八年级数学上册 第二章第六节 实数(二)教案 北师大版

八年级数学上册教案新版北师大版：2.4估算教学目标1．能估算一个无理数的大致取值范围；(重点)2．能通过估算比较两个数的大小；(难点)3．掌握估算的方法，形成估算的意识．教学过程第一环节：情境引入内容：由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽．某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少?长是多少?给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少．给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽．解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：x·2x =400000，2x2=400000，x．目的：从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性．效果：学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值．第二环节：活动探究内容：1．探究一个无理数估算结果的合理性．2．学会估算一个无理数的大致范围．例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流．解答：这些结果都不正确．怎样估算一个无理数的范围?例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法．（①②误差小于0.1；③误差小于10；④误差小于1．）解答：说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数．教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。

目的：同伴间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．效果：通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备．第三环节：深入探究内容：用估算来解决数学的实际问题．例1你能比较512与12的大小吗？你是怎样想的？512与12＞2＞1512＞12．解：∵5＞4）2＞22，2，＞1，即512＞12．例2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题．=?（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？（大约440米或450米）说明：只要是440与450之间的数都可以．（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？（15米或16米）说明：只要是15与16之间的数都可以．例3 给出新的问题情境——画能挂上去吗？生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？解：设梯子稳定摆放时的高度为x 米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的13，根据勾股定理：2x +（13×6）2=62， 2x +4=36，2x =32，x因为3236.316.52<=因为3249.327.52>=所以画不能挂上去目的：学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值．效果：在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣．第四环节：反馈练习内容：反馈练习1 估算下列数的大小．（10.1）；（21）．解答：（1）∵3．6 3.7，或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）．（2）∵910，或10（只要是9与10之间的数都可以）．反馈练习2通过估算，比较下面各数的大小．（1312与12；（2 3.85．解答：（12，＜1， 即312＜12． （2）∵3.852=14.8225，3.85．反馈练习3给出与生活密切联系的实际问题情境一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米，如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）?目的：教学引导学生解决问题，学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提出的问题，让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用，调动探究的积极性．效果：进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣，调动学生学习数学的热情．第五环节：反思归纳内容：1．用自己的语言表达学习这节内容的感想（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？（2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？（3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？2．浏览给出的知识点归纳．目的：引导学生归纳本节的基本内容，让学生及时小结，教师展示知识脉络图并反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整．效果：部分学生能大胆地提出疑问．第六环节：作业巩固内容：习题2.6 1，2，3，6目的：给出作业内容，学生浏览给出的作业．效果：让学生在练习中及时巩固所学知识．教学设计反思（一）突出重点、突破难点的策略“公园有多宽”这节内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，进而学习起来难度就比较大。

北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计1一. 教材分析《实数》是北师大版八年级数学上册第二章第六节的内容，本节主要介绍了实数的概念、分类和性质。

通过本节的学习，使学生能够理解实数的概念，掌握实数的分类和性质，为后续的函数、方程等知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数的概念和运算，对数的概念和运算也有一定的了解。

但实数的概念对学生来说是一个全新的概念，需要通过实例和讲解使其理解和接受。

同时，实数的分类和性质也需要通过大量的练习来巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的分类和性质。

2.过程与方法：通过实例和讲解，使学生理解和接受实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。

3.情感态度与价值观：培养学生的抽象思维能力，提高学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.实数的概念和分类。

2.实数的性质。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和练习法进行教学。

通过问题引导学生思考，通过案例分析让学生理解实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。

六. 教学准备3.练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数和数的概念，为新课的学习做好铺垫。

