一元二次方程专题练习(解析版)

专题01 一元二次方程（四大类型）【题型1 判断一元二次方程】【题型2 一元二次方程定义-求含参数取值范围】【题型3 一元二次方程的一般式】【题型4 一元二次方程的解】【题型1 判断一元二次方程】1．（2023春•洞头区期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2C．D．x2﹣xy+4＝0【答案】A【解答】解：A、由原方程，得x2﹣3x﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；B、由原方程，得3x﹣4＝0，未知数x的最高次数是1；故本选项不符合题意；C、由原方程，得x3+3x2﹣2＝0，未知数x的最高次数是3；故本选项不符合题意；D、未知数x的最高次数是3；故本选项错不符合题意；故选：A．2．（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0【答案】C【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，A选项不是整式方程，故A不符合题意；B选项，当a＝0时，不是一元二次方程，故B不符合题意；C选项符合题意；D选项是二元二次方程，故D不符合题意，故选：C．3．（2022秋•武侯区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3＝【答案】B【解答】解：选项A，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；选项B，方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．选项C，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；选项D，方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B．4．（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）A．a＞1B．a＝1C．a≠1D．a≥0【答案】C【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：C．5．（2022秋•颍州区期末）下列方程中，二元二次方程是（ ）A．2x2+3x﹣4＝0B．y2+2x＝0C．y（x2+x）＝2D．【答案】B【解答】解：A、方程中含有一个未知数；故本选项错误；B、方程中含有两个未知数，且未知数的次数是2，符合二元二次方程的定义；故本选项正确；C、由原方程，得yx2+yx＝2，该方程的最高次数是3；故本选项错误；D、由原方程，得y2x﹣3y2+1＝0该方程的最高次数是3；故本选项错误．故选：B．【题型2 一元二次方程定义-求含参数取值范围】6．（2023春•西湖区校级期中）若是关于x的一元二次方程，则m 的值是（ ）A．2B．﹣2C．0D．2或﹣2【答案】D【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，∴m＝2或m＝﹣2，故选：D．7．（2023春•谯城区校级月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m应满足　m≠﹣2　．【答案】m≠﹣2．【解答】解：根据题意，得m+2≠0，解得m≠﹣2．故答案为：m≠﹣2．8．（2023春•环翠区期中）若（m+1）x m（m﹣1）+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　2　．【答案】2．【解答】解：∵（m+1）x m（m﹣1）+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0且m（m﹣1）＝2，解得m＝2，故答案为：2．9．（2022秋•保山期末）如果关于x的方程（m+3）x|m+1|+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值是　1　．【答案】1．【解答】解：由题意知，|m+1|＝2，且m+3≠0．解得m＝1或﹣3且m≠﹣3，∴m＝1．故答案是：1．【题型3 一元二次方程的一般式】10．（2022秋•洪泽区期中）方程x2﹣5x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A．1，5，0B．0，5，0C．0，﹣5，0D．1，﹣5，0【答案】D【解答】解：方程x2﹣5x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣5，0．故选：D．11．（2022秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正确的是（ ）A．2x2﹣7x﹣8＝0B．2x2﹣5x﹣8＝0C．2x2﹣7x+2＝0D．2x2﹣5x+2＝0【答案】B【解答】解：将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式得2x2﹣5x+8＝0．故选：B．12．（2022秋•龙胜县期中）方程x2＝3（2x﹣1）的一般形式（ ）A．x2+6x﹣3＝0B．x2+6x﹣1＝0C．x2﹣6x+1＝0D．x2﹣6x+3＝0【答案】D【解答】解：将方程x2＝3（2x﹣1）转化为一般形式得x2﹣6x+3＝0．故选：D．13．（2022秋•新洲区月考）将一元二次方程2x2﹣3＝x化成一般形式ax2+bx+c＝0后，一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，﹣3B．﹣1，﹣3C．﹣3，﹣1D．﹣3，1【答案】B【解答】解：将一元二次方程2x2﹣3＝x化成一般形式是2x2﹣x﹣3＝0，则一次项系数和常数项分别是﹣1和﹣3．故选：B．14．（2022秋•易县期中）方程2x2﹣3x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A．2、3、1B．2、﹣3、1C．2、3、﹣1D．2、﹣3、﹣1【答案】D【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣1＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣1，故选：D．15．（2022秋•惠东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（ ）A．﹣10B．﹣2C．2D．10【答案】D【解答】解：把x＝2代入可得22+3×2﹣m＝0，解得m＝10，故选：D．16．（2023春•靖西市期中）将一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝12化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中c的值是（ ）A．﹣18B．﹣6C．6D．18【答案】A【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝12，x2+3x﹣2x﹣6﹣12＝0，x2+x﹣18＝0，所以c＝﹣18，故选：A．17．（2023春•崇左月考）把一元二次方程x（x﹣1）＝4（x+1）化为一般形式是　x2﹣5x﹣4＝0　．【答案】x2﹣5x﹣4＝0．【解答】解：x2﹣x＝4x+4，x2﹣5x﹣4＝0，故答案为：x2﹣5x﹣4＝0．18．（2022秋•铜仁市期末）一元二次方程x2+2x＝1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于　2　．【答案】2．【解答】解：x2+2x＝1的一般形式为x2+2x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1，2，﹣1，∴1+2﹣1＝2，故答案为：2．19．（2022秋•双牌县期末）将方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化为一般形式　2x2﹣5x+15＝0　．