1 / 101 排列组合及二项式定理
【基本知识点】
1．二项式系数的性质:
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ,
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵m n m n n C C -=)．
(2）增减性与最大值:
当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C
-，12n n C +取得最大值． (3)各二项式系数和:∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++,
令1x =,则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++
【常见考点】
一、可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法"可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数。
(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?
(2)有４名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?
(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法？
【解析】:（1）43(2)34 (3)3
4
二．相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
2 / 102 (4）,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有
【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列,4424A =种
(５)３位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3
位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ )
Ａ。 3６0 B. １８８ Ｃ。 216 D. 9６
【解析】: 间接法 ６位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,22223242C A A A =432 种
其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144,符合条件的排法故共有２88
三．相离问题插空法 ：
元素相离(即不相邻）问题,可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
(６）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
【解析】:除甲乙外,其余５个排列数为55A 种，再用甲乙去插６个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种
(7) 书架上某层有６本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答）
【解析】： 111789A A A =504
(８）马路上有编号为１,2,3…，9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：把此问题当作一个排对模型,在６盏亮灯的5个空隙中插入３盏不亮的灯35C 种方法，所以满足条件的关
灯方案有１０种。
四．元素分析法（位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
3 / 103 素;再排其它的元素.
(9)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ )
A ． 3６种 B. 12种 Ｃ. 18种 D ． ４8种
【解析】：方法一： 从后两项工作出发,采取位置分析法。2333A 36A =
方法二:分两类：若小张或小赵入选，则有选法;若小张、小赵都入选,则有
选法，共有选法36种,选A 。
（１0)1名老师和４名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
【解析】:老师在中间三个位置上选一个有13A 种,4名同学在其余4个位置上有44A 种方法;所以共有143472A A =种。．
五.多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
（11) ６个不同的元素排成前后两排,每排３个元素，那么不同的排法种数是（ )
A 、３6种
B 、１2０种
C 、72０种
D 、1440种
（12)把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
(A)510515A A (B ）3355510515A A A A （C)15
15A （D)3355510515A A A A ÷ (13）８个不同的元素排成前后两排,每排４个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排，有多少种不同排法?
【解析】:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成６个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C 。
(2）答案：C
(3）看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排２个,有24A 种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14
A 24331212=A C C 122322=A A
4 / 104 种,其余5个元素任排5个位置上有55A 种,故共有1254455760A A A =种排法。
六.定序问题缩倍法（等几率法)：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. (１４),,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻)那么不同的排法种数是
( )
【解析】:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602
A =种
(15)书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?
【解析】:法一:3
9A 法二:9
966
1A A
七．标号排位问题(不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定
排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
（16） 将数字1，２,3，4填入标号为1,2,３,4的四个方格里，每格填一个数,则每
个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )
A 、6种
B 、9种
C 、1１种
D 、２3种
【解析】：先把１填入方格中,符合条件的有３种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有３×3×1=9
种填法,选B .
（17）编号为1、2、３、4、5的五个人分别去坐编号为1、２、３、4、5的五个座位,其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( ）
A 10种
B 2０种
C 30种
D 6０种
答案:B
八.不同元素的分配问题(先分堆再分配):注意平均分堆的算法
5 / 105 (１8）有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、３本三组;
（2） 分给甲、乙、丙三人,其中一个人１本,一个人2本,一个人3本;
（3） 分成每组都是２本的三个组;
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本;
（5） 分给5人每人至少１本。
【解析】：(1）332516C C C
（２）33332516A C C C (3)33222426A C C C (4)222426C C C （5）2111115554321544C C C C C C A A (19） 四个不同球放入编号为１，２,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种?
【解析】：先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有24C 种,再排:在四个盒中每次排３个有34A 种，故共有
2344144C A =种.
九．相同元素的分配问题隔板法:
(20)把20个相同的球全放入编号分别为1，2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少
种不同的放法?
