初中数学解直角三角形题型大全

解直角三角形大题及答案直角三角形是初中数学中比较基础而重要的知识点，下面给出几道解直角三角形的大题及答案。

大题一已知直角三角形的一条直角边为6cm，另一条直角边为8cm，求斜边长。

解析：根据勾股定理可以求出斜边长，即$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

带入数据得$c=\sqrt{6^2+8^2}=10$，所以斜边长为10cm。

答案：10cm大题二如图，直角边AC长为12cm，BC长为16cm，连接AB并延长线段交CD于点D，且CE垂直于BD，求CE的长。

解析：首先要求出BD的长度。

由$AC^2+BC^2=BD^2$可得$BD=\sqrt{12^2+16^2}=20$。

然后根据相似三角形CC’E、B’BD可以列出比例$\frac{CE}{BD}=\frac{BC}{B'D}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{16}{28}$，解之得$CE=\frac{80}{7}$。

答案：$\frac{80}{7}$cm大题三已知一艘轮船从岸边出发，航向为东北偏东，速度为20km/h，船行了300km到达目的地。

试画出向量图，并求出船行的时间。

解析：如图所示，$\vec{v}=(20\cos45\degree,20\sin45\degree)=(10\sqrt{2},10\sqrt{2})$。

由船行了300km可得船行时间为$\frac{300}{\|\vec{v}\|}=\frac{300}{20}=15$小时。

答案：15小时大题四如图，正方形ABCD中，P点在BC边上，$\anglePAD=45\degree$，PD=2，BP=4，则AP长为多少？解析：如图所示，由正方形ABCD的对称性可得$\angle PAD=\angle BCA=45\degree$，则$\triangle PAD$与$\triangle PBC$相似。

设$AP=x$，则$\frac{x}{4}=\frac{2}{x}$，解之得$x=2\sqrt{2}$。

初中数学解直角三角形练习题及答案直角三角形是初中数学中的重要内容，解直角三角形的练习题能够帮助学生巩固知识并提高解题能力。

以下是一些常见的直角三角形练习题及答案供参考：1. 问题：已知直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，斜边AB的长度为10单位。

求∠B和边BC的长度。

解答：由直角三角形的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠C = 90°。

代入已知条件可得∠B + 30° + 90° = 180°，化简得∠B = 60°。

根据正弦定理，可以得出sin 30°/10 = sin 60°/BC。

化简运算可得BC = 10√3 单位。

答案：∠B = 60°，BC = 10√3 单位。

2. 问题：在直角三角形ABC中，∠C为直角，AB = 5单位，AC = 12单位。

求∠A和∠B的大小。

解答：根据勾股定理可得 AC^2 = AB^2 + BC^2，代入已知条件可得 12^2 = 5^2 + BC^2。

化简运算可得BC = √119 单位。

由正弦定理可得 sin A/5 = sin 90°/12，化简运算可得 sin A = 5/12。

通过查表或计算器可以得到∠A 的近似值为 24.6°。

∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 24.6° - 90° = 65.4°。

答案：∠A 约等于 24.6°，∠B 约等于 65.4°。

3. 问题：在直角三角形ABC中，AC = 8单位，BC = 15单位。

求∠A和边AB的长度。

解答：根据勾股定理可得 AC^2 + BC^2 = AB^2，代入已知条件可得 8^2 + 15^2 = AB^2。

化简运算可得AB = √289 = 17 单位。

由正弦定理可得 sin A/8 = sin 90°/15，化简运算可得 sin A = 8/15。

解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。

解直角三角形练习题一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm=则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=二、选择题1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ）A 、都扩大2倍B 、都扩大4倍C 、没有变化D 、都缩小一半2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ）A 、小于300B 、大于300C 、大于450且小于600D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、A a sin C 、acosA D 、Aa cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、15005、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cmC 、43cmD 、23cm三、求下列各式的值1、sin 2600+cos 26002、sin600－2sin300cos3003. sin300－cos 24504. 2cos450+|32-|5. 0045cos 360sin 2+ 6. 130sin 560cos 300-7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300四、解答下列各题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A四、根据下列条件解直角三角形。

