结构动力学4-1

1 多自由度体系的自振频率和振型
在结构动力分析中，有时需要按某一标准将振型归一 化，或称标准化，给出标准振型 或归一化振型 ，通常 有三种方法： (1) 特定坐标的归一化方法。指定振型向量中的某一坐标 值为1，其它元素值按比例确定。 (2) 最大位移值的归一化方法，将振型向量中各元素除以 最大值。 (3) 正交归一化。
1.0 u 1=1 u3 1.5 600 u2 1200 u1 1800 (a) (b) 1 k11=3000 k12=－ 1200 k13=0 k21=－1200 k31=0 k 32=－ 600 1 u2=1 1 u3=1 k 33=600
1 多自由度体系的自振频率和振型
算例1 运动方程的特征方程：
结构的刚度阵：
k22=1800
k23= －600
2.0
3000 2 2 1200 ( K M ) 1200 1800 1.5 2 600 0
1 0 600 2 600 2 3
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第4章 多自由度体系
采用等效单自由度方法可以将多自由度体系化为等效 的单自由度问题求解。例如多层结构抗震设计时采用的 简化分析方法—基底剪力法。 对于均匀多层结构或烟囱，也可以采用如下形函数，
( z ) 1 cos

2H
z
将结构的位移表示为 u(x,t)=(z)q(t)，使问题化为一个单 自由度问题。如果形函数取得好，而外荷载又按某一 简单形式分布，则用等效单自由度方法也可以得到相 当好的近似解。 但是，当结构体系复杂 或外荷载变化复杂时，用等效的 单自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这 时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题， 即必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
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1
1 多自由度体系的自振频率和振型 结构的自振频率和振型，可通过分析结构的无阻 尼自由振动方程获得。 多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
1 多自由度体系的自振频率和振型
(t ) K u (t ) 0 M u
m11 m 21 M mN 1 m12 m22 mN 2 m1N m2 N mNN k11 k 21 K kN1 k12 k22 kN 2 k1N k2 N k NN
特征方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于 零：
K M
2
0
是一关于的多项式，称为频率方程。 将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：
k N 1 2 mN 1 k N 2 2 mN 2 k NN 2 m NN
对于N个自由度的体系，频率方程是关于2的N次方程，
因为sin(t+ )为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
(t ) 2 sin(t ) u
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上式是关于{} 的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率和振型{}。
2
M 0
0
2.0
0 0 1.5 0 0 1.0
K 1200
0
Baidu Nhomakorabea3000
1200 0 1800 600 600 600
0 2. 0 0 M 0 1 . 5 0 0 1. 0 0
k22=1800
k23= －600

2.0
0

0
N
其中，n— n阶自振频率，{}n— n阶振型。 [Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
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(c)
(d)
结构模型
各刚度元素
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1 多自由度体系的自振频率和振型
算例1 结构的质量阵:
把相应的自振频率n代入运动方程的特征方程得到振型
1 2 3 N
n( n=1, 2, …, N )即为多自由度体系的自振频率。
其中量值最小的频率 1 称为 基本频率 ( 相应的周期 T1=2/1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系在做自由振动时，只 能按一些特定的频率，即按自振频率进行振动。 当结构按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的 形状，称为自振振型，或简称振型。 13/70
(t ) K u (t ) 0 M u
[M]、[K]——N×N阶的矩阵质量和刚度矩阵， {u(t)}、{ü(t)}——N阶位移向量和加速度向量， {0}——N阶零向量。 上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程。
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1 (t ) u 0 u (t ) 0 (t ) 2 0 u ( ) u t 0 N 下面分析当{u(t)}是什么形式时可以满足以上运动方程。 8/70 u1 (t ) u (t ) 2 u (t ) u N (t )
k11 m11
2
k12 m12
2

