第四章 简单连接体问题和临界问题

牛顿运动定律专题（二）——动力学连接体问题和临界问题知识点一动力学的连接体问题例1.如图所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速运动，已知m A＝10 kg，m B＝20 kg，F＝600 N，求此时轻绳对物体B的拉力大小(g取10 m/s2).练习1.在水平地面上有两个彼此接触的物体A和B，它们的质量分别为m1和m2，与地面间的动摩擦因数均为μ，若用水平推力F作用于A物体，使A、B一起向前运动，如图所示，求两物体间的相互作用力为多大？知识点二动力学的临界问题Ⅰ.平衡中的临界问题例2.物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上(B、C在同一竖直线上)，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，如图所示，伸直时AC与墙面垂直，绳AB与绳AC间夹角也为θ＝60°，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2).练习2.如图7所示，一个倾角为θ＝37°(sin 37°＝0.6)的固定斜面上，放着一个质量为M＝16 kg的三角形物块A，一轻绳一端系着物块A跨过光滑定滑轮，另一端挂着一个质量为m的物块B，A与滑轮间的轻绳水平.斜面与A间的动摩擦因数为μ＝0.8，若最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，为使系统保持静止，m最大为多少？(g取10 m/s2)班级：姓名：Ⅰ.非平衡中的临界问题例3.如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g).(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？练习3.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为()A.μmgB.2μmgC.3μmgD.4μmg1.如图所示，装有支架的质量为M(包括支架的质量)的小车放在光滑水平地面上，支架上用细线拖着质量为m的小球，当小车在光滑水平地面上向左匀加速运动时，稳定后细线与竖直方向的夹角为θ.重力加速度为g，求小车所受牵引力的大小.2. 如图，质量分别为m、M的A、B两木块叠放在光滑的水平地面上，A与B之间的动摩擦因数为μ。

微专题02 力与直线运动第4讲 连接体和临界极值问题2024 .01. 201. 掌握利用整体法和隔离法求解连接体模型，清楚同a 型和不同a 型的连接体的处理方法。

2. 学会分析和解决动力学中的临界、极值问题。

考向1 连接体模型（1）物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和加速度速度、加速度相同（2）轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等．速度、加速度相同 速度、加速度大小相等，方向不同（3）轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度．速度、加速度相同（4）弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度、加速度不一定相等；在弹簧形变最大时，两端连接体的速度、加速度相等．[例1] 由静止释放物块，当小球的质量为0.5kg 时，物块由静止开始到在水平桌面上运动0.5m 所用的时间为1s 。

已知重力加速度大小g 取10m/s 2，不计空气阻力，物块与水平桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

则下列说法正确的是（ ）A ．要使物块能运动，小球的质量至少为0.30kgB ．要使物块能运动，小球的质量至少为0.40kgC ．无论小球的质量多大，轻绳的拉力不可能超过13ND ．无论小球的质量多大，轻绳的拉力不可能超过13.5N 【答案】D【详解】AB ．当小球质量为0.5kg 时，整体受力分析得()mg f m M a -=+且212x at =联立解得 3.5N f = 要使物块运动，小球 至少为0.35kg fm g'==故A 错误，B 正确； CD ．对物块受力分析可知T f Ma -=；()mg f m M a -=+联立解得13.511T m=+当小球质量增大时，绳子拉力在逐渐增大，最大值为13.5N ，故C 错误，D 正确。

故选D 。

考向2 含有“轻质”物体的连接体问题 轻质物体的特点：（1）轻绳、轻杆、轻弹簧、轻环等；理想模型，m=0、无惯性；无重力； ①静止状态，F 合=0，注意题目中绳杆环的约束条件；②运动状态，F 合=0，因为没有惯性，v 可取任何值，速度可以发生突变。

人教版物理必修第一册第4章运动和力的关系连接体问题、临界问题、动力学图像问题教学设计目录一、学习任务二、新知探究探究一：动力学中的连接体问题探究二：动力学中的临界问题探究三：动力学中的图像问题三、素养提升第4章运动和力的关系连接体问题、临界问题、动力学图像问题教学设计一、学习任务1．学会处理动力学中的连接体问题。

2．学会处理动力学中的临界问题。

3．学会处理动力学中的图像问题。

二、新知探究探究一：动力学中的连接体问题1．连接体两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体。

如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起。

2．处理连接体问题的方法(1)整体法：把多个物体组成的系统作为一个研究对象来分析的方法。

不必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力。

(2)隔离法：把系统中的各个部分(或某一部分)隔离，作为一个单独的研究对象来分析的方法。

此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力，在分析时要特别注意。

3．整体法与隔离法的选用(1)求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法。

(2)求解连接体问题时，随着研究对象的转换，往往两种方法交叉运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力(3)无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析。

探究二：动力学中的临界问题1．题型概述在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。

问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。

2．临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。

(2)相对静止与相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。

F B μ=0C Aμ<1m .§4.9 用牛顿定律解决问题（四）——连接体及临界问题【学习目标】1.掌握处理不同连接体问的处理技巧。

2.理解临界问题中的临界条件并能对问题进行正确的分析 【学习重点】连接体及临界问题的解决方法 【学习难点】连接体及临界问题的分析解决 【学习流程】 知识点1 连接体问题 一、 加速度相同应用牛顿第二定律解答加速度相同连接体问题时，常用的方法有两种:(1)先整体后隔离:先整体分析物体所受外力和运动的情况，应用牛顿第二定律求出加速度，再隔离某个物体求出所受的力。

(2)先隔离后整体:先隔离某个物体，进行受力分析，应用牛顿第二定律求出加速度，再整体分析，求出物体所受外力或运动情况。

例1：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑的水平面上。

对物体A 施加水平推力F ，则物体A 对物体B 的作用力为多大？拓展1：地面粗糙呢？拓展2：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，紧靠着并置于倾角为α、动摩擦因数为μ的斜面上。

现施加一沿斜面向上的力F 作用于A 上，使它们一起向上加速运动，求：它们之间的相互作用力【交流促学】例2：如图所示，质量为M 的滑块C 放在光滑的桌面上，质量均为m 两物体A 和B 用细绳连接，A 平放在滑块上，与滑块间动摩擦因数为μ，细绳跨过滑轮后将B 物体竖直悬挂，设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，水平推力F 作用于滑块，为使A 和B 与滑块保持相对静止，F 至少应为多大？【组内研学】 二、 加速度不同应用牛顿第二定律解答加速度不同连接体问题时，常采用隔离分析的方法例3：如图所示，质量为m 1的滑块A 放在动摩擦因数为μ的桌面上，细绳跨过滑轮后将质量为m 2的B 物体竖直悬挂,设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，已知A 在B 的拉力作用下向60°30°m 12左加速滑动，重力加速度为g ，求A 物体的加速度大小和绳中张力大小。