【解析】：向1,2,３号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球，然后再把这17
个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法，共有1202
16=C 种.
(21）1０个三好学生名额分到７个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到７个班级，就是把１0个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆
至少一个,可以在１０个小球的９个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
故共有不同的分配方案为6984C =种。十.排数问题(注意数字“0”）
（2２）由数字0,1，2,3,4，5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )
6 / 106 A 、２10种 B 、３０0种 C 、464种 D 、600种
【解析】 ：按题意,个位数字只可能是０，1,2,3，４共５种情况，分别有55A 个,
1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计３00个,选B .
十一.染色问题:涂色问题的常用方法有：(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（２）根据相对区域是否同色分类讨论;
(３）将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
(23）将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用，
那么不同的染色方法的总数是_＿_＿___.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色.
（１)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、Ｂ、C 、D 四点,
此时只能A 与C 、B 与D 分别同色,故有125460C A =种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B,由于Ａ、B 颜色可以交换,故有2
4A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C,而D 与C,而D 与C 中另一个只需
染与其相对顶点同色即可,故有12115422240C A C C =种方法。 (3)若恰用五种颜色染色,有55120A =种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240＋120=420种。【答案】4２０。
十二． 几何中的排列组合问题:
(２４）已知直线1x y a b
+=(a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 条
【解析】: 圆上的整点有:(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)±±±±±± 1２ 个
212C =66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有1
12C =12 ，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66—４+1２－１４=60
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答案：6０
【练习】
１、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有２人选修课程甲的不同选法共有
（A ）12种 (B)２4种 (C)３0种 （D)36种
【解析】分两类：取出的1本画册,3本集邮册，此时赠送方法有144C =种；取出的２本画册,2本集邮册，此时赠
送方法有246C =种。总的赠送方法有10种。【答案】Ｂ
2、正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
ﻩA.20ﻩ Ｂ．15 C ．1２ﻩ Ｄ．１0
【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有15C 种选法,再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有14C 种选法,由
于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有12C 种方法,但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次,所以最后还要乘以,21所以这个正五棱柱对角线的条数共有202
1121415=•••C C C ，所以选择A. ３、6
(42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是
（A)20- (B ）15- (C)15 (D)20
【答案】C
【解析】:6(123)166(1)(4)(2)(1)2r r x r x r r r x r r T C C ---+=-=-令(123)0x r -=4r ⇒=,于是展开式中的常数项是446(1)15C -=故选Ｃ
4、已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)4
5(+x 的展开式中3x 的系数相等,则=θcos ．
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【答案】22±解:4)45(+x 的通项为r r r x C )4
5(44⋅⋅-,1,34==-∴r r ， ∴4)45
(+x 的展开式中3x 的系数是54514
=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ，3,25==-∴R R ,
∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC ∴ 2
1cos 2=θ,22cos ±=θ. 5、已知26(1)kx +(k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120,则k = .
【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166()r r r r r r T C kx C k x +==,我们知道8
x 的系数为444615C k k =,即415120k <,也即48k <，而k 是正整数，故k 只能取1。
6、若1223211C 3C 3C 3C 385n n n n n n n ---+++++=,则 n 的值为 ．
答案4
7、已知,则= —8 .