【答案】2x2﹣5x+15＝0．【解答】解：2x（x﹣1）＝3（x﹣5），去括号，得2x2﹣2x＝3x﹣15，移项，得2x2﹣2x﹣3x+15＝0，合并同类项，得2x2﹣5x+15＝0，故答案为：2x2﹣5x+15＝0．20．（2022秋•颍州区期末）若一个一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，其中一个根为x＝3，则该方程的一般形式为　x2﹣3x＝0　．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣3x＝0．故答案为：x2﹣3x＝0．【题型4 一元二次方程的解】21．（2022秋•光山县期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则m的值是（ ）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，∴1﹣m+3＝0，解得m＝4．故选：C．22．（2022秋•武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】D【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018＝3×1+2018＝3+2018＝2021，故选：D．23．（2023春•西湖区校级期中）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（ ）A．0B．2C．﹣2D．4【答案】B【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣3m＝1，∴2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2×1＝2，故选：B．24．（2022秋•魏都区校级期末）x＝﹣2是关于x的一元二次方程2x2+3ax﹣2a2＝0的一个根，则a的值为（ ）A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4【答案】D【解答】解：∵一元二次方程2x2+3ax﹣2a2＝0有一个根为x＝﹣2，∴2×（﹣2）2+3ax﹣2a2＝0，解得，a＝1或﹣4，故选：D．25．（2023春•温州期中）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个解，则代数式﹣a2﹣2a+8的值为（ ）A．0B．5C．6D．7【答案】D【解答】解：∵a是方程x2+2x﹣1＝0的一个解，∴a2+2a＝1，则﹣a2﹣2a+8＝﹣（a2+2a）+8＝﹣1+8＝7．故选：D．26．（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）A．3B．0C．﹣3D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故选：C．27．（2023•陇南模拟）关于x的一元二次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m 的值为（ ）A．9B．8C．6D．4【答案】C【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，可得：a﹣2＝2，2+m＝4，解得：a＝4，m＝2，所以a+m＝4+2＝6．故选：C．28．（2023•南海区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为（ ）A．4044B．﹣4044C．2024D．﹣2024【答案】A【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，∴a2﹣2a﹣2023＝0，即a2﹣2a＝2023，∴2a2﹣4a﹣2＝2（a2﹣2a）﹣2＝2×2023﹣2＝4046﹣2＝4044．故选：A．29．（2023•桂林一模）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值为（ ）A．6﹣16B．﹣6C．6D．6+16【答案】C【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2﹣4m＝﹣2，∴8m﹣2m2+2＝﹣2（m2﹣4m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝4+2＝6，故选：C．30．（2023•官渡区校级模拟）已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a 的值为（ ）A．﹣2B．2C．﹣4D．﹣4或﹣10【答案】A【解答】解：∵a是方程x2+3x+2＝0的一个根，∴a2+3a+2＝0，∴a2+3a＝﹣2，故选：A．31．（2023•襄州区开学）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2018﹣a+b的值是（ ）A．2013B．2016C．2023D．2021【答案】C【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2018﹣a+b＝2018﹣（a﹣b）＝2018﹣（﹣5）＝2023．故选：C．32．（2022秋•铜梁区校级期末）已知m为一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么2m2+6m的值为（ ）A．﹣4046B．﹣2023C．0D．4046【答案】D【解答】解：∵m为一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的一个根．∴m2+3m＝2023，∴2m2+6m＝2（m2+3m）＝2×2023＝4046．故选：D．33．（2022秋•香洲区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a的值为（ ）A．2B．﹣1C．1D．﹣2【答案】A【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，∴a2﹣2a﹣1＝0，即a2﹣2a＝1，∴2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×1＝2．故选：A．34．（2022秋•雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2017的值为（ ）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】B∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，∴3m2﹣6m+2017＝3（m2﹣2m）+2017＝6+2017＝2023，故选：B．35．（2022秋•朔城区期末）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（ ）A．﹣2023B．﹣2022C．﹣4046D．﹣4044【答案】C【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，∴t2﹣1011t+2023＝0，∴t2﹣1011t＝﹣2023，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣2023）＝﹣4046，故选：C．36．（2022秋•城西区校级期末）若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则2m2+2m+2022的值为（ ）A．2024B．2023C．2022D．2021【答案】A【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴2m2+2m+2022＝2（m2+m）+2022＝2×1+2022＝2024．故选：A．