2021版《九章方略》§12.4 随机事件的概率、古典概型、条件概率

《古典概型》知识清单一、古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

2、每个基本事件出现的可能性相等。

例如，抛一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是一个古典概型的例子；掷一颗均匀的骰子，出现 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点也是古典概型。

二、古典概型的概率计算公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1/n 。

如果某个事件 A 包含的基本事件数为 m ，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n例如，掷一颗均匀的骰子，求掷出奇数点的概率。

掷骰子出现的结果有 6 个，即 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点，其中奇数点有 3 个，即 1 点、3 点、5 点。

所以掷出奇数点的概率为 3/6 ＝ 1/2 。

三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。

2、确定事件 A 包含的基本事件数 m 。

3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。

以从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率为例。

基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“摸到红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以摸到红球的概率 P ＝ 5/8 。

四、古典概型中的排列组合在计算古典概型的概率时，经常会用到排列组合的知识。

排列：从 n 个不同元素中取出 m （m ≤ n）个元素的排列数，记为A(n, m) ，计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！组合：从 n 个不同元素中取出 m （m ≤ n）个元素的组合数，记为C(n, m) ，计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！例如，从 5 个人中选 3 个人排成一排，有多少种排法？这是一个排列问题，A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 60 种。

再比如，从 5 个人中选 3 个人组成一组，有多少种选法？这是一个组合问题，C(5, 3) ＝ 5! ／ 3!（5 3)！＝ 10 种。

高一数学第九章概率知识点概率在我们日常生活中无处不在，在每个人的决策过程中也扮演着重要角色。

高中数学的第九章——概率，是一门涉及不确定性的数学学科。

在本篇文章中，我们将探讨高一数学第九章中的一些重要知识点。

一、随机事件和样本空间首先，让我们了解什么是随机事件和样本空间。

随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则是指随机事件可能的所有结果的集合。

例如，抛一枚硬币的结果只能是正面或反面，那么样本空间就包含了{正面，反面}。

二、概率的定义和性质概率是一个事件发生的可能性的度量。

在数学中，概率可以用分数、小数或百分数表示。

例如，一个事件发生的概率为1/2可以写作0.5或50%。

概率的性质包括以下几点：1. 概率的取值范围在0和1之间，即0 ≤ P(E) ≤ 1。

2. 样本空间的概率为1，即P(S) = 1。

3. 如果事件A和事件B互斥（即不可能同时发生），则它们的概率相加等于发生A或B的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

