第11关 解直角三角形（讲义部分）
知识点1 解直角三角形
1.已知一边一角
（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠
,sin A c a =A c B c b cos sin ==
（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠
,tan B a b =A a c sin =
2.已知两边
（1）已知两直角边b a ,，解法：由b
a
A =
tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠ A b
A a c cos sin =
=
（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由
c a
A =sin 求出A ∠，,90A
B ∠-=∠
A c
B c b cos sin ==
解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.
题型1 解直角三角形
【例1】如图，AD 是ABC ∆的中线，1
tan 3
B =，cos
C =，AC =
（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．
【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，
cos C =
， 45C ∴∠=︒，
在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，
在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即1
3
AE BE =，
33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；
（2）AD 是ABC ∆的中线，
1
22
CD BC ∴==，
1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，
sin ADC ∴∠．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注 意锐角三角函数的概念的正确应用．
【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，CD =，3BD =． （1）求sin CBD ∠的值； （2）若3AB =，求AD 的长．
【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，
在Rt CED ∆中，
45,C CD ∠=︒，
1CE DE ∴==，
在Rt BDE ∆中，1
sin 3
DE CBD BD ∠=
=； （2）过点D 作DF AB ⊥于点F ， 则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BEDF 是矩形，
1DE BF ∴==， 3BD =，
∴DF =2AF AB BF ∴=-=，
∴AD =
【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐
角三角函数是解决本题的关键．
【例3】如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3
DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．
【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，
ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，
45A ∴∠=︒，8AC BC ==， AH DH ∴=，
设AH x =，则DH x =
1tan 3
DBA ∠=
， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，
由勾股定理可知：AB
x ∴=
由勾股定理可得，4AD ==；
（2）
4AD =，
4DC AC AD ∴=-=，
由勾股定理得，DB =
sin
CD DBC BD ∴∠=
==
【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=︒，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60︒≈，
cos360.80︒≈，tan360.75)︒≈
【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．
1801809090,
90,36.
DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=︒-∠=︒-︒=︒∠+∠=︒∴∠==︒
根据题意，得24BE mm =，48DF mm =． 在Rt ABE ∆中，sin BE
AB
α=， ∴24
40sin360.60
BE AB mm =
==︒
在Rt ADF ∆中，cos DF
ADF AD
∠=， ∴48
60cos360.80
DF AD mm =
==︒．
∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．
【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．
【例5】阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60D ∠=︒
，AB =
BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ∆，经过推理
和计算能够使问题得到解决（如图2)． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题： 如图3，四边形ABCD 中，1
tan 2
A =
，135B C ∠=∠=︒，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．
【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，
在ADE ∆中，
90A ∠=︒，60D ∠=︒，
30E ∴∠=︒．
在Rt BEC ∆中，
90BCE ∠=︒，30E ∠=︒
，BC =
2BE BC ∴==
AE AB BE ∴=+==
在Rt ADE ∆中，
90A ∠=︒，30E ∠=︒，AE =
tan 6AD AE E ∴=∠==． 故答案为6；
（2）如图，延长AB 与DC 相交于点E ．
135ABC BCD ∠=∠=︒， 45EBC ECB ∴∠=∠=︒， BE CE ∴=，90E ∠=︒．
设BE CE x ==，则BC =，9AE x =+，3DE x =+． 在Rt ADE ∆中，90E ∠=︒，
1
tan 2
A =，
∴
12DE AE =，即31
92
x x +=+， 3x ∴=．
经检验3x =是所列方程的解，且符合题意，
BC ∴=12AE =，6DE =，
AD ∴=
【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键．
【例6】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 和点
D ，已知:2BD CD =
（1）求ADC ∠的度数；
（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15︒的值（结果保留根号）．
【解答】解：（1）连接AD ，如图．
设2BD k =，则CD =．
DE 垂直平分AB ， 2AD BD k ∴==． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，
cos CD ADC AD ∴∠=
==
， 30ADC ∴∠=︒；
（2）AD BD =， B DAB ∴∠=∠．
30ADC ∠=︒，B DAB ADC ∠+∠=∠， 15B DAB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，
∴AC k ．
在Rt ABC ∆中
90C ∠=︒，
∴tan 2
AC B BC ===-
∴tan152︒=-
【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条 件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．