37．（2022秋•孝南区期末）已知a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，则a2+2a﹣1的值是（ ）A．1B．2C．D．【答案】C∴2a2+4a﹣3＝0，整理得，a2+2a＝，∴a2+2a﹣1＝﹣1＝，故选：C．38．（2022秋•武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】D【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018＝3×1+2018＝3+2018＝2021，故选：D．39．（2023春•西湖区校级期中）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为　﹣23　．【答案】﹣23．【解答】解：∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣6＝0，∴a2﹣3a＝6，∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23．故答案为：﹣23．40．（2023春•涡阳县期中）若x＝﹣a是一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根，则2029﹣2a2+2a＝　2023　．【答案】2023．【解答】解：∵x＝﹣a是一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根，∴（﹣a）2﹣a﹣3＝0，∴a2﹣a＝3，∴2029﹣2a2+2a＝2029﹣2（a2﹣a）＝2029﹣2×3＝2023．故答案为：2023．41．（2023春•义乌市校级月考）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为　﹣10　．【答案】﹣10．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，则2a2﹣3a＝5，则﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．故答案为：﹣10．。

一元二次方程一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2． x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=103．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣44．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．55．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，16．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或48．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．29．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= ；如果a+b+c=0，则有一根为．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一元二次方程的定义．【分析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．【解答】解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．2．x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=10【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】给方程左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项．【解答】解：x2﹣6x=1，方程左右两边都加上9得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10．故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程的二次项系数化为1，同时将常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．3．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用因式分解法即可求解．【解答】解：（x﹣1）（x+3）=5，x2+3x﹣x﹣3﹣5=0，x2+2x﹣8=0，（x﹣2）（x+4）=0，解得x1=2，x2=﹣4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【考点】一元二次方程的解．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程解的定义，将x=1代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可．【解答】解：∵关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，∴当x=﹣1时，由原方程，得3+2+m=0，解得m=﹣5；故选A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值．5．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，1【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】先移项，化成一般形式，再得出答案即可．【解答】解：∵﹣x2+3x=1，∴﹣x2+3x﹣1=0，∴x2﹣3x+1=0，∴a=﹣1，b=3，c=﹣1（或a=1，b=﹣3，c=1），【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式的应用，解此题的关键是能把方程化成一般形式．6．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】解x2=0得x1=x2=0；变形3x2=3x得x2﹣x=0，左边分解得到x（x﹣1）=0，则x1=0，x2=1．【解答】解：∵x2=0∴x1=x2=0；∵x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∴x1=0，x2=1．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】先把等式左边分解因式得到（x﹣3y）（x﹣5y）=0，则x﹣3y=0或x﹣5y=0，即可得到x=3y 或x=5y．【解答】解：∵（x﹣3y）（x﹣5y）=0，∴x﹣3y=0或x﹣5y=0，∴x=3y或x=5y．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．8．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【考点】一元二次方程的解；二次根式的性质与化简．【分析】先将x=1代入方程x2﹣ax+1=0，可得关于a的方程，解方程求出a的值，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，∴12﹣a×1+1=0，∴a=2，∴﹣=﹣=a﹣1﹣（3﹣a）=2a﹣4=2×2﹣4=0．故选B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，二次根式的性质与化简，解题关键是将已知的根代入方程，正确求出a的值．9．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先提取公因式，可得（x+1）（x﹣1）=0，继而可求得答案．