k1N m1N
2
k 21 m21
2
k 22 m22
2
k 2 N 2 m2 n
2
k N1 mN1
2

2
0
aN ( 2 ) N aN 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a0 0
(t ) K u (t ) 0 M u
u (t ) sin(t )
{}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关， 不随时间变化，称为振型。 —简谐振动的频率， —相位角。 上式对时间求两次导数可得：
( 2 M K ) sin(t ) 0
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1 多自由度体系的自振频率和振型
算例1 由频率方程
B 3 5 . 5 B 2 7 .5 B 2 0
1 多自由度体系的自振频率和振型
算例1 根据运动方程的特征方程求振型：
得到三个根 ： B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420 设3n=1 利用关系式
结构动力学
多自由度体系
前面讨论了单自由度体系，它的运动仅需一个 运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得 到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量 等。 工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例 如单层的空间结构、多层框架结构、大跨桥梁结 构、空间网架结构、大坝、核电站等等。 为合理反映振动过程中惯性力的影响，需要采 用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确定 体系的变形。
1 多自由度体系的自振频率和振型
算例 1 如图 (a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。
1.0 u3 1.5 600 u2 1200 u1 1800 (a) (b) 1 k11=3000 k12=－ 1200 k13=0 k21=－1200 k31=0 1 k 32=－ 600 u 1=1 u2=1 1 u3=1 k 33=600
对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和 正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。由此 可以解得N个根：12< 22< 32…< N2 。
k N 2 m N 2 k NN mNN
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2
1 多自由度体系的自振频率和振型 频率方程的N个正实根：
1 多自由度体系的自振频率和振型
K
2 n
M n 0
{}n={1n, 2n , …, Nn }T—体系的n阶振型。 ● 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振 型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例 如令1n=1，才能确定其余的值。 ● 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才 能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振 型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。 ● 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系14/70 。
(c)
(d)
k11 K k 21 k 31
k12 k 22 k 32
k13 3000 1200 0 1200 1800 600 k 23 k 33 0 600 600
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B 2 600
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1 多自由度体系的自振频率和振型
(K M ) 0
2
1 多自由度体系的自振频率和振型
k11 2 m11 k 21 2 m21 k12 2 m12 k 22 2 m22 k1N 2 m1N k 2 N 2 m2 n 0

n
n
Mn , Mn n Mn , n 1, 2, , N
T
以后讲到振型正交性时可以发现按(3)定义的振型满足关 于质量矩阵[M]的内积为1的条件，即振型质量等于1。
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多自由度体系的振型矩阵和谱矩阵
得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振频 率分别写成矩阵的形式， 11 12 1N 22 2 N 21 1 2 N N 1 N 2 NN 1 0 0 0 0 2
2 0 1 0 5 2 B 600 2 3 1.5B 1 2 0 0 1 1 B 3 0
频率方程： K 2 M 0
B 3 5.5 B 2 7 .5 B 2 0
1 多自由度体系的自振频率和振型
根据单自由度体系自由振动的经验，设多自由度体系在 进行自由振动时也是在作简谐振动，多自由度体系的 振动形式可写为：
1 多自由度体系的自振频率和振型
将位移向量 {u} 和加速度向量 {ü} 代入无阻尼自由振动方 程：u (t ) 2 sin(t ) u (t ) sin(t )
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4.1 两自由度体系的振动分析
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1 多自由度体系的自振频率和振型
4.2 多自由度体系的无阻尼 自由振动
在多自由度体系动力反应分析中，最常用的是振型叠加 法。 振型：结构体系自由振动时的位移形态。N个自由度体系 有N个不同的振型。 自振频率：当结构按某一振型振动时的频率。对N个自由 度体系，一般情况下有个N个自振频率。 结构的自振频率与振型是相互对应的。 多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和 单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在 介绍结构动力特性时，首先提及的就是结构的自振频 率和振型。 6/70
1 多自由度体系的自振频率和振型
K
2 n
M n 0
以上分析方法即为代数方程中的特征值分析 ，自振频率 相应于特征值，而振型即是特征向量。 定理：在方程 ([K]-2[M]){}={0}中，若 [K]、 [M]是对称 矩阵，而[K]又是正定的，则特征值和特征向量全为实 数；若[M]也是正定的，则特征值全为正。 对于稳定的结构体系，可以得到对称的刚度阵[K]和质量 阵[M]。 采用简化计算时，质量阵可以是半正定的，例如采用集 中质量法有限元模型，此时可以采用静力凝聚法，将 质量阵化为正定矩阵。 16/70