3.2 古典概型一、教学目标1．核心素养通过学习古典概型，初步形成基本的数学抽象和数学建模力．2．学习目标（1）理解基本事件的特征．（2）会用古典概型公式解决实际实际问题．（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法．3．学习重点理解古典概型的特点，会用古典概型解决随机事件出现的概率如何计算问题．4．学习难点基本事件的等可能性．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读P125－P127，思考：基本事件有什么特点？古典概型有什么特点？如何应用?任务2阅读P130,思考：随机数是如何产生？如何利用计算机（器）进行随机摸拟。
2．预习自测1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有()A.1个B.2个C.3个D.4个解：C2.下列不是古典概型的是()A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B.同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解：C3.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.16 B.12 C.13 D.23解：C（二）课堂设计1．知识回顾（1）频率的求法．（2）事件的关系与运算．（3）概率的几个基本性质．2．问题探究问题探究一基本事件有什么特点？（★▲）●活动一创设实验，学会表述基本事件抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？抛掷两枚可能的结果:（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；抛掷三枚可能的结果:（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）,（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）.●活动二反思实例，理解基本事件的特点思考一：基本事件之间有何关系？基本事件的并事件又是什么？基本事件的总数有什么特点？两个基本事件的交事件为不可能事件，并事件为必然事件，基本事件的个数为有限个.思考二：为何上述实验中，为何要求所抛掷的两枚硬币是均匀的呢？为了使得基本有事件出现的可能性是等可能性的.如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型.也即是说，一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为n1●活动三: 创设反例，深化古典概型的理解思考：下列说法正确吗？为什么？（1）从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？（2）在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？（1）不是，因为有无数个基本事件.（2）不是，因为命中的环数的可能性不相等. 由上述例子，不难看出古典概型特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等；问题探究二在抛掷一次硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”).由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1，因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝1 2.一般地，对于任何事件A，P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.例1单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？【知识点：古典概率的求法】详解：由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，所以P(A)＝1 4.点拨：一次选择中，A,B,C,D四个选项，每个选项被选到的都是等可能的.例2三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】详解：记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出：如下图.每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P＝616＝38.点拨：事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达.例3.设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率.【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】详解：利用平面直角坐标系列举，如图所示.由此可知，基本事件总数n＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x＋y是3的倍数的情况有m＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种).故所求事件的概率mn＝13.点拨：基本事件是古典概型的难点，常借助于树形图，有序数对（组）等来表述基本事例4.做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数.写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”.【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】详解：(1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6).(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1).点拨：此题的难点依然是如何合理的去表述基本事件，使其基本事件不重不漏. 问题探究三如何用随机模拟的方法？●活动一梳理自学任务，展示随机数形成过程思考1：对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一个数都称为随机数. 那么你有什么办法产生1～20之间的随机数.抽签法思考2：随机数表中的数是0～9之间的随机数，你有什么办法得到随机数表？我们可以利用计算器产生随机数，其操作方法见教材P130及计算器使用说明书.我们也可以利用计算机产生随机数，用Excel演示:（1）选定Al格，键人“＝RANDBETWEEN（0，9）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生数；（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A1至A100的数均为随机产生的0～9之间的数，这样我们就很快就得到了100个0～9之间的随机数，相当于做了100次随机试验.对于古典概型，我们可以将随机试验中所有基本事件进行编号，利用计算器或计算机产生随机数，从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法，称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法（Monte Carlo）.你认为这种方法的最大优点是什么？不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.●活动二应用于实际，突出随机数随机数模拟方法的优点.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率约是多少？要点分析：（1）今后三天的天气状况是随机的，共有四种可能结果，每个结果的出现不是等可能的.（2）用数字1，2，3，4表示下雨，数字5，6，7，8，9，0表示不下雨，体现下雨的概率是40%.（3）用计算机产生三组随机数，代表三天的天气状况.（4）产生30组随机数，相当于做30次重复试验，以其中表示恰有两天下雨的随机数的频率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近似值. Excel演示（5）据有关概率原理可知，这三天中恰有两天下雨的概率P=3×0.42×0.6=0.288.3．课堂总结【知识梳理】(1)知道基本事件的特点．(2)知道古典概率模型的特点(3)应用古典概型解决随机事件出现的概率如何计算问题【重难点突破】（1）从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝card Acard I＝mn.（2）基本事件处理方法①列举法：适合于较简单的试验．②树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．4．随堂检测1．下列是古典概型的是()A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止【知识点：古典概率的特点；数学思想：数学抽象】解：C2.用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.23【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】答案 C 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为13.3.从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表， 甲被选中的概率是( )A.16B.12C.13D.23【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解： C 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P ＝26＝13.4．一袋中装有大小相同的八个球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A ，则P(A)等于( )A.132B.164C.332D.364【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：C 事件A 包括(6,8)，(7,7)，(7,8)，(8,6)，(8,7)，(8,8)这6个基本事件，由于是有放回地取，基本事件总数为8×8＝64(个)，∴P(A)＝664＝332.5．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9 (cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320B.25C.15D.310【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：D 任取三根共有10种情况，构成三角形的只有3、5、7,5、7、9,3、7、9三种情况，故概率为310.（三）课后作业基础型 自主突破1.下列是古典概型的是( )A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C.从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止【知识点：古典概率的特点；数学思想：数学抽象】解：C A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的基本事件是无限的，故B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是；D 项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是.2.一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )A.38B.23C.13D.14【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：A 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个.则所求概率为38.3.