2020年北京市高考适应性测试数学卷(含答案)

P(C1)
P(C2 )
2 7
．
（Ⅱ）设事件 E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，
E A4 B1 A5B1 A6B1 A7 B1 A5B2 A6B2 A7B2 A6B3 A7B3 A7B4 ．
所以事件 E 的概率 P(E) P( A4B1) P( A5B1) P( A6B1) P( A7B1) P( A5B2 )
（Ⅲ）若 a11 a12 ，在{1, 2,3, 4,5, 6}的所有非空子集中，含有 a11 且不含 a12 的子集共 24
个，经过变换后第一行均变为 a11, a12 ；含有 a12 且不含 a11 的子集共 24 个，经
过变换后第一行均变为 a11, a12 ；同时含有 a11 和 a12 的子集共 24 个，经过变换
事件 Ci 为“丙是 C 组的第 i 株植物”， i 1, 2, , 7 ．
由题意可知
P( Ai
)
P(Bi
)
P(Ci
)
1 7
，
i
1,
2,
,7．
（Ⅰ）设事件 D 为“丙的高度小于15 厘米”，由题意知， D C1 C2 ，又 C1 与 C2 互斥，
所以事件 D 的概率 P(D) P(C1
C2
)
4
x12 x12
m2 m2
1 ．
1
因为点 M 在椭圆 C 上，所以 x12 m2 1 ， 4
则 yD 0 ． 所以点 D 在 x 轴上．
（21）（共 14 分）
解：（Ⅰ）
A1
1
1
2 5
．
（Ⅱ）
A0
1
3
3 6
经S
变换后得
1 3
3 6
，
故 TS ( A0 ) 1 3 3 6 5 ．
数学参考答案 第 6 页（共 6 页）
当 k 为偶数时，原不等式无解；
当 k 为奇数时，原不等式等价于 2k 2019 ，
所以使得 Sk 2020 的正整数 k 的最小值为11．
数学参考答案 第 2 页（共 6 页）
（18）（共 14 分） 解：设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 株植物”，
事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 株植物”，
1．
| n | | PB |
6
（17）（共 14 分）
解 1：选择①
因为 a3 12 ，所以 a1 3 ．
所以
Sn
3(1 1
2n ) 2
3(2n
1)
．
令 Sk
2020 ，
即 2k
2023 ． 3
所以使得 Sk 2020 的正整数 k 的最小值为10 ．
解 2：选择②
因为 a3 12 ，所以 a1 48 ，
Sn
48 (1 1 1
1 2n
)
96(1
1 2n
)
．
2
因为 Sn 96 2020 ， 所以不存在满足条件的正整数 k . 解 3：选择③
因为 a3 12 ，所以 a1 3 ，
所以
Sn
3 (1 (2)n ) 1 (2)
1
(2)n
．
令 Sk 2020 , 即1 (2)k 2020 ，整理得 (2)k 2019 ．
P( A6B2 ) P( A7 B2 ) P( A6B3 ) P( A7B3) P( A7B4 )
10P( A4B1)
（Ⅲ） 0 1 ．
10P( A4 )P(B1) 10 ．
49
（19）（共 15 分） 解：（Ⅰ）因为 f (x) ex (x 1) 1 ea x2 ，所以 f (x) xex xea ． 2 所以 f (0) 1， f (0) 0 ．
若 a11 a12 ，则{1, 2,3, 4,5, 6}的所有非空子集中，含有 a11 的子集共 25 个，经过
变换后第一行均变为 a11, a12 ；不含有 a11 的子集共 25 1 个，经过变换后第一行
仍为 a11, a12 ．
数学参考答案 第 5 页（共 6 页）
所以经过变换后所有 Al 的第一行的所有数的和为 25 (a11 a12 ) (25 1) (a11 a12 ) a11 a12 ． 同理，经过变换后所有 Al 的第二行的所有数的和为 a21 a22 ． 所以 TS ( A0 ) 的所有可能取值的和为 a11 a12 a21 a22 ， 又因为 a11, a12 , a21, a22 {1, 2, , 6} ， 所以 TS ( A0 ) 的所有可能取值的和不超过 4 ．
D AM
x
y C
B
n MN 0,
n
NC
0,
即
x 2 y
2z 2z
0, 0.
令 z 1 ，则 x 2 ， y 1 ．所以 n (2, 1, 1) ．
数学参考答案 第 1 页（共 6 页）
设直线 PB 与平面 MNC 所成角为 ，
所以 sin
| cosn, PB |
| n PB |
P
又因为 PA 平面 MNC ，
所以 PA// 平面 MNC ．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系 D xyz ．设 AD 2 ，
N
则 B(2, 2, 0) ， C(0, 2, 0) ， P(0, 0, 4) ， M (1, 0, 0) ，
N(0, 0, 2) ， PB (2, 2, 4) ， NC (0, 2, 2) ， MN (1, 0, 2) ． 设平面 MNC 的法向量为n (x, y, z) ，则
所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线为 y 1 ．
（Ⅱ）因为 f (x) xex xea x(ex ea) ，
令 f (x) 0 ，得 x 0 或 a (a 0) ．
数学参考答案 第 3 页（共 6 页）
f (x) 与 f (x) 在 R 上的变化情况如下：
解：（Ⅰ）由题设，得
b
1
,
c 3.
所以 a2 b2 c2 4 ，即 a 2 ． 故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ．
4
（Ⅱ）设 M (x1, m) ，则 N (x1, m) ， x1 0 ， 1 m 1 ．
所以直线 BM 的斜率为 m (1) m 1 ．
x1 0
x1
因为直线 BD ， BM 的斜率的积为 1 ， 4
所以直线 BD 的斜率为 x1 ． 4(m 1)
直线 AN 的方程为 y 1 m x 1 ． x1
直线 BD 的方程为 y x1 x 1 ． 4(m 1)
联立
y y
1 m x
x1 x1
1, x
1,
4(m 1)
数学参考答案 第 4 页（共 6 页）
解得点
D
的纵坐标为
yD
1
4 1
x
(, a)
a
f (x)
0
f (x)
↗
(a, 0) ↘
0
(0, )
0
↗
由上表可知，当 x 0 时， f (x) 有极小值 f (0) 1．
（Ⅲ）当 x ≤1时， f (x) 0 ，且 f (2) e2 2ea > e2 2 0 ．
由（Ⅱ）可知， f (x) 在 (0, ) 上单调递增， 所以函数 f (x) 的零点个数为1 ． （20）（共 14 分）
（13） 1 （15）①③
（14） 3 4
15 7 4
注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他
得 3 分。
三、解答题（共 6 题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
பைடு நூலகம்
解：（Ⅰ）因为 M , N 分别为 AD, PD 的中点，
z
所以 PA// MN ．
后第一行仍为 a11, a12 ；不含 a11 也不含 a12 的子集共 24 1 个，经过变换后第一行
仍为 a11, a12 ．
所以经过变换后所有 Al 的第一行的所有数的和为
24 (a11 a12 ) 24 (a11 a12 ) 24 (a11 a12 ) (24 1) (a11 a12 ) a11 a12 ．
2020 年北京市高考适应性测试
数学参考答案
一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）B
（ 2 ）C
（ 3 ）C
（ 4 ）A
（ 5 ）A
（ 6 ）D
（ 7 ）B
（ 8 ）C
（ 9 ）A
（10）D
二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）
（11） 1
（12） 2