【解答】解：∵x（x+1）=x+1，∴x（x+1）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．故选C．【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设平均每年降低x，根据经过两年使成本降低75%，可列方程求解．【解答】解：设平均每年降低x，（1﹣x）2=1﹣75%解得x=0.5=50%或x=1.5（舍去）．故平均每年降低50%．故选A．【点评】本题考查理解题意的能力，关键设出降低的百分率，然后根据现在的成本，可列方程求解．二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是 3 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先找出方程的二次项，再找出项的系数即可．【解答】解：方程3x2﹣5x=0的二次项系数是3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，主要考查学生的理解能力．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为5x2﹣26x+5=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】将方程右边的式子移项，并按照x的降幂排列，即可得到一元二次方程的一般形式．【解答】解：5x2+5=26x，移项得：5x2﹣26x+5=0．故答案为：5x2﹣26x+5=0【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，且a≠0）．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= 0 ；如果a+b+c=0，则有一根为 1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】由一元二次方程解的意义把方程的根x=﹣1代入方程，得到a﹣b+c=0；由a+b+c=0，可知a×12+b×1+c=0，故方程ax2+bx+c=0有一根为1．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0得：a﹣b+c=0；如果a+b+c=0，那么a×12+b×1+c=0，所以方程ax2+bx+c=0有一根为1．故答案是：0；1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，属于基础题型，比较简单．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是c=0 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和根与系数的关系解答．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数是a，常数项是c，∴x1•x2=，又∵该方程有一根为零，∴x1•x2==0；∵a≠0，∴c=0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，在解答此题时，利用了根与系数的关系．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ±．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的概念，可得出m2﹣1=2，解得m即可．【解答】解：∵关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=2，解得m=±．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，二次项系数不为0，未知数的最高次数为2．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2﹣4x+1=0，这里a=2，b=﹣4，c=1，∵△=16﹣4×2×1=8，∴x==，∴x1=，x2=；（2）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12，整理，得x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0，[3（x﹣3）+2（x﹣2）][3（x﹣3）﹣2（x﹣2）]=0，（5x﹣13）（x﹣5）=0，解得x1=，x2=5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．【考点】解一元二次方程﹣公式法；配方法的应用．【专题】计算题．【分析】由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右边，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．【解答】解：ax2+bx+c=0（a≠0），方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+=±=±，∴x=．【点评】此题考查了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【专题】规律型．【分析】（1）分别利用因式分解法解各方程；（2）根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【解答】解：（1）x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，…x2+（n﹣1）x﹣n=0，解得x1=1，x2=﹣n；（2）这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】首先设鸡场的长为x米，则宽为米，根据题意可得等量关系：鸡场的长×宽=130平方米，列出方程，解出x的值．【解答】解：设鸡场的长为x米，则宽为米，由题意得：x×=130，解得：x1=25，x2=13，∵墙长15米，25＞15，∴25不合题意舍去，∴x=13，则： =10（米）．答：鸡场的长为13米，则宽为10米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，此题根据鸡场的面积列出方程即可．。

专题02 解一元二次方程（四大类型）【题型1 解一元二次方程-直接开平方】【题型2 解一元二次方程-配方法】【题型3 解一元二次方程-公式法】【题型4 解一元二次方程-因式分解法】【题型1 解一元二次方程-直接开平方】1．（2022春•顺义区期末）方程2x2﹣8＝0的根是（ ）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【答案】C【解答】解：2x2﹣8＝0则x2＝4，解得：x1＝2，x2＝﹣2．故选：C．2．（2022秋•丰台区期末）一元二次方程x2﹣4＝0的实数根为 ．【答案】x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣4＝0，x2＝4，解得x1＝2，x2＝﹣2．故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．3.（2023春•抚顺月考）解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣9；（2）x1＝，x2＝﹣．x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．4.（2022秋•清新区期中）解方程：（x﹣5）2﹣36＝0．【解答】解：∵（x﹣5）2﹣36＝0，∴（x﹣5）2＝36，∴x﹣5＝±6，∴x1＝11，x2＝﹣1．5.（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25．【答案】x1＝﹣11，x2＝9．