理论力学试题2和答案

3 2 mr ε 2
1 2 mr ε 2 3 2 （D） mr ω 2
二．填空题（共 21 分，每小题 3 分） 1. 在图 6 所示曲柄滑道机构的曲柄长 OA=r，以匀角速度 ω 绕过点 O 的轴转动，它的 上端放一质量是 m 的物块 M。欲使物块在机构中始终不脱离滑道杆上端，则角速度 ω≤ __________。 2. 在图 6 所示杆AB在铅直平面内以匀角速度ω 绕过点O的水平轴转动，质量是m的小 环 D 套 在 杆 AB 上 ， 并 于 相 对 速 度 vr 运 动 ， 则 当 OD=r 时 小 环 牵 连 惯 性 力 的 大 小 Qe=________，方向_________，哥氏惯性力的大小 Qk =_______，方向 ________。
Qx = Qϕ =
[∑ δW ] x
δx
=
F (t )δx = F (t ) δx − mgl sin ϕδϕ = − mgl sin ϕ
[∑ δW ]ϕ
δϕ
=
δϕ
x
ωA A
F (t )
x
vB vr
ϕ
ve 图3
ϕ
B
代入拉格朗日方程，有
.. .. . 2 ⎧ 3 ϕ ϕ ϕ M m x ml ml + ) − cos + sin ϕ = F (t ) ( ⎪ ⎪ 2 ⎨ .. ⎪ .. x g ϕ − cos ϕ + sin ϕ = 0 ⎪ l l ⎩
..
（A） m x = − mg + c ( x + δ s )
..
（B） m x = − mg − c ( x + δ s )
..
（C） m x = − mg + c ( x − δ s )
（D） m x = − mg − c ( x − δ s )
3. 刚体绕定轴 z 转动，其上作用一力偶(F,F’)，力偶矩的大小是 M，作用面的法线 与轴 z 间的夹角是 α，旋向如图 3 所示；则该力偶在角位移 dϕ 中的元功是（ （A） d 'W = Mdϕ （B） d 'W = − Mdϕ ）
将 θ 和 θ 的表达式分别代入上列两式，即可求得
. ..
3 N τ = − mg sin θ 4 1 N n = mg (1 − 3 cos θ ) 2
3．解： 系统具有两个自由度，选 x, ϕ 为广义坐标（见图 3） 。于是，系统的动能为
. 2 1 1 1 1 2 2 T = M x + ( Mr 2 )ω A + mv B 2 2 2 2 .
θ
C
O B B0 图 12
3. 质量是 M，半径是 r 的匀质圆柱，放在粗糙的水平面上，用光滑铰链将其轴心与无
重刚杆 AB 的 A 端相连结（图 13） ，杆 AB 长度是 l ，杆的 B 端连有质量为 m 的小球。若在 圆柱的轴心反作用一水平力 F (t ) ，且圆柱在平面上只滚不滑，试用拉格朗日方程写出系统 的运动微分方程。 （25 分）
4 m 2 ) rω 2 3
如图 1 所示，取整个系统为研究对象。设重物 B 下降 h 时的速度为 v B ，此时，鼓轮的 角速度 ω A =
vB v 2 = B ，鼓轮质心的速度 v A = 2rω A = v B 。由于加在系统上的约束力 R + r 3r 3
在系统运动过程中作功的总和为零，本题宜用积分形式的动能定理
.
0
θd θ =
.
∫
θ
0
3g sin θ d θ 2l
θ=
再写出质心运动定理方程，即
.
3g (1 − cos θ ) l
⎧ ⎪maCn = ∑ Fn ⎨ ⎪ ⎩maCτ = ∑ Fτ
得
⎧ l .. m θ = N τ + mg sin θ ⎪ ⎪ 6 ⎨ . 2 ⎪m l θ = N + mg cos θ n ⎪ 6 ⎩
理论力学试题
（动力学部分）
一．
选择题（将正确答案的序号填入括号内，共 14 分，每小题 2 分） 1.在图 1 所示两种情形中，已知物块A和B的重量分别是GA和GB，把图（a）中的物 块A换成力GA，即是图（b）所示的情形。若用 a A 和 a B 分别表示图（a）和图（b）中 物块A加速度的大小，则有（ （A） a A ﹤ a B （C） a A = a B ）
T2 − T1 = ∑ W
求解。 初动能为 末动能为
（1）
T1 = 0
T2 =
1 1 1 2 2 2 m Av A + m A ρ 2ω A + mB vB 2 2 2 v v 2 1 1 1 2 = m A ( B ) 2 + m A ( 2r ) 2 ( B ) 2 + m B v B 2 3 2 3r 2 1 2 = (2m A + 3m B )v B 6
小等于____________。
Hale Waihona Puke Baidu
C r
A 2r
O
图 10
三．计算题（共 65 分） 1. 图 11 所示的系统中，匀质鼓轮A的质量是mA，对质心轴C的回转半径 ρ =
2r ，轮
轴和轮缘外圆的半径分别是r和R=2r，重物B的质量是mB。若将系统由静止释放，求重物下 降距离h后的速度和加速度。假定鼓轮沿水平面作纯滚动，绳子EH段与水平面平行，且定滑 轮D的质量略去不计。 （20 分）
（C） d 'W = M cos αdϕ
z n
（D） d 'W = − M cos αdϕ
O1
α
F' F
O
ϕ
dϕ
图3
图4
4. 图 4 所示内啮合行星齿轮机构中，行星轮的质量是m1，半径是r，系杆OO1的质 量是m2，长度是 l 。若行星齿轮可视为匀质圆盘，系杆可视为匀质细直杆，且系杆的转 动规律为 ϕ = ϕ (t ) ，则系统在图示瞬时动能的大小等于（ （A） (3m1 + m 2 )l ）
v A 和零，碰撞后它们速度的大小分别是零和 u B ，则恢复因数 e =___________。
A O A0
A
B
vA
图8
vB
图9
5. 匀质细圆环的半径为r，质量为m1，与一根质量为m2的匀质细直杆OA刚性连接，可 在水平面内以匀角速度ω绕过点O的定轴转动，OA=2r（图 10） 。则系统对转轴的动量矩的大
考虑到
dv B dh = v B ，即得 = aB 和 dt dt
aB =
2.解： 杆所受的力如图 2 所示。依题意
G
3m B g 2m A + 3m B
A
θ
O
B
C
Nτ 图2
1 1 1 l− l= l 2 3 6 l 1 1 I O = ml 2 + m( ) 2 = ml 2 12 6 9
OC =
x
A
F (t )
ϕ
B 图 13
自测试题五解答
一． 选择题 1.（A）2.（D）3.（D）4.（D）5.（C） 二． 1. 填空题
g r
2
2. mrω ，沿 OB 方向； 2mωv r ；垂直于 OB 朝斜下方
2
3. − cr (3 − 5 ) 三． 1.解： 计算题
4.