三、频率和概率的关系频率是指在大量试验中，某一事件发生的次数与总试验次数的比值。

频率越接近概率，说明事件发生的可能性越高。

随着试验次数的增加，频率将趋于稳定，逼近概率值。

四、基本概率公式在概率计算中，基本概率公式是一个重要的工具，在计算一些复杂事件的概率时非常有用。

基本概率公式为 P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)。

其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 计算得出。

其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

六、独立事件和互斥事件独立事件指的是两个事件相互之间的发生没有影响；而互斥事件是指两个事件不能同时发生。

在独立事件中，P(A∩B) = P(A) * P(B)，而在互斥事件中，P(A∪B) = P(A) + P(B)。

考点34 随机事件的概率、古典概型和几何概型【考点剖析】1.最新考试说明：1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. (2)了解两个互斥事件的概率加法公式.【2020年高考全国Ⅱ卷文理数4】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份 订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已 知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能 完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【思路导引】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可． 【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者9001850=名，故选B ． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了本题主要考查函数模型的简单应用，考查概率的意义，考查数学运算学科素养．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个 车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车 所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35 C ．25D ．15【答案】B【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4D ．0.3【答案】D【解析】设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有，共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D ．【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.【2020年高考江苏卷4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷2次，观向上的点数，则点数和为5的概率是 ． 【答案】19【思路导引】先求事件的总数，再求点数和为5的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案． 【解析】总事件数为6636⨯=，点数和为5含()()()()1,4,2,3,3,2,4,1共4个基本事件，故所求的概率为41369=． 【2017年高考天津卷文数】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45 B ．35 C ．25D ．15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率42105P ==．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式()()n A P n Ω=即可得解． 【2017年高考全国Ⅱ卷文数】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A ．110B ．15 C ．310D ．25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种． 所以所求概率为102255=． 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： （1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化． 【2020年高考江苏卷25】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ． 【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+ 【思路导引】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果．【解析】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯，211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯．（2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯， 因此112122+333n n n n p q p q --+=+，从11111212(2+)21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-，即1111121(2+1)2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+，1()213n n n n E X p q =+=+．【专家解读】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力． 3.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义.【2020年高考全国Ⅰ卷文数4】设O 为正方形ABCD 的中心，在,,,,O A B C D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 （ ）A ．15 B ．25 C ．12 D ．45【答案】A【思路导引】列出从5个点中任取3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可．【解析】如图，从,,,,O A B C D 5个点中任取3个有{}{}{},,,,,,,,O A B O A C O A D ，{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,O B C O B D O C D A B C A B D A C D B C D ，共10种不同取法，3点共线只有{},,O A C 与{},,O B D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=，故选A ．【专家解读】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8 C ．12D ．π 4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221π()π228a a ⨯⨯=，选B ．【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．2.命题方向预测：1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查．2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．3.名师二级结论：一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式())1(A A P P ＝－，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便． 一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故().cardA mP A cardI n＝＝ 两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．4.考点交汇展示： (1)与函数相结合1、【2020湖北高三】已知函数()f x =M ，(())y f f x =的定义域为P ，在M 上随机取一个数x ，则x P ∈的概率是____________．【答案】22-【解析】函数()f x =M ，则[1,1]M =-，(())y f f x =的定义域为P，即[]1,1-，解得1,,122x ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即1,22P ⎡⎤=--⋃⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦．根据几何概型的概率计算公式得212⎛⨯ ⎝⎭=．2、【2020·宁夏吴忠中学】在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“sin cos 1x x +≥”发生的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】由sin cos 2sin 14x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，得到2sin 42x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当[]0,x π∈时，可得5444x πππ≤+≤，所以3444x πππ≤+≤，解得02x π≤≤，则事件“sin cos 1x x +≥”发生的概率为：01202P ππ-==-. (2)与平面向量、线性规划相结合1.【2020贵州省遵义航天高级中学】设{},0,1,2,3,4m n ∈,向量()1,2a =--,(),b m n =,则//a b 的概率为（ ）A.225 B. 325 C. 320 D . 15【答案】B【解析】//a b 22m n m n ⇒-=-⇒= ，所以012{,{ ,{ ,024m m m n n n ====== 因此概率为335525=⨯. 2、【2020·重庆南开中学高三】已知,,O A B 为平面上不共线三点，OC aOA bOB =+时.任取[]0,2a ∈，[]0,1b ∈，使得点C 在三角形OAB 内(含边界)的概率为________． 【答案】14【解析】因为OC aOA bOB =+，为使点C 在三角形OAB 内(含边界)，必有0,0a b ≥≥；若C 线段AB 上，则A ，B ，C 三点共线，根据三点共线的充要条件，必有1a b +=，因此，只需满足001a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，即可使点C 在三角形OAB 内(含边界)，在平面直角坐标系内表示该平面区域如下（阴影部分），其面积为1111122S =⨯⨯=，而0201a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为矩形区域，其面积为212S =⨯=，所以点C 在三角形OAB 内(含边界)的概率为111224S P S ===. (3)与直线、圆相结合1、【2020·贵州省思南中学】在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线y kx =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】由直线2y kx =+与圆221x y +=相交可得圆心(0,0)O到直线2y kx =+的距离12d k =⇒，即112k -≤<-或112k <≤，也即211,2d D =-==，故所求概率12d P D ==． 2、【2020·江苏高三专题】将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1，36P 2)与圆C ：x 2＋y 2＝1 098的位置关系是______. 【答案】点P 在圆C 内 【解析】易知当且仅当12a b ≠时两条直线相交，而12a b=的情况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a＝2，b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率P 1＝213618=，两条直线相交的概率P 2＝1－3113612=，∴点P (2，33)，点P 与圆心(0，0)的距离为OP ==<P 在圆C 内．(4)与立体几何、数列相结合【2020·全国高三月考】一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为（ ）A ．2027B ．79C ．727D ．29【答案】C【解析】由题意知，蚂蚁每次爬行到下一个顶点的概率均为13，设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-，∴1313434n n P P -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为14为首项，以13-为公比的等比数列.∴()*331443nn P n ⎛⎫=-⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为4207112727P -=-=. (5)与排列组合相结合【2020·广东高三】羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 【答案】19【解析】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =，故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=。