8、对任意的实数,有,则的值是（ B )
Ａ．3 B ．6 C.9 D ．21
9、设是的一个排列，把排在的左边．．且比小．
的数的个数称为的顺序数(）．如:在排列6，4, 5, 3，２，1中,5的顺序数为1，3的顺序数为0.则在１至8这八个数字构成的全排列中，同时满足 ８的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为３的不同排列的种数为（ C ）
A ．４８ B.96 Ｃ．1４４ D ．192
10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从１,2,3,4,5，６这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有
A.120个
B.8０个 C 。40个 D 。 ２0个
443322104)21(x a x a x a x a a x ++++=+4321432a a a a -+-x 3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-2a n a a a ,,,21 n ,,2,1 i a i a i a n i ,,2,1 =
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【答案】C
11、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有
A ．24种 B.30种 C ．36种 D.48种
【答案】Ｄ
12、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对＂的个数是（ ）
A.2４ Ｂ．30 Ｃ.3６ D.４2
【答案】C
１３。从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ；
【答案】11２
14、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有( )种。
（A ）5536A A ⋅ （B ）336688A A A ⋅- （C)3335A A ⋅ （D)4688A A -
误解:除了甲、乙、丙三人以外的５人先排，有55A 种排法,５人排好后产生6个空档,插入甲、乙、丙三人有36A 种
方法,这样共有5536A A ⋅种排法，选A 。
错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻．．．．＂的情况。“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻,但允许其中有两人相邻。
正解：在８个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数,即336688A A A ⋅-,故选B 。
15、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )。
(A)16种(B)18种(Ｃ）37种(Ｄ)４8种
误解:甲工厂先派一个班去，有3种选派方法,剩下的２个班均有4种选择，这样共有48
⨯
3=
⨯种方案.
4
4
错因分析：显然这里有重复计算．如：a班先派去了甲工厂，b班选择时也去了甲工厂，这与b班先派去了甲工厂，a班选择时也去了甲工厂是同一种情况,而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除。
正解:用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况,即:37
⨯
-
⨯
⨯
⨯种
3
4=
3
3
4
4
方案。
排列组合问题虽然种类繁多,但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合＂，留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把排列组合学好。
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排列组合二项定理 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一．．．定顺序．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个 数？其排列个数1! 3!3==n . 三、组合. 1. ?组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ?组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==
8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况： ① 若取出6，则有() 2111 82772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法． 根据分类计数原理，一共有() 2111 8277 2P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3 526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526 C C 3502 536=?C C 种方法. 经典例题： 例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） A ．150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法． 在10个点中任取4点，有4 10C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有44 6C 种取法； 第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有4 10C －(44 6C ＋6＋3)＝141，因此选D 例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料 一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理： 分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++=Λ21 分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ???=Λ21 2．排列： 从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数)! (! )1()1(m n n m n n n A m n -=+--=Λ 3．组合： 从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= Λ； 组合数性质：m n n m n C C -=，m n m n m n C C C 11+-=+ 4．排列组合常用方法： 分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ 间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英
语书不能相邻，则有多少中排列方式？ 特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？ （二）二项式定理 1．二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，其中r n C 为第1 +r 项的二项式系数，=-n b a )( 2．通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r Λ= 3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于 2 n 对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n 项，最大值为2n n C 当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第12 1 ++n 项，最大值为21 21+-=n n n n C C （3）二项式系数之和n n n n n C C C 210=+++Λ 奇数项与偶数项的二项式系数之和相等1 31202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ （三）概率 1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率n m 总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．
十、排列、组合和二项式定理 1.排列数m n A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N . (1)排列数公式 !(1)(2)(1)()()! m n n A n n n n m m n n m =---+= ≤-L ；!(1)(2)21n n A n n n n ==--?L 。如 （1）1！+2！+3！+…+n ！（* 4,n n N ≥∈）的个位数字为 （答：3）； （2）满足2 886x x A A -<的x ＝ （答：8） (2)组合数公式 ()(1)(1)!()(1)21!!m m n n m m A n n n m n C m n A m m m n m ?-??-+===≤?-???-L L ；规定01！=，0 1n C =. 如已知16m n m n m n C C A +++=，求 n ，m 的值 （答：m ＝n ＝2） (3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=； ④1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ；⑤!(1)!!n n n n ?=+-；⑥ 11 (1)!!(1)! n n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是： 分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事）， 分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的）， 有序排列，无序组合． 如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种 （答：5 3）； （2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种 （答：70）； （3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___ （答：23）； （4）72的正约数（包括1和72）共有 个 （答：12）； （5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形 （答：90）； （6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法； （答：480） （7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4 张贺年卡不同的分配方式有 种 （答：9）； （8）f 是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b + ()f c =，则不同的映射共有 个 （答：7）；
高中数学排列组合与二项式定理 第一篇：高中数学排列组合与二项式定理 排列组合与二项式定理 1．（西城区）在(2x2- A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－60 2．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续 数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）A．18种B．36种C．54种D．72种 4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有 A．50种B．150种C．300种 D．600种（） 5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是() A． 3B．6C．12D．2 46．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（） A．210种 x 6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x-)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax-1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x+1
