概率论与数理统计习题及答案第二章
- 格式:doc
- 大小:896.00 KB
- 文档页数:12
习题2-2
1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
1,,
0,A X A =⎧⎨
⎩发生不发生.
写出随机变量X 的分布律.
解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者
2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为
c
c c c 167
,
85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠ 13571,24816c c c c +++= 所以3716 c = . 所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258167852121 }0{}1{= ++=≠-=c c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9 = , 求{P Y ≥1}. 解 注意p{x=k}=k k n k n C p q -,由题设5 {9 P X =≥21}1{0}1,P X q =-==- 故213 q p =-= . 从而 {P Y ≥3219 1}1{0}1().327 P Y =-==-= 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为 1927 , 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是 27 19 ,那么一次都 没有成功的概率是 278. 即278)1(3 =-p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 从1,2,3,4,5中随机取3个,以X 表示3个数中的最大值,X 的可能取值是3,4,5,在5个数中取3个共有103 5 =C 种取法. {X =3}表示取出的3个数以3为最大值,P{X =3}=2235C C =10 1 ; {X =4}表示取出的3个数以4为最大值,P{X =4}=10 3 3523=C C ; {X =5}表示取出的3个数以5为最大值,P{X =5}=5 3 3524=C C . X 的分布律是 1. 设求分布函数解 (1) F (x )=0, 1,0.15,10,0.35,01,1, 1. x x x x <-⎧⎪-<⎪ ⎨ <⎪⎪⎩≤≤≥ (2) P {X <0}=P {X =-1}=; (3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=. 2. 设随机变量X 的分布函数为 F (x ) = A +B arctan x -∞ 试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率. 解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知 ()0112 ,.2()1 2A B A B A B πππ⎧ +-=⎪⎪⇒==⎨ ⎪+=⎪⎩ 于是 11 ()arctan ,.2F x x x π =+-∞<<+∞ (2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤ 1111 (arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242 ππππ=+⋅---= 3. 设随机变量X 的分布函数为 F (x )=0, 0, 01,21,1, ,x x x x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥ 求P {X ≤-1}, P { 解 P {X 1}(1)0F -= -=≤, P { P {0 5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 11 {1},{1}84 P X P X =-===; 在事件 {11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度 成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p . 解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时, 1(1)8 F -= ; 当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以 115 {11}(1)(1){1}1.848 P X F F P X -< <=---==--= 易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为 {1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,