2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2014年湖南，理1，5分】满足i
i z z
+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）
（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22
--
【答案】B
【解析】由题意()i i 11
i i i 1i i i 1i 22
z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．
（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样
和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D
【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，
即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，
则()()11f g +（ ）
（A ）-3
（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()11312
11111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨
+==-⎪⎪⎩⎩
()()111f g ⇒+=，故选C ．
（4）【2014年湖南，理4，5分】51
(2)2
x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）
（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A
【解析】第1n +项展开式为()55
122n
n n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则2n =时，()()2
532351*********n
n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故
选A ．
（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；
②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）
（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C
【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为
22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．
（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出
的S 属于（ ）
（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D
【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，
[]33,1S t =-∈--，则(]
[][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．
（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打
磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【答案】B
【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，
则862r r r -+-=，故选B ．
（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，
则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）
（A ）2p q +
（B ）(1)(1)1
2p q ++- （C
（D
1
【答案】D
【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2
111x p q +=++
1x ⇒，故选D ．
（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230
()0x f x dx =⎰
，则函数()f x 的图象的一条
对称轴是（ ）
（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6
x π
=
【答案】A
【解析】解法一：
函数()f x 的对称轴为2
x k π
ϕπ-=
+2
x k π
ϕπ⇒=+
+，
因为
()23
2sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫
⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56
x π
=
是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：
由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以
sin()03πϕ-=，所以3
k π
ϕπ=+，故选A ．
（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21
()(0)2
x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y
轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
（A ）(,)-∞
（B ）(,-∞ （
C
）(
（D
）(
【答案】B
【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02
001(,)2x Q x x e -+-在函
数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()022
0001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02
x e x a --+-=．
问题等价于函数1
()ln()2
x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．
解法一：
1
'()0x h x e x a
=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存
在零点，则1
(0)1ln 02
h a =
-->，从而a <B ．
解法二： 问题等价于函数1()2
x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同
一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程
中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．
（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分． （11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为
4π
的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩
（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是 ．
【答案】2sin 4πρθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭
【解析】曲线C 的普通方程为()()2
2
211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()
2,1
到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛
⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭
．
（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O
的半径等于 ． 【答案】3
2
【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可
得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直径3
32
AE r =⇒=．
（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭，则a = ．
【答案】3-
【解析】由题可得5
2331233
a a ⎧--=⎪⎪
⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．
（二）必做题（14~16题）
（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y x
x y y k ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最小
值为6-，则k = ． 【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域
如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．
（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中
点，抛物线经过,C F 两点，则b
a
= ．
【答案】21+
【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a pa
a b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪
⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．
（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，
动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是 ． 【答案】17+
【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，
则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++．()
(
)
2
2
2cos 3sin OA OB OD θθ
++=
++
+
()
822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77
ϕϕ=
=， 当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值17+．
三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为
23和3
5
．现 安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100
万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．
由题意知2132
(),(),(),()3355
P E P E P F P F ====， 且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．
（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122
()()()3515
P H P E P F ==⋅=，
故所求的概率为13
()1()15
P H P H =-=．
（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122
(0)()3515
P X P EF ===⋅=，
133224236
(100)(),(120)(),(220)().351535153515
P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=
X
0 100 120 220 P
215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015
==．
（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．
（1）求cos CAD ∠的值；
（2）若7cos BAD ∠=-，21
sin CBA ∠=，求BC 的长．
解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222
cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，
27cos .27CAD ∠==． （2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=
，7
cos BAD ∠=-，
所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， 于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBA
α=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅
⋅===∠． （19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11
111,AC BD O AC B D O ==，
四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．
（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；
（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．
解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．
因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD ， 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ． （2）解法一： 如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，
所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相
等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，
于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =， 因为060CBA ∠=
，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆
中，易知11111O O O H B O B O =⋅
=,又111O C =
．于是1C H ===
故1111cos O H O HC C H ∠=
===
11C OB D --
． 解法二：
因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以
1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，
不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．
于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面 平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量， 则212100
OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y ==
所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212
cos cos ,θ⋅=<>=
==
⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．
（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；
（2）若1
2
p =
，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11n
n n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，
又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1
,03
p p ==．
当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故1
3
p =．
（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但22111
22
n n -<，
所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221
221211122n n n n n a a ----⎛
⎫-== ⎪
⎝⎭
③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()
21
221221122n n
n n n
a a ++-⎛⎫
-=-=
⎪
⎝⎭
④
图a 1
A O
C B D
1
C 1B 1
D A
1O H
1
由③，④知，()
1
112
n n n n
a a ++--==
，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-
()()()1
1
211111111
41211122
2
2
332
12
n n n
n
n
n -+---
--=+-+
+
=+
=+⋅+．数列{}n a 的通项公式为()1141332n
n n a --=+⋅．
（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆22
1221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，
离心率为1e ；双曲线222221(0)x y
C a b a b
-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，
已知123
e e =，且2431F F =-．
（1）求12C C ，的方程；
（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于
,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：（1）因为123
e e =，所以222
2311b b a a -+=，即443
4
a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ， 24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为22
12x y +=，
双曲线2C 的方程为2212
x y -=． （2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由2
2
112x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得()
22
2210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的
两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=
⋅=++，因此()1212
24
22
x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222
,22m M m m -⎛⎫ ⎪
++⎝⎭
，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=． 由2221
2
m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()22
24m x -=，222222
420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以1122
2
2224
mx y mx y d m +++=+
因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<， 于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2
122
224
m
y y d m +-=
+
又因为()
2
2
1212122
22144
m y y y y y y m +-=
+-=
+，所以2
2
22124
m d m +=
+
四边形APBQ 面积22212213
2221222m S PQ d m m
+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．
（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2
x
f x ax x =+-+．
（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．
解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()
2
2
24112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2
120ax x ++>， 所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,
(
)12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的． 综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间
10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增的． （2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，
又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所
以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极
大值点，而12
1212
1222()()ln(1)ln(1)22
x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()12122
12121212
44ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---． 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当1
02
a <<时，10x -<<；
当1
12
a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．
（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以22
2222
'()x g x x x x -=-=，
因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当1
02
a <<
时，12()()0f x f x +<．
（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+
-，所以22
2222
'()x g x x x x
-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减， 从而()(1)0g x g >=，故当
1
12
a <<时，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
．。