【解答】解：，∴（x+1）2＝100，x+1＝±10，∴x1＝﹣11，x2＝9．6.（2022秋•嘉定区月考）解方程：．【解答】解：，（2x﹣2）2＝48，2x﹣2＝±4，x＝1±2，7．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）x2﹣3＝5．（2）x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，∴（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣3＝5，∴x2＝8，∴x＝，∴x1＝2，x2＝﹣2．8．（2022春•莱州市期末）解方程：9（x+1）2﹣25＝0．【答案】x1＝﹣，x2＝．【解答】解：9（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝，x+1＝，x＝﹣1，∴x1＝﹣，x2＝．9．（2022•建华区二模）解方程：（x﹣2）2+＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2＝﹣，（x﹣2）2＝，x﹣2＝±，所以x1＝，x2＝．10．（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程：（1）9x2＝25；（2）6（x+2）2＝48．【答案】（1）或；（2）或．【解答】解：（1）∵9x2＝25，∴，解得：或．（2）∵6（x+2）2＝48，∴（x+2）2＝8，∴，解得：或．11．（2022秋•嘉定区校级月考）解方程：3（x﹣1）2+1＝16．【答案】x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：3（x﹣1）2+1＝16，3（x﹣1）2＝15，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±解得：x1＝1+，x2＝1﹣．12．（2022秋•南海区期中）用适当方法解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0．【答案】x1＝4，x2＝﹣2．【解答】解：2（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2．13．（2021秋•连平县校级期末）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．【解答】解：16（2﹣x）2﹣9＝0移项得：16（2﹣x）2＝9，去系数得：，直接开平方得：，即或，解得：，．14．（2022秋•东台市月考）解方程：4x2﹣121＝0【答案】x1＝﹣，x2＝．【解答】解：4x2﹣121＝0，x2＝，x＝±，所以x1＝﹣，x2＝．15．（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【答案】x1＝8，x2＝．【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，∴2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2＝．16．（2021秋•浦东新区校级月考）解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．【答案】x＝﹣11或x＝﹣．【解答】解：两边直接开平方，得：3（x﹣1）＝±4（x+2），即3x﹣3＝4x+8或3x﹣3＝﹣4x﹣8，解得：x＝﹣11或x＝﹣．【题型2 解一元二次方程-配方法】17.（2022秋•滨城区校级期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，∴（x﹣1）2＝6．故选：B．18.（2022秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴k＝4，故选：D．19.（2022秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）A．﹣3，3B．﹣3，15C．3，3D．3，15【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣6，配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，∴a＝﹣3，b＝3．故选：A．20．（2022秋•海口期末）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣9＝0，配方后所得的方程是（ ）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x+4）2＝13D．（x+4）2＝25【答案】D【解答】解：x2+8x﹣9＝0，∴x2+8x+16＝9+16，∴（x+4）2＝25．故选：D21.（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【答案】x1＝﹣9，x2＝﹣3．【解答】解：x2+12x+27＝0，x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣9，x2＝﹣3．22.（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0（用配方法）【答案】x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，∴3x2+4x＝1，则x2+x＝，∴x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣23．用配方法解方程：x2+2x﹣2＝0．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【解答】解：x2+2x﹣2＝0，原方程化为：x2+2x＝2，配方，得x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，开方，得x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．24．用配方法解方程：x2+10＝8x﹣1．【答案】，．【解答】解：∵x2+10＝8x﹣1，∴x2﹣8x+11＝0，∴x2﹣8x+16﹣16+11＝0，∴（x﹣4）2＝5，∴x﹣4＝，∴，．25．用配方法解方程：．【答案】x1＝3+，x2＝﹣3+．【解答】解：∵，∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x﹣）2＝9，∴x﹣＝3或x﹣＝﹣3，∴x1＝3+，x2＝﹣3+．26．用配方法解方程：．【答案】．【解答】解：，移项得：x2+x＝，配方得：，即，开方得：，解得：．27．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【答案】x1＝+4，x2＝﹣+4．【解答】解：x2﹣8x+13＝0，移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．28．（2022秋•南关区校级期末）解方程：x2﹣4x+3＝2．【答案】x1＝2﹣，x2＝2+．【解答】解：x2﹣4x+3＝2，方程整理得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2﹣，x2＝2+．29．（2022秋•陈仓区期中）用配方法解方程：2x2+6x＝3．【答案】，．【解答】解：2x2+6x＝3，二次项系数化为1得，2（x2+3x）＝3，配方得：，即：，∴，∴，．30．（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0．（用配方法）【答案】x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，∴3x2+4x＝1，则x2+x＝，∴x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．