《古典概型》知识清单一、古典概型的定义在概率论中，如果一个随机试验具有以下两个特征，我们就称其为古典概型：1、试验的样本空间（也就是所有可能的结果）是有限的。

例如，掷一枚质地均匀的骰子，其结果只有 1、2、3、4、5、6 这六种，样本空间是有限的。

2、每个样本点（即每个可能的结果）出现的可能性相等。

还是以掷骰子为例，掷出 1 点到 6 点的可能性是相同的。

二、古典概型的概率公式如果一个古典概型的样本空间为Ω，其中包含 n 个样本点，事件 A 包含的样本点个数为 m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n举个例子，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

样本空间Ω共有 8 个样本点（5 个红球和 3 个白球），事件 A（取出红球）包含 5 个样本点，所以取出红球的概率 P(A) ＝ 5 ／ 8 。

三、古典概型的计算步骤1、明确试验的样本空间Ω，即确定所有可能的结果。

比如，同时掷两枚质地均匀的硬币，样本空间Ω ＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝。

2、确定所求事件 A 包含的样本点。

若求“至少一枚硬币正面朝上”这个事件的概率，事件 A 包含的样本点为{（正，正），（正，反），（反，正）｝。

3、计算样本空间Ω和事件 A 包含的样本点个数。

在上述例子中，样本空间Ω包含 4 个样本点，事件 A 包含 3 个样本点。

4、代入古典概型的概率公式计算概率。

所以，“至少一枚硬币正面朝上”的概率 P(A) ＝ 3 ／ 4 。

四、古典概型中的排列组合在计算古典概型的概率时，经常会用到排列组合的知识。

排列：从 n 个不同元素中取出 m 个元素（m ≤ n），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

排列数记作 A(n, m) 。

组合：从 n 个不同元素中取出 m 个元素（m ≤ n），组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

