波动方程和行波法

行求解。但是只有泛定方程不足以完全确定方
程的解，即不足以完全确定具体的物理过程，
因为具体的物理过程还与其初始状态及边界所
受的外界作用有关，因而必须找一些补充条件，
用以确定该物理过程。
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从物理角度看：泛定方程仅表示一般性（ 共性），要为物体的运动个性化附加条件。
从数学角度看：微分方程解的任意性也需 附加条件。通解中含任意函数（解不能唯一确 定）。通过附加条件确定任意函数（常数）， 从而确定解。这些附加条件就是前面所谈的问 题的“历史”与“环境”，即初始条件和边界 条件，统称为定解条件。
cos1121!241!4 1
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cos2122!242!4 1
sin11 3 1 !3 5 1 !5 1tan1
sin22 3 2 !3 5 2 !5 2tan2
ds(dx)2(du)21(ux)2dx
∵
ux
u x
tan
dx
tan1 ux xdx
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小振动近似：x dx与 x 两点间任一时刻横
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由于张力的作用，一个小段的振动必带动 它的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一 个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的 传播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张 力的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完 全可以略去。
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① 模型实际上就是：柔软轻质细弦 （“没有质量”的弦）
令
T2 T1 T
则上式为:
T [ u x ( x d x ,t ) T 1 u x ( x ,t ) ] F d x d x u t t
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应用微积分中值定理:
u x (x d x ,t) T 1 u x (x ,t) u x x d x
dy f '(x)dx
u x (x d x ,t) T 1 u x (x ,t) u x x d x
横振动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，
管道中小振动的传播，理想传输线的电报方程
等均可用上述波动方程描述。故称为一类方程，
即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大）
可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导
三维波动方程，这里不再一一推导。
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二、定解条件的提出
1、必要性。导出方程后，就得对方程进
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5
3.寻找（猜测）物理过程所遵守 的物理定律或物理公理;
4.写出物理定律的表达式，即数 学模型。
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1.1 弦振动方程
一、弦的横振动方程 二、定解条件的提出 三、三类定解问题
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一、 弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动） 演奏弦乐（二胡，提琴）的人用弓在弦
上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎 只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到 整个弦，弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？
向位移之差 u(xdx,t)u(x,t)与 d x 相比是一
个小量，即
u 1 x
于是①、②化简为：
T 2 u xx d x T 1 u xx F d xd x u tt
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即
T 2 u x ( x d x ,t ) T 1 u x ( x ,t ) F d x d x u t t
于是由牛顿第二定律对 dx 所对应的这一小
段弦有:
T 2cos2T 1cos10
①
T 2 s in2 T 1 s in 1 F d s (d s ) u tt②
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其中: 是弦的线密度，即单位长度的
质量，d s 为 d x 对应弧长，u 为弦的横向
位移， u t t 为弦的横向加速度。 近似：考虑小的振动， 1 ， 2 为小量。
② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一
根直线，取为 x 轴。
③ 将弦上个点的横向位移记为 u u(x,t)
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④ 已知：线密度 (x,t)(t),重量不计，
张力 T ( x, t ) 沿切线方向，不随x变化，弦中 各点的张力相等（小振动下T 与t 也无关）.
⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想， 任意性。
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④ 对弦的每一小段dx,沿x方向（纵
向）
没有运动，沿 x方向所受合外力为零。任一
小段弦在振动过程中只受到相邻段对它的张 力和施加在弦上的外力。
F (x,t).
设单位长度上受到的横向外力为
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沿 x 方向（纵向）： T1cos1 T2 cos2
沿 y方向（纵向）： T2 sin 2 T1sin1
若 u t t 0 h 就错了。
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(b) 时间 t 的 n 阶方程需 n个初
始条件，
n 个常数。
如：
u (x)
u a2u
f
t0
tt
xx
ut t0 (x)
utD uf ut0(x)
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3、边界条件 求解方程时还需考虑边界状况（周边
“环境”）（边界状况将通过逐点影响所讨 论的整个区域），称物理过程边界状况的表 达式为边界条件，或称为边值条件。
utt a2uxx, x
u t0
(x), ut
t0
(x)
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（2）边值问题： 定解条件为边界条件
u 0
如
u f (u )
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50
（3）混合问题:即有初始条件又有边界条件。 如有界弦的自由振动
u tt a 2u xx
u 0,u 0
x0
x0
u t0 (x),ut t0 (x)
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4、其它条件 ⑴ 衔接条件 由于一些原因，在所研究的区
域里出现跃变点，泛定方程在该点失去意
义。如波动方程（弦），如果有F横( t向)集力中地
作用于 x 0 点，这就成了弦的折点。在点 x 0
斜率 u x 的左极限 ux(x0 0,t)不同于右极限
ux(x0 0,t)，因而 u x x不存在,
E1, E2 ：两部分的杨氏模量.
