数值分析典型例题
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数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少
解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后
三位才可以。ln2 第二章典型例题
例1 用顺序消去法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧1
-=4+2+4=+2+31-=4++2321
321321x x x x x x x x x
解 顺序消元
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⋅+-⋅+-⋅+1717005.555.00141
25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==--=++17175.555.01
42332321x x x x x x 回代得解
x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T
例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧5
=+2+23=++1=2-2+321
321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+--=++-=+++5223122)
(2)(1)1(3
)
(3)(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0
X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⨯-⨯-=-=+--==+⨯+⨯-=3
532123
351515232)2(3)
2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T
第3次迭代，k =2
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⨯-⨯-==+---==+-⨯+-⨯-=1
5)3(2521
3)3(511)3(2)3(2)2(3)
3(2)
3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T
第4次迭代，k =3
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-⨯-==+--==+⨯+⨯-=1
512121
311111212)2(3)2(2)
2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T
例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－
赛德尔迭代法发散。
证明 例2中线性方程组的系数矩阵为
A ＝⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-122111221 于是 D ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 D －1＝D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=022001000L ~ ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=000100220U ~
雅可比迭代矩阵为
B 0＝⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 0
))1(22[2)]1(2)2([2
221
10
2221122B I 30==+-+-+-+=++=-=-λλλλλλλλλλλλλλ
λ
得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。
高斯－赛德尔迭代矩阵为
G ＝－U ~
)L
~D (1-+ ＝－⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2003202200001002201200110010001002201220110011
0)2(2
0032022I 2=-=---=-λλλλλ
λG
解得特征根为1=0，2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。
例5 填空选择题：
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧2=3--3=3+2+20
=+2++21
321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
答案：⎩
⎨
⎧=+--=-5.35.125
.15.03232x x x x
解答 选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：
2x 1+2x 2+3x 3=3，消元得到
⎩
⎨
⎧=+--=-5.35.125
.15.03232x x x x 是应填写的内容。 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧5
=+2+23
=++1
=2-2++321
321321x x x x x x x x x 的迭代格式中)
1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)
答案：)(3)1(13k k x x --+
解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求
x 2的值时应该用上x 1的新值。 第三章典型例题
例1 已知函数y =f (x )的观察数据为
试构造拉格朗日插值多项式P n (x )，并计算f (－1)的近似值。 [只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数
845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=
0)
)(())()(())(()(x x x x x x x l
40
5-4-2+=5-04-02--05-4-2+=
1)
)()(())())((())()(()(x x x x x x x l
24
5-2+-=5-40-42+45-2+=
2)
)(())()(()()()(x x x x x x x l