牛顿运动定律的综合运用问题专题一：连接体问题—----整体法与隔离法一、连接体与隔离体 二、外力和内力三、连接体问题的分析方法1。

整体法：连接体中的各物体如果 ，求加速度时可以把连接体作为一个整体。

运用 列方程求解.2.隔离法：如果要求连接体间的相互作用力，必须隔离其中一个物体,对该物体应用 求解，此法称为隔离法.3.整体法与隔离法是相对统一，相辅相成的【典型例题】例1。

两个物体A 和B,质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑水平面上，如图所示，对物体A 施以水平的推力F ，则物体A 对物体BA 。

F m m m 211+ B.F mm m 212+ C.FD.F m 21扩展：1.若m 1与m 2与水平面间有摩擦力且摩擦因数均为μ则对B 作用力等于 。

2.如图所示，倾角为α的斜面上放两物体m 1和m 2，用与斜面 平行的力F 推m 1，使两物加速上滑，不管斜面是否光滑,两物体之间的作用力总为 。

例2。

如图所示，质量为M 的木板可沿倾角为θ的光滑斜面下滑，m 的人,问（1)为了保持木板与斜面相对静止,计算人运动的加速度?（2）为了保持人与斜面相对静止，木板运动的加速度是多少？例4。

如图5所示的装置中，重4N 的物块被平行于斜面的细线拴在斜面上端的小柱上，整个装置保持静止,稳定以后,A. 增加【针对训练】1.如图所示,A 与B 之间的动摩擦因数分别为μ1，μ2，当A 、B 从静止开始以相同的加速度下滑时， B 受到摩擦力（ ）A 。

等于零 B.方向平行于斜面向上 C.大小为μ1mgcos θ D 。

大小为μ2mgcos θ 2.如图所示，质量为M 的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m 的小球。

小球上下振动时，框架始终没有跳起，当框架对地面压力为零瞬间，小球的加速度大小为（ ） A 。

gB 。

g m M - C.0 D 。

g mM + 3。

如图3所示，绳突然断裂时，（ ）A 。

注意 不要忽视牛顿第三定律的应用，尤其是在求“小球对轨道 压力”时经常用到牛顿第三定律，且均在评分标准中占1-2分，一 定不要忘记。
突破点一 整体法与隔离法的运用 ①解答问题时，不能把整体法和隔离法对立起来， 而应该把这两种方法结合起来，从具体问题的实 际出发，灵活选取研究对象，恰当使用隔离法和 整体法。 ②在选用整体法和隔离法时，要根据所求的力进 行选择，若所求为外力，则应用整体法；若所求 为内力，则用隔离法。 ③具体应用时，一般情况下，若连接体有共同的 加速度首选整体法，整体或隔离的目的都是求共 同的加速度。若二者加速度不同，则分别隔离分 析。
一、连接体具有共同的加速度
1、A、B两物体靠在一起，放在光滑水平面上，它们的质量分别为 mA=3Kg，mB=6Kg，今用水平力FA=6N推A，用水平力FB=3N拉B， A、B间的作用力有多大？
FA A
B
FB
2、如图所示，小车质量均为M，光滑小球P的质量为m，绳的质量 不计，水平地面光滑。要使小球P随车一起匀加速运动（相对位置 如图所示），则施于小车的水平拉力F各是多少？（θ已知）
牛顿第二定律 物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物 体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
注意 ①物体受力及加速度一定要一一对应，即相应的力除以相 应的质量得到相应的加速度，切不可张冠李戴！②分析运动过程时 要区分对地位移和相对位移。
牛顿第三定律 两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线 上，大小相等，方向相反。
球刚好离开斜面
球已离开槽底
3.两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图11所示，滑块A、 B的质量分别为M、m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数 为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度沿斜面滑下，滑块B受到的摩擦 力( )

F B μ=0C Aμ<1m .§4.9 用牛顿定律解决问题（四）——连接体及临界问题【学习目标】1.掌握处理不同连接体问的处理技巧。

2.理解临界问题中的临界条件并能对问题进行正确的分析 【学习重点】连接体及临界问题的解决方法 【学习难点】连接体及临界问题的分析解决 【学习流程】 知识点1 连接体问题 一、 加速度相同应用牛顿第二定律解答加速度相同连接体问题时，常用的方法有两种:(1)先整体后隔离:先整体分析物体所受外力和运动的情况，应用牛顿第二定律求出加速度，再隔离某个物体求出所受的力。

(2)先隔离后整体:先隔离某个物体，进行受力分析，应用牛顿第二定律求出加速度，再整体分析，求出物体所受外力或运动情况。

例1：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑的水平面上。

对物体A 施加水平推力F ，则物体A 对物体B 的作用力为多大？拓展1：地面粗糙呢？拓展2：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，紧靠着并置于倾角为α、动摩擦因数为μ的斜面上。

现施加一沿斜面向上的力F 作用于A 上，使它们一起向上加速运动，求：它们之间的相互作用力【交流促学】例2：如图所示，质量为M 的滑块C 放在光滑的桌面上，质量均为m 两物体A 和B 用细绳连接，A 平放在滑块上，与滑块间动摩擦因数为μ，细绳跨过滑轮后将B 物体竖直悬挂，设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，水平推力F 作用于滑块，为使A 和B 与滑块保持相对静止，F 至少应为多大？【组内研学】 二、 加速度不同应用牛顿第二定律解答加速度不同连接体问题时，常采用隔离分析的方法例3：如图所示，质量为m 1的滑块A 放在动摩擦因数为μ的桌面上，细绳跨过滑轮后将质量为m 2的B 物体竖直悬挂,设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，已知A 在B 的拉力作用下向左加速滑动，重力加速度为g ，求A 物体的加速度大小和绳中张力大小。