中考数学关于解直角三角形的18道经典题1、如图，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 解：延长CD 交AB 于G ，则CG=12（千米）依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米） 在Rt △PCD 中： PC=3，∠P=60° CD=PC ·tan ∠P =3×tan60°=33∴12-CD=12-33≈6.8（千米） 答：这座山的高约为6.8千米.2、如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈).答案：(10分)解：过Ｂ作BE ⊥AD 于E在Rt △ABE 中,∠BAE= 60, ∴∠ABE= 30 ∴AE ＝21ＡＢ31032021=⨯=∴BE ()()303103202222=-=-=AE AB∴在Rt △BEF 中, ∠Ｆ＝ 45, ∴EF ＝BE ＝30 ∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－310∵732.13=， ∴AF ＝12.68≈133、施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．参考数据cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95AB12千米P C D G60°（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?解：(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BC AB =25.44≈0.94， …………………………………3分 ∴∠D ≈20°． ………………………………………………………………………1分 （2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， ……………………………3分 共需台阶28.9×100÷17=170级． ………………………………………………1分4、在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图， 若 60ABC 10,AC 4,AB =∠==, 求B 、C 两点间的距离.解：过A 点作AD ⊥BC 于点D ， …………1分在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°. …………2分 ∵AB=4,∴BD=2, ∴AD=23. …………4分 在Rt △ADC 中，AC=10，∴CD=22AD AC -=12100-=222 . …………5分 ∴BC=2+222 . …………6分 答：B 、C 两点间的距离为2+222. …………7分5、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东NM 东北BCAlCBA17cm（第19题） A BCF60°，且与A相距83的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．答案解：（1）由题意，得∠BAC=90°，………………（1分）∴2240(83)167BC=+=．…………（2分）∴轮船航行的速度为41671273÷=时．……（3分）(2)能．……（4分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=43，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，……（6分）∴,DF BDEF CE=∴3220343EFEF+=，∴EF=8．……（7分）∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．6、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)答案（1）如图，作AD⊥BC于点D……………………………………1分Rt△ABD中，AD=AB sin45°=42222=⨯……2分在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°FEDlAC北东M NABE FQ P ∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分 （2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分 解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分 在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分 ∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分7、如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）答案 (1)相等30,6030BEQ BFQ EBF EF BF ∠=∠=∴∠=∴=....................................2分 又6060AF P BFA ∠∠=∴∠=在AEF 与△ABF 中,,EF BF AFE AFB AF AFAFE AFB AE AB=∠=∠=∴≅∴=...........................................................................5分 （2）法一：作AH PQ ⊥，垂足为H 设 AE=x 则AH=xsin74°HE= xcos74° HF=xcos74°+1 ...............................................................................................7分tan60Rt AHF AH HF=中，所以xsin74°=（xcos74°+1）tan60°即0.96x=(0.28x+1)×1.73所以 3.6x≈即AB 3.6km≈法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，因为EF=1, 所以 EG=3在Rt△AEG中376,cos760.24 3.6 AEG AE EG∠==÷=÷≈答: 两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km8、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中，∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，AB45°60°C E D∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高． ……………………………………………3分 （2）在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ．…………………………………3分9、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．解：∵在Rt △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3 ∴DA ＝3 …………2分 在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°∴tan60°=CAAD∴CA =33 …………4分 ∴BC=CA －BA =(33－3)米答：路况显示牌BC 的高度是(33－3)米 ………………………6分10、永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈，第19题图A45°60°结果保留整数）．解：根据题意，可知45ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，50DC =.在Rt △ABC 中，由45BAC BCA ∠=∠=︒，得BC AB =. 在Rt △ABD 中，由tan ABADB BD∠=， 得3tan tan 60AB AB BD AB ADB ===∠︒. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又 ∵ BC BD DC -=，∴ 350AB AB -=，即(33)150AB -=. ∴ 11833AB =≈-.答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分11、小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．25.连结AN 、BQ∵点A 在点N 的正北方向，点B 在点Q 的正北方向 ∴l AN ⊥ l BQ ⊥--------------------------1分 在Rt △AMN 中：tan ∠AMN=MNAN∴AN=360-----------------------------------------3分 在Rt △BMQ 中：tan ∠BMQ=MQBQ∴BQ=330----------------------------------------5分 过B 作BE ⊥AN 于点E 则：BE=NQ=30∴AE= AN －BQ -----------------------------------8分 在Rt △ABE 中,由勾股定理得：222BE AE AB +=22230)330(+=AB∴AB=60（米）12、我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与AD 垂直.已知装饰画的高度AD 为0.66米， 求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数（精确到1°）；⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离DC （精确到0.01米）.解：⑴ ∵AD ＝0.66，∴AE ＝21CD ＝0.33. 在Rt △ABE 中，………………1分 ∵sin ∠ABE ＝AB AE ＝6.133.0， ∴∠ABE ≈12°. ………………4分∵∠CAD ＋∠DAB ＝90°，∠ABE ＋∠DAB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠ABE ＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为12°. ………………5分 ⑵ 解法一：在Rt △∠ABE 中， ∵sin ∠CAD ＝ADCD， ∴CD ＝AD ·sin ∠CAD ＝0.66×sin12°≈0.14. ………………7分ACD EBABCD第19题图解法二： ∵∠CAD ＝∠ABE ， ∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∴△ACD ∽△BEA. ………………6分 ∴AB ADAE CD =. ∴6.166.033.0=CD . ∴CD ≈0.14. ………………7分∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是0.14米.………………8分13、如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第23题图解：过M 作MN ⊥AC ，此时MN 最小，AN ＝1500米1、（2010山东济南）图所示，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC 3求线段AD 的长．解：∵△ABC 中，∠C =90º，∠B =30º，∴∠BAC =60º，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD =30º， ··················· 1分 ∴在Rt △ADC 中，cos30ACAD =︒············· 2分=3×3··········· 3分=2 . ·············· 4分14、热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）答案： 解：过点A 作BC 的垂线，垂足为D 点 ……………1分由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD =60°, AD = 60m在Rt △ACD 中，∠CAD = 45°, AD ⊥BC∴ CD = AD = 60 ……………………3分 在Rt △ABD 中，∵BDtan BAD AD∠=……………………4分 ∴ BD = AD ·tan ∠BAD= 603 ……………………5分∴BC = CD+BD= 60+603 ……………………6分≈ 163.9 (m) …………………7分答：这栋高楼约有163.9m ． …………………8分 （本题其它解法参照此标准给分）15、如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并PD CBA求出最大值．22．（1）在Rt ABC ∆中，5sin B =，25AB =， 得5AC AB =，∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =． …… 3分（2）∵PD ∥AB ，∴ABC ∆∽DPC ∆，∴12DC AC PC BC == 设PC x =，则12DC x =，122AD x =- ∴2211111(2)(2)122244ADP S AD PC x x x x x ∆=⋅=-⋅=-+=--+ ∴当2x =时，y 的最大值是1． ……… 8分16、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）答案：解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37AD CD︒=， 则34AD x=， ∴34AD x =. 在Rt △BCD 中，tan48° = BD CD， 则1110BD x=， ∴1110BD x =. ∵AD ＋BD = AB ， B37° 48° D CA 第19题图∴31180 410x x+=．解得：x≈43．17、在市政府广场进行了热气球飞行表演，如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan,80.037cos,60.037sin≈︒≈︒≈︒73.13≈）解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．………………………1分在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD=31233660tan==︒CD≈20.76．……5分在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=37tan⨯AD≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）．………8分答：气球应至少再上升15.6米．…………………………9分18、图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．【答案】解：根据题意得：DE=3.5×16=56,AB=EF=16∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，∴∠ACB ＝∠ CAB∴CB=AB=16.∴CG=BCsin30°=8CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.∴塔吊的高CH的长为69m.BACD。

