁移7已知全集I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩B ＝{2}，∁I A∩∁I B＝{1,9}，∁I A∩B＝{4,6,8}，求集合A、B.解析用Venn图将题中给出的数填入相应的位置，3、5、7三数只能填到图中的A∩∁I B处，所以A＝{2,3,5,7}，B＝{2,4,6,8}题型八涉及到有关空集(∅)的问题例8已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．解析∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，解得m ＜2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，解得m ≥2，由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得m ≤3. ∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 点评 进行集合运算，首先要分析简化每个集合，同时切莫漏掉有关空集的情况.变式迁移8若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx＋1＝0}，且B A ，求m 的值．解析 A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13； 当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m＝13，或m＝－12，或m＝0.题型九集合中的转化思想例9设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若A∩B＝B，求a的值；(2)若A∪B＝B，求a的值．分析明确A∩B＝B和A∪B＝B的含义，根据问题的需要，将A∩B＝B和A∪B ＝B转化为等价的关系式B⊆A和A⊆B是解决本题的关键．同时，在包含关系B⊆A 中，不要漏掉B＝∅的情况．解析首先化简集合A，得A＝{－4,0}．(1)由于A∩B＝B，则有B⊆A，可知集合B或为∅，或为{0}，{－4}，{0，－4}．①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.②若0∈B，代入，得a2－1＝0，∴a＝1或a＝－1.当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意；当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也合题意．③若－4∈B，代入，得a2－8a＋7＝0，∴a＝7或a＝1.当a＝1时，②中已讨论，符合题意；当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意，因此a≠7.由①、②、③得a＝1，或a≤－1.(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B.又因为A ＝{－4,0}，而B至多只有两个根，因此应有A＝B.由(1)知，a＝1.变式迁移9设A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且B∩C＝C，求实数a的取值范围．解析∵B∩C＝C⇒C⊆B，又∵A＝{x|－2≤x≤a}，∴a≥－2.∴B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}．①当a ≥2时，C ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }＝{z |0≤z ≤a 2}．由C ⊆B ⇒a 2≤2a ＋3，即－1≤a ≤3.而a ≥2，∴2≤a ≤3.②当0≤a ＜2时，C ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }＝{z |0≤z ≤4}．由C ⊆B ⇒4≤2a ＋3，即a ≥12. 又0≤a ＜2，∴12≤a ＜2. ③当－2≤a ＜0时，C ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }＝{z |a 2＜z ≤4}．由C ⊆B ⇒4≤2a ＋3，即a ≥12，这与－2≤a ＜0矛盾，此时无解．综上，a 的取值范围为：{a |12≤a ≤3}.题型十集合的开放题例10设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析命题①，设P是数域，a∈P且a≠0，由数域定义知a－a∈P，aa∈P，即0∈P,1∈P，故命题①正确；命题②，由1∈Z,2∈Z但12∉Z知整数集不是数域，故命题②不正确；命题③，设M＝{x|x∈Q或x＝π}，则Q⊆M，取a＝2，b＝π有a∈M，b∈M，但ab＝2π∉M，故数集M不是数域，命题③不正确；命题④，设P为数域，m∈P且m≠0，则由数域定义知2m∈P,3m∈P,4m∈P，…，nm∈P(n∈N*)，故集合P为无限集，命题④正确．