高考数学填空题的解法解析

当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0，即函数 f(x)在(0，1)上是增函数. 1 1 1 ∵1＞ ＞ ＞ ＞0，∴a＞b＞c. 2 013 2 014 2 015
答案 a＞b＞c
Байду номын сангаас
探究提高
构 造 法 实 质上是化 归 与 转 化思想在解题
中的应用，需要根据 已 知 条件 和所要解决的问题确
定构 造 的方 向 ，通过构 造新 的 函 数、不等式或数 列 等新 的模型，从而转 化为自己熟悉的问题 .本题巧妙 地构 造 出正方体，而 球 的直 径 恰 好 为正方体的体对 角线，问题很容易得到解决.
解析 因为函数 f(x)是奇函数， 且 1， －1 是其定域内的值， 1 所以 f(－1)＝－f(1)，而 f(1)＝2 014＋a， 1 2 015 f(－1)＝ ＋a＝a－ . －1 2 014 2 015 －1
1 2 015 1 故 a－ ＝－ a＋2 014 ，解得 a＝ . 2 014 2
解析
f′(x)＝x2＋ax＋2b(a，b∈R)，由题意知 α，β 是函数 f(x)
的两个极值点，则 α，β 是函数 y＝f′(x)的图象与 x 轴两个交点 的横坐标.由 α∈(0，1)，β∈(1，2)及二次函数图象的特征，可 f′（0）＞0， 2b＞0， b＞0， 知f′（1）＜0，即1＋a＋2b＜0， 整理得a＋2b＋1＜0， f′（2）＞0， 4＋2a＋2b＞0， a＋b＋2＞0，
探究三： (2015· 湖北卷)函数 f(x)＝4cos
2x
π cos2－x－2sin 2
x－
2 |ln(x＋1)|的零点个数为________. 2x 2x 2cos －1－ 解析 f(x)＝4cos 2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x· 2
解析
对于①， 当 x≥0 时， 有 f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， f(2 013)
＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(2×1 006＋1)＋f(2×1 007) ＝f(1)＋f(0)＝0，因此①正确； 对于②，注意到 f f
1 1 － ＝ f ＝ log2 2 2
在 Rt△PF2F1 中，2c＝ （4a）2－（2a）2＝2 3a， c ∴e＝a＝ 3.
方法归纳： 直接法
对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填 空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通
过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有
意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
1 答案 2
方法归纳：
特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论
唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题
中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值 (特殊函数、特殊角、
特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理， 从而得出探求的结论.
【训练 2】 如图，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，过点 M 的 → ＝λAB →， 直线与直线 AB、 AC 分别交于不同的两点 P、 Q， 若AP 1 1 → → AQ＝μAC，则 λ ＋μ＝________.
1 1 b－2 则 的取值范围为4，1.故填4，1. a－1 1 答案 4，1
探究提高
图解法实质上就是数形结合的思想方法
在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合
所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命
题的 热 点 . 准确运用此类方法的关键是正确 把握各 种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用 几何图形中的相关结论求出结果.
|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，令 f(x)＝0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|. 在同一坐标系中作出两个函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大 致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函 数 f(x)有 2 个零点.
方法归纳： 图象分析法
称，故①正确；又函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点
对称，而图象又关于直线x＝1对称，故函数f(x)必是一个周 期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故②不正确；
因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相 同的， 且 f(x) 在区 间 [1 ， 2] 上是 减函 数，所以其在区 间 [－2，－1]上也是减函数，故③正确；④因为函数f(x)关 于直线x＝1对称，在区间[1，2]上是减函数，而函数在
【训练 5】 已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时， 有 f(x＋1)＝－f(x)，且当 x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)， 给出下列命题： ①f(2 013)＋f(－2 014)的值为 0；②函数 f(x)在定义域上是 周期为 2 的周期函数； ③直线 y＝x 与函数 f(x)的图象只有 1 个交点；④函数 f(x)的值域为(－1，1). 其中正确命题的序号有________.