解直角三角形五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。

解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。

在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。

下面列举一些常见的直角三角形应用题型。

1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。

这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。

例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。

解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。

2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。

由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。

例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。

解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。

3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。

我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。

例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。

解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。

利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。

4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。

我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。

例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。

解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。

以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。

初中解直角三角形经典题型
初中解直角三角形是一种重要的数学题型，以下是一些经典题型:
1. 已知直角三角形中一个角和一条边，解直角三角形。

这种题型比较容易，先利用一个角，求出另一个角，然后再观察已知的边是哪一条，需要求的边与已知的边是什么关系，选择合适的三角函数解题。

2. 已知直角三角形中两条边，解直角三角形。

已知两条边，解直角三角形。

按照难易程度，先用勾股定理求第三边。

我们可以任意地用两条去比，求出比值，然后与三角函数值表对照，就能得出角度。

需要注意，不能用斜边比直角边，一定是用直角边比斜边。

3. 已知直角三角形中一个角和直角边，解直角三角形。

这种题型比较特殊，需要特别注意。

先利用一个角，求出另一个角，然后根据三角函数计算出需要求的边的长度，再根据边角关系求解。

4. 已知直角三角形中两条直角边，解直角三角形。

这种题型也比较简单，根据边角关系，直接计算出需要求的边的长度，再根据三角函数求解。

5. 利用仰俯角解直角三角形。

这种题型考的是考生的综合分析能力。

根据仰俯角的基本原理，利用仰角和俯角之间的关系，求解直角三角形。

以上是初中解直角三角形的一些经典题型，考生需要熟练掌握，并能灵活运用到各种实际问题中。

解直角三角形命题人：申老师1、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．2、我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．3、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.C AD B4、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。

在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？5、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1=i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ．（精确到0.1米）6. 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1） 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ； （2） 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m; （3） 量出测倾器的高度AC ＝h 。

根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。

如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）1）在图2中，画出你测量小山高度MN 的示意图2）写出你的设计方案。

初中数学专项练习《解直角三角形》100道计算题包含答案一、计算题(共100题)1、先化简再求值：其中.2、计算：|﹣|+ ﹣4sin45°﹣．3、先化简，再求值：，其中a=2sin60°+3tan45°．4、计算5、先化简，再求值：÷（﹣x﹣3），其中x=sin45°﹣4cos60°．6、先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°．7、计算：| ﹣2|+3tan30°+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣．8、计算：．9、计算：|﹣2|+2﹣1﹣cos60°﹣（1﹣）0．10、计算：2cos230°﹣sin30°+ ．11、计算：（﹣）﹣1+3tan30°﹣+（﹣1）2016．12、计算：13、计算：4sin45°+3tan230°- .14、计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|．15、计算：4cos30°+（π﹣1）0﹣+| ﹣2|．16、先化简，再求值：（﹣）÷ ，其中x=2sin30°+2cos45°．17、计算:18、计算：-2|+ 3 tan 30 ° - 2 cos 45 ° ．19、计算：.20、先化简，再求值：，其中．21、计算：（π﹣3.14）0﹣| sin60°﹣4|+（）﹣1．22、计算：23、计算：2sin45°+| |﹣（π﹣2016）0+（）﹣2．24、先化简，再求值：，其中.25、计算：3tan30°﹣（﹣）﹣1+20190+| ﹣2|．26、计算：|﹣2 |+（﹣1）0﹣4sin60°﹣（﹣2）2.27、计算：20150﹣3tan30°+（﹣）﹣2﹣| ﹣2|．28、计算：29、计算：30、先化简，再求值的值，其中x=4sin45°-2cos60°。

九年级上册解直角三角形典型题以下就是一些九年级上册解直角三角形的典型题啦。

一、已知一个锐角和一条直角边求其他边和角1. 题目示例在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4，求BC和AC的长。