知识点2 解直角三角形综合
题型2 解直角三角形综合
【例7】如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成30︒角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
【解答】解：过B 点作1BE l ⊥，交1l 于E ，CD 于F ，2l 于G ．
在Rt ABE ∆中，1
sin302010BE AB km =︒=⨯=，
在Rt BCF ∆中，cos3010BF BC =÷︒=，
201sin30CF BF =︒==，
(30DF CD CF km =-=，
在Rt DFG ∆中，1sin30(30(152FG DF km =︒=⨯=，
(25EG BE BF FG km ∴=++=+．
故两高速公路间的距离为(25km +．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题 转化为数学问题加以计算．
【例8】如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离75OA =厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB AO ⊥，37AOB ACB ∠=∠=︒，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC ．（参考数据sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈
【解答】解：延长CB 交AO 于点D ．
CD OA ∴⊥，
设BC x =，则75OB x =-，
在Rt OBD ∆中，cos OD OB AOB =∠，sin BD OB AOB =∠， (75)cos370.8(75)600.8OD x x x ∴=-︒=-=-，
(75)sin370.6(75)450.6BD x x x =-︒=-=-， 在Rt ACD ∆中，tan AD DC ACB =∠，
(450.6)tan370.75(0.445)0.333.75AD x x x x ∴=+-︒=+=+， 75AD OD OA +==，
0.333.75600.875x x ∴++-=， 解得37.5x =． 37.5BC ∴=；
故小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．
【例9】如图， 望湖公园装有新型路灯， 路灯设备由灯柱AC 与支架BD 共同组成 （点C 处装有安全监控， 点D 处装有照明灯） ，AC 与地面垂直，BC 为 1.5 米，BD 为 2 米，AB 为 7 米，60CBD ∠=︒，某一时刻， 太阳光与地面的夹角为37︒，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？
（参 考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75)︒≈
【解答】解： 如图， 过点D 作光线的平行线， 交地面于点G ，交射线AC 于点F ，过点D 作 DE AF ⊥于点E ，
在Rt DBE ∆中， 60CBD ∠=︒， 30BDE ∴∠=︒， 2BD =，
sin301BE BD ∴=︒=，cos30DE BD =︒， 在Rt FED ∆中， 37AGF ∠=︒， 37EDF ∴∠=︒，
tan37EF ED ∴=︒=， 7AB =，
718AF AB BE EF ∴=++=++=． 33874
+>，
∴此时的影长为AG ．
在Rt AFG ∆中，32
tan373
AF AG ==︒
答： 此刻路灯设备在地面上的影长为32
(3
米 ．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
第11关 解直角三角形（题册部分）
【课后练1】如图，在Rt ABC ∆中，设a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，90C ∠=︒，8b =，
A ∠
的平分线AD =
B ∠，a ，c 的值．
【解答】解：
90C ∠=︒，8b =，A ∠
的平分线AD
cos AC CAD AD ∴∠=
==
30CAD ∴∠=︒， 60CAB ∴∠=︒， 30B ∴∠=︒，
216c b ∴==
，tan30b a =
==︒，
即30B ∠=︒
，a =16c =．
【课后练2】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且2BD AC =． （1）求B ∠的度数．
（2）求tan BAC ∠（结果保留根号）．
【解答】解：（1）连接AD ．
DE 垂直平分线段AB ， DA DB ∴=， B DAB ∴∠=∠， 2BD AC =， 2AD AC ∴=， 90C ∠=︒， 30ADC ∴∠=︒，
ADC DAB B ∠=∠+∠， 15B ∴∠=︒．
（2）设AC a =，则2AD BD a ==
，CD =
，2BC a =+，
tan 2BC BAC AC ∴∠=
=
【课后练3】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，5AC =，3cos 5C =
，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；
（2）求ABC ∆的面积．
【解答】解：（1）AD BC ⊥，
90ADC ADB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中，5AC =，3cos 5
C =， cos 3C
D AC C ∴==， 4AD AC ∴=-=．
（2）45B ∠=︒，90ADB ∠=︒，
9045BAD B ∴∠=︒-∠=︒，
B BAD ∴∠=∠，
4BD AD ∴==， 114(43)1422
ABC S AD BC ∆∴==⨯⨯+=．
【课后练4】如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上，除D 点外，其他顶点均在矩形EFGH 的边上．50AB cm =，40BC cm =，55BAE ∠=︒，求EF 的长．参考数据：sin550.82︒=，cos550.57︒=，tan55 1.43︒=．
【解答】解：在直角三角形ABE 中，50AB cm =，55BAE ∠=︒，
sin 50sin55500.8241BE AB BAE ∴=∠=︒=⨯=．
ABCD 是矩形，
55CBF BAE ∴∠=∠=︒，
∴在直角三角形BCF 中，40BC cm =，55CBF ∠=︒，
cos 40cos55400.5722.8BF BC CBF ∴=∠=︒=⨯=．
4122.863.8EF BE BF ∴=+=+=．
所以EF 的长为63.8cm ．
【课后练5】某片绿地形状如图所示，其中AB BC ⊥，CD AD ⊥，60A ∠=︒，200AB m =，
100CD m =，求AD 、BC 的长．（精确到1m 1.732)≈
【解答】解：如图，延长AD ，交BC 的延长线于点E ，
在Rt ABE ∆中，
200AB m =，60A ∠=︒，
tan BE AB A ∴==，
400cos60AB AE m =
=︒
， 在Rt CDE ∆中，
100CD m =，9030CED A ∠=︒-∠=︒，
2200CE CD m ∴==，
tan CD DE CED
==∠，
400227AD AE DE m ∴=-=-≈，
200146BC BE CE m =-=-≈．
答：AD 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．
【课后练6】如图，河的两岸1l 与2l 相互平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点，某人在点A 处测得90CAB ∠=︒，30DAB ∠=︒，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得60DEB ∠=︒，求C 、D 两点间的距离．
【解答】解：过点D 作1l 的垂线，垂足为F ，
60DEB ∠=︒，30DAB ∠=︒，
30ADE DEB DAB ∴∠=∠-∠=︒，
ADE ∴∆为等腰三角形，
20DE AE ∴==，
在Rt DEF ∆中，1cos6020102
EF DE =︒=⨯=， DF AF ⊥，
90DFB ∴∠=︒，
//AC DF ∴，
由已知12//l l ，
//CD AF ∴，
∴四边形ACDF 为矩形，30CD AF AE EF ==+=，
答：C 、D 两点间的距离为30m ．。
