函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全
函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数：
设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()
()()0,1()
f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。()
()-()0,1()
f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：
对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =
[]a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量
)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨
⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x
)()(kT x f x f x f
函数周期性的几个重要结论
2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =+
⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)
(1
)(x f a x f -=+
⇔)(x f y =的周期为a T 2=
6、)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=
7、 1
)(1
)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)
(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=
9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2
, )2
()(,0p T p px f px f p =-=>则
推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=
推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=
函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--
③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))
(2,)(2(),(),(2
222//B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-
=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax
②函数))
(2()(2)(2
222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-
=与关于直线
0))
(2,)(2(0),(2
222=+++-+++-=B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x F y x F 与0=++C By Ax 成轴对称。 ③关于直线
0=++C By Ax 成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称
4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称
推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