2. 解题思路哟，看到30°角啦，这可是个特殊角呢。

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

这里∠A = 30°，它所对的直角边是BC，斜边是AB = 4，所以BC就等于AB的一半，也就是BC = 2。

然后再求AC，根据勾股定理，在直角三角形中公式。

把AB = 4，BC = 2代入进去，公式。

角的话，已知∠A = 30°，∠C = 90°，那∠B就等于180°-90° 30°=60°。

二、已知两条直角边求斜边和锐角1. 题目示例直角三角形中，直角边公式，公式，求斜边c和锐角A、B。

2. 解题思路先求斜边c，根据勾股定理公式。

这里公式，公式，那么公式。

再求角A，我们可以用正切函数公式，这里公式，那公式，可以用计算器算出公式。

因为三角形内角和是180°，∠C = 90°，所以公式，也就是公式。

三、已知斜边和一条直角边求另一条直角边和锐角1. 题目示例在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 3，求BC和∠A、∠B。

2. 解题思路求BC，用勾股定理公式。

AB = 5，AC = 3，所以公式。

求∠A，用正弦函数公式，这里公式，所以公式，用计算器算出公式。

那∠B就等于180°-90° 53.13° = 36.87°。

稿子一：嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊初中解直角三角形那些好玩的题型。

先来说说那种告诉你一个直角三角形的两条边，让你求第三条边的题。

这可简单啦，记住勾股定理就好，“a² + b² = c²”，然后往里代数字，算出答案。

还有一种是给你一个锐角的度数和一条边的长度，让求其他边或者角的。

这时候就得用到三角函数啦，比如正弦、余弦、正切。

要记住它们的定义哦，像正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边。

有时候会碰到实际应用题，比如测楼高、算河宽啥的。

别害怕，画出直角三角形，找到对应的边和角，再用咱们学的知识去算。

再说说那种让你判断两个直角三角形是否相似的题。

这就得看对应边的比例是不是相等啦，如果相等，那它们就相似。

还有一种是让你在多个直角三角形中找关系的。

这时候要仔细观察，利用公共边或者相等的角来找到联系。

解直角三角形的题型虽然多，但只要咱们掌握了方法，多练习，就都能搞定！加油哦！稿子二：亲爱的小伙伴们，咱们一起来瞅瞅初中解直角三角形的题型哈！有一种题呢，会直接给出直角三角形的两条直角边，让咱们求斜边。

这时候就大胆地用勾股定理，一下子就能算出来。

还有哦，给一个锐角的三角函数值和一条边，求其他边。

这就把三角函数的公式拿出来，轻松解决。

碰到那种在三角形里有多个直角的情况，别慌，一个一个地分析，把能用到的条件都找出来。

实际问题里也常常有解直角三角形，像测量山高、树高，算距离。

咱们得把题目里的信息转化成三角形的边和角，然后算一算。

另外，判断两个直角三角形全等的题也不少。

咱们就看看是不是符合那些全等的条件，比如 SSS、SAS、ASA 啥的。

有时候还会让咱们根据已知条件去构造直角三角形，这就需要开动小脑筋，找到合适的边和角。

解直角三角形的题型呀，就像一个个小挑战，只要咱们勇敢面对，细心计算，就都能战胜它们！小伙伴们，冲呀！。

《解直角三角形》典型例题例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决．解 （1）； （2）由ab B =tan ，知 ； （3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．解法一 ∵∴设,则由勾股定理,得 ∴ ．∴． 解法二 133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题．例 3 设中， 于D ，若 ，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：∴在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DCAC在Rt △BDC 中，221022545sin ==︒=DC BC说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。

解直角三角形常见题型题型一、关于仰角与俯角的题型1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60︒．3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC 为多少米。

4、中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米中考链接5．（8分）（2018泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．6．（10分）（2008•巴中）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60o；乙：我站在此处看塔顶仰角为30o；甲：我们的身高都是；乙：我们相距20m；请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）．7、（2017•广元）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB 的高度（结果保留两位有效数字，≈）．8．（8分）（2015•巴中）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据：≈，≈）题型三、关于方位角的题型1.如图1，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到千米）2．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸请说明理由．4、如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）5、如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．6、如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．（2）若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）NM东北BCAl7、如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。