答案①④变式迁移10定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，则集合M－(M－N)＝()A．M B．NC．M∩N D．∅答案 C解析由图可知，M－N为如图所示的阴影部分，所以M－(M－N)＝M∩N.方法路路通1．集合语言是一种数学的符号语言，要学会正确地使用符号：∈，∉，⊆，⊇，，，∩，∪，∁U等．要注意集合语言转译的准确性．2．处理集合问题时，要注意化简集合的表达式，如果集合中含有字母而使集合不确定时，要注意对字母进行讨论．尤其注意空集的特殊性以及解题后的检验．3．当集合间关系比较复杂时，一方面要用Venn图或数轴进行直观表示；另一方面要学会用元素分析法寻求集合之间的联系与区别，要注意集合中补集思想的灵活运用．4．常用的运算性质及一些重要结论(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A，A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)(3)A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U(4)(C∪A)∩(C∪B)＝C∪(A∩B)，(C∩A)∪(C∩B)＝C∩(A∪B)(5)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A(6)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)(7)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)(8)A⊆B，B⊆C则A⊆C5．掌握集合的概念关键是把握集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．要特别注意集合的互异性，在解题过程中最容易被疏忽，因此要对计算结果加以检验，以确保结果的正确性，防止所得结果违反集合中元素的互异性．6．解答集合有关的问题应首先认清集合中的元素是什么，是数集还是点集？而后再进行相关运算，以免混淆集合中元素的属性．例如：{x|x2＋2x－3＝0}表示方程x2＋2x－3＝0的根组成的集合．{x|x2＋2x－3＞0}表示不等式x2＋2x－3＞0的解集．{x|y＝x2＋2x－3}表示函数y＝x2＋2x－3的定义域．{y|y＝x2＋2x－3}表示函数y＝x2＋2x－3的值域．{(x，y)|y＝x2＋2x－3}表示函数y＝x2＋2x－3的图像上的点构成的集合是点集．总之：认清集合，一定要看清楚代表元素．然后是代表元素应满足的条件．7．分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系是正确掌握和解答集合问题的先决条件，也是正确使用集合有关术语和符号的基础．请记住：元素与集合的关系是：“个体与集体的关系”，而集合与集合的关系是“集体与集体的关系”．8．如果一个集合中含有n个元素，那么这个集合的子集个数为2n，非空子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.9．注意空集∅的特殊性．在解题中，若未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性．如A⊆B，则有A＝∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论．10．等价转化思想：解答集合问题时，有时需要对给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能得以有效利用．如将“A∩B∅”⇔“A∩B≠∅”、“A∩B＝A”⇔“A⊆B”等.正误题题辨例设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a ＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是() A．[1,3] B．(3，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1,3)错解 ∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥2a ＋3≤6，解得1≤a ≤3，故选A.点击 空集是任何集合的子集，忽视这一点，会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x |a ＜x ＜b }一类的集合，当a ≥b 时，它表示空集，解题中要引起注意．正解 ①当B ≠∅时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋32a ≥2a ＋3≤6，解之得1≤a ≤3， ②当B ＝∅时，2a ＞a ＋3，解之得a ＞3. 综合①②得a ≥1.故应选C.答案 C。

