宁夏银川一中2019届高三第六次月考数学(理)试题

银川一中2019届高三年级第六次月考
理科数学
命题人：刘正泉
注意事项：
1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 •作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 •设集合A={ x | x € Z且一91}, B={ x | x€ Z且| x | <5「则A U B中元素的个数是
A• 11 B. 10 C• 16 D• 15
2 .复数z1=
3 + i, z2= 1- i，贝V z= Z1 z2在复平面内的对应点位于
A •第一象限B・第二象限C第三象限 D •第四象限
3. 已知a、b€ R，贝U ab= 1 ”是直线ax + y-1 = 0和直线x+ by- 1= 0平行”的
A .充分不必要条件B.充要条件
C •必要不充分条件
D •既不充分又不必要条件
4. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为
A. 480
B. 240
C. 120 D . 96
5. 已知等差数列｛a n｝满足a1 +a2+a3+…+ a101 = 0,则有
A. a1 + a101 > 0
B. a2+ aw o v 0
C. a3 + a gg= 0
D. a51= 51
6 •中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该
算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x = 2, n = 2,依次输入的a为2,2,5，则输出的s=
A. 7
B. 12[
C. 17
D. 34
2 2
丄y
7.双曲线12 —4= 1的顶点到渐近线的距离为
:*
/输A XH/
厂
5=0
/输人Q /
心左+1
/输加/ （结朿]
A. 2 3 B . 3 C . 2 D . 3
sin a+ 3cos a
8 .已知2cosa—sin a= 2，则cos2a+ sin a cosa=
10.如图,A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，/ BCA=90 °点D 1、F j 分别是人伯1、人£1的中点，若BC=CA=C6,
则a 的取值范围是 1
A . [1, e 2+ 2] C .[弓+ 2, e 2— 2]
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5 分. 13. 给出以下四个命题：
① 若x + y = 0，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ② 全等三角形面积相等”的否命题；
③ 若qJ 1，则x 2+ x + q = 0有实数根”的逆否命题; ④ 若ab 是正整数，则 a 、b 都是正整数.
其中真命题 是 __________________ .(写出所有真命题的序号).
y>0
x + y
14.
已知实数 x , y 满足1 x y >0
____________________ 则z = x + 1的取值范围是
i2x — y — 2 <0
-— 1
15. (J x -丁)1°展开式中的常数项是 ________________
x
3 B . 5
3
D •— 5
9.某项测试成绩满分为 10分，现随机抽取
加测试，得分如图所示,
m o ,则
A . m e = m o = x C . m e < m 0< x
D . m 0< m e < x
则BD i 与AF i 所成角的余弦值是
C .
30
15
15 10
11.已知 f (x)=
2, x>1,
—1, x <1
则不等式x + 2xf(x + 1)>5的解集为
A . (1,+ ° )
B . (一 °°, 一 5) U (1,+ °)
C . (一 °°, 一 5) U (0,+ m
)
D . (— 5,1)
12.已知函数g(x)= a — x 2(1 $色e 为自然对数的底
)与h(x)= 2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,
[1, e 2— 2] [e 2— 2, + °
B . m e = m °v x
2 2
16. F i是双曲线/—1(a>0, b>0)的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双
曲线的一条渐近线相切于点B,且A,B,F三点共线，则双曲线的离心率为______________ .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个
试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分)
17.( 12 分)
n
如图，在△ ABC中，/ B = 3, D为边BC上的点,
n
/ CED = 4.
(1) 求CE的长；
(2) 若CD = 5，求cos/ DAB 的值.
18.( 12 分)
如图，直三棱柱ABC —A1B1C1中，AA1 = AB = AC = 1,E ,F分别是CC1, BC的中点，AE丄A1B1,
D为棱A1B1上的点.
(1) 证明：DF丄AE ;
(2) 是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角
的余弦值为石？说明点D的位置；若不存在，说明理由.
佃.(12分)
某中学的测试中设置了数学与逻
科爪数学与遷辑科目：阅谨与表达
辑”和阅读与表达”两个内容，成绩分为
A, B, C, D , E五个等级，某班考生两
科的考试成绩的数据统计如图所示，其中
数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生
有10人.