第12关 解直角三角形的应用（讲义部分）知识点1 坡角、坡度题型1 坡角、坡度【例1】如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度．【解答】解：过点B 作BD AC ⊥于D ，根据题意得：23060()AD cm =⨯=，18354()BD cm =⨯=，斜坡BC 的坡度1:5i =， :1:5BD CD ∴=，5554270()CD BD cm ∴==⨯=，27060210()AC CD AD cm ∴=-=-=． AC ∴的长度是210cm ． 答：AC 的长度为210cm ．【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题，难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数 形结合思想的应用与辅助线的作法．【例2】在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，//AD BC ，坝高10m ，迎水坡面AB 的坡度53i =，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度56i =．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB 的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7m ，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米？【解答】解：（1）过点B 作BF AD ⊥于F ．在Rt ABF ∆中，53BF i AF ==，且10BF m =．6AF m ∴=，AB =．答：此大坝迎水坡AB 的长是； （2）过点E 作EG AD ⊥于G ．在Rt AEG ∆中，56EG i AG ==，且10EG BF m ==12AG m ∴=， 6AF m =，6BE GF AG AF m ∴==-=，如图，延长EC 至点M ，AD 至点N ，连接MN ，方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．ABE CMND S S ∆=梯形，∴11()22BE EG MC ND EG =+ 即BE MC ND =+．6 2.7 3.3()DN BE MC m =-=-=． 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3m ．【点评】本题考查直角三角形应用，（1）过点B 作BF AD ⊥于F ，在直角三角形ABF 中从而 解得AF ，AB 的长度；（2）作辅助线，由ABE CMND S S ∆=梯形，解方程组得到ND ．【例3】如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下HD 长的人行道，问人行道HD 的长度是( )米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：1.414≈ 1.732)≈A ．2.7B ．3.4C ．2.5D ．3.1【解答】解：根据题意可知：90CBA ∠=︒，45CAB ∠=︒， 45ACB ∴∠=︒， 10AB CB ∴==， 10AH =，设DH x =，则10AD AH DH x =-=-，20BD AD AB x ∴=+=-， 在Rt DCB ∆中，30CDB ∠=︒，tan30BCBD∴︒=，即1020x =-， 解得 2.7x ≈．所以人行道HD 的长度是2.7米． 故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角．【例4】小明想测量一棵树的高度，他发现树影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30︒，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 米．【解答】解：延长AC 交BF 延长线于D 点，则30CFE ∠=︒，作CE BD ⊥于E ，在Rt CFE ∆中，30CFE ∠=︒，4CF m =，2CE ∴=（米)，4cos30EF =︒=)， 在Rt CED ∆中，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，2CE =（米)，:1:2CE DE =，4DE ∴=（米)，12BD BF EF ED ∴=++=+)在Rt ABD ∆中，11(126)22AB BD ==+=（米)．故答案为：6)+．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线 得到AB 的影长．知识点2 俯角、仰角题型2 俯角、仰角【例5】如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60︒，又从A 点测得D 点的俯角β为30︒，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( )A ．20米B ．米C ．米D ．【解答】解：点G 是BC 中点，//EG AB ，EG ∴是ABC ∆的中位线， 230AB EG ∴==米，在Rt ABC ∆中，30CAB ∠=︒，则tan 30BC AB BAC =∠== 如图，过点D 作DF AF ⊥于点F ．在Rt AFD ∆中，AF BC ==则tan 10FD AF β===米，综上可得：301020CD AB FD =-=-=米． 故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的 知识求解相关线段的长度．【例6】如图，某电信公司计划修建一条连接B 、C 两地的电缆．测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30︒、45︒，在B 处测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200m ，求电缆BC 的长．（结果可保留根号）【解答】解：过B 点分别作BE CD ⊥、BF AD ⊥，垂足分别为E 、F ．设BC xm =． 60CBE ∠=︒，12BE x ∴=，CE =．200CD =，200DE x ∴=．200BF DE ∴==，12DF BE x ==．45CAD ∠=︒， 200AD CD ∴==．12002AF x ∴=-．在Rt ABF ∆中，2002tan 3012002BF AF x ︒==-，解得1)()x m =． 答：电缆BC至少200)m【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．【例7】如图，小山顶上有一信号塔AB ，山坡BC 的倾角为30︒，现为了测量塔高AB ，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45︒，然后顺山坡向上行走100米到达E 处，再测得塔顶仰角为60︒，求塔高AB1.73≈1.41)≈【解答】解：依题意可得：30AEB EAB ∠=∠=︒，15ACE ∠=︒，又AEB ACE CAE ∠=∠+∠ 15CAE ∴∠=︒，即ACE ∆为等腰三角形， 100AE CE m ∴==，在Rt AEF ∆中，60AEF ∠=︒，cos6050EF AE m ∴=︒=，sin 60AF AE =︒=， 在Rt BEF ∆中，30BEF ∠=︒，tan3050BF EF ∴=︒==，58AB AF BF ∴=-==≈（米)． 答：塔高AB 大约为58米．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表 示出相关线段的长度，难度一般．【例8】某学校门前一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度DE 为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离CD 不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机A 与斑马线前后两端的视角FAE ∠、FAD ∠的大小分别为15︒和30︒，司机距车头的水平距离BC 为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E 、D 、C 、B 四点在平行于斑马线的同一直线上．)（参考数据：tan150.27︒≈，sin150.26cos150.97︒≈︒︒≈ 1.73≈ 1.41)≈【解答】解：15FAE ∠=︒，30FAD ∠=︒，15EAD ∴∠=︒， //AF BE ，15AED FAE ∴∠=∠=︒，30ADB FAD ∠=∠=︒， EAD AED ∴∠=∠， 4AD DE ∴==米．在直角三角形ADB 中，30ADB ∠=︒，cos30 3.46BD AD ∴=︒=≈米，3.460.8 2.662CD BD BC ∴=-≈-=>米， 故该旅游车停车符合上述安全标准．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，其中涉及到平行线的性质，等腰三角形的判定，锐 角三角函数的定义，根据题意找出符合条件的直角三角形，利用直角三角形的性质进 行解答是解决本题的关键．知识点3 方向角题型3 方向角方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）.【例9】如图，已知B 港口位于A 观测点东偏北67︒（即67)DAB ∠=︒方向，且B 到A 观测点正东方向的距离BD 长为46海里，一艘货轮从B 港口以40海里/h 的速度沿45ABC ∠=︒的BC方向航行．