高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有1 1--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说，
排列组合及二项式定理 【基本知识点】 1．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1 n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ， （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值： 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最 大值． （3）各二项式系数和：∵1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++++ +， 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++++ + 【常见考点】 一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. （4）,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 （5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有12222 23232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288
201X年普通高考数学科一轮复习精品学案 第39讲排列、组合、二项式定理 一．课标要求： 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题； 3．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 二．命题走向 本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。 排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。 考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，
属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。 三．要点精讲 1．排列、组合、二项式知识相互关系表 2．两个基本原理 （1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步； 正确地分类与分步是学好这一章的关键。 3．排列 （1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系m n A =)! (!m n n -=n·(n －1)…(n －m+1)； （3）全排列列：n n A =n!； （4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合 （1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m = )!(!!m n m n -=1 2)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质 ①C n m =C n n-m ；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1； 5．二项式定理 （1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；
排列组合和二项式定理是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。本文将从这三个概念的定义、性质、应用等方面进行阐述。 排列组合和二项式定理都是与排列组合相关的重要数学概念。排列组合主要用于计算有限集合中元素的排列组合数，而二项式定理则是一个数学公式，描述了两个二进制数的组合方式。 排列组合和二项式定理在数学中有着广泛的应用。首先，在组合数学中，排列组合被用来计算组合的系数。例如，在计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数时，可以使用排列组合的方法来计算。此外，排列组合还可以用于解决一些概率问题，例如，在抽奖活动中，可以通过计算不同号码的组合数来计算中奖的概率。 其次，二项式定理在统计学和概率论中有着广泛的应用。例如，在计算平均数、方差和标准差等统计量时，可以使用二项式定理来计算。此外，二项式定理还可以用于解决一些概率问题，例如，在计算抛硬币的正反面出现的概率时，可以使用二项式定理来计算。 排列组合和二项式定理的应用非常广泛，下面举几个例子来说明： 1. 计算组合数：假设要从n个不同元素中选取k个元素，不考虑顺序，那么可以使用排列组合的方法来计算组合数。具体地，可以计算出所有可能的排列数，然后除以从n个元素中选取k个元素的排列数。例如，从5个不同元素中选取3个元素的组合数为C(5,3) = 10。 2. 计算概率：假设要进行一次抽奖活动，其中有10个不同的号码，每个号码出现的概率为1/10。那么可以计算出所有可能的组合数，即10个不同的号码的排列数。然后，根据二项式定理来计算中奖的概率。具体地，可以计算出中奖的概率等于中奖号码出现的次数与总次数的比值。例如，如果中奖号码为5号，那么中奖的概率等于5/10 = 0.5。 3. 计算统计量：假设要进行一次考试，共有10道题目，每道题目有3个选项。那么可以计算出所有可能的组合数，即30种不同的答案组合方式。然后，根据二项式定理来计算平均分数、方差和标准差等统计量。例如，平均分数等于所有分数之和除以总人数。假设总人数为30人，则平均分数为(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/30 = 5.67。
二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。 一、排列组合的基本概念 排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。 1. 排列 排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。 有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。 2. 组合 组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。 二、二项式定理的概念和公式 二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。它表述了如下公式：
(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n- 1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n 其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。C(n, k)表示从n个元 素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) 三、二项式定理与排列组合的关系 二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二 项式展开式中各项系数的求解方法。 1. 二项式系数的性质 二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。 2. 应用举例 利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总 数等等。 四、应用示例 在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、 统计和计算问题。以下是一些常见的应用示例： 1. 概率计算
第九讲、排列、组台、二项式定理 六、 统计 （一）随机抽样 1.了解随机抽样的意义。 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。 （二）总体估计 1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差。 3.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。 七、 概率 （一）事件与概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。 2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式。 （二）古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式。 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 分类计数原理和分步计数原理 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方 法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么 完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法， 做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有 12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 3两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 4两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘 法原理是“分步完成” 5原理浅释 （可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同） 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以
排列组合与二项式定理 一、排列与组合简介 在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。 排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。排列主要有两种情况： 1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。此时，P(n, r) = n^r. 2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!. 组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。组合的计算公式为： C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!]. 二、二项式定理的概念与展开 二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。它用于展开一个二项式的幂。 二项式定理的公式为： (x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) + C(n,n)x^0y^n. 其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。 三、二项式定理的解读与应用 二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。在展开式中，每一 项的系数就是对应的组合数。 举例说明，当n=3时，展开式为： (x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.