呈现（15分钟）1.利用多媒体课件呈现实数的定义和分类，用实例解释实数的概念。

2.引导学生通过观察和思考，总结实数的性质。

操练（15分钟）1.让学生分组讨论，列举出实数的分类和性质。

2.每组选一名代表进行汇报，其他组进行评价和补充。

巩固（15分钟）1.让学生独立完成练习题，检验对实数概念、分类和性质的理解。

2.教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并进行讲解。

拓展（10分钟）1.让学生思考：实数和数轴之间的关系。

2.引导学生通过画数轴，分析实数在数轴上的位置与实数的性质之间的关系。

小结（5分钟）1.教师引导学生总结本节课所学的内容，实数的概念、分类和性质。

2.学生分享学习收获和感受。

家庭作业（5分钟）1.完成课后练习题。

北师大版八年级数学上册第二章实数教学设计一. 教材分析北师大版八年级数学上册第二章实数，主要介绍了实数的概念、分类和运算。

本章内容是初中数学的重要基础，对于学生理解和掌握数学知识体系具有重要意义。

教材内容安排合理，既有理论知识的讲解，又有实际例子的演示，使学生能够更好地理解和运用实数知识。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初步的数学知识，对于实数的概念和运算有一定的了解。

但学生在实数的分类和运算方面存在一定的困难，需要通过本章的学习进一步巩固和提高。

同时，学生对于数学知识的理解和运用能力各有差异，需要在教学过程中关注学生的个体差异，因材施教。

三. 教学目标1.理解实数的概念，掌握实数的分类。

2.熟练掌握实数的运算方法，能够运用实数知识解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.实数的分类：有理数、无理数、整数、分数、正数、负数等。

2.实数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方等。

五. 教学方法1.讲授法：讲解实数的概念、分类和运算方法。

2.案例分析法：分析实际例子，让学生更好地理解和运用实数知识。

3.讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

4.练习法：布置适量作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教材：北师大版八年级数学上册。

2.教案：实数教学设计。

3.PPT：实数相关知识点和案例分析。

4.作业：适量实数运算练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实数的应用场景，引导学生思考实数的概念和分类。

2.呈现（10分钟）讲解实数的概念、分类和运算方法，通过PPT展示相关知识点，让学生更好地理解和掌握。

3.操练（10分钟）分组讨论实数的运算方法，让学生动手实践，相互交流，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）布置适量作业，让学生独立完成，检查对实数知识的掌握情况。

5.拓展（10分钟）分析实际例子，让学生运用实数知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

第2周第4课时八上2-6实数【课标与教材分析】：课标要求了解实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。

教材本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节。

主要是建立实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。

【学情分析】：学生已经知道的：在本节之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。

中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础学生想知道的：能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小.2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样学生能自己解决的：实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张，在教学中注意运用类比方法，使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的认识【教学目标】：知识技能：1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小.2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.数学思考：在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。

问题解决：在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。

情感态度：了解数系扩展对人类认识发展的必要性；【教学重点】：1．了解实数意义，能对实数进行分类；2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律；3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计2一. 教材分析《实数》是北师大版八年级数学上册第二章第六节的内容，本节主要让学生了解实数的定义，理解实数与数的区别，掌握实数的性质，如大小比较、加减乘除运算等。

教材通过引入实数的概念，使得学生对数的认识更加深入，为后续的函数、方程等知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数、无理数等基础知识，对数的概念有一定的了解。

但实数作为一个全新的概念，需要学生从更高的角度去理解和把握。

此外，实数的性质和运算规则需要学生在已有知识的基础上进行推理和归纳，因此，学生在学习本节内容时可能会有一定的难度。

三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的性质。

2.能够进行实数的大小比较、加减乘除运算。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.实数的定义和性质。

2.实数的运算规则。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的定义和性质。

2.运用实例解析法，让学生通过实际问题理解实数的运算规则。

3.采用小组合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的良好学习习惯。

六. 教学准备1.准备相关实数的教学案例和实例。

2.制作PPT，展示实数的定义、性质和运算规则。

3.分组安排，便于学生进行小组合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实数的定义，引导学生回顾已学的有理数、无理数等知识，为新知识的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数的性质，如大小比较、加减乘除运算等，让学生初步了解实数的特点。

3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的实例，亲自进行实数的运算，巩固实数的性质和运算规则。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结实数的性质和运算规则，教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.拓展（10分钟）利用实际问题，让学生运用实数知识解决问题，提高学生运用知识的能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

