函数的最大值和最小值的求解方法[1]

x 0
4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则 (D ) A. k 1 B. k 1 2 2 C. k 1 D. k 1 2 2 解析 使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数,
1 则2k+1<0，即 k . 2
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以
解析
依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推 出函数y=f（x）为增函数.
题型分类
题型一 函数单调性的判断
x
深度剖析
x2 【例1】已知函数 f ( x) a (a 1). x 1 证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
思维启迪 证明 方法一 （1）用函数单调性的定义. 任取x1,x2∈(-1,+∞), （2）用导数法. 不妨设x1<x2,则x2-x1>0, a x2 x1 1且a x1 0,
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就 说函数f（x）在区间D 上是减函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 ___________ 上升的
自左向右看图象是 __________ 下降的
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是________ 增函数 或________ 减函数 ，则称 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，
知能迁移3
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 [ • , 2 ] (2)若f(x)在 上的值域是 • [ ,2], 求a的值. 2 2 (1)证明 设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 1 1 f ( x 2 ) f ( x1 ) ( ) ( ) a x2 a x1 1 1 x 2 x1 0, x1 x 2 x1 x 2
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二
复合函数的单调性
(D ) B.(-1,0) D.（-3,-1）
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减 函数的区间是 A.(3,6) C.(1,2) 思维启迪 解析
2
要使 y log 1 (2 x 2 3x 1) 递减,
t应该大于0且递增,
故x∈(1,+∞).
题型三
函数的单调性与最值 x2 2x a 【例3】已知函数 f ( x ) , x∈[1,+∞). x 1 (1)当a= 时,求f(x)的最小值; 2 (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实
数则可以利用导数解之.
ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x) 2 , x∈(-1,1)的单 x 1 调性（其中a≠0）.
解
方法一 根据单调性的定义求解.
设-1<x1<x2<1,
ห้องสมุดไป่ตู้
ax1 ax2 2 x12 1 x2 1 a( x2 x1 )( x1 x2 1) . 2 2 ( x1 1)( x2 1) ∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0, 则f ( x1 ) f ( x2 )
又∵x1+1>0,x2+1>0,
a x2 a x1 a x1 (a x2 x1 1) 0,
x2 2 x1 2 ( x2 2)( x1 1) ( x1 2)( x2 1) x2 1 x1 1 ( x1 1)( x2 1) 3( x2 x1 ) 0, ( x2 1)( x1 1)
先求得函数的定义域,然后再结合二次
函数、对数函数的单调性进行考虑. 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的
对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是
减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由 此可得D项符合.故选D.
探究提高
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
1 1 已知函数 f ( x ) (a>0,x>0), a x
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
1 1 ( 2) f ( x )在[ ,2]上的值域是 [ ,2], 2 2 1 又f ( x )在[ ,2]上单调递增 , 2 1 1 f ( ) , f ( 2) 2. 2 2 2 易得a . 5
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)= • . 2 (2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是 增函数. ∴当x=1时，ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立，
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其
单调性； ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
下几个命题： ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0； ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 ④ f ( x1 ) f ( x2 ) 0. x1 x2 ①③ 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
x2 2 x1 2 0, 于是f(x2)-f(x1)= a a x2 1 x1 1 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
x2 x1
方法二
3 f ( x) a 1 (a 1), x 1
x
求导数得 f ' ( x) a x ln a
3 , 2 ( x 1)
即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)为增函数.
方法二 f ( x ) ax , 2 x 1 (ax)' ( x 2 1) ax( x 2 1)' f '( x) ( x 2 1) 2 a ( x 2 1) ax 2 x ( x 2 1) 2
∵a>1,∴当x>-1时，axln
3 0, a>0, 2 ( x 1)
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
题型四
函数单调性与不等式
【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)
=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
思维启迪 问题(1)是抽象函数单调性的证明,所
以要用单调性的定义.
0
条件
结论
M为最大值
M为最小值
基础自测
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 (B )
A.y=-x+1
B. y= x 2 2 C.y=x -4x+5 D. y x 2 2 解析 ∵y=-x+1,y=x -4x+5, y 分别为一次函 x 数、 二次函数、反比例函数，从它们的图象上可
数a的取值范围. 思维启迪 第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞) 上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第
(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小
值大于0的问题来解决.
1 1 解 (1)当a 时, f ( x ) x 2, 2 2x 设1≤x1<x2, 1 ), 则f(x2)-f(x1)= ( x 2 x1 )(1 2 x1 x 2 ∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2, 1 1 1 0 ,1 0, 2 x1 x 2 2 2 x1 x2 ∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
2 x12 1 0, x2 1 0, | x1 x2 | 1,
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
( x2 x1 )( x1 x2 1) 0. 2 2 ( x1 1)( x2 1)
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 f (| 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1)
1 |) f (1) x
（C）
C.(-1,0)∪(0,1)
D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
1 解析 由已知条件：| | 1, x
| x | 1 不等式等价于 ,
解得-1<x<1,且x≠0.
________ 区间D 叫做f（x）的单调区间.
2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足 ①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都 f（x）≥M ； 都有___________ f（x）≤M ； 有____________ ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得 f （ x 0） = M _____________. f （x ）=M _______________.
故a>-3.
探究提高 要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
知能迁移2
函数y= log 1 (2 x 2 3x 1) 的递减区间为
2
（ A ） B.( , ]
A.(1,+∞) C. ( , ) 解析
1 2
作出t=2x2-3x+1的示意
3 4 D. [ 3 , ) 4
图如图所示， ∵0<
1 <1,∴ y log 1 t 递减. 2 2
当a>0时，∵-1<x<1,
ax2 a 2ax2 a(1 x 2 ) . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
a (1 x 2 ) 0, 2 2 ( x 1) 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
以看出在（0，2）上都是减函数.
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的 根 A.有且只有一个 C.至多有一个 B.有2个 D.以上均不对 （C ）
解析
∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
§2.2 函数的单调性与最大(小)值 基础知识
要点梳理
1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数
自主学习
定 义
一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时,都有 定 义 f（x1）<f(x2) ，那 么就说函数f(x)在区 间D上是增函数
问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运
用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个 变量的函数值.
解
（1）设x1,x2∈R，且x1<x2,
则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f（x2）>f(x1). 即f(x)是R上的增函数.