31．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣14x＝8（配方法）．【答案】x1＝7+，x2＝7﹣．【解答】解：x2﹣14x＝8，x2﹣14x+72＝8+72，（x﹣7）2＝57，x﹣7＝±，x1＝7+，x2＝7﹣．32．（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【答案】x1＝﹣9，x2＝﹣3．【解答】解：x2+12x+27＝0，x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣9，x2＝﹣3．【题型3 解一元二次方程-公式法】33．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（ ）A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2【答案】C【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，∴3x2﹣4x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，故选：C．34．（2022秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时a，b，c的值是（ ）A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4B．a＝5，b＝﹣4，c＝1C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1D．a＝5，b＝4，c＝1【答案】C【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0，∴5x2﹣4x﹣1＝0，则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，故选：C．35．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是从第　一　步开始出错．【答案】一．【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．故答案为：一．36．用公式法解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【答案】x1＝+2，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0，这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝16＞0，∴x＝＝＝±2，∴x1＝+2，x2＝﹣2．37．用公式法解方程：2x2+4＝7x．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：2x2+4＝7x整理为2x2﹣7x+4＝0，这里：a＝2，b＝﹣7，c＝4，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝49﹣32＝17＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．38．用公式法解方程：2x2+4x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝【解答】解：这里a＝2，b＝4，c＝﹣3，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．39．用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．【答案】．【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴，∴．40．用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1【答案】x1＝﹣，x2＝1．【解答】解：这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，∴x＝＝，解得：x1＝﹣，x2＝1．41．用公式法解方程：x2﹣x﹣6＝0．【答案】1＝3，x2＝﹣2．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，∴，即x1＝3，x2＝﹣2．42．（2022秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．43．（2022秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【答案】，．【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），化简为x2﹣6x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，∴，∴，．44.用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1【答案】（1）x1＝，x2＝（2）没有实数解【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）6x（x+1）＝5x﹣1，整理得6x2+x+1＝0，∵a＝6，b＝1，c＝1，∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，方程没有实数解．45.（2022秋•潮安区期中）解方程：2x2﹣7x+3＝0（公式法）．【解答】解：2x2﹣7x+3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝3，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，∴x＝＝，∴x1＝3，x2＝．46.（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．【答案】x1＝1，x2＝﹣．【解答】解：5x2+2x﹣7＝0，∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝1，x2＝﹣．47.用公式法解下列方程：x2+4x+8＝2x+10【答案】，；【解答】解：（1）x2+4x+8＝2x+10，整理，得x2+2x﹣2＝0，∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴，∴，；48．（2022秋•成县期中）公式法解方程：2x2﹣x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣．【解答】解：∵Δ＝（﹣）2+24＝3+24＝27＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝＝﹣．49．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣7x﹣18＝0（公式法）．【答案】x1＝9，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣7x﹣18＝0，∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）＝121＞0，∴x＝，＝，∴x1＝9，x2＝﹣2．50．（2022秋•前郭县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）＝1+28＝29＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．【题型4 解一元二次方程-因式分解法】51．（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0D．