八年级数学上册教案新版北师大版：2.1认识无理数第2课时教学目标【知识与能力】掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.【过程与方法】借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.【情感态度价值观】在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.教学重难点【教学重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【教学难点】无理数概念的建立.教学准备计算器、立方体、多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.第二环节：新知构建1.数的小数表示面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢? (提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.3.例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·; 无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能. [设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.第三环节：课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数第四环节：检测反馈1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数.4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n. (2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.2.课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x ,则x ( )A .1<x <2B .2<x <3C .3<x <4D .4<x <52.一个正三角形的边长是4,高为h ,则h 是 ( )A .整数B .分数C .有限小数D .无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是 数.【拓展探究】4.设半径为a 的圆的面积为20 π.(1)a 是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.板书设计2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.教学设计反思成功之处本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.不足之处对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.再教设计知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.。

第二章实数1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.一、本章主要内容及要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.掌握必要的运算(包括估算)技能.3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.二、教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.【重点】1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.2.鼓励学生自主探索和合作交流.本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.1认识无理数2课时2平方根2课时3立方根1课时4估算1课时5用计算器开方1课时6实数1课时7二次根式3课时回顾与思考1课时1认识无理数1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.3.会判断一个数是不是无理数.1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.【重点】理解无理数的概念.【难点】判断一个数是不是无理数.第课时感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?探究活动[过渡语]我们研究一下下面的问题.1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方 ,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1拼成后的正方形是什么样的呢?问题2拼成后的大正方形面积是多少?问题3若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.[过渡语]前面的问题中,我们都不能用有理数来表示,再看下面的问题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[过渡语]我们所学的有理数已经不够用了,需要再扩大数的范围,先在数轴中感受一下.轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略第1课时1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数.假设a,b是两个有理数,且a<b,在a,b两数之间插入一个数为.【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.;(3)0..4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB,BC,AC 略(解析:AB2=42+12=17,BC2=22+32=13,AC2=22+42=20.)2.(解析:答案不唯一,如插入a和b正中间的数.)3.解析:(1)0.6=; (2)设0.=x,则10x=7.,∴9x=7,从而x=;(3)设0.=x,则100x=34.,∴99x=34,从而x=.解:(1)0.6=. (2) 0.. (3) 0..4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE 的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.第课时掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图]通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.[过渡语] 上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示. 一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a 面积S 1<a <2 1<S <4 1.4<a <1.5 1.96<S <2.25 1.41<a <1.42 1.9881<S <2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<S <2.0022251.4142<a <1.41431.99996164<S <2.00024449【思考】 a 的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数. 【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,,,-,.【答案】3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0..分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图]通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-, 0.,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-,0.;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数的形式(q≠0,p,q为整数且互质),而无理数不能.[设计意图]通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展]确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法:1.确定正数x的整数部分.根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x2=5中的正数x的整数部分,因为22<5<32,即22<x2<32,所以2<x<3,因此x的整数部分为2.2.确定x的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为=6.5>5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.(2)设误差为k(k必为一个纯小数,且k可能为负数),则x=2.2+k,所以(2.2+k)2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x2<2.32,所以2.2<x<2.3,所以十分位上的数字为2.数1.下列说法中正确的是()A.无限小数都是无理数B.有限小数是无理数C.无理数都是无限小数D.有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是()A.面积为25的正方形B.面积为的正方形C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形解析:52=25,,(1.2)2=1.44.故选C.3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?解:由勾股定理得: a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.4.已知-,5,-1.,π,3.1416,,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-,5,-1.,3.1416,,0,42,(-1)2n.(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3.,-,18.无理数有:-π.习题2.2(教材第25页)1.解:-,3.9,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.2.提示:(1)x不是有理数. (2)x≈3.2. (3)x≈3.16.3.(1)✕(2) (3)✕(4)✕4.解:,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.2平方根1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.1.通过与“加法的逆运算是减法、乘法的逆运算是除法”作类比,让学生体会平方和开方互为逆运算的同时,领会数学中处处蕴含着辩证法.2.使学生通过开方运算的学习,解决实际生活中的一些具体问题.【重点】1.数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.()2=a(a≥0)的得出和应用.【难点】1.利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根和平方根.2.()2=a(a≥0)和=|a|的区别和联系.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.。