uB vA
5. (10m1 +
M
B
A
r O ω
vr
D
ω O 图6
A
5图7
3. 弹簧的一端固定在点O，另一点与套在固定圆环上的小套环相连（图 8） 。已知弹簧 的刚度系数是c，原长是r，圆环的半径也是r，且CA0=r，则小套环由点A0运动至点A时弹性 力的功W=__________。 4. 两球 A，B 在图 9 所示位置发生对心碰撞，假设碰撞前球 A 和 B 速度的大小分别是
由刚体定轴转动微分方程
I O θ = ∑ mz (F )
得 从而可得
..
l 1 2 .. ml θ = mg sin θ 9 6
θ=
.. . .
..
3g sin θ 2l
. dθ 考虑到 θ = θ ，将上式分离变量，并注意运动的初始条件，当 θ = 0 时 θ = 0 ，就能得 dθ
到
∫
由此得
θ .
而
x ωA = r
2 vB = x + l 2 ϕ − 2l x ϕ cos ϕ
. 2
. 2
. .
所以动能为
. 2 . . 3 1 .2 2 .2 T = M x + m( x + l ϕ − 2l x ϕ cos ϕ ) 4 2 . 2 . 2 . . 1 3 1 = ( M + m) x + ml 2 ϕ − ml x ϕ cos ϕ 2 2 2
E A C R r D
H
图 11
B
2. 质量是 m，长度是 l 的匀质杆 AB，可绕过点 O 的水平轴转动，OB= l 。开始时杆 静止于铅直位置（图 12 中的虚线位置） ，受轻微扰动后而转动，试求：杆转至任意位置(θ) 时的角速度和角加速度，以及 O 轴的反力。 （20 分）
1 3
A0 A C0
1 6
2
ϕ2
.
（B）
. . 1 1 (3m1 + 2m2 )l 2 ϕ 2 + m1 r 2 ϕ 2 4 12
（C）
. . 1 1 (3m1 + m2 )l 2 ϕ 2 + m1 r 2 ϕ 2 2 6
（D）
. 1 (9m1 + 2m2 )l 2 ϕ 2 12
O ω ε
5图5
5. 质量是 m，半径是 r 的匀质圆盘，在铅直平面内绕通过边缘上一点 O 的水平轴转 动（图 5） 。圆盘在图示瞬时的角速度和角加速度的大小分别是 ω 和 ε，则圆盘的惯性 力对 O 点的主矩的大小是（ （A）mrε·r （C） ） （B）
主动力的功为
∑W = m
代入（1） ，得
B
gh
1 2 (2m A + 3m B )v B = m B gh 6
由此求得
（2）
vB =
E · C A GA vA ωA
6m B gh 2m A + 3m B
H D
B h vB 图1 GB
将式（2）两端对时间 t 求导，得
dv 1 dh (m A + 3m B )v B B = m B g dt 3 dt
（B） a A ﹥ a B （D）GA﹥GB时 a A ﹤ a B ；GA﹤GB时 a A ﹥ a B
x
GA A B 图1 B
c
图2
2. 在图 2 所示质量弹簧系统中，已知物块的质量是 m，弹簧的刚度系数是 c，且物 块在静平衡位置时弹簧的静压缩量是 δ s 铅直朝上，则物块的运动微分方程是（
..
。若取物块的静平衡位置为坐标原点 O，x 轴 ）
∂T
.
. . 3 = ( M + m) x − ml ϕ cos ϕ 2 ∂x .. .. . 2 3 d ∂T ( . ) = ( M + m) x − ml ϕ cos ϕ + ml ϕ sin ϕ 2 dt ∂ x
∂T =0 ∂x ∂T ∂ϕ
.
= ml 2 ϕ − ml x cos ϕ
.
.
.. .. . . d ∂T ( . ) = ml 2 ϕ − ml x cos ϕ + ml x ϕ sin ϕ dt ∂ ϕ . . ∂T = ml x ϕ sin ϕ ∂ϕ