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12 B.13 C.14 D.16【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：B基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P＝26＝13，故选B.4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a 的概率是()A.45 B.35 C.25 D.15【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：D设“所取的数中b>a”为事件A，如果把选出的数a，b写成数对(a，b)的形式，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15个，事件A包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝315＝15.5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是()A.45 B.35 C.25 D.15【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解： D 从五个数中任意取出两个不同的数，有10种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，(2,3)，共有2种，所以取出的两数之和等于5的概率为210＝15.6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解： C 设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个. 两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个.∴其概率为615＝25.能力型师生共研7．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A.318B.418C.518D.618【知识点：古典概率的求法，垂直的条件；数学思想：应用意识能力】解：C正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件，两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于518.8.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.其中“摸出2个黑球”的基本事件有()A.3个B.4个 C .5个 D.6个【知识点：基本事件的特点】解：A由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型. 将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中“摸出2个黑球”的基本事件有3个.9．从1,2,3，…，30这30个数中任意选一个数，则事件“是偶数或能被5整除的数”的概率是()A.710 B.35 C.45 D.110【知识点：古典概率的求法；数学思想：分类讨论的思想，应用意识能力】解：B10．从4名同学中选出3人参加物理竞赛，其中甲被选中的概率为()A.14 B.12 C.34D．以上都不对【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：C4名同学选3名的事件数等价于4名同学淘汰1名的事件数，即4种情况，甲被选中的情况共3种，∴P ＝34.探究型 多维突破11．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则( )A ．P 10＝110P 1B ．P 10＝19P 1C ．P 10＝0D ．P 10＝P 1【知识点：古典概率的求法；数学思想：应用意识能力】解：D 摸球与抽签是一样的，虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后人知道先抽的人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，并不因抽签的顺序不同而影响到其公平性．所以P 10＝P 1.12．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c ；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A ，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．【知识点：古典概率的求法；数学思想：分类讨论的思想，应用意识能力】解：比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa ，Bb ，Cc)，(Aa ，Bc ，Cb)，(Ab ，Ba ，Cc)，(Ab ，Bc ，Ca)，(Ac ，Ba ，Cb)，(Ac ，Bb ，Ca)．(1)经分析：仅有配对为(Ac ，Ba ，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为16.(2)田忌的策略是首场安排劣马c 出赛，基本事件有2个：(Ac ，Ba ，Cb)，(Ac ，Bb ，Ca)，配对为(Ac ，Ba ，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为12.自助餐1.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.13 B.14 C.12 D.无法确定【知识点：古典概率的求法；数学思想：应用意识能力】解：C 共有4个事件“甲、乙同住房间A ，甲、乙同住房间B ，甲住A 乙住B ，甲住B 乙住A ”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是12.2.袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13 D.12【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解： B 把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个.其中至多一个黑球的事件有12个.由古典概型公式得P ＝1215＝45.3.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B.19C.16D.112【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】 解：B4.任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( )A.1225B.3899C.1300D.1450【知识点：古典概率的求法，对数运算；数学思想：应用意识能力】解： C 三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.5.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( )A.P 1＝P 2＜P 3B.P 1＜P 2＜P 3C.P 1＜P 2＝P 3D.P 3＝P 2＜P 1解：B 点数之和为12的事件为(6,6)，P (12)＝136，同理P (11)＝118，P (10)＝112.6.在三棱锥的六条棱柱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )A.120B.115C.15D.16【知识点：古典概率的求法，异面直线；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解： C 在三棱锥的六条棱中任意选择两条，所有的选法共有15种，其中，所选两条棱是一对异面直线的选法有3种，即三棱锥的3对对棱，故所求事件的概率为315＝15.7.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________.【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解： 15 用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，故所求的概率为315＝15.8.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解： 14 用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为416＝14.9.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12，则n 的值为________.【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】 解：2 由题意可知：n 1＋1＋n＝12，解得n ＝2.11.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：(1)由题意得，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3, 1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种.所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为1 9.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为8 9.12.编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率.【知识点：古典概率的求法；数学思想：数据处理能力，应用意识能力】解：(1) 4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种.②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种.所以P(B)＝515＝13.五、数学视野蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法.这一方法源于美国在第一次世界大战研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的Monte Carlo——来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩.Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.早在17世纪,人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”.19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π.本世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能.考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”,如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内,则该“图形”的面积近似为M/N.可用民意测验来作一个不严格的比喻.民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见,而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者.其基本思想是一样的.科技计算中的问题比这要复杂得多.比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算,问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千.对这类问题,难度随维数的增加呈指数增长,这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality),传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）.Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难,因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数.以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算了.为提高方法的效率,科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧.另一类形式与Monte Carlo方法相似,但理论基础不同的方法——“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)——近年来也获得迅速发展.我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例.这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列.对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍,并可计算精确度.蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛.。
