关于热传导方程

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初始条件:
[507-04] (2)
边界条件,最通常的形式有三类。
第一边界条件(或称狄利克雷条件):
[507-05] (3)即表面温度为已知函数。
第二边界条件(或称诺伊曼条件):
[507-06] (4)式中是的外法向,即通过表面的热量已知。
热传导方程式(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
物理动机
一维热方程图解 (观看动画版)
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程式表达:
其中:
u =u(t, x, y, z) 表温度,它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间座标轴的二次导数。 k 决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅立叶冷却律的一个推论(详见条目热传导)。
扩散方程的历史源流
粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。
以格林函数解扩散方程
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解(数学家称之为扩散方程的基本解)。当粒子初始位置在原点 时,相应的格林函数记作(t>0);根据扩散方程对平移的对称性,对一般的已知初始位置,相应的格林函数是。
[508-05]
[508-06]。
对于一个有界区域,若边界温度为零,在初始时刻在(,,)处给定一个单位点热源(,,,0)=(,,),当>0时由它引起在内的温度分布(即热传导方程的解)称为热传导方程第一边值问题的格林函数,记作(-,-,-,)。根据格林公式
[508-07]
[508-08],式中是的共轭算子,
对于一般的初始条件,扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。
举例来说,设 t=0 时有一大群粒子,根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。
跟任何(广义)函数一样,浓度分布的初始值可Biblioteka 透过积分表为狄拉克δ函数的叠加:
扩散方程是线性的,因此在之后的任一时刻 t,浓度分布变为:
极值原理 一个内部有热源的热传导过程(即在方程(1)中≥0),它的最低温度一定在边界上或初始时刻达到,这就是所谓的极值原理。事实上,还可以有更强的结论:①如果在=[kg1][kg1]时在内部某一点达到了最低温度,那么在这个时刻以前(即<时)整个物体的温度等于常数,这就是所谓的强极值原理;②如果这个最低温度只在[kg1]=[kg1][kg1]时刻的某一边界点[kg1][kg1]达到,那么在这一点上[508-16](是的外法向),此即所谓的边界点引理。
其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。
x 是空间变量,所以 x ∈ [0,L],其中 L 表示棍子长度。 t 是时间变量,所以 t ≥ 0。假设下述初始条件
其中函数 f 是给定的。再配合下述边界条件
0. 让我们试着找一个非恒等于零的解,使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式:
最后,序列 {en}n ∈ N 张出 L(0, L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ 对角化。
非均匀不等向介质中的热传导
一般而言,热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式,因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量 qt(V) 给出。假设 q 有个密度 Q(t,x),于是 热流是个依赖于时间的向量函数 H(x),其刻划如下:单位时间内流经一个面积为 dS 而单位法向量为 n 的无穷小曲面元素的热量是 因此单位时间内进入 V 的热流量也由以下的面积分给出
基本解与格林函数 基本解是点热源的影响函数。如果在=0时刻在(,,)处给定单位点热源,即(,,,0)=(,,)(是狄克函数),则当>0时由它引起的在全空间的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。通过傅里叶变换可以得到它的表达式。当>0时
[508-02]
[508-03]
热传导方程初值问题(1)、(2)的解可通过叠加的步骤由基本解生成[508-04]
粒子扩散
粒子扩散方程
在粒子扩散的模性中,我们考虑的方程涉及
在大量粒子集体扩散的情况:粒子的体积浓度,记作 c。 或者
在单一粒子的情况:单一粒子对位置的机率密度函数,记作 P。 不同情况下的方程式:
或者
c 与 P 都是位置与时间的函数。D 是扩散系数,它控制扩散速度,通常以米/秒为单位。
随机变量 Rx,Ry,Rz 服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形,随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。
在 t=0 时,上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件,其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数,记为(三维的推广是);扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。
在粒子扩散的情形,我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言,任何扩散过程的解都有这种表法,包括热传导或动量的扩散;后者关系到流体的黏性现象。
一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件,IC 代表初始条件。
应用
热方程在许多现象的数学模型中出现,而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程,并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解,因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解,此方法也可用于许多无解析解的模型(详见文献 Wilmott,1995)。
如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程的唯一解,必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态(热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。
热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一,由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。
广义热传导
传递是广义的,包括传导,辐射,对流等,传导要借助于固体物,如铁板从这端到那端.
简称抛物型方程,一类重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。
热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程
其中 n(x) 是在 x 点的向外单位法向量。
热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系 其中 A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分
温度在 x 点对时间的改变率与流进无穷小体积元素的热量成比例,此比例常数与时间无关,而可能与空间有关,写作 κ (x)。 将以上所有等式合并,便获得支配热流的一般公式。
[507-01] (1)式中是温度;[kg2]是拉普拉斯算符;是导温系数;[507-00];[kg2]是热传导系数;[kg2]分别是比热和密度;[507-03];是外加热源密度自然界还有很多现象同样可以用方程(1)来描述,例如分子在介质中的扩散过程等,因此方程(1)通常亦称为扩散方程。
定解问题 为了确定一个具体的热传导过程,除了列出方程(1)以外,还必须知道物体的初始温度(初始条件)和在它的边界上所受到的外界的影响(边界条件)。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式
其中的 Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程,诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型,诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式(但时间参数为纯虚数),本质却不是扩散问题,解的定性行为也完全不同。
这套技术称作分离变量法。现在将 u 代回方程式 (1),
由于等式右边只依赖 x,而左边只依赖 t,两边都等于某个常数 ? λ,于是:
以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解:
假设 λ < 0,则存在实数 B、C 使得 从 (3) 得到 于是有 B = 0 = C,这蕴含 u 恒等于零。 假设 λ = 0,则存在实数 B、C 使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出 u 恒等于零。 因此必然有 λ > 0,此时存在实数 A、B、C 使得 从等式 (3) 可知 C = 0,因此存在正整数 n 使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。
第三边界条件(或称罗宾条件):
[508-01] (5)式中≥0;即物体表面给定热交换条件。
除了以上三类边界条件外还可以在边界[kg1]上给定其他形式的边界条件,如斜微商条件、混合边界条件等。
方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了一个定解问题,根据边界条件的不同形式,分别称为第一、二、三边值问题,统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。若≡,[kg2]则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。
如果扩散系数 D 依赖于浓度 c(或第二种情况下的机率密度 P),则我们得到非线性扩散方程。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。
如果一个粒子在时间 t = 0 时置于 ,则相应的机率密度函数具有以下形式:
它与机率密度函数的各分量 Rx, Ry and Rz 的关系是:
[508-09]任意第一边值问题(1)(2)、(3)的解都可通过格林函数表为[508-10]
[508-11]

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