2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、满足1z z+=i （i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则A 、123p p p =<B 、123p p p >=C 、132p p p =<D 、132p p p ==3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 321x x ++，则f （1）+g（1）=A 、3-B 、1-C 、1D 、34、51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 A 、-20 B 、-5 C 、5 D 、205、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A 、[-6,-2]B 、[-5,-1]C 、[-4，5]D 、[-3,6]7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A 、1B 、2C 、3D 、48、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为A 、2p q + B 、(1)(1)12p q ++-C D 19、已知函数发f （x ）=sin(x )ϕ-，且230()0x f x dx =⎰，则函数f （x ）的图象的一条对称轴是 A 、5x=6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6π 10、已知函数f （x ）=2x 1x +e -2（x<0）与g （x ）=2x +In x+a)（的图象在存在关于y 轴对称点，则a 的取值范围是A、-∞（ B、-∞（ C、（ D、（二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a =+⎧⎨=+⎩（a 为参数） 交于A ，B 两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________。

【备课大师网：全免费】 - 在线备课，全站免费！无需注册，每日更新！2014 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1、知足z1z=z =i （ i 的虚数单位）的复数A 、1 1iB 、11 i C 、2 22 21 1 i D 、1 1 i 222 22、对一个容量为 N 的整体抽取容量为 n 的样本，入选用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不一样方法抽取样本时，整体中每个个体被抽中的概率分别为p 1 、 p 2 、 p 3 ，则A 、 p 1 p 2 p 3B 、 p 1 p 2 p 3C 、 p 1p 3 p 2 D 、 p 1p 3p 23、已知 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f （x ） -g （ x ）= x 3 x 2 1 ，则 f （ 1） +g （ 1） = A 、 3 B 、 1 C 、1D 、34、 ( 1x 2 y)5 的睁开式中 x 2 y 3 的系数是2A 、-20B 、-5C 、 5D 、20【答案】 A1n【分析】第 n1项睁开式为 C5nx 5 n2 y,2n25 n10 1 x2y32y 3,应选 A.则 n 2 时 , C 5n 1x2 y20x 225、已知命题p：若 x>y ，则 -x<-y：命题 q：若 x>y ，在命题① p q② p q③ p ( q)④ ( p) q中，真命题是A 、①③B、①④C、②③D、②④【答案】 C【分析】当x y 时,两边乘以 1可得 x y ,因此命题 p 为真命题,当 x 1, y 2 时,由于x2y2,因此命题 q 为假命题,因此②③为真命题,应选 C.【考点定位】命题真假逻辑连结词6、履行如图 1 所示的程序框图，假如输入的t [ 2,2] ，则输出的S 属于A 、 [-6,-2]B、 [-5,-1]C、[-4， 5]D、 [-3,6]6.【答案】 D2t 2 1【解析】当 t2,0时 , 运行程序如下 , t1,9 , S t 32,6 ,当 t0,2 时, 则S2,63, 13,6 ,应选D.【考点定位】程序框图二次函数7、一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能获得的最大球的半径等于A 、 1B 、 2C 、 3D 、 4【答案】 Br , 则【分析】由图可得该几何体为三棱 柱 , 因此最大球的半径为 正视图直角三角形内切圆的半径8 r 6 r82 62r 2 ,应选 B.【考点定位】三视图 内切圆 球8、某市生产总值连续两年连续增添，第一年的增添率为 p ，第二年的增添率为 q ，则该市这两年的生产总值的年均匀增添率为p qB 、A 、2C 、 pqD 、( p 1)(q 1)12( p 1)(q 1) 1【答案】 Dx ,则有 1 x2【分析】设两年的均匀增添率为 1 p 1 qx1 p 1 q 1,应选 D.【考点定位】实质应用题2 x9、已知函数发 f （ x ）= sin(x )，且 A 、 x=5B 、 x= 7612 3f ( x)dx 0 ，则函数 f （ x ）的图象的一条对称轴是C 、 x=D 、 x=36【答案】 A【分析】函数f x 的对称轴为 xkxk ,22232由于sinxdx 0cossin0 ,cos335 是此中一条对称轴 ,应选 A.则 x6【考点定位】三角函数图像 协助角公式10、已知函数f （ x ） = x 2 +e x- 1（ x<0 ）与 g （ x ）= x 2 +In （x+a) 的图象在存在对于 y 轴对称点，则a 的【备课大师网：全免费】 -在线备课，全站免费！无需注册，每日更新！取值范围是A 、（-1B、（-，e）（1 ，）D、（，1），）C、 -e- eee e10.【答案】 Bx0,0知足 x02e x012ln x0a【分析】由题可得存在x0121e x0ln x0a0 ,当x0取决于负无穷小时, e x0ln x0a趋近于,由于函数22y e x ln x a1在定义域内是单一递加的,因此ln a ln e a e ,应选B.2【考点定位】指对数函数方程二、填空题，本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每题5分，共 25分( 一)选做题 (请考生在第11， 12，13 三题中任选两题作答，假如全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线 lx2cosa与曲线 C:1（ a 为参数）4y sin a交于 A，B 两点，且AB 2 .以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，则直线 l的极坐标方程是 _________。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxkA ．－20B ．－5C ．5D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]--B ．[5,1]--C ．[4,5]-D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C pq D (1)(1)1p q ++9．已知函数23()sin(),()0, f x x f x dxπϕ=-=⎰且则函数()f x的图象的一条对称轴是A．56xπ=B．712xπ=C．3xπ=D．6xπ=10．已知函数zxxk221()(0)()ln()2xf x x e xg x x x a=+-<=++与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是A．(,)e-∞B．(,)e-∞C．(,)ee-D．(,)ee-二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l与曲线2cos:,(1sinxCyααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B，两点，则AB｜｜＝2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是12．如图3，已知,AB BC是Oe的两条弦，,3,22,AO BC AB BC⊥==则Oe的半径等于13．若关于x的不等式|2|3ax-<的解集为51{|}33x x-<<，则a=（二）必做题（14－16题）14．若变量,x y满足约束条件4y xx yy k≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y=+的最小值为－6，则k=15．如图4，正方形ABCD DEFG和正方形的边长分别为,()a b a b<，原点O为AD的中点，抛物线22(0)y px p=>经过,bC Fa=两点，则16．在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),3),(3,0),A B C-动点D满足||1,CD OA OB OD=++u u u r u u u r u u u r u u u r则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立．（I）求至少有一种新产品研发成功的概率；（II ）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图5，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ （I ）求cos CAD ∠的值；（II ）若721cos ,sin ,BAD CBA ∠=-∠=求BC 的长．