§9.4 随机事件的概率及古典概型一、知识导学1.必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件.不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.2. 概率：实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和随机事件.随机事件在现实世界中是广泛存在的.在一次试验中，事件A 是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件A 发生的频率nm 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做事件A 的概率.记着P （A ）.0≤P （A ）≤13．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．4．具有以下两个特点：（１）所有的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型5．等可能事件的概率：如果一次试验中共有ｎ种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有ｍ种，那么事件A 的概率P （A ）＝nm ． 二、疑难知识导析1．必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果，理解事件的结果是相应于“一定条件”而言的，必须明确什么是事件发生的条件，什么是在此条件下产生的结果.上述三种事件都是在一定条件下的结果.2．频率与概率：随机事件A 的频率指此事件发生的次数ｍ与试验总次数ｎ的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数ｐ附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率.因此，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；而频率在大量重复试验的前提下，可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.3．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率：0＜P （A ）＜1，这里要辩证地理解它们的概率：必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端，它们虽是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，即任意事件A 的概率满足：0≤P （A ）≤14．等可能事件的理解：一次试验中所有可能的ｎ个基本结果出现的可能性都相等，这ｎ个结果对应着ｎ个基本事件.对等可能事件的理解，其实质在于对等可能性的理解.“等可能性”指的是结果，而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”“一反一正”这四种结果，每一种结果的可能性相等，都是0.25；而出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的.5．注意用集合的观点来看概率，运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说，一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I ，其中各基本事件均为集合I 的含有一个元素的子集，包括ｍ个基本事件的子集A ，从而从集合的角度来看：事件A 的概率是子集A 的元素的个数与集合I 的元素个数的比值，即P （A ）＝nm .因此，可以借助集合的表示法来研究事件，运用图示法弄清各事件的关系，从而做到较深刻的理解.三、经典例题导讲[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问恰好第三次打开房门锁的概率是多少？错解：有5把钥匙，每次打开房门的概率都是51，不能打开房门的概率是54，因而恰好第三次打开房门的概率是54×54×51＝12516. 错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.正解：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率是相同的，都是51.开三次门的所有可能性有35A 种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把钥匙安排的，故有24A 种可能.从而恰好第三次打开房门锁的概率是P （A ）＝513524=A A . [例2] 某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率.错解：把全组学生分成人数相等的两小组，有88816C C 种分法，事件A 为组里男、女生各半的情形，它有24848)(C C 种，所以P （A ）＝81624848)(C C C . 错因:这里没注意到均匀分成两组与分成A 、B 两组的区别.正解：基本事件有8881621C C ，事件A 为组里男、女生各半的情形，它有24848)(21C C 种，所以 P （A ）＝128749021))(21(81648484848=C C C C C . [例3] 把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率是 .错解：抛掷一枚硬币出现正、反两面的可能性都相等，因而正、反两面交替出现的概率是21. 错因：没审清题意.事实上，把一枚硬币向上连抛10次，出现正面5次的概率同样也不等于21. 正解：连抛10次得正、反面的所有可能的情况共有102种，而题设中的正、反两面交替出现的情况只有2种，故所求的概率为51212210=. [例4]（2003.上海卷）某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）.解：设“从20名成员中随机选出的2人来自不同国家”为事件A ，则A 所包含的基本事件数为11915141511114111=++C C C C C C ，又基本事件数为220C .故P （A ）＝190119119220=C . [例5] 将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数ｋ满足0≤ｋ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下，求：（1）第一个盒没有球的概率；（2）第一个盒恰有1个球的概率；（3）第一个盒恰有2个球的概率；（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率.解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有43种.（1）第一个盒中没有球的放法有42种，所以第一个盒中没有球的概率为： P 1＝81163244=. （2）第一个盒中恰有1个球的放法有3142⋅C 种，所以第一个盒中恰有1个球的概率为：P 2＝8132324314=⋅C . （3）第一个盒中恰有2个球的放法有2242⋅C 种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：P 3＝278324224=⋅C . （4）第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有2314C C 种，所以所求的概率为：P 4＝274342314=C C . [例6] 一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的的概率：（1）事件A ：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；（2）事件B ：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；（3）事件C ：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；（4）事件D ：从从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.解：（1）基本事件总数是10×10.事件A 包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球后摸出黑球”，摸出白球及黑球分别有7种和3种可能.所以A 发生共有2×7×3种可能. ∴P （A ）＝1010372⨯⨯⨯＝0.42. 2）事件B 与事件A 不同，它确定了先摸黑球再摸白球的顺序. P （B ）＝101037⨯⨯＝0.21（3）事件C 说明摸出两个球不放回，且不考虑次序，因此基本事件总数是210C ，事件C 包含的基本事件个数是1317C C .P （C ）＝1572101317=C C C ≈0.47. （4）与事件A 相比，D 要考虑摸出两球的先后次序.P （D ）＝307191101317=C C C C ≈0.23 评注：注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例（1）（2）是放回抽样，（3）（4）是不放回抽样.四、典型习题导练1（1）计算表中优等品的各个频率；（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？2．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是 （ ）A 、81B 、83C 、87D 、85 3．停车场可把12辆车停放一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰连在一起的概率为 （ ）A 、8127CB 、8128C C 、8129CD 、81210C 4．有5条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，现从中任取3条线段，求3条线段构成三角形的概率.5．把10个运动队平均分成两组进行预赛，求最强的两队被分在（1）不同组内；（2）同一组内的概率.6．甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？。

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随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式．
2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
随机数与几何概型1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．
,
第1讲随机事件的概率
,[学生用书P173]) 1．事件的分类
确定事件
必然
事件
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能
事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机
事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2．概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A。

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座20）—随机事件的概率与古典概型一．课标要求：1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

二．命题走向本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。

预测07年高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。

三．要点精讲1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。