高一北师大数学集合知识点高一是数学学科的重要学习阶段，学生们需要掌握并理解许多基本概念和知识点。

其中，数学的集合理论是高一数学的重要内容之一。

本文将以北师大数学课程的要求为基础，以深入浅出的方式介绍高一数学集合知识点。

1. 集合的概念集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

例如，自然数的集合可以表示为N={1, 2, 3, ...}，其中的元素是自然数。

集合可以用大写的字母表示，通过花括号{}来表示元素。

空集合是不含任何元素的集合，通常用符号∅表示。

2. 集合的关系在集合中，有几个常用的关系需要掌握。

首先是包含关系。

一个集合A包含另一个集合B，当且仅当B中的所有元素也同时属于A。

这种关系可以用符号A⊇B来表示。

另一个重要的关系是相等关系。

当两个集合A和B含有完全相同的元素时，它们被认为是相等的，可以用符号A=B表示。

3. 集合的运算集合可以进行不同的运算，包括并、交和差。

并集运算将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，不重复地列出。

这个运算可以用符号∪表示。

交集运算找到两个集合中共同的元素，用符号∩表示。

差集运算从一个集合中去除另一个集合的元素，用符号\表示。

4. 集合的分类根据元素的特征，集合可以被分类。

例如，有限集合是只包含有限个元素的集合，而无限集合则包含无限个元素。

此外，集合可以是数值集合、文字集合或符号集合，可以根据具体情况进行分类。

5. 集合的表示方法在数学中，可以使用不同的表示方法来描述集合。

常用的有枚举法、描述法和图示法。

枚举法是列出集合中的所有元素，描述法则是通过给出元素所满足的条件来描述集合。

图示法则是通过绘制Venn图或数轴等方式来表示集合。

6. 集合的应用集合的概念和相关运算在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。

在集合论中，可以研究集合之间的关系、集合的性质和运算的性质。

在几何学中，集合的应用可以用于研究图形的属性和关系。

在概率论中，集合可以用来描述事件和样本空间之间的关系。

一：集合基本知识点。

1. 集合元素具有确定性、无序性和互异性2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况3. 韦恩图的应用（①已知图形，用集合的运算表示 ②韦恩图用于计算）4. 补集思想（逆向思维）5. 德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==6.U U AB A A B B A BC B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=7.若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个二：简易逻辑基本知识点1. 命题的四种形式及其相互关系（四种命题的转化及应用于判断命题的真假）2. 充要条件3. 全称量词与存在量词，及全称命题和特称命题（两种命题否定及判断真假）4. 逻辑连接词“或”“且”“非”（复合命题的真假，“非”与否命题的区别） 一：函数的基本知识点 1. 函数与映射的概念 2. 函数的三要素及其求法① 函数定义域的求法（保证运算的畅通）② 函数解析式的求法（待定系数法；代入法；配凑法；方程思想）③ 函数值域的求法（观察法；配方法；换元法；单调性法；导数法；判别式法；不等式法；函数有界法；数形结合法，反函数法）3. 分段函数4. 函数的三个重要性质 单调性 ⑴定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f )0(0)]()()[(2121<>--⇔x f x f x x )0(0)()(2121<>--⇔x x x f x f⑵判定：①定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法；③复合函数法；④图像法；⑤加减法 奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f ；⑶)(x f 是偶函数1)()(0)()()()(=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f ；⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个奇函数之和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数；两个偶函数之和是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

高一数学北师大版必修一-知识点北师大版高一数学必修一知识点在高一数学北师大版的必修一中，学生将学习一些基本的数学知识和技巧，为将来的学习打下坚实的基础。

本文将介绍必修一中的几个重要知识点，帮助学生在学习过程中更好地理解和掌握这些内容。

一、集合在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。

在必修一中，我们主要学习了集合的概念、表示方法和基本运算。

1. 集合的概念集合是一种数学概念，用来表示一组具有相同性质的对象。

例如，全班同学的名字可以构成一个集合，全国人口也可以构成一个集合。

2. 集合的表示方法表示集合有多种方法，常见的有列举法和描述法。

列举法是通过将集合中的元素逐个列出来表示；描述法是通过给出满足某个规则的元素的特点来表示。

3. 集合的基本运算在集合中，我们可以进行并集、交集、差集和补集等基本运算。

并集表示两个集合中所有元素的总集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合；补集表示某个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。

二、函数函数是数学中非常重要的概念，用来描述一种映射关系。

在必修一中，我们学习了函数的定义、性质和表示方法。

1. 函数的定义函数是指对每一个自变量值，都有唯一确定的因变量值与之对应。

简单来说，函数是一种输入和输出之间的关系。

2. 函数的性质函数有一些重要的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

其中，定义域是指函数中自变量的取值范围；值域是指函数中因变量的取值范围；单调性是指函数图像在某个区间内的增减趋势；奇偶性是指函数在特定条件下对称的性质。

3. 函数的表示方法表示函数的方法主要有解析式、图像和数据表。

解析式是用公式或方程表示函数的方法；图像是用坐标系表示函数的方法；数据表是将自变量和因变量的值一一对应列出的方法。

三、数列与数列的运算数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。

在必修一中，我们学习了数列的定义、性质和常见的数列类型。