19． （本小题满分12分）如图6，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O ==I I 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．（I ）证明：1;O O ABCD ⊥底面（II ）若1160,CBA C OB D ∠=--o求二面角的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（I ）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （II ）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．21． （本小题满分13分）如图7，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,e e =且24||3 1.F F =- （I ）求12,C C 的方程；（II ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数 （I ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案一、选择题1、B2、D3、C4、A5、C6、D7、B8、D9、A 10、B 二、填空题11、(cos sin )1p θθ-=12、3213、3- 14、2- 15、12+ 16、17+三、解答题 17、（本小题满分12份） 解：（I ）记E=｛甲组研发新产品成功｝，F=｛乙组研发新产品成功｝.由题设知2132(),(),(),(),3355P E P E P F P F ====故所求的概率为（Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100,120,220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=, 133(100)()3515P X P EF ===⨯=224(120)()3515P X P EF ===⨯=, 235(220)()3515P X P EF ===⨯=,故所求的分布为数学期望为2()015E X =⨯+310015⨯+412015⨯+622015⨯=300480132021001401515++==18、（本小题满分12份）解：（I ）如图5，在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos .2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅ 故由题设知，27cos 727CAD ∠==227321sin 11().1414BAD COS BAD∠=-∠=--= 于是sin x =sin()BAD CAD ∠-∠=sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD ∠∠-∠∠ =32127721()147147⋅--⋅ =3.2在ABC ∆中，由正弦定理，BC=37sin 23sin 216AC aCBA⋅⋅==∠ 19、（本小题满分12份） 解：（I ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥.同理1DD BD ⊥。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-==,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a-+->ln a a ⇒<<故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离d =,所以圆心在直线l上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1. 【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s ,s i n 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++==因为cos sin θθ的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为=,故填【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:则数学期望0120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值;(2)若cos 14BAD ∠=-,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) cos CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠==7=,所以cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得s i n BAD ∠=14=且sin 7CAD ∠==,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠⎛= ⎝⎭=714+7=再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠BC ⇒=⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2) 【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,ACBD O AC B D O ==∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D又11O C ⊆面1111A B C D111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形1111O C O B ∴⊥又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D11O C ∴⊥面1OB D又1B O ⊆面1OB D111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠=060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形11O C a ∴=,11,BO=112,OO a B O ===, 则111111111221sin 37OO O E B OO B O B Oa a B O a=∠=== 再由11O EC ∆的勾股定理可得1EC===, 则1111cos O E O EC EC ∠===,所以二面角11C OB D --. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11nnn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a+-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222111111112242243321144m m m---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知122e e =,且241F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得12e e ==,且12F F =,因为12e e =,且24F F =,所以22212b a+=且1a ⇒=且1,b a ==所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22mny n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222M AB e x n =+=++)2212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为,⎛ ⎝,则点,P Q 到直线AB 的距离为221224n n n d n +-=,222224n nn d n --=,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()2221222224n n nn dd n ++-+==+,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= =因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()'0f x x =⇒=则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪∞⎪⎝⎭单调递增的.(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()'0f x x =⇒=,则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)函数()f x的定义域为1,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,由(1)可得当01a<<时,()'0f x x=⇒=,则1a>-⇒12a≠,则()f x的两个极值点,()()12ln1ln1f x f x⎡⎡+=++-+⎣⎣()ln141a a=--+⎡⎤⎣⎦,因为112a<<或12a<<,则12<,则设t=12t⎛⎫<<⎪⎝⎭,则()()()212ln144f x f x t t+=-+,设函数()()2ln144g x x x=-+12t⎛⎫<<⎪⎝⎭, 后续有待更新!!!【考点定位】导数含参二次不等式对数。