(1) 求该班考生中阅读与表达”科目的成绩等级为A的人数；
(2) 若等级A, B, C, D, E分别对应5分、4分、3分、2分、1分，某考场共10人得分大于7 分，其中2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和E的分布列.
20.( 12 分)
2 2
设椭圆C：?+ y2= 1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2= 4 3y的焦点重合，F1, F?分别是椭
1
圆的左、右焦点，且离心率e= 2，过椭圆右焦点F2的直线I与椭圆C交于M , N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2) 若OM ON = - 2,求直线I的方程；
(3) 若AB是椭圆C经过原点0的弦，MN // AB，求证：|MN|为定值.
21. ( 12 分)
已知函数f(x)= lnx+ x2- ax(a为常数).
(1) 若x= 1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；
(2) 当Ova W2时，试判断f(x)的单调性；
(3) 若对任意的a€ (1,2),任意的X O€ [1,2],使不等式f(x°)>mlna恒成立，求实数m的取值范围.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做•则按所做的第一题记
分。

22. [选修4 —4:坐标系与参数方程](10分)
f
x —1 +cos</
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(o为参数，兀兰a兰2江)，以O 为
y =1 +sinot
极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为Jcosf…)-t (其中v R).
4 2
(1) 求C2的直角坐标方程；
(2) 当5与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围.
23. [选修4—5:不等式选讲](10分)
设函数f (x) = x -2 2x -3，记f (x) _ _1的解集为M .
(1) 求M ；
2 2
(2) 当x M 时，证明：x[f (x)] -x f(x)^0.
银川一中2019届高三年级第六次月考数学（理科）答案
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D D C B C
C
D
A
D
A
B
B
6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤
n 3 n
17.解：①由题意可得/ AEC = n — 4=
4 ,
在△AEC 中，由余弦定理得
2 2 2
AC = AE + CE — 2AE CE cos 小EC , 所以 160= 64 + CE 2+ 8 2CE ,
整理得 CE 2+ 8 2CE — 96= 0, 解得CE = 4 2.故CE 的长为4.2.
CE CD W2 5
②在A C DE 中，由正弦定理得 sinzCDE = sin/CED ，即 sin/CDE = n ， sin4 厂 n 4
所以 5sin©DE = 4 2sin 4= 4，所以 sinZCDE = 5,
n 4也
因为点D 在边BC 上，所以/ CDE> ZB = 3,而5< 2 , 3
所以/CDE 只能为钝角，所以 cosZCDE = — 5,
n
所以 coszDAB = cos /CDE — 3)
n n
=cos/CDE co% + sin/CDE sin3
4
13. ①③ 14.
[0, 3]
15 210 16
1.5 2
三、解答题：本大题共
18. (1)证明：T AE±A I B I, A1B1// AB,
••AE .LAB,
又V AA11AB, AA1 CAE = A, AA1、AE?平面A1ACC1,
••AB 丄面A1ACC1.
又T AC ?面A1ACC1,
••AB L AC,
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A —xyz,
1
则有A(0,0,0), E(0,1, 2),
1 1
F(2, 2, 0), A1(0,0,1), B1(1,0,1),
设D(x,0, z) , A1D =於1B1，且入q o,1］，即(x,0, z—1) = 41,0,0),
••D(入0,1),
T 1 1
.•DF = (2 —4, 2, —1),
T 1
••AE = (0,1, 2),
1 1
T T
'•DF AE = 2—2= 0, —DF _LAE .
(2)存在点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14 .
面ABC的一个法向量为n= (0,0,1).
设面DEF的法向量为m= (x , y , z),
m FE = 0 ,
则T
m DF = 0 ,
111 T 1 1
T
■•FE = (—2 , 2 , 2) , DF = (2 — 4 2, —1),
111
—2X+ 2y+ 2Z= 0 ,
• 1
■■ 1 1
2— 4x+ 2y—z= 0 ,
3 1
4 3 3 4 3— 3 =—
5 x 2 + 5X 2 = 10 .。