现测得货轮C 处位于A 观测点东偏北82︒（即82)DAC ∠=︒方向，求此时货轮C 到AB 之间的最短距离（精确到0.1海里）．（参考数据：sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan67 2.36︒≈，sin820.99︒≈，cos820.14︒≈．tan827.12︒≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27)︒≈【解答】解：过C 作CH AB ⊥于H ，在Rt ABD ∆中，46BD =，67BAD ∠=︒，4650sin 670.92BD AB ∴===︒，45ABC ∠=︒， CH BH ∴=， 82DAC ∠=︒， 15CAB ∴∠=︒， 设CH BH x ==，tan150.27CH xAH ∴==︒， 500.27xx ∴+=，解得：10.6x ≈，∴货轮C 到AB 之间的最短距离是10.6海里．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH 的长是解题关键．【例10】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，在景区道路CD 的C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，另一端B 位于北偏东45︒方向，又测得AC 为100米，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【解答】解：过C 作CE AB ⊥于E ，如图所示：则90CEA CEB ∠=∠=︒，由题意得：42ACE ∠=︒，45BCE ∠=︒，BCE ∴∆是等腰直角三角形， BE CE ∴=，sin AE ACE AC ∠=，cos CEACE AC∠=， 27sin 4210067.540AE AC ∴=⨯︒≈⨯=（米)，3cos42100754CE AC =⨯︒≈⨯=（米)，75BE CE ∴==米，67.575142.5143AB AE BE ∴=+=+=≈（米)； 答：木栈道AB 的长度为143米．【点评】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三 角形解决问题，属于中考常考题型．【例11】如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A 、B 两艘巡船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ．B 两船相距1)海里，船C 在船A 的北偏东60︒方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75︒方向上．已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中有1.41≈， 1.73)≈【解答】解：如图，作CE AB ⊥，由题意得：45ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒， 设AE x =海里，在Rt AEC ∆中，tan 60CE AE =︒=；在Rt BCE ∆中，BE CE =．1)AE BE x ∴+=+=， 解得：100x =． 2200AC x ==．在ACD ∆中，60DAC ∠=︒，75ADC ∠=︒，则45ACD ∠=︒． 过点D 作DF AC ⊥于点F ，设AF y =，则DF CF ==，200AC y ∴=+=，y=，解得：1)∴==≈海里，DF1)126.29>，126.29100所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．第12关 解直角三角形的应用（题册部分）【课后练1】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡比为41:3i =的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m【解答】解：水平距离为4m ，坡比为41:3i =， ∴铅直高度为3434m ⨯=． 根据勾股定理可得：5()m ．故选：A ．【课后练2】水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，60B ∠=︒，背水坡面CD 的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED ，CE 的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度．【解答】解：（1）分别过A 、D 作AF BC ⊥，DG BC ⊥，垂点分别为F 、G ，如图所示．在Rt ABF ∆中，16AB =米，60B ∠=︒，sin AFB AB=，∴在矩形AFGD 中，16AF ==（米)，DG =米 11822DCE S CE DG ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=（平方米）需要填方：150⨯=；（2）在直角三角形DGC 中，DC =24GC ∴=米， 32GE GC CE ∴=+=米，坡度:324i DG GE ===．【课后练3】如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30︒，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60︒，已知小敏同学身高()AB 为1.6m ，则这棵树的高度为( )（结果精确到0.1m 1.73)≈．A ．3.5mB ．3.6mC ．4.3mD ．5.1m【解答】解：设CD x =，在Rt ACD ∆中，CD x =，30CAD ∠=︒， 则tan30::CD AD x AD ︒==故AD ，在Rt CED ∆中，CD x =，60CED ∠=︒， 则tan60::CD ED x ED ︒==故ED x ，由题意得，4AD ED -=，解得：x =则这棵树的高度 1.6 5.1m =+≈． 故选：D ．【课后练4】如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60︒角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30︒，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．【解答】解：过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，30CAH ∠=︒， 1.5AB DH ∴==，6BD AH ==， 在Rt ACH ∆中，tan CHCAH AH∠=， tan CH AH CAH ∴=∠，tan 6tan306CH AH CAH ∴=∠=︒==)， 1.5DH =，1.5CD ∴=， 在Rt CDE ∆中，60CED ∠=︒，sin CDCED CE∠=，(4sin60CDCE ∴==︒（米)，答：拉线CE 的长为(4+米．【课后练5】某校数学兴趣小组假期实地测量南淝河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的南岸边点A 处，测得河的北岸边点C 在其东北方向，然后向南走20米到达点B 处，测得点C 在点B 的北偏东30︒方向上． （1）求ACB ∠的度数；（2）求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据： 1.41≈ 1.73)【解答】解：（1）如图，延长CA 于点D ，交直线CE 于点D ，则BD CD ⊥， 90CDB ∴∠=︒，根据题意可知：45ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒， 15ACB CAD B ∴∠=∠-∠=︒；（2）45ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒，20AB =， ∴在Rt ACD ∆中，AD CD =，在Rt CBD ∆中，tan BD ADBCD CD AD AB∠==+，20ADAD =+， 解得27()AD m ≈．答：这段河的宽度约为27米．【课后练6】很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点A 的西北方向有一辆小型轿车从B 处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点A 北偏东60︒的方向上的C 处，如图．（1）求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时（精确到1千米/时）？（参考数据： 1.4 1.7)≈（2）我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分：时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分；时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分．若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚．【解答】解：（1）过A 作AD BC ⊥于D ，由题意得，40AD m =，45BAD ∠=︒，60CAD ∠=︒，40BD AD ∴==，CD ==40BC BD CD ∴=+=+∴197/km h ≈； （2）19712064%120-=，50%64%70%<<，∴处1500元罚款，扣12分．。