数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷 第16页（共45页）数学试卷 第17页（共45页）数学试卷 第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷 第29页（共45页） 数学试卷 第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷 第34页（共45页）数学试卷 第35页（共45页） 数学试卷 第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。

2014年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷理科一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足ii z z +=（i 是虚数单位）的复数z =（ ）. A.11i 22+ B.11i 22- C.11i 22-+ D. 11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）.A.123p p p =<B.231p p p =<C.132p p p =<D. 123p p p == 3.已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ）.A.3-B.1-C. 1D. 34.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ）. A.20- B.5- C.5 D.205.已知命题:p 若x y >，则x y -<-；命题:q 若x y >，则22x y >.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）.A.①③B.①④C.②③D.②④6.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）. A.[]6,2-- B.[]5,1-- C.[]4,5- D.[]3,6-7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）.A.1B.2C.3D.48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）. A.2p q + B.()()1112p q ++-C.pq D.()()111p q ++-9.已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()230d 0f x x π=⎰，则函数()f x 的图像的一条对称轴是（ ）.A.6x 5π=B.12x 7π=C.3x π=D.6x π= 10.已知函数()21e 2x f x x =+-()0x <与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）.侧视图正视图俯视图12 8 6 开始 3S t =-0?t < 输入t 结束否是221t t =+输出SA.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.(),e -∞ C.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.(一)选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C 2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ，B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 12.如图所示，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，3AB =，22BC =，则O 的半径等于________.13.若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.（二）必做题（14-16题）14.若变量y x ,满足约束条件4y xx y y k⎧⎪+⎨⎪⎩………，且2z x y =+的最小值为6-，则k =________.15.如图所示，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22y px =()0p >经过C ，F 两点，则ba=________. 16.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率;（2）若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元；若新产品B 研发ACOBxyO AGFE D CB AD成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 18.如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，7AC =. （1）求cos CAD ∠的值； （2）若7cos 14BAD ∠=-，21sin 6CBA ∠=，求BC 的长. 19.如图所示，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，AC BD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.（1）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（2）若60CBA ∠=︒，求二面角11C OB D --的余弦值.OO 1A BCDA 1B 1C 1D 120.已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a a p +-=，*N n ∈.（1）若{}n a 为递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 21.如图所示，O 为坐标原点，椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ,已知1232e e =，且2431F F =-.（1）求12,C C 的方程；yAP（2）过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.22.已知常数0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. （1）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围.。

【关键字】统一2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足（为虚数单位）的复数（）（A）（B）（C）（D）2．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是，则（）（A）（B）（C）（D）3．分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）（A）（B）（C）1 （D）34．的展开式中的系数是（）（A）（B）0 （C）5 （D）205．已知命题：若，则；命题：若，则。

在命题① ②③ ④中，真命题是（）（A）①③ （B）①④（C）②③ （D）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）（A）（B）（C）（D）7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）（A）（B）（C）（D）9．已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（）（A）（B）（C）（D）10．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_________________。

12．如图3，已知是的两条弦，，，，则的半径等于__________。

13．若关于的不等式的解集为，则。

（二）必做题（14-16题）14．若变量满足约束条件，且的最小值为，则_____。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】由题意可得001e ln()0xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD++=||OA OB OD++的取值范围为||8OA OB OD++=+ ||OA OB OD++的最大值【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， AD CD AC AD-21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭37sin 23sin 6AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC .【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面，1112OO O B OB =2O H =119【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，AC BD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；11(1)32nn -- n 1(1)2n n --++112121()121n ---+ 11(1)32nn --.11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221nn a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项22a b a +=，从而2(F22212m m ++，22214m m ++.APBQ 的面积2222213|222122mS d m m+==-+--.S 取得最小值2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面n【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。