60°30°m 12例4：如图所示。

() A．两人的线速度相同，约为 40 m/s B．两人的角速度相同，为 5 rad/s C．两人的运动半径相同，都是 0.45 m D．两人的运动半径不同，甲为 0.3 m，乙为 0.6 m
2
7
解析：C 错：两个人做圆周运动，向心力的大小相等，质量 不同，角速度相同，所以他们的运动半径不同．D 对：设甲的半 径为 R1，则乙的半径为 0.9 m－R1，故 m 甲 ω2R1＝m 乙 ω2(0.9 m－ R1)，解得 R1＝0.3 m．B 错：再根据 9.2 N＝m 甲 ω2R1 可知，角速 度 ω≈0.62 rad/s.A 错：两个人的角速度相同，半径不同，故他 们的线速度不相同．
互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为 Fn，角 速度为 ω，则
对球 m1：Fn＝m1ω2r1， 对球 m2：Fn＝m2ω2r2， 由上述两式得 r1:r2＝1:2. 答案：D
2
6
变式训练 2 甲、乙两名溜冰运动员，m 甲＝80 kg，m 乙＝40 kg，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两 人相距 0.9 m，弹簧测力计的示数为 9.2 N，下列判断中正确的是
【答案】 D
2
11
变式训练 3 如图所示，两绳系一质量为 0.1 kg 的小球，两 绳的另一端分别固定于轴的 A、B 两处，上面绳长 2 m，两绳拉 直时与轴的夹角分别为 30°和 45°，问球的角速度在什么范围内 两绳始终都有张力？(g 取 10 m/s2)
2
12
解析：当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如
10
rad/s 时，两绳始终都有张力．
答案：
10 3 3
rad/s<ω<
10
rad/s

例6．如图所示，质量M=400克的劈形木块B上叠放一木 块A，A的质量m=200克。A、B一起放在斜面上，斜面倾 角θ=37°。B的上表面呈水平，B与斜面之间及B与A之间 的摩擦因数均为μ=0.2。当B受到一个F=5.76牛的沿斜面向 上的作用力F时，A相对B静止，并一起沿斜面向上运动。 求：（1）B的加速度大小；（2）A受到的摩擦力及A对B 的压力.
①
由m1的受力分析图可得
px p· sin θ ，py p· cos θ
ml 在y方向所受合力应为零，即N1 p y G1 。当a为a m 时，N1 = 0，
因而p y = G1 ，即
p · cos θ m1g m1g p p cos θ
②
②式代入①式得
m1 g sin θ μ cos θ a max
Tb Ta · cos θ mg ma · cot θ
F
x
0，Tax Tb
例4．两个劈形物块的质量分 别为m1和m2，劈面光滑，倾角为θ ， 两物块与水平支承面之 间的动摩擦因数分别为 μ 1和μ 2。现用水平恒力
F推动m1 ，使两物块向右运动，如图所示。试求：
（1）保持m1、m2 无相对滑动时，系统的最大加速度a max ；
mg ma ；bc绳的张力分别为mg· cot θ 、 mg· cot θ ma 和( mg sin θ
ma) · cot θ 。
分析：小球m始终受3个力：竖直向下的重力mg、水平向右的bc 态。 将Ta 沿水平、竖直两个方向正交分解得
绳张力Tb 、斜向左上方的ac绳张力Ta 。三力的合力决定小球的运动状
2

④
答：上列②、③、④三式即为本题答案。

连接体问题、临界问题一、连接体问题（对象的选择）1、 通常什么样的几个物体可作为整体？2、 整体隔离法的优缺点：3、 实例分析【例题1】 如上图所示，质量分别为m 1、m 2的两个物块放在光滑的水平面上，中间用细绳相连，在F 拉力的作用下一起向右做匀加速运动，求中间细绳的拉力为多大？【例题2】 如图所示，质量分别为m 1、m 2的两个物块，中间用细绳相连，在F 拉力的作用下一起向上做匀加速运动，求中间细绳的拉力为多大？【例题3】如图所示，质量都为m 的两个物块并排放在光滑的水平面上，在F 1、F 2（12F F >）推力的共同作用下一起向右做匀加速运动，求物块间的相互作用力为多大？【例题4】m l =2kg ，m 2=6kg ，用一根轻绳将二者连接起来，如图，现同时将m l 、m 2由静止释放，不计摩擦和滑轮的质量，求（1）m l 、m 2运动时的加速度大小（2）拉物体m l 的细线的拉力（3）悬吊滑轮的细线的拉力。

变: 如图所示，光滑的水平桌面上有一物体A ，通过绳子与物体B 相连，假设绳子的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都可以忽略不计，绳子不可伸长。

如果A B m m 3=，则物体A 的加速度大小等于（ ）A ．g 3B ．gC ．g 43D ．2g临界问题1、 有几种临界问题？这些临界问题涉及到的力有什么特点？2、各种临界问题举例：【例题5】如图所示，已知两物体A 和B 的质量分别为M A ＝4kg ，M B ＝5kg ，连接两物体的细线能承受的最大拉力为80N ，滑轮的摩擦和绳子的重力均不计，要将物体B 提离地面，作用在绳上的拉力F 的取值范围如何？（g 取l02/s m ）【例题6】质量为0.2kg 的小球用细线吊在倾角为θ＝060的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图4-70所示，不计摩擦，求在下列三种情况下，细线对小球的拉力（取g ＝10 2/s m ）(1) 斜面体以232/s m 的加速度向右加速运动；(2) 斜面体以432/s m ，的加速度向右加速运动；【例题7】如图所示，轻绳AB 与竖直方向的夹角θ＝037，绳BC 水平，小球质量m ＝0.4 kg ，问当小车分别以2.52/s m 、82/s m 的加速度向右做匀加速运动时，绳AB 的张力各是多少？（取g ＝102/s m ）【例题8】如图所示，质量分别为m 1= lkg 和m 2＝2kg 的A 、B 两物块并排放在光滑水平面上，若对A 、B 分别施加大小随时间变化的水平外力F l 和F 2，其中F 1＝（9一2t ）N ，F 2＝（3＋2t ）N ，则（1） 经多长时间t 0两物块开始分离？（2） 在同一坐标中画出两物块的加速度a 1和a 2随时间变化的图像。

F B μ=0C Aμ<1m .§4.9 用牛顿定律解决问题（四）——连接体及临界问题【学习目标】1.掌握处理不同连接体问的处理技巧。

2.理解临界问题中的临界条件并能对问题进行正确的分析 【学习重点】连接体及临界问题的解决方法 【学习难点】连接体及临界问题的分析解决 【学习流程】 知识点1 连接体问题 一、 加速度相同应用牛顿第二定律解答加速度相同连接体问题时，常用的方法有两种:(1)先整体后隔离:先整体分析物体所受外力和运动的情况，应用牛顿第二定律求出加速度，再隔离某个物体求出所受的力。

(2)先隔离后整体:先隔离某个物体，进行受力分析，应用牛顿第二定律求出加速度，再整体分析，求出物体所受外力或运动情况。

例1：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑的水平面上。

对物体A 施加水平推力F ，则物体A 对物体B 的作用力为多大？拓展1：地面粗糙呢？拓展2：两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，紧靠着并置于倾角为α、动摩擦因数为μ的斜面上。