画出可行域，如图(阴影部分，不包括边界)， b－2 表示连接可行域内一点 P(a，b)与点 a－1 D(1，2)的直线的斜率 k，又 A(－3，1)， 2－1 1 B(－2，0)，C(－1，0)，则 kAD＝ ＝ ， 1－（－3） 4 2－0 kCD＝ ＝1，由图可知 kAD＜k＜kCD， 1－（－1）
阆中东风中学校

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自主探究： 高考数学填空题的解题方法 题型特点概述
填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样， 属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过 程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等． 1． 填空题的类型 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问 题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念 性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出 结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量 填写，一类是定性填写．
3 ， 2
3 1 1 1 3 － ＋ 2 ＝ f ＝ f ＋ 1 ＝ － f ＝－log2 ， 2 2 2 2 2
因此 f
1 1 － ≠ f － ＋ 2 ， 函数 2 2
2 1 【训练 1】 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝ an＋ ，则{an}的通项 3 3 公式是 an＝________. 2 1 解析 由已知 Sn＝3an＋3.①
2 1 当 n＝1 时，S1＝ a1＋ ，解 a1＝1； 3 3 2 1 当 n≥2 时，Sn－1＝3an－1＋3.② an ①－②整理，得 an＝－2an－1，即 ＝－2.因此{an}为 a1＝1， an－1 公比 q＝－2 的等比数列，an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函
数在区间[0，1]上为增函数，又由奇函数的性质，可得 函数 f(x) 在区间 [－ 1 ， 0]上是 增函 数，故④ 正确. 所以正 确的结论有①③④.故填①③④.
答案 ①③④
方法归纳：
综合分析法
对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运 用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.
3．解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”．
x2 y2 探究一： 设 F1，F2 是双曲线 C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两 个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 的
3 最小内角为 30° ，则 C 的离心率为________.
答案 (－2)n－1
探究提高
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，
在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角 度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用， 将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填 空题的关键.
1 探究二：(2015· 济南模拟)若 f(x)＝ ＋a 是奇函数， x 2 015 －1 则 a＝________.
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，
通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正 确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都 是常用的图形.
1 3 1 2 【训练 3】 已知 α，β 是三次函数 f(x)＝3x ＋2ax ＋2bx(a，b∈R) b－2 的两个极值点，且 α∈(0，1)，β∈(1，2)，则 的取值范围 a－1 是________.
探究五： 定义在 R上的函数 f(x)是奇函数，且 f(x) ＝ f(2 －x) ，
在区间[1，2]上是减函数.关于函数f(x)有下列结论：
①图象关于直线 x ＝ 1 对称；②最小正周期是 2 ；③在区间 [－2，－1]上是减函数；④在区间[－1，0]上是增函数. 其中正确结论的序号是 ________(把所有正确结论的序号都 填上). 解析 由 f(x) ＝ f(2 － x) 可知 函 数 f(x) 的 图 象关于直 线 x ＝ 1 对
6π ________.
方法归纳： 构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特
殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使
较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识 和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概 括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻 找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模
2．填空题的特征 填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接 写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一， 表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之 好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是 在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以 是条件，也可以是结论 )，留下空位，让考生独立填上，考 查方法比较灵活． 从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有 毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上 下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因 此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而 要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在 “巧”字上下功夫．
解析
1 1 由题意可知， λ ＋μ的值与点 P、Q 的位置无关，
而当直线 PQ 与直线 BC 重合时，则有 λ＝μ＝1， 1 1 所以 λ ＋μ＝2.
探究提高
求值或比较大小等问题的求解 均可利
用特 殊值 代入 法，但要注意此种方法 仅限 于求解 结论只有一种的填空题，对于 开放性的问题或 者 有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.
解析 设 P 点在双曲线右支上，由题意得
|PF1|＋|PF2|＝6a， 故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a， |PF1|－|PF2|＝2a，
2a 由条件得∠PF1F2＝30° ，由 ＝ sin 30° sin 得 sin ∠PF2F1＝1，∴∠PF2F1＝90° ，
4a ， ∠PF2F1
型，使问题快速解决.
1 1 1 1 【训练 4】已知 a＝ln 2 013－2 013， b＝ln 2 014－2 014， 1 1 c ＝ ln 2 015 － 2 015 ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ________.
解析 1－x 1 令 f(x)＝ln x－x，则 f′(x)＝x－1＝ x .
探究四： 如图，已知球 O 的球面上有四点 A， B， C， D， DA⊥平面 ABC， AB⊥BC， DA＝AB＝BC＝ 2，则球 O 的体积等于
解析 如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方 体的外接球球 O 的半径为 R， 则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以|CD|＝ （ 2）2＋（ 2）2＋（ 2）2＝2R， 6 4πR3 所以 R＝ ，故球 O 的体积 V＝ ＝ 6π. 2 3