江苏省灌南高级中学2018-2019学年高三上学期周练试卷(文)

江苏省灌南高级中学2018-2019学年度高三年级上学期
周练数学试卷（9.8）
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.函数1y x =
-的定义域为A ，函数lg(2)y x =-的定义域为B ，则A B = ．
2.写出命题“0x ∃>，2
10x -≤”的否定： ． 3.函数2(sin cos )y x x =+的最小正周期是 ．
4.设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +
平行，则实数λ= ．
5.已知复数 z =
1
1i
-，其中 i 是虚数单位，则z i += 6.已知角α的终边经过点(1,3)-，则sin()2
π
α+的值为 ．
7.函数1
ln y x
=（x e ≥）的值域是 ． 8.“2
π
ϕ=
”是“函数sin()y x ϕ=+的图象关于y 轴对称的” 条件（填“充分必要”、“充分不
必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．
9.设函数2
()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ． 10.若函数2
()'(1)x f x x e f x =⋅+⋅，则'(1)f = ．
11. 如图，函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，2
π
ϕπ≤≤）的部分图象，其中A ，
B 分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ．
12.如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB AC ==，D 为BC 边上的点，且
0AD BC ⋅= ，2CE EB = ，则AD AE ⋅=
．
13.若关于x 的方程1ln kx x +=有解，则实数k 的取值范围是 ．
14.下列有关命题的说法正确的是 （请填写所有正确的命题序号）． ①命题“若2
1x =，则1x =”的否命题为：“若2
1x =，则1x ≠”； ②命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；
③条件p ：2
x x ≥-，条件q ：||x x =，则p 是q 的充分不必要条件；
④已知0x >时，(1)'()0x f x -<，若ABC ∆是锐角三角形，则(sin )(cos )f A f B >.
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知m R ∈，复数22
(23)1
m z m m i m +=
+--+（i 是虚数单位）. （1）若复数z 是实数，求m 的值；
（2）若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，求m 的取值范围.
16.（本小题满分14分）
已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，[0,
]2
x π
∈
（1）求()f x 的值域；
（2）若ABC ∆的面积为33
2
，角C 所对的边为c ，且1()2f C =，7c =，求ABC ∆的周长．
17.（本小题满分14分）
二次函数2(0)y x bx b =+≠图像与x 轴交于O ，A 两点，交直线:l y x =于O ，B 两点，经过三点O ，
A ，
B 作圆
C ．
（1）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （2）求证：圆C 经过除原点外的一个定点．
18. 因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm （即50EF cm =）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜，根据经验：一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离为x （cm ）在区间[140,180]内，设支架FG 高为h （090h <<）cm ，100AG cm =，顾客可视的镜像范围为CD （如图所示），记CD 的长度为y （y GD GC =-）.
（I ）当40h cm =时，试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值； （II ）当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤（不
计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h 的取值范围.
19. 已知函数()ln 2f x a x ax =--（a R ∈）. （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，且函数2
1()'()2
g x x nx mf x =
++（,m n R ∈）当且仅当在1x =处取得极值，其中'()f x 为()f x 的导函数，求m 的取值范围.
20．已知函数()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,a b c ∈R 有一个零点为4，且满足()01f =. （1）求实数b 和c 的值；
（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.
试卷答案
一、选择题
1. [1,2)
2.0x ∀>，2
10x ->
3.π
4.
12
5.
2
10 6.1-2 7.(0,1]
8.充分不必要 9.2
10.2e -
11.