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静电场中，两种电介质的交界面 s 上
电势应相等（连续），电位移矢量的法向 分量也应相等（连续）,其衔接条件是:
u1 s u1 s
1
u1 n
s
2
u2 n
s
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其中 u1 , u 2 代表两种电介质的电势，
1, 2 代表两种电介质的介电常数，（设电
xFdxdxutt
T u x xd x F d xd x u tt
utt TuxxF
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即
utt a2uxx f
—— 弦的强迫横振动方程
其中: a 2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
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∴
T MLT2
:
ML1
L2T2
即 a2 :L2T2
a ：振动的传播速度 a
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1. 物理模型
实际问题：设有一根细长而柔软的弦,
紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振
幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同
一平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且
与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求
弦上各点的运动规律。
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2. 分析 弦是柔软的，即在放松的条件下，
把弦弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧 后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦 中的张力，张力沿线的切线方向。
u f
n
u ， n(x0,y0,z0) f (x0, y0,z0)
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第三类边界条件（混合边界条件 也 叫Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及 其外法向导数的线性组合在边界上的值
uH un(x0,y0,z0)f(x0,y0,z0,t)
uu fH :常系数
n
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以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
边界条件在数学上分为三类：
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第一类边界条件(Dirichlet边界条
件)：直接规定所研究的物理量在边界上的
数值
u f
u(x, y,z,t) (x0,y0,z0) f (x0, y0,z0,t)
其中 f (x0,y0,z0,t) 为已知函数。
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第二类边界条件（Neuman 边界条件）： 规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的 方向导数的数值.
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3. 研究建立方程
① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴 u
F
T2
2
1 s
T1
0 A x x x B x
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② 弦离开平衡位置的位移记为u ( x , t ),
为表征物理量。
③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 Fma
对整根弦并不适用。但整根弦可以细分为许
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（4）无界半无界问题： 物理系统总是有限的，必须有界，要
求边界条件，如：弦总是有限长的，有两个端
点，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在
位移矢量分别为
D1,D2
,
则
D1n s D2n s
D E u
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⑵ 自然边界条件
某些情况下，出于物理上的合理性等原
因，要求解为单值、有限，就提出自然边界条
件，这些条件通常都不是要研究的问题直接给
出，而是根据解的特性要求自然加上去，故称
为自然边界条件，如：
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x2y2xyl(l 1 )y0
多极小的小段，每个小段可以抽象为质点。
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即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
质点即每个小段可应用 Fma.
方法：将连续分布的介质离散化为多质点系
统，再取内部任一代表性的点进行研究。将弦
细分为许多极小的小段，取区间上 (x,xd小x)
段为代表。无质量且柔软，故该段仅受到相邻
两段的拉力 T 1 和 T. 2
注意：( a）初始条件应是整个系统的
初始状态，而不是系统中个别点的初始状态。
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如：一根长为 l 的两端固定的弦，用手把它的 中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动（
初始时该就为放手的时刻），则初始条件应为：
u
t0
(
2h l
)
x
x
l 2
2h l
(l
x) l 2
x
l
ut t 0 0
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utt a2uxx 0在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x 0 ，x x 0 两段分别考虑， 在各段上,弦振动方程有意义，但它是一
根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的
振动是相互关联的。
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u
F（0,t）
物理学专业必修课程
数学物理方法
Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
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1
第一章 波动方程和行波法
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2
引言 1.1 弦振动方程 1.2 行波法
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3
基本步骤：
物理模型
定量化
数学模型
1.建立坐标系（时间，空间）
2.选择表征所研究过程的物理量 u 表征物理量的选择常常是建立一个新 方程的起点。 （一个或几个）。
T
它与弦的张力的平方根成正比，与弦的
线密度的平方根成反比。
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对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越 大；弦的质料越密，波速越小。
上式 utt a2uxx f 中,外力 f 消失，即 f 0 则得弦的自由横振动方程：
utt a2uxx
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注意：上述推导过程中，并没有考虑重
力。不仅弦振动，一维波动方程ห้องสมุดไป่ตู้如弹性杆的
α1
α2
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x
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x x 0 虽是折点，但它们连续，即
u(x00,t)u(x00,t)
①
在 x 0 ，力 F ( t ) 应和张力平衡，即
F (t) T sin1 T sin2 0
sin1 ta n1 u x(x 0 0 ,t) s in2 ta n2 u x (x 0 0 ,t)
通解为： yAlxBx(l1)
在区间 0, a 上要求解有限，故
y x0 有限，从而在 0, a 中的解为:
y Axl
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三、三类定解问题
泛定方程 定解问题
定解条件
初始条件 边界条件+衔接条件
但并非所有的定解问题中，都一
定同时具有初始条件和边界条件。
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（1）初值问题(Cauchy问题）：定解问 题中仅初始条件而无边界条件 ,如无界弦 的振动:
T u x ( x 0 0 ,t) T u x ( x 0 0 ,t) F ( t) ②
①、②合称为衔接条件，这时振动问题适定。
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再如，不同材料组成的杆的振动
，在衔接处的位移和能量相等，即：
u u 1 xx0
2 xx0
E 1u1x xx0 E 1u2x xx0
u1(x,t)u ,2(x,t) ：杆的两部分位移.
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2、初始条件
在求解含时间t变量的数理方程时，往往
要追溯到早些某个所谓“初始”时间的状况 （“历史” ），于是称物理过程初始状况的数 学表达式为初始条件。
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如弦振动方程: utt a2uxx 0
其初始条件为: 同一时刻( t 0 )情况
u ut
t0(x) t0(x)
初始位移 初始速度