现施加一沿斜面向上的力F 作用于A 上，使它们一起向上加速运动，求：它们之间的相互作用力【交流促学】例2：如图所示，质量为M 的滑块C 放在光滑的桌面上，质量均为m 两物体A 和B 用细绳连接，A 平放在滑块上，与滑块间动摩擦因数为μ，细绳跨过滑轮后将B 物体竖直悬挂，设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，水平推力F 作用于滑块，为使A 和B 与滑块保持相对静止，F 至少应为多大？【组内研学】 二、 加速度不同应用牛顿第二定律解答加速度不同连接体问题时，常采用隔离分析的方法例3：如图所示，质量为m 1的滑块A 放在动摩擦因数为μ的桌面上，细绳跨过滑轮后将质量为m 2的B 物体竖直悬挂,设绳和轮质量不计，轮轴不受摩擦力作用，已知A 在B 的拉力作用下向60°30°m 12左加速滑动，重力加速度为g ，求A 物体的加速度大小和绳中张力大小。

简单的连接体问题和临界问题(建议用时：25分钟)1．如图所示，放在光滑水平面上的物体A 和B ，质量分别为2m 和m ，第一次水平恒力F 1作用在A 上，第二次水平恒力F 2作用在B 上．已知两次水平恒力作用时，A 、B 间的作用力大小相等．则 ( )A ．F 1<F 2B ．F 1＝F 2C ．F 1>F 2D ．F 1>2F 2C [当恒力F 1作用在A 上时，对A 、B 整体有F 1＝3ma 1；隔离B 有N 1＝ma 1，得F 1＝3N 1；当恒力F 2作用在B 上时，对A 、B 整体，有F 2＝3ma 2，隔离A ，有N 2＝2ma 2得F 2＝32N 2，而N 1＝N 2，故F 1>F 2，选项C 正确．]2．如图所示，质量为M 、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m 的小铁球，现用一水平向右的推力F 推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．则下列说法正确的是 ( )A ．小铁球受到的合外力方向水平向左B ．F ＝(M ＋m )g tan αC ．系统的加速度为a ＝g sin αD ．F ＝Mg tan αB [对整体分析，由牛顿第二定律得F ＝(M ＋m )a ①，隔离小球，对小球受力分析如图，由牛顿第二定律得mg tan α＝ma 即a ＝g tan α ②，①②联立得F ＝(M ＋m )g tan α，故选项B 正确．]3.如图所示，在光滑地面上，水平外力F拉动小车和木块一起做无相对滑动的加速运动．小车质量是M，木块质量是m，外力大小是F，木块和小车之间动摩擦因数是μ，则在这个过程中，木块受到的摩擦力大小是( )A．μmg B．mF M＋mC．μ(M＋m)g D．MF M＋mB[对m和M整体，由牛顿第二定律F＝(M＋m)a ①对m：f＝ma ②由①②得f＝mM＋mF，故B正确．]4．如图所示，物体A的质量为m A，放在光滑水平桌面上，如果在绳的另一端通过一个滑轮加竖直向下的力F，则A运动的加速度为a.将力去掉，改系一物体B，B的重力和F的值相等，那么A物体的加速度 ( )A．仍为a B．比a小C．比a大D．无法判断B[当施加向下的力F时，由牛顿第二定律得F＝m A a；得a＝Fm A；当改为物体B时，对A、B整体由牛顿第二定律得F＝(m A＋m B)a1，解得a1＝Fm A＋m B，即a1<a；故选项B正确．]5．如图所示，50个大小相同、质量均为m的小物块，在平行于斜面向上的恒力F作用下一起沿斜面向上运动．已知斜面足够长，倾角为30°，各物块与斜面间的动摩擦因数相同，重力加速度为g，则第3个小物块对第2个小物块的作用力大小为( )A．125 FB ．2425FC ．24mg ＋F2D ．因为动摩擦因数未知，所以不能确定B [将50个小物块看作一个整体，根据牛顿第二定律，整体的加速度a ＝F －50mg sin 30°－50μmg cos 30°50m ＝F50m－g sin 30°－μg cos 30°.对1、2两个物块分析有F －2mg sin 30°－μ×2mg cos 30°－N ＝2ma ，解得N ＝2425F ，B 正确．]6．光滑水平地面上有两个叠放在一起的斜面体A 、B ，两斜面体形状大小完全相同，质量分别为M 、m .如图甲、乙所示，对上面或下面的斜面体施加水平方向的恒力F 1、F 2均可使两斜面体相对静止地做匀加速直线运动，已知两斜面体间的摩擦力为零，则F 1与F 2之比为( )甲 乙A ．M ∶mB ．m ∶MC ．m ∶(M ＋m )D ．M ∶(M ＋m )A [F 1作用于A 时，设A 和B 之间的弹力为N ，对A 有：N cos θ＝Mg ，对B 有：N sin θ＝ma ，对A 和B 组成的整体有：F 1＝(M ＋m )a ＝M ＋m Mmg tan θ；F 2作用于A 时，对B 有：mg tan θ＝ma ′，对A 和B 组成的整体有：F 2＝(M ＋m )a ′＝(M ＋m )g tan θ，F 1F 2＝Mm，A 正确．]7.(多选)如图所示，置于水平地面上的相同材料的质量分别为m 和m 0的两物体用细绳连接，在m 0上施加一水平恒力F ，使两物体做匀加速直线运动，对两物体间细绳上的拉力，下列说法正确的是 ( )A ．地面光滑时，绳子拉力大小等于mFm 0＋mB ．地面不光滑时，绳子拉力大小等于mFm 0＋mC ．地面不光滑时，绳子拉力大于mF m 0＋mD ．地面不光滑时，绳子拉力小于mFm 0＋mAB [当地面光滑时，对m 、m 0整体分析可得F ＝(m ＋m 0)a ，对m 分析可得T ＝ma ，联立解得T ＝Fmm ＋m 0；当地面不光滑时，将两者看作一个整体，可得F －μ(m ＋m 0)g ＝(m ＋m 0)a ，对m 分析可得T －μmg ＝ma ，联立可得T ＝Fmm ＋m 0，故A 、B 正确．] 8.(多选)如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧下端系一个质量为m 的小球A ，小球被水平挡板P 托住使弹簧长度恰为自然长度(小球与挡板不粘连)，然后使挡板P 以恒定的加速度a (a <g )开始竖直向下做匀加速直线运动，则( )A ．小球与挡板分离的时间为t ＝ka2m g －aB ．小球与挡板分离的时间为t ＝2mg －akaC ．小球从开始运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x ＝mg kD ．小球从开始运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x ＝m g －akBC [小球与挡板之间弹力为零时分离，此时小球的加速度仍为a ，由牛顿第二定律得mg －kx ＝ma .由匀变速直线运动的位移公式得x ＝12at 2，解得t ＝2mg －aka，故选项A错误，B 正确；小球速度最大时小球所受合力为零，伸长量x ＝mg k，选项C 正确，D 错误．]9．(多选)如图所示，完全相同的磁铁A 、B 分别位于铁质车厢竖直面和水平面上，A 、B 与车厢间的动摩擦因数均为μ，小车静止时，A 恰好不下滑，现使小车加速运动，为保证A 、B 无滑动，则( )A ．速度可能向左，加速度可小于μgB ．加速度一定向右，不能超过(1＋μ)gC ．加速度一定向左，不能超过μgD ．