2019-2020年八年级数学上册第二章第六节实数（二）教案北师大版一、教材分析实数（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第6节内容．本节内容分为3个课时，本节是第2课时．本课时用类比的方法，引入实数的运算法则，运算律等，并利用这些运算法则、运算率进行有关运算，解决有关实际问题．二、学情分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根．这些都为本课时学习实数的运算法则、运算率提供了知识基础。

当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及下节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．三、目标分析1．教学目标●知识与技能目标（1）了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．[（3）正确运用公式：（≥0，≥0）（≥0，＞0）这两个公式，实际上是二次根式内容中的两个公式，但这里不必向学生提出二次根式这个概念．●过程与方法目标（1）通过具体数值的运算，发现规律，归纳总结出规律．（2）能用类比的方法解决问题，用已有知识去探索新知识．●情感与态度目标由实例得出两条运算法则，培养学生归纳、合作、交流的意识，提高数学素养．2．教学重点（1）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，能在实数范围内正确运算．（2）发现规律：（≥0，≥0）（≥0，＞0）3．教学难点（1）类比的学习方法．（2）发现规律的过程．4．教学方法（1）探索——交流法．（2）课前准备：教材、课件、电脑．电脑软件：Word，Powerpoint．四、教学过程本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.第一环节：复习引入问题1 ：有理数中学过哪些运算及运算律？答：加、减、乘、除、乘方，加法（乘法）交换律、结合律，分配律．问题2：实数包含哪些数？答：有理数，无理数．问题3：有理数中的运算法则、运算律等在实数范围内能继续使用？答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础。

贵州省贵阳市花溪二中八年级数学上册《第二章：实数》教案北师大版2.1. 数怎么又不够用了（一）教学目标(一)教学知识点1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.(二)能力训练要求1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观要求1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神. 教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教具准备有两个边长为1的正方形，剪刀.投影片两张：第一张：做一做(记作§2.1.1 A)；第二张：补充练习(记作§2.1.1 B).教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课：［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.Ⅱ.讲授新课1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？ ［生甲］a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.［生丙］由a2=2可判断a 应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数.［生乙］因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了. 2.做一做：投影片§2.1.1 A(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？ (3)b 是有理数吗？［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a ，b ，斜边为c ，则有a 2+b 2=c 2.［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b ，根据勾股定理得b 2=12+22，即b 2=5，则b 是有理数吗？请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b 不可能是整数. ［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b 不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a ，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.Ⅲ.课堂练习(一)课本P25随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.Ⅳ.课时小结1.通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断一个数是否为有理数.Ⅴ.课后作业课本P49习题2.1解：设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a，得a2=32+22，a2=13a不可能是整数，也不可能是分数.Ⅵ.活动与探究下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.教学反思：无理数的引入是比较重要的，也渗透着估计数的大小的问题，为后面教学内容做一个好的铺垫。

实数教案实数教学设计篇一一。

教学目标知识与技能目标：掌握实数运算的法则和运算顺序，会用计算器进行简单的混合运算，并解决一些简单的实际问题。

过程与方法目标：通过回顾有理数的运算法则和运算律，了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。

情感与态度目标：通过计算器的使用，提高学生的应用意识；通过对实际问题的解决，体验数学的应用性特点。

二。

教学重点和难点教学重点：掌握实数运算的法则和顺序。

教学难点：例2的算式比较复杂，是本节课的难点。

三。

教学过程1.承上启下，口答复习师：请同学们快速口答下列几个题目①②③④⑤⑥⑦⑧师：⑤--⑧这四个算式是属于实数的运算，同学们来思考一下：实数的运算与我们在第二章学习的有理数的运算有什么相同与不同之处吗？引出课题：实数的运算2.师生互动，讲授新课师：那我们先来回顾一下第二章都学习过哪些有理数的运算法则和运算律？我们把它总结出来。