76
π 12.1
13.2
1
(,
]e -∞ 14.②④
二、解答题
15.(1)m=-3,(2)(-2,-1)
16. 解：（1）1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222
x x f x x x x π⎛
⎫-- ⎪
⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭
311sin 2cos 2sin 24426x x x π⎛⎫
=-
-=- ⎪⎝⎭
． [0,]2x π∈ ，52[,]666x πππ∴-∈-，故11
()[,]42
f x ∈-．
（2）由已知，
133
sin C 22
ab =
．由1()2f C =，得C 3π=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得,22
2cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()2
25a b +=．
所以C ∆AB 的周长为57+．
17.解：（I ）在方程y=x 2
+bx 中．令y=0，y=x ，易得A （﹣b ，0），B （1﹣b ，1﹣b ） 设圆C 的方程为x 2
+y 2+Dx+Ey=0，
则⇒，
故经过三点O ，A ，B 的圆C 的方程为x 2+y 2
+bx+（b ﹣2）y=0， 设圆C 的圆心坐标为（x 0，y 0）， 则x 0=﹣，y 0=﹣
，∴y 0=x 0+1，
这说明当b 变化时，（I ）中的圆C 的圆心在定直线y=x+1上．
（II ）设圆C 过定点（m ，n ），则m 2
+n 2
+bm+（b ﹣2）n=0，整理得（m+n ）b+m 2
+n 2
﹣2n=0，
它对任意b ≠0恒成立，∴⇒或
故当b 变化时，（I ）中的圆C 经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．
18.解（1）因为40FG =，100AG =，所以由
GC GC AG FG AB +=，即10040GC GC x +=，解得4000
40
GC x =-，同理，由GD GD AG EG AB +=，即10090GD GD x +=，解得9000
90
GD x =-，所以2941000()500090401303600
x
y GD GC x x x x =-=⨯-=⨯---+，[140,180]x ∈因为
2
22
3600'50000(1303600)
x y x x -=⨯<-+，所以y 在[140,180]上单调递减，故当140x cm =时，y 取得最大值为140cm （2）由
100GC GC h x +=，得100h GC x h =-，由10050GD GD h x +=+，得100(50)
50
h GD x h +=--，所以由题意知1
GC AG AG GD <=≤，即100100(50)10050h h x h x h +<≤---对[140,180]x ∈恒成立，从而2
502
x
h x h ⎧
<⎪⎪
⎨⎪≥
-⎪⎩对[140,180]x ∈恒成立，解得140702
18050402
h h ⎧
<=⎪⎪⎨⎪≥-=⎪⎩，故h 的取值范围是[40,70)
19.解：（1）(1)
'()a x f x x
-=
（0x >），当0a >时，令'()0f x >得01x <<，令'()0f x <得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞； （2）由题意可知'(2)1f =，即2a =-；
所以212()(2)2g x x nx m x =++-，所以3222
22'()m x nx m
g x x n x x
++=++=，因为()g x 在1x =处有极值，故'(1)0g =，从而可得12n m =--，
则32222
2(1)(22)
'()x nx m x x mx m g x x x ++---==，又因为()g x 仅在1x =处有极值，所以2220x mx m --≥在(0,)+∞上恒成立，
当0m >时，由20m -<，显然0(0,)x ∃∈+∞，使得2
00220x mx m --<，所以0m >不成立，
当0m ≤且(0,)x ∈+∞时，2
220x mx m --≥恒成立，所以0m ≤.
20．解：（1）由题意()()01440f c f b c =+⎧⎪⎨=-+=⎪⎩，解得141
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；
（2）由（1）可知()()3
2
4f x x a x =+--1414a x ⎛
⎫
+
+ ⎪⎝⎭
， ∴()()2132444f x x a x a ⎛⎫'=+--+
⎪⎝⎭
； 假设存在0x 满足题意，则()()2000132444f x x a x a ⎛⎫
'=+--+ ⎪⎝
⎭
是一个与a 无关的定值， 即()2
0001
24384
x a x x -+--
是一个与a 无关的定值， 则0240x -=，即02x =，平行直线的斜率为()1724
k f '==-； （3）()()()3
2
4g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛⎫
-+
++ ⎪⎝⎭
， ∴()()2
132444g x x a x a ⎛⎫'=+--+
⎪⎝⎭
， 其中()2
1441244a a ⎛⎫∆=-++
= ⎪⎝⎭
()22
4166742510a a a ++=++>， 设()0g x '=两根为1x 和()212x x x <，考察()g x 在R 上的单调性，如下表
1°当0a >时，()010g a =+>，()40g a =>，而()15
2302
g a =--
<，
∴()g x 在()0,2和()2,4上各有一个零点，即()g x 在()0,4有两个零点； 2°当0a =时，()010g =>，()40g a ==，而()15
202
g =-
<， ∴()g x 仅在()0,2上有一个零点，即()g x 在()0,4有一个零点； 3°当0a <时，()40g a =<，且13024g a ⎛⎫=->
⎪
⎝⎭
， ①当1a <-时，()010g a =+<，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭和1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上各有一个零点， 即()g x 在()0,4有两个零点；
②当10a -≤<时，()010g a =+≥，则()g x 仅在1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点， 即()g x 在()0,4有一个零点；
综上：当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点； 当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.。