加速度一定向左，不能超过(1＋μ)gAD [当小车处于静止时，A 恰好不下滑，此时mg ＝f ＝μN ，要保证A 静止，则A 与小车之间的弹力不能减小，所以加速度一定向左，要保证B静止，B在水平方向上受到摩擦力，竖直方向上受到小车的支持力、重力和吸引力，磁铁B的合力等于摩擦力，要保证B静止，则受到的摩擦力不能超过最大静摩擦力，即：ma＝μ(mg＋N)，解得a＝(1＋μ)g，故A、D 正确．](建议用时：15分钟)10．(多选)如图所示，粗糙的水平地面上有三块材料完全相同的木块A、B、C，质量均为m，B、C之间用轻质细绳连接．现用一水平恒力F作用在C上，三者开始一起做匀加速运动，运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面，系统仍加速运动，且始终没有相对滑动．则在粘上橡皮泥并达到稳定后，下列说法正确的是( )A．无论粘在哪个木块上面，系统的加速度都将减小B．若粘在A木块上面，绳的拉力减小，A、B间摩擦力不变C．若粘在B木块上面，绳的拉力增大，A、B间摩擦力增大D．若粘在C木块上面，绳的拉力和A、B间摩擦力都减小AD[因无相对滑动，所以，无论橡皮泥粘到哪个木块上，根据牛顿第二定律都有F－3μmg－μΔmg＝(3m＋Δm)a，系统加速度a减小，选项A正确；若粘在A木块上面，以C 为研究对象，受到F、摩擦力μmg、绳子拉力F T这三个力的作用，由牛顿第二定律得F－μmg －F T＝ma，a减小，F、μmg不变，所以，绳子拉力F T增大，选项B错误；若粘在B木块上面，a减小，以A为研究对象，m不变，所受摩擦力减小，选项C错误；若粘在C木块上面，a减小，A、B间的摩擦力减小，以A、B整体为研究对象，有F T－2μmg＝2ma，F T减小，选项D正确．]11．(多选)如图所示，a、b两物体的质量分别为m1、m2，由轻质弹簧相连．当用恒力F竖直向上拉着a，使a、b一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1，加速度大小为a1；当用大小仍为F的恒力沿水平方向拉着a，使a、b一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2，加速度大小为a2.则有( )A．x1＝x2B．x1＞x2C．a1＝a2D．a1＜a2AD[a、b一起向上做匀加速直线运动时，对整体根据牛顿第二定律可得，a1＝F －m 1＋m 2g m 1＋m 2＝Fm 1＋m 2－g隔离a ，对b 分析有F 1－m 2g ＝m 2a 1 解得F 1＝m 2Fm 1＋m 2a 、b 一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时，对整体根据牛顿第二定律可得，a 2＝F m 1＋m 2隔离a ，对b 分析有F 2＝m 2a 2＝m 2Fm 1＋m 2可知a 1＜a 2，F 1＝F 2，根据胡克定律知，x 1＝x 2，故A 、D 正确，B 、C 错误．] 12．如图所示，质量为M 、倾角为θ的光滑斜面静止在粗糙的水平面上，斜面上有一倒扣的直角三角形物块m ，现对物块m 施加一水平向左的推力F ，使物块m 与斜面一起向左做加速度为a 的匀加速直线运动，已知重力加速度为g .求：(1)物块对斜面的压力； (2)水平推力F 的大小；(3)粗糙地面与斜面间的动摩擦因数．[解析] (1)以m 为研究对象，受力分析如图所示，竖直方向受力平衡，得N ＝mgcos θ根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力为N ′＝N ＝mgcos θ. (2)以m 为研究对象，水平方向：F －N sin θ＝ma ，得F ＝mg tan θ＋ma .(3)以m 、M 整体为研究对象：F －μ(m ＋M )g ＝(M ＋m )a ，可得μ＝mg tan θ－Mam ＋M g.[答案] (1)mgcos θ (2)mg tan θ＋ma(3)mg tan θ－Mam ＋M g13.如图所示，足够长的倾角θ＝37°的光滑斜面体固定在水平地面上，一根轻绳跨过定滑轮，一端与质量为m1＝1 kg的物块A连接，另一端与质量为m2＝3 kg的物块B连接，绳与斜面保持平行．开始时，用手按住A，使B悬于距地面高H＝0.6 m处，而A静止于斜面底端．现释放A，试求A在斜面上向上滑行的最大距离．(设B落地后不再弹起，且所有接触面间的摩擦均忽略不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)[解析]设B未落地前系统加速度大小为a1，B落地时的速度为v，B落地后A的加速度为a2，则依据题意有：m2g－T＝m2a1T－m1g sin 37°＝m1a1解得a1＝6 m/s2v2－0＝2a1Hm1g sin 37°＝m1a20－v2＝－2a2x解得a2＝6 m/s2，x＝0.6 m故A在斜面上向上滑行的最大距离L＝H＋x＝1.2 m.[答案] 1.2 m。

[答案]
m1F2＋m2F1 m1＋m2
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考点二 1．概念 (1)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。 (2)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。 2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示 了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。 3．常见类型：动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离 的问题；二是绳子的绷紧与松弛的问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。 4．解题关键：解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确分析，对临界状态的判断与分析，找出处 于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件。 牛顿第二定律中的临界和极值问题
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运用整体法分析问题时，要求系统内各物体的加速度的大小和方向均应相同，根据 牛顿第二定律对整体列方程。如果系统内各物体的加速度仅大小相同，如通过滑轮连接的物体，应采用隔 离法根据牛顿第二定律分别列方程。也可对整体，由动力效果和阻力效果列方程。
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例2 如图所示，mA＝1 kg，mB＝2 kg，A、B 间静摩擦力的最大值是 5 N，水平面光 滑。用水平力 F 拉 B，当拉力大小分别为 F1＝10 N 和 F2＝20 N 时，A、B 的加速度各多 大？(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) [规范解答] A 物体能达到的最大加速度
[完美答案]
(M＋m)gtanθ
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【变式训练】 [2015· 烟台高一检测]如图所示，两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块，质量分