加法减法乘法除法乘方运算法则加法法则减法法则乘法法则除法法则，除法转化为乘法的法则乘方的法则运算律加法交换律和结合律乘法交换律；乘法结合律；分配律师：下面请同学们思考这些运算律和运算法则在实数范围内是否仍然成立？请以四人为一小组讨论，举例来证明你们的结论。

(要求学生每种运算法则和运算律都要举一个例子出来)引导学生：实数的运算与有理数的运算之间就是增加了无理数的运算，无理数的运算是否满足这些运算律与运算法则呢？出示多组学生的例子，得出结论：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围同样适用。

师：有理数的加，减，乘除的运算法则在实数范围内适用，那么有理数混合运算的法则是否也适用呢？请同学们与自己的同桌进行讨论，同样要举例说明。

(要引导学生思考：在实数范围内，有哪几种运算？这些运算的顺序与有理数混合运算的顺序有什么相同与不同之处？)选择合适的例子说明：在实数范围内，增加了开方运算，并且开方运算与乘方运算是同级运算。

得出结论：实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

第二章实数1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.一、本章主要内容及要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.掌握必要的运算(包括估算)技能.3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.二、教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.【重点】1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.2.鼓励学生自主探索和合作交流.本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.1认识无理数2课时2平方根2课时3立方根1课时4估算1课时5用计算器开方1课时6实数1课时7二次根式3课时回顾与思考1课时1认识无理数1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.3.会判断一个数是不是无理数.1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.【重点】理解无理数的概念.【难点】判断一个数是不是无理数.第课时感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?探究活动1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1拼成后的正方形是什么样的呢?问题2拼成后的大正方形面积是多少?问题3若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展]正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略第1课时1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 . 【拓展探究】3.把下列小数化成分数. (1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499. 解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499. 4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.第课时掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如-1,0,2,3,…)分数(如13,-25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图]通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1<a<2 1<S<41.4<a<1.5 1.96<S<2.251.41<a<1.42 1.9881<S<2.01641.414<a<1.415 1.999396<S<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图]让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么? 3,45,59,-845,211.【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况? 思路二回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数) 【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类. [知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法: 1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数 答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( ) A .面积为25的正方形 B .面积为425的正方形 C .面积为8的正方形 D .面积为1.44的正方形 解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C .3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数. 4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1). (1)写出所有有理数; (2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n .(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数. 【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5.(3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3.7·,-17,18.无理数有:-π. 习题2.2(教材第25页) 1.解:-559180,3.97·,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数. 2.提示:(1)x 不是有理数. (2)x ≈3.2. (3)x ≈3.16. 3.(1)✕ (2) (3)✕ (4)✕4.解:5π,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.2平方根1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.。