x1＝2，x2＝﹣1【答案】B【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故选：B．52．（2022秋•文山市期末）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（ ）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3【答案】C【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故选：C．53．（2023•泸县一模）方程x2＝3x的解为（ ）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【答案】D【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．54．（2023•武清区校级模拟）解一元二次方程x2﹣2x﹣15＝0，结果正确的是（ ）A．x1＝﹣5，x2＝3B．x1＝5，x2＝3C．x1＝﹣5，x2＝﹣3D．x1＝5，x2＝﹣3【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0x﹣5＝0，x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3，故选：D．55．（2023春•靖西市期中）解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（ ）A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法【答案】D【解答】解：（此题用分解因式法最适当）移项得，2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，∴（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴x1＝，x2＝．故选：D．56．（2023春•萧山区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x+1＝0；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）．【答案】（1）x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）x1＝，x2＝4．【解答】解：（1）x2﹣6x+1＝0，x2﹣6x＝﹣1，x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，∴x1＝，x2＝4．57.用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【解答】解：（1）x2﹣x﹣56＝0，∴（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，∴x1＝8；x2＝﹣7；（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），移项，得3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝2；x2＝．58．（2023春•海曙区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2＝5．【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5．59．（2023•九龙坡区校级自主招生）解方程．（1）3x（x+1）＝2（x+1）；（2）2x2﹣3x﹣5＝0．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝；（2）x1＝﹣1，x2＝．【解答】解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0，则（x+1）（3x﹣2）＝0，∴x+1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝；（2）∵2x2﹣3x﹣5＝0，∴（x+1）（2x﹣5）＝0，∴x+1＝0或2x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝．60．（2023春•海曙区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2＝5．【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5．61．（2022秋•江都区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．【答案】（1），；（2）x1＝﹣3，x2＝﹣4．【解答】解：（1）由原方程得：x2﹣4x＝4，得x2﹣4x+4＝4+4，得（x﹣2）2＝8，得，解得，，所以，原方程的解为，；（2）由原方程得：x（x+4）+3（x+4）＝0，得（x+4）（x+3）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣4，所以，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4．62．（2022秋•盘龙区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝2，x2＝．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x＝3，x2﹣4x+4＝7，（x﹣2）2＝7，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，x﹣2＝0或3x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝．63．（2022秋•兴平市期末）解方程：（x﹣4）2＝2（x﹣4）．【答案】x1＝4，x2＝6．【解答】解：（x﹣4）2＝2（x﹣4），（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0，（x﹣4）（x﹣6）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣6＝0，∴x1＝4，x2＝6．。

一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能： 一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④5232=+x x ⑤ 412=+x x⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。

⑧⑦ ◆答案：⑤④③①,,,◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 ①含有一个未知数；②未知数的最高次数是③;2整式方程．若同时符合这三个条件的就是一元次方程，否则缺一不可．其中方程②含两个未知数,不符合条件①;方程⑥不是整式方程，lil 不符合条件③；方程⑦中未知数的最高次数是3次,不符合条件②；方程⑧经过整理后;次项消掉，也不符合条件②． 2．已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a◆答案：5-=/◆解析：方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数 的最高次数是2，因此，二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．◆答案：2±◆解析：方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于2的一元二次方程，则二次项系数.042=-k 故.2±=k4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·◆答案：直接开平方法；配方法；公式法;因式分解法 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ．◆答案：◆解析：此题不可漏掉042≥-ac b 的条件．6．（2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ．◆答案：3.1-◆解析：.4)1(,412,032222=-=+-=--x x x x x 所以.3,121=-=x x7．不解方程,判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ．◆答案：有两个不相等的实数根◆解析：原方程化为,02)26(32=++-x x,04864348234)]26([422>-=-=⨯-+-=-ac b．‘．原方程有两个不相等的实数根．8．(2004·锦州市）若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 ．◆答案：425≤k ◆解析：‘．．方程有实根，⋅≤∴≥-=-∴425,045422k k ac b 9．已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．◆答案:43≥◆解析：.．‘方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．⋅≥∴≥-=-+-++=--+=-∴43,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．◆答案:无实根 ◆解析:,)2(4)44(4162044)4)(1(4)2(422242422222+-=++-=---=++--=-k k k k k k k k k ac b∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k 原方程无实根． 二、选择题：11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立,则a 的值为（ ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2◆答案:C◆解析：,341441)2(222++=-++=-+x x x x x a 的值使得,3,341)2(4222=∴++=-+=++a x x x a x x 故C 正确．12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ）3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D◆答案：C ◆解析:方程x x 332-=-化为.0332=-+x x 故.3.3.1-===c b a 故C 正确． 13．方程02=+x x 的解是( )x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D◆答案：C◆解析:运用因式分解法得,0)1(=+x x 故.1,021-==x x 故C 正确．14．（2006·广安市)关于X 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k ◆答案：D◆解析：由题意知⎩⎨⎧>+=/.044,0k k 解得1->k 且.0=/k15．(2006·广州市）一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为（ )3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D◆答案：C16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法，②④用公式法,③用因式分解法 ①.D 用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 ◆答案:D17．(2004·云南省）用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为（ ）9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D ◆答案：B18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( ）2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k◆答案:B◆解析:‘．‘方程有两个不相等的实根4)2(4,22--=-∴ac b(1,048)1()>-=-⨯-k k 2<∴k 且,1=/k 故B 正确．19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( ）09124.2=++x x A 032.2=-+x x B 02.2=++x x C 072.2=-+x x D ◆答案：A◆解析:只有A 的判别式的值为零，故A 正确．20．(2004·大连市）一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根 ◆答案:D◆解析：∴<-=⨯-=-,012442422ac b 方程没有实数根，故D 正确 21．下列命题正确的是( )x x A =22.。

一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、（x+5）2=166、2(2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =648、5x 2 — 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x （x+2)=5（x+2)11、(1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=014、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x2－4x－3 =0 20、-x2-x+12 =0 21、x2－6x+9 =022、22-=-23、x2—2x-4=0 24、x2—3=4xx x(32)(23)25、3x 2＋8 x－3＝0（配方法) 26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋14 27、（x+1)（x+8)=-1228、2（x－3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x－24＝0 30、(2x-1）2 +3（2x—1)+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x —5）2=x （5-x ） 33、（x ＋2） 2＝8x34、(x －2) 2＝（2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x —3）2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2—23x+3=0 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x —3）2=2524)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1）=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 （x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x-2x x（x＋1）－5x＝0. 3x(x－3) ＝2（x－1) （x＋1）。

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意； 故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