动力学中的连接体问题和临界极值问题物理题型　1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题.2.理解几种常见的临界极值条件.3.会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题.题型一　动力学中的连接体问题1.连接体多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆联系)在一起构成的物体系统称为连接体.连接体一般具有相同的运动情况(速度、加速度).2.常见连接体的类型(1)同速连接体(如图1)图1特点：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同速度和相同加速度.处理方法：用整体法求出a与F合的关系，用隔离法求出F内力与a的关系.(2)关联速度连接体(如图2)图2特点：两连接物体的速度、加速度大小相等，方向不同，但有所关联.处理方法：分别对两物体隔离分析，应用牛顿第二定律进行求解.同速连接体例1　(2020·江苏卷·5)中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量.某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F .若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为( )A.FB.C.D.19F 20F 19F 20答案　C解析　设列车的加速度为a ，每节车厢的质量为m ，每节车厢受到的阻力为F f ，对后38节车厢，由牛顿第二定律有F －38F f ＝38ma ；设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F 1，对后2节车厢，由牛顿第二定律得F 1－2F f ＝2ma ，联立解得F 1＝，故选项C 正确.F 19关联速度连接体例2　(多选)物块B 放在光滑的水平桌面上，其上放置物块A ，物块A 、C 通过细绳相连，细绳跨过定滑轮，如图3所示，物块A 、B 、C 质量均为m ，现释放物块C ，A 和B 一起以相同加速度加速运动，不计细绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度大小为g ，则细线中的拉力大小及A 、B 间的摩擦力大小分别为( )图3A.F T ＝mgB.F T ＝mg 23C.F f ＝mgD.F f ＝mg2313答案　BD解析　以C 为研究对象，由牛顿第二定律得mg －F T ＝ma ；以A 、B 为研究对象，由牛顿第二定律得F T ＝2ma ，联立解得F T ＝mg ，a ＝g ，以B 为研究对象，由牛顿第二定律得2313F f ＝ma ，得F f ＝mg ，故选B 、D.131.(同速连接体)(多选)(2020·湖北黄冈中学模拟)如图4所示，材料相同的物体m 1、m 2由轻绳连接，在恒定拉力F 的作用下沿斜面向上加速运动.轻绳拉力的大小( )图4A.与斜面的倾角θ有关B.与物体和斜面之间的动摩擦因数μ有关C.与两物体的质量m 1和m 2有关D.若改用F 沿斜面向下拉连接体，轻绳拉力的大小与θ，μ无关答案　CD解析　对整体受力分析有F －(m 1＋m 2)g sin θ－μ(m 1＋m 2)g cosθ＝(m 1＋m 2)a ，对m 2有F T －m 2g sin θ－μm 2g cos θ＝m 2a ，解得F T ＝F ，与μ和θ无关，与两物体的质量m 1m 2m 1＋m 2和m 2有关，故A 、B 错误，C 正确；若改用F 沿斜面向下拉连接体，同理可得F T ＝F ，故D 正确.m 1m 1＋m 22.(同速连接体)(多选)如图5所示，倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上，现有一带固定支架的滑块m 正沿斜面加速下滑.支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后，悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ，斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是( )图5A.斜面光滑B.斜面粗糙C.达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向左D.达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向右答案　AC解析　隔离小球，可知稳定后小球的加速度方向沿斜面向下，大小为g sin θ，小球稳定后，支架系统的加速度与小球的加速度相同，对支架系统进行分析，只有斜面光滑，支架系统的加速度才是g sin θ，A 正确，B 错误.隔离斜面体，斜面体受到的力有自身重力、地面的支持力、支架系统对它垂直斜面向下的压力，因斜面体始终保持静止，则斜面体还应受到地面对它水平向左的摩擦力，C正确，D错误.题型二　动力学中的临界和极值问题1.常见的临界条件(1)两物体脱离的临界条件：F N＝0.(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值.(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是F T＝0.(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力(加速度)为零.2.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系.3.解题方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学法将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件脱离的临界问题例3　(2019·江西宜春市期末)如图6所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6 kg的物体P，Q为一质量为m2＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态.现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：图6(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x 0；(2)物体Q 从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a ；(3)力F 的最大值与最小值.答案　(1)0.16 m (2) m/s 2　(3) N N10328031603解析　(1)设开始时弹簧的压缩量为x 0，对整体受力分析，平行斜面方向有(m 1＋m 2)g sin θ＝kx 0解得x 0＝0.16 m.(2)前0.2 s 时间内F 为变力，之后为恒力，则0.2 s 时刻两物体分离，此时P 、Q 之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x 1，对物体P ，由牛顿第二定律得：kx 1－m 1g sin θ＝m 1a前0.2 s 时间内两物体的位移：x 0－x 1＝at 212联立解得a ＝ m/s 2.103(3)对两物体受力分析知，开始运动时F 最小，分离时F 最大，则F min ＝(m 1＋m 2)a ＝ N1603对Q 应用牛顿第二定律得F max －m 2g sin θ＝m 2a解得F max ＝ N.2803相对滑动的临界问题例4　(多选)如图7所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上.A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，12重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( )图7A.当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止B.当F ＝μmg 时，A 的加速度为μg5213C.当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D.无论F 为何值，B 的加速度不会超过μg12答案　BCD解析　当0<F ≤μmg 时，A 、B 均静止；当μmg <F ≤3μmg 时，A 、B 相对静止，但两者相3232对地面一起向右做匀加速直线运动；当F >3μmg 时，A 相对B 向右做加速运动，B 相对地面也向右加速，选项A 错误，选项C 正确.当F ＝μmg 时，A 与B 共同的加速度52a ＝＝F －32μmg 3m μg ，选项B 正确.F 较大时，取物块B 为研究对象，物块B 的加速度最大为a 2＝13＝μg ，选项D 正确.2μmg －32μmg m 123.(脱离的临界问题)如图8所示，质量m ＝2 kg 的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面.取g ＝10 m/s 2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).下列说法正确的是( )图8A.当斜面以5 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为20 NB.当斜面以5 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为30 NC.当斜面以20 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为40 ND.当斜面以20 m/s 2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为60 N答案　A解析　小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零，斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F ，斜面的加速度为a 0，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F cos θ＝ma 0，F sin θ－mg ＝0，代入数据解得a 0≈13.3 m/s 2.①由于a 1＝5 m/s 2<a 0，可见小球仍在斜面上，此时小球的受力情况如图甲所示，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F 1sin θ＋F N cos θ－mg ＝0，F 1cos θ－F N sin θ＝ma 1，代入数据解得F 1＝20 N ，选项A 正确，B 错误；②由于a 2＝20 m/s 2>a 0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示，设绳子与水平方向的夹角为α，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F 2cosα＝ma 2，F 2sinα－mg ＝0，代入数据解得F 2＝20 N，选项C 、D 错误.54.(极值问题)如图9甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v 0＝10 m/s 沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x 将发生变化，重力加速度g 取10 m/s 2.图9(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值.