八年级数学教学设计一、教学地位及作用本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节这节内容教材安排了3个课时，本节课主要是复习前几节的知识在本节之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入•中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础二、教学目标及其解析(一)教学目标1理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2 •会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；3•了解无理数的意义，会对实数进行分类，掌握实数的相反数和绝对值的意义；4 •理解实数与数轴上的点一一对应，理解有理数的运算律适用于实数范围.(二)教学重难点：1平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；2 •算术平方根的意义及实数的性质.三、教法学法1 •教学方法：知识回顾-合作探究-当堂检测-布置作业-总结回顾•2 •课前准备：课本，导学案，练习本.四、教学过程设计(1)知识回顾:2、实数可以分为________ 和，也可以分为______________ 和实数和数轴上的点是____________ 关系•3、用字母表示下列性质和运算法则.积的算数平方根____________ 商的算数平方根________________二次根式的乘法法则_________________________二次根式的除法法则_________________________(2 )合作探究专题一：平方根、立方根和算数平方根1、填空：(1)25的平方根是81(2)-.64的平方根是27(3)皿的平方根是(4)2（_1.44）的算数平方根是(5)227如果（x_2）2,则X等于82、已知2a-1的平方根是_3,3a+b-1的算数平方根是4,求a+2b的值.专题二：实数3. ^7 的相反数是________ __ 話的倒数是 _____________绝对值等于「3 的数是__________4. 把下列各数分别填入相应的集合里：0, - .12,丝，3^25 , .10^ , 0.3, , 0.101001000100001..（每两个1 之间多一7 2个0）（三）当堂检测1. 教科书第86页的练习第2题.2. 比较下列各组数中两个实数的大小：（1）3 10 与2.; （2） I 2-二I 与2 .（四）布置作业1.16的平方根记作 ________ ,等于__________ .2. J16的值为_________ .3. 计算^-1 + #（一1）2= _____ .24. -亍的倒数是__________ .5. 两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是___________ 和_______ .6. 若|X2-25 | + J y _3 =0,贝y x= _______ ,y= ______ .7. 已知X的平方根是土8,贝U X的立方根是 ________ .8.4的平方根是（）A.2B.-2C. ± 2D. ± 29. 下列各式中，无意义的是（）A.- -.3B. 二C. .(-3)2D. .10“10. 下列各组数中，互为相反数的一组是()A.-2 与..(-2)2B.-2与3二8C.-2 与-1D. I -2 | 与211. 下列说法正确的是()A.1的平方根是1；B.1 的算术平方根是1；C.-2 是2的平方根；D.-1 的平方根是-112. 求下列各式中的X：①x =1.21; ②27(x+1) +64=0.13. a > 0时，.、a才有意义--- 、...a表示a的算术平方根.由此你会求下列各式有意义时x 的取值范围吗？试试看：(1) x -1 ; (2) ■, 2x 10 ; (3) .. 6-2x; (4) i x-1 + .6-2x.(五) 总结回顾1. 现在你知道实数的分类了吗？2. 现在求某些数的平方根或立方根3. 对于实数的运算，你学会了吗？。

2.6 实数（2）说课稿-2022-2023学年北师大版数学八年级上册一、教学目标1.理解和掌握实数的概念与性质。

2.掌握实数的分类方法。

3.理解实数的大小比较，并灵活运用于实际问题中。

二、教学重点1.实数的分类方法。

2.实数的大小比较。

三、教学准备1.教材《数学八年级上册》2.讲义、黑板、彩色粉笔四、教学过程1. 导入（5分钟）通过引入一个实际生活中的问题，如“请比较你和你父母的身高，你的身高属于什么类型的实数？”来激发学生的思考和探究实数的概念。

2. 概念讲解（10分钟）介绍实数的概念和性质，包括有理数和无理数两部分。

有理数是可以用整数除以非零整数得到的数，包括正有理数、负有理数和零。

而无理数是不能表示为有理数的数字。

3. 实数的分类方法（20分钟）解释实数的分类方法，并对每种实数类型进行具体的解释和举例说明。

（1）正有理数：介于0和正整数之间的数，如1/2、3/4等。

（2）负有理数：介于0和负整数之间的数，如-1/2、-3/4等。

（3）整数：包括正整数、负整数和零。

（4）无理数：不能写成有限小数或无限循环小数的数，如根号2、pi等。

将每种实数类型的例子写在黑板上，并让学生根据定义来判断实数的类型。

4. 实数的大小比较（25分钟）讲解实数的大小比较方法，并配合具体例子进行讲解和讨论。

（1）同号比大小：两个正数比较大小，大小关系与它们的数值大小一致，两个负数比较大小，大小关系与它们的绝对值大小相反。

（2）异号比大小：正数大于负数，负数小于正数。

让学生通过练习题来巩固掌握实数的大小比较方法。

5. 小结（5分钟）对本堂课的内容进行小结，并与学生进行互动，检查他们对实数的认识和理解程度。

五、课堂练习1.判断以下数属于哪种实数类型：2/5、-3、sqrt(3)、-2.5。

2.比较下列实数的大小关系：-0.3， sqrt(2)， -3/4， 0.2。

3.请举例说明两个正整数之间的数和两个负整数之间的数。