指数函数与对数函数
一、实数指数幂
1、实数指数幂：如果x n =a （n ∈N +且n ＞1），则称x 为a 的n 次方根。当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根只有一个，记作n a 。当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，分别记作n a ，－n a 。它们可以写成±n a 的形式。负数没有 （填“奇”或“偶”）次方根。
例：填空：
（1）、（38）3= ；（38-）3= 。 （2）33
8= ；33)8(-= 。 （3）、44
5= ；44)5(-= 。 巩固练习：
1、将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）3
2a （2）5
3-b
（b ≠0）
2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1）5
2
a （2）3
5
1
a
（a ≠0）
3、求下列幂的值：
（1）、（-5）0； （2）、（a-b ）0； (3)、2-1； （4）、（47）4。 2、实数指数幂的运算法则 ①、β
α
a a •＝β
α+a
②、βαa
a ＝β
α-a
③、β
α)(a ＝αβ
a
④、α
)(ab ＝α
α
b a • ⑤、α)(b
a ＝αα
b a
例1：求下列各式的值：
⑴、2
1100 ⑵、3
2
8-
⑶3
23
188•
例2：化简下列各式：
⑴、3a a ⑵、633333••
巩固练习：1、求下列各式的值：
⑴、4
33
162
⋅-
⑵、4482⋅ ⑶553
25.042
⋅⋅-
2、化简下列各式：
⑴2
)3(-x
⑵232)(-y
x
⑶203
53
2a a a a •••-（a ≠0）
二、幂函数
1、幂函数：形如α
x y =（α∈Ｒ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数。
例1、判断下列函数是否是幂函数：
⑴、y ＝4x ⑵、y ＝3
-x ⑶、y ＝2
1
x ⑷、y ＝x
2 ⑸、s ＝4t ⑹、y ＝x
x ++2)
1( ⑺、y ＝2
x +2x+1
巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域：
⑴、y ＝x ；⑵、y ＝2
1x ；⑶y ＝1
-x ； ⑷y ＝2
x ；⑸y ＝41-x
。
三、指数函数
1、指数函数：形如y ＝x a （a ＞0,且a ≠1）的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，a 为常数，指数函数的定义域为R 。
例1：判断下列函数是不是指数函数？
(1)x
y )3(-= (2)4
3x y = （3）21
x
y =
（4）x y -⎪⎭
⎫ ⎝⎛=52 (5) y ＝x
2 (6) y ＝x )21(
2、指数函数性质归纳
例1：已知指数函数y=a x 的图像过点（2，16）。
①求函数的解析式及函数的值域。 ②分别求当x=1，3时的函数值。
例2：判断下列函数在（﹣∞，﹢∞）上的单调性
①y=0.5x ②y=x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛31
四、对数
1、对数：如果b
a ＝N(a ＞0，a ≠1),那么
b 叫做以a 为底N 对数，记作㏒
a
N ＝b ，其中，
a 叫做对数的底数，简称底；N 叫做真数。㏒a
N 读作:“以a 为底N 的对数”。
我们把b a ＝N 叫做指数式，把㏒a
N ＝b 叫做对数式。
2、对数式与指数式关系：
例1：将下列对数式改写成指数式：
（1）㏒381=4； （2）㏒5125=3； 例2：将下列指数式改写成对数式： （1）、3
5=125， （2）、41
16=2
3、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。N(N ＞0)的常用对数㏒
10
N 可简记为lg N 。
例如：㏒107可简记为 lg7
4、自然对数：以e 为底的对数，这里e=2.718281…是一个无理数。N （N ＞0）的自然对数㏒eN 可简记为㏑N 。
例如：㏒e5可简记为㏑5 5、零和负数没有对数。
6、根据对数定义，可以证明：㏒a 1=0；㏒a a=1（a ＞0,且a ≠1）
7、对数的运算性质：
（1）积的对数：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即
㏒a （MN ）=㏒a M ＋㏒a N
（２）商的对数：两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即
㏒a
N
M
=㏒a M-㏒a N （３）幂的对数：一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数，即 ㏒a b
M ＝b ㏒a M 其中，a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 例：求出下列各式的值：
1、㏒2（4×8）
2、㏒3（9×27）
3、㏒21664
4、㏒575
25
5、3㏒24
6、㏒321
9
对数
底数
指数 b a ＝㏒
a
N ＝ b
真数 幂