答案　(1)　(2)θ＝60° m33532解析　(1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mg sin θ＝F f ，F f ＝μmg cos θ联立解得：μ＝.33(2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a ，则－mg sinθ－μmg cos θ＝ma ，由0－v 02＝2ax 得x ＝，v 022g (sin θ＋μcos θ)令cos α＝，sin α＝，11＋μ2μ1＋μ2即tan α＝μ＝，33故α＝30°，又因x ＝v 022g 1＋μ2sin (θ＋α)当α＋θ＝90°时x 最小，即θ＝60°，所以x 最小值为x min ＝v 022g (sin 60°＋μcos 60°)＝＝ m.3v 024g 532课时精练1.(多选)(2020·贵州贵阳市摸底)如图1所示，水平地面上有三个靠在一起的物块A、B和C，质量均为m，设它们与地面间的动摩擦因数均为μ，用水平向右的恒力F推物块A，使三个物块一起向右做匀加速直线运动，用F1、F2分别表示A与B、B与C之间相互作用力的大小，则下列判断正确的是( )图1A.若μ≠0，则F1∶F2＝2∶1B.若μ≠0，则F1∶F2＝3∶1C.若μ＝0，则F1∶F2＝2∶1D.若μ＝0，则F1∶F2＝3∶1答案　AC解析　三物块一起向右做匀加速直线运动，设加速度为a，若μ＝0，分别对物块B、C组成的系统和物块C应用牛顿第二定律有F1＝2ma，F2＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，C项正确，D项错误；若μ≠0，分别对物块B、C组成的系统和物块C应用牛顿第二定律有F1－2μmg＝2ma，F2－μmg＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，A项正确，B项错误.2.(多选)如图2所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F作用于B上且两物块共同向右以加速度a1匀加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，弹簧的伸长量为x2，则下列说法正确的是( )图2A.若m>M，有x1＝x2B.若m<M，有x1＝x2C.若μ>sin θ，有x1>x2D.若μ<sin θ，有x1<x2答案　AB解析　在水平面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a1①隔离物块A，根据牛顿第二定律有F T －μmg ＝ma 1②联立①②解得F T ＝③Fmm ＋M 在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有F －(m ＋M )g sin θ＝(m ＋M )a 2④隔离物块A ，根据牛顿第二定律有F T ′－mg sin θ＝ma 2⑤联立④⑤解得F T ′＝⑥FmM ＋m 比较③⑥可知，弹簧弹力相等，即弹簧伸长量相等，与动摩擦因数和斜面的倾角无关，故A 、B 正确，C 、D 错误.3.如图3所示，质量为M 、中空为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m 的小铁球，现用一水平向右的推力F 推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽圆心和小铁球的连线与竖直方向成α角.重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )图3A.小铁球受到的合外力方向水平向左B.凹槽对小铁球的支持力为mgsin αC.系统的加速度为a ＝g tan αD.推力F ＝Mg tan α答案　C解析　根据小铁球与光滑凹槽相对静止可知，系统有向右的加速度a ＝g tan α，小铁球受到的合外力方向水平向右，凹槽对小铁球的支持力为，推力F ＝(M ＋m )g tanα，选项mgcos αA 、B 、D 错误，C 正确.4.如图4所示，质量为1 kg 的木块A 与质量为2 kg 的木块B 叠放在水平地面上，A 、B 间的最大静摩擦力为2 N ，B 与地面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.用水平力F 作用于B ，则A 、B 保持相对静止的条件是(g 取10 m/s 2)( )图4A.F ≤12 NB.F ≤10 NC.F ≤9 ND.F ≤6 N答案　A解析　当A 、B 间有最大静摩擦力(2 N)时，对A 由牛顿第二定律知，加速度为2 m/s 2，对A 、B 整体应用牛顿第二定律有：F －μ(m A ＋m B )g ＝(m A ＋m B )a ，解得F ＝12 N ，则A 、B 保持相对静止的条件是F ≤12 N ，A 正确，B 、C 、D 错误.5.(多选)(2019·河北保定市一模)如图5所示，一质量为M ＝3 kg 、倾角为α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m ＝1 kg 的光滑楔形物体.用一水平向左的恒力F 作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动.重力加速度为g ＝10 m/s 2，下列判断正确的是( )图5A.系统做匀速直线运动B.F ＝40 NC.斜面体对楔形物体的作用力大小为5 N2D.增大力F ，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动答案　BD解析　对整体受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律有F ＝(M ＋m )a ，对楔形物体受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律有mg tan 45°＝ma ，可得F ＝40 N ，a ＝10 m/s 2，A 错误，B 正确；斜面体对楔形物体的作用力F N2＝＝mg ＝10 N ，C 错误；外力F 增大，则斜面体加速度增mgsin 45°22加，楔形物体不能获得那么大的加速度，将会相对斜面体沿斜面上滑，D 正确.6.(2020·安徽合肥市模拟)如图6所示，钢铁构件A 、B 叠放在卡车的水平底板上，卡车底板与B 间的动摩擦因数均为μ1，A 、B 间动摩擦因数为μ2，μ1>μ2，卡车刹车的最大加速度为a (a >μ2g )，可以认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，卡车沿平直公路行驶途中遇到紧急刹车情况时，要求其刹车后在s 0距离内能安全停下，则卡车行驶的速度不能超过( )图6A. B.2as 02μ1gs 0C. D.2μ2gs 0(μ1＋μ2)gs 0答案　C解析　若卡车以最大加速度刹车，则由于a >μ2g ，A 、B 之间发生相对滑动，故不能以最大加速度刹车，由于刹车过程中要求A 、B 和车相对静止，当A 、B 整体相对车发生滑动时，a 1＝＝μ1g ，当A 、B 间发生相对滑动时，a 2＝＝μ2g ，由于μ1>μ2，所以μ1(mA ＋mB )gmA ＋mB μ2mAg mA a 1>a 2，即当以a 1刹车时，A 、B 间发生相对滑动，所以要求整体都处于相对静止时，汽车刹车的最大加速度为a 2，v 02＝2μ2gs 0，解得v 0＝，C 项正确.2μ2gs 07.(多选)(2019·广东湛江市第二次模拟)如图7所示，a 、b 、c 为三个质量均为m 的物块，物块a 、b 通过水平轻绳相连后放在水平面上，物块c 放在b 上.现用水平拉力作用于a ，使三个物块一起水平向右匀速运动.各接触面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g .下列说法正确的是( )图7A.该水平拉力大于轻绳的弹力B.物块c 受到的摩擦力大小为μmgC.当该水平拉力增大为原来的1.5倍时，物块c 受到的摩擦力大小为0.5μmgD.剪断轻绳后，在物块b 向右运动的过程中，物块c 受到的摩擦力大小为μmg答案　ACD解析　三物块一起做匀速直线运动，由平衡条件，对a 、b 、c 系统：F ＝3μmg ，对b 、c 系统：F T ＝2μmg ，则：F ＞F T ，即水平拉力大于轻绳的弹力，故A 正确；c 做匀速直线运动，处于平衡状态，则c 不受摩擦力，故B 错误；当水平拉力增大为原来的1.5倍时，F ′＝1.5F ＝4.5μmg ，由牛顿第二定律，对a 、b 、c 系统：F ′－3μmg ＝3ma ，对c ：F f ＝ma ，解得：F f ＝0.5μmg ，故C 正确；剪断轻绳后，b 、c 一起做匀减速直线运动，由牛顿第二定律，对b 、c 系统：2μmg ＝2ma ′，对c ：F f ′＝ma ′，解得：F f ′＝μmg ，故D 正确.8.(多选)(2020·湖北荆州市高三上学期质量检测)如图8所示，倾角为30°的光滑斜面上放一质量为m 的盒子A ，A 盒用轻质细绳跨过光滑轻质定滑轮与B 盒相连，A 盒与定滑轮间的细绳与斜面平行，B 盒内放一质量为的物体.如果把这个物体改放在A 盒内，则B 盒加速度m2恰好与原来等值反向，重力加速度大小为g ，则B 盒的质量m B 和系统的加速度a 的大小分别为( )图8A.m B ＝B.m B ＝m 43m 8C.a ＝0.2gD.a ＝0.4g答案　BC解析　当物体放在B 盒中时，以A 、B 和B 盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有(m B g ＋mg )－mg sin 30°＝(m ＋m B ＋m )a1212当物体放在A 盒中时，以A 、B 和A 盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有(m ＋m )g sin 30°－m B g ＝(m ＋m B ＋m )a 1212联立解得m B ＝3m 8加速度大小为a ＝0.2g故A 、D 错误、B 、C 正确.9.(2019·广东汕头市模拟)如图9所示，载货车厢通过悬臂固定在缆绳上，缆绳与水平方向夹角为θ，当缆绳带动车厢以加速度a 匀加速向上运动时，货物在车厢中与车厢相对静止，则货物与车厢的动摩擦因数至少为(悬臂竖直，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g )( )图9A.B.a sin θg ＋a cos θa cos θg ＋a sin θC.D.a sin θg －a cos θa cos θg －a sin θ答案　B解析　把加速度沿水平方向和竖直方向进行分解，对货物进行受力分析有F N －mg ＝ma sinθ，F f ＝ma cos θ≤μF N ，联立得出μ≥，B 正确.a cos θg ＋a sinθ10.(2019·广东深圳市模拟)如图10所示，两个质量均为m 的相同的物块叠放在一个轻弹簧上面，处于静止状态.弹簧的下端固定于地面上，弹簧的劲度系数为k .t ＝0时刻，给A 物块一个竖直向上的作用力F ，使得两物块以0.5g 的加速度匀加速上升，下列说法正确的是( )图10A.A 、B 分离前合外力大小与时间的平方t 2成线性关系B.分离时弹簧处于原长状态C.在t ＝时刻A 、B 分离2m k D.分离时B 的速度大小为gm4k 答案　C解析　A 、B 分离前两物块做匀加速运动，合外力不变，选项A 错误；开始时弹簧的压缩量为x 1，则2mg ＝kx 1；当两物块分离时，加速度相同且两物块之间的弹力为零，对物体B ，有kx 2－mg ＝ma ，且x 1－x 2＝at 2，解得x 1＝，x 2＝，t ＝，此时弹簧仍处于压缩122mg k 3mg 2k 2mk 状态，选项B 错误，C 正确；分离时B 的速度大小为v ＝at ＝g ·＝g ，选项D 错误.122m k m2k。