第11关 解直角三角形（讲义部分）知识点1 解直角三角形1.已知一边一角（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠,sin A c a =A c B c b cos sin ==（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠,tan B a b =A a c sin =2.已知两边（1）已知两直角边b a ,，解法：由baA =tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠ A bA a c cos sin ==（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由c aA =sin 求出A ∠，,90AB ∠-=∠A cB c b cos sin ==解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.题型1 解直角三角形【例1】如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，cosC =，AC =（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，cos C =， 45C ∴∠=︒，在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即13AE BE =，33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；（2）AD 是ABC ∆的中线，122CD BC ∴==，1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，sin ADC ∴∠．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注 意锐角三角函数的概念的正确应用．【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，CD =，3BD =． （1）求sin CBD ∠的值； （2）若3AB =，求AD 的长．【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，在Rt CED ∆中，45,C CD ∠=︒，1CE DE ∴==，在Rt BDE ∆中，1sin 3DE CBD BD ∠==； （2）过点D 作DF AB ⊥于点F ， 则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BEDF 是矩形，1DE BF ∴==， 3BD =，∴DF =2AF AB BF ∴=-=，∴AD =【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数是解决本题的关键．【例3】如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，45A ∴∠=︒，8AC BC ==， AH DH ∴=，设AH x =，则DH x =1tan 3DBA ∠=， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，由勾股定理可知：ABx ∴=由勾股定理可得，4AD ==；（2）4AD =，4DC AC AD ∴=-=，由勾股定理得，DB =sinCD DBC BD ∴∠===【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=︒，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60︒≈，cos360.80︒≈，tan360.75)︒≈【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．1801809090,90,36.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=︒-∠=︒-︒=︒∠+∠=︒∴∠==︒根据题意，得24BE mm =，48DF mm =． 在Rt ABE ∆中，sin BEABα=， ∴2440sin360.60BE AB mm ===︒在Rt ADF ∆中，cos DFADF AD∠=， ∴4860cos360.80DF AD mm ===︒．∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．【例5】阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60D ∠=︒，AB =BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ∆，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2)． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题： 如图3，四边形ABCD 中，1tan 2A =，135B C ∠=∠=︒，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，在ADE ∆中，90A ∠=︒，60D ∠=︒，30E ∴∠=︒．在Rt BEC ∆中，90BCE ∠=︒，30E ∠=︒，BC =2BE BC ∴==AE AB BE ∴=+==在Rt ADE ∆中，90A ∠=︒，30E ∠=︒，AE =tan 6AD AE E ∴=∠==． 故答案为6；（2）如图，延长AB 与DC 相交于点E ．135ABC BCD ∠=∠=︒， 45EBC ECB ∴∠=∠=︒， BE CE ∴=，90E ∠=︒．设BE CE x ==，则BC =，9AE x =+，3DE x =+． 在Rt ADE ∆中，90E ∠=︒，1tan 2A =，∴12DE AE =，即3192x x +=+， 3x ∴=．经检验3x =是所列方程的解，且符合题意，BC ∴=12AE =，6DE =，AD ∴=【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键．【例6】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 和点D ，已知:2BD CD =（1）求ADC ∠的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15︒的值（结果保留根号）．【解答】解：（1）连接AD ，如图．设2BD k =，则CD =．DE 垂直平分AB ， 2AD BD k ∴==． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，cos CD ADC AD ∴∠===， 30ADC ∴∠=︒；（2）AD BD =， B DAB ∴∠=∠．30ADC ∠=︒，B DAB ADC ∠+∠=∠， 15B DAB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，∴AC k ．在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，∴tan 2AC B BC ===-∴tan152︒=-【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条 件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．知识点2 解直角三角形综合题型2 解直角三角形综合【例7】如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成30︒角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．【解答】解：过B 点作1BE l ⊥，交1l 于E ，CD 于F ，2l 于G ．