高考数学二轮复习专项 排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解） 1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为 3443 42+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出. （Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率. 2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加 某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54 ，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53 .试求： （I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率； （II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率. 3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。 （1）求ξ的分布列，期望及方差； （2）求η的分布列，期望及方差； 4. （1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？ 5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率； （2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率； （3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率． 6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。 (1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率； (2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。 7. 甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1 ：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为0.5. ⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？ ⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？ 8. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽 得两张卡片的标号分别为x、y，记 x y x- + - =2 ξ ． （Ⅰ）求随机变量 ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量 ξ的分布列和数学期望．
率为（)・ 1□1°1 A. B. C. 39632431D 1 210 高考数学培优专题13：排列组合二项式定理 一、真题特点分析： 1.______________________________________________________________________ 从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有 种不同的取法． 2.设k个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，妙3•若 初始时球彺甲手中，则第n次传球之后，球又回到甲手中的概率为・ 3•从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数abCde（a可以等于0）,则396ObCde的概二、知识要点拓展 1.分类加法原理(加法原理)：N=m+m+•••+m. 12n 2.分步计数原理(乘法原理)：N=m x mm. 12n n! 3•排列数公式：P m=n(n-1)…(n-m+1)=.(n,m UN*,且m 高频考点排列组合、二项式定理 一、分类计数原理的应用： 典型例题： 例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】 A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B。 【考点】排列组合问题。 【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。因此总共有12 + 6 = 18 种情况。故选B。 例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为【】 ()A1或3()B1或4() C2或3() D2或4 【答案】D。 【考点】排列组合。 【解析】∵2 61315132 C-=-=，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。 不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人 ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为2人； ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。 故选D。 例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【】 A 232 B 252 C 472 D 484 【答案】C。 竞赛讲座19 -排列、组合、二项式定理 基础知识 1.排列组合题的求解策略 (1)排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理. (3)对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6)隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为C131,这也就是方程a b c d 12的正整数解的个数. 2.圆排列 (1)由A {81,82,83, ,a n}的n个元素中，每次取出r个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列 (或叫环状排列). (2)圆排列有三个特点：(i)无头无尾；(ii )按照同一方向转换后仍是同一排列；(iii )两个圆排 列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列. (3)定理：在A {81,82,83, ,a n}的n个元素中，每次取出r个不同的元素进行圆排列，圆排列 P： 数为Pn-. r 3.可重排列 允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列. 在m个不同的元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n位是的选取元素的方法都是m种，所以从m个不同的元素中，每次取出n个元素的可重复的排列数为n m . 4.不尽相异元素的全排列 如果n个元素中，有p1个元素相同，又有p2个元素相同，…，又有P s个元素相同(P1 p2 p s n),这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排列，它的排列数是n! P1! P2! P s! 5.可重组合 (1)从n个元素，每次取出p个元素，允许所取的元素重复出现1,2, ,p次的组合叫从n个元素取 专题26 排列组合二项式定理 命题规律 内 容 典 型 １ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４ 利用计数原理计算组合问题 2020年高考山东卷3 ５ 利用计数原理计算排列组合的综合问题 2020年高考全国Ⅱ卷理数14 命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论. 