A.两木块的加速度 a 的大小为3

B.弹簧的形变量为3
C.两木块之间弹簧的弹力大小为 F

D.A、B 两木块之间的距离为 l0+
)


解析 对 A、B 及弹簧整体有 F=3ma,得 a=3,A 正确;对 A 有 F 弹=kx=ma=3 ,


得 x= ,A、B 两木块之间的距离为 l0+ ,B 正确,C、D 错误。
水平面向右加速运动,重力加速度为g。
甲
乙
(1)假设地面光滑,那么A、B间的弹力为多大?
(2)假设两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ,那么A、B间的弹力为多大?
(3)如图乙所示,假设把两木块放在固定斜面上,两木块与斜面间的动摩擦
因数均为μ,在平行于斜面的推力F作用下沿斜面向上加速运动,A、B间的
弹力为多大?
解析 (1)假设地面光滑,以A、B整体为研究对象,有F=(mA+mB)a,
然后隔离出B为研究对象,有
N=mBa,

联立解得 N= + F。


(2)假设动摩擦因数均为μ,以A、B整体为研究对象,有Fμ(mA+mB)g=(mA+mB)a1,
然后隔离出B为研究对象,有
N律有 F 合=ma2,

得 a2=tan45°=g。
故当向左运动的加速度大小为g时,小球对滑块的
压力刚好等于零。
乙
(3)当滑块加速度大于g时,小球将“飘〞离斜面而只受线的拉力和球的重力
作用,如图丙所示,此时对小球由牛顿第二定律得T'cos α=ma',T'sin α=mg,解
得 T'=m '2 + 2 = 5mg。