在Rt ABE ∆中，1sin302010BE AB km =︒=⨯=，在Rt BCF ∆中，cos3010BF BC =÷︒=，201sin30CF BF =︒==，(30DF CD CF km =-=，在Rt DFG ∆中，1sin30(30(152FG DF km =︒=⨯=，(25EG BE BF FG km ∴=++=+．故两高速公路间的距离为(25km +．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题 转化为数学问题加以计算．【例8】如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离75OA =厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB AO ⊥，37AOB ACB ∠=∠=︒，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC ．（参考数据sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈【解答】解：延长CB 交AO 于点D ．CD OA ∴⊥，设BC x =，则75OB x =-，在Rt OBD ∆中，cos OD OB AOB =∠，sin BD OB AOB =∠， (75)cos370.8(75)600.8OD x x x ∴=-︒=-=-，(75)sin370.6(75)450.6BD x x x =-︒=-=-， 在Rt ACD ∆中，tan AD DC ACB =∠，(450.6)tan370.75(0.445)0.333.75AD x x x x ∴=+-︒=+=+， 75AD OD OA +==，0.333.75600.875x x ∴++-=， 解得37.5x =． 37.5BC ∴=；故小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．【例9】如图， 望湖公园装有新型路灯， 路灯设备由灯柱AC 与支架BD 共同组成 （点C 处装有安全监控， 点D 处装有照明灯） ，AC 与地面垂直，BC 为 1.5 米，BD 为 2 米，AB 为 7 米，60CBD ∠=︒，某一时刻， 太阳光与地面的夹角为37︒，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？（参 考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75)︒≈【解答】解： 如图， 过点D 作光线的平行线， 交地面于点G ，交射线AC 于点F ，过点D 作 DE AF ⊥于点E ，在Rt DBE ∆中， 60CBD ∠=︒， 30BDE ∴∠=︒， 2BD =，sin301BE BD ∴=︒=，cos30DE BD =︒， 在Rt FED ∆中， 37AGF ∠=︒， 37EDF ∴∠=︒，tan37EF ED ∴=︒=， 7AB =，718AF AB BE EF ∴=++=++=． 33874+>，∴此时的影长为AG ．在Rt AFG ∆中，32tan373AF AG ==︒答： 此刻路灯设备在地面上的影长为32(3米 ．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．第11关 解直角三角形（题册部分）【课后练1】如图，在Rt ABC ∆中，设a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，90C ∠=︒，8b =，A ∠的平分线AD =B ∠，a ，c 的值．【解答】解：90C ∠=︒，8b =，A ∠的平分线ADcos AC CAD AD ∴∠===30CAD ∴∠=︒， 60CAB ∴∠=︒， 30B ∴∠=︒，216c b ∴==，tan30b a ===︒，即30B ∠=︒，a =16c =．【课后练2】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且2BD AC =． （1）求B ∠的度数．（2）求tan BAC ∠（结果保留根号）．【解答】解：（1）连接AD ．DE 垂直平分线段AB ， DA DB ∴=， B DAB ∴∠=∠， 2BD AC =， 2AD AC ∴=， 90C ∠=︒， 30ADC ∴∠=︒，ADC DAB B ∠=∠+∠， 15B ∴∠=︒．（2）设AC a =，则2AD BD a ==，CD =，2BC a =+，tan 2BC BAC AC ∴∠==【课后练3】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，5AC =，3cos 5C =，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）AD BC ⊥，90ADC ADB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中，5AC =，3cos 5C =， cos 3CD AC C ∴==， 4AD AC ∴=-=．（2）45B ∠=︒，90ADB ∠=︒，9045BAD B ∴∠=︒-∠=︒，B BAD ∴∠=∠，4BD AD ∴==， 114(43)1422ABC S AD BC ∆∴==⨯⨯+=．【课后练4】如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上，除D 点外，其他顶点均在矩形EFGH 的边上．50AB cm =，40BC cm =，55BAE ∠=︒，求EF 的长．参考数据：sin550.82︒=，cos550.57︒=，tan55 1.43︒=．【解答】解：在直角三角形ABE 中，50AB cm =，55BAE ∠=︒，sin 50sin55500.8241BE AB BAE ∴=∠=︒=⨯=．ABCD 是矩形，55CBF BAE ∴∠=∠=︒，∴在直角三角形BCF 中，40BC cm =，55CBF ∠=︒，cos 40cos55400.5722.8BF BC CBF ∴=∠=︒=⨯=．4122.863.8EF BE BF ∴=+=+=．所以EF 的长为63.8cm ．【课后练5】某片绿地形状如图所示，其中AB BC ⊥，CD AD ⊥，60A ∠=︒，200AB m =，100CD m =，求AD 、BC 的长．（精确到1m 1.732)≈【解答】解：如图，延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt ABE ∆中，200AB m =，60A ∠=︒，tan BE AB A ∴==，400cos60AB AE m ==︒， 在Rt CDE ∆中，100CD m =，9030CED A ∠=︒-∠=︒，2200CE CD m ∴==，tan CD DE CED==∠，400227AD AE DE m ∴=-=-≈，200146BC BE CE m =-=-≈．答：AD 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．【课后练6】如图，河的两岸1l 与2l 相互平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点，某人在点A 处测得90CAB ∠=︒，30DAB ∠=︒，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得60DEB ∠=︒，求C 、D 两点间的距离．【解答】解：过点D 作1l 的垂线，垂足为F ，60DEB ∠=︒，30DAB ∠=︒，30ADE DEB DAB ∴∠=∠-∠=︒，ADE ∴∆为等腰三角形，20DE AE ∴==，在Rt DEF ∆中，1cos6020102EF DE =︒=⨯=， DF AF ⊥，90DFB ∴∠=︒，//AC DF ∴，由已知12//l l ，//CD AF ∴，∴四边形ACDF 为矩形，30CD AF AE EF ==+=，答：C 、D 两点间的距离为30m ．。