【三年高考】 1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25 y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝ +的展开式中33x y 的系数为 （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】C 【解析】5 ()x y +展开式的通项公式为515 r r r r T C x y -+=（r N ∈且5r ≤），∴2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭与5 ()x y +展开式的 乘积可表示为：5615 5 r r r r r r r xT xC x y C x y --+==或22542155r r r r r r r T C x y x C y y y x x --++==，在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：333 45 xT C x y =，该项中3 3 x y 的系数为10，在42152 r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得： 52133 2T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5，∴33x y 的系数为10515+=，故选C ． 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 【答案】A 【解析】由题意得x 3的系数为31 44C 2C 4812+=+=，故选A ． 命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数 专题54 排列组合以及二项式定理 一、题型选讲 题型一 、排列组合问题 例1、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？以下结论正确的有〔 〕 A ．18 B ．1111 3213C C C C C ．122 342C C A D ．23 43C A 【答案】CD 【解析】根据捆绑法得到共有23 4336C A ⋅=， 先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有122 342C C A 36=. 1111 3213C C C C 1836=≠. 应选：CD . 例2、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，以下说法正确的选项是〔 〕 A ．如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法有24种 B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有42种 C ．甲乙不相邻的排法种数为72种 D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD 【解析】A.如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，可将AB 捆绑看成一个元素，那么不同的排法有4424 A =种，故A 正确. B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有13113 33323+=54A A A A A 种，故B 不正确. C.甲乙不相邻的排法种数为32 34=72A A 种，故C 正确. D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有5 5 33 =20A A 种,故D 正确. 应选：ACD. 例3、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，那么( ) A ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有1 2 298A C 种 B ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有1 2 2982 1 298+C C C C 种 2022年普通高考数学科一轮复习精品学案 第39讲排列、组合、二项式定理 一．课标要求： 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题； 3．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。二．命题走向 本局部内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三局部；考查内容：〔1〕两个原理；〔2〕排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；〔3〕二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。 排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。 考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2022年高考本局部内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。 三．要点精讲 1．排列、组合、二项式知识相互关系表 2．两个根本原理 〔1〕分类计数原理中的分类； 〔2〕分步计数原理中的分步； 正确地分类与分步是学好这一章的关键。 3．排列 〔1〕排列定义，排列数 〔2〕排列数公式：系m n A = )! (!m n n -=n·(n －1)…(n －m+1)； 〔3〕全排列列：n n A =n!； 〔4〕记住以下几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合 〔1〕组合的定义，排列与组合的区别； 〔2〕组合数公式：C n m = )!(!!m n m n -=1 2)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； 〔3〕组合数的性质 ①C n m =C n n-m ；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1； 5．二项式定理 〔1〕二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ； 〔2〕通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ； 6．二项式的应用 〔1〕求某些多项式系数的和； 〔2〕证明一些简单的组合恒等式； 〔3〕证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； 〔4〕近似计算。当|x|充分小时，我们常用以下公式估计近似值： ①(1+x)n ≈1+nx ；②(1+x)n ≈1+nx+2 )1(-n n x 2；〔5〕证明不等式。 四．典例解析 题型1：计数原理 例1．完成以下选择题与填空题 〔1〕有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，那么不同的投法有种。 A ．81 B ．64 C ．24 D ．4 〔2〕四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是〔 〕 A ．81 B ．64 C ．24 D ．4 〔3〕有四位学生参加三项不同的竞赛， ①每位学生必须参加一项竞赛，那么有不同的参赛方法有；【备战】高考数学 高频考点归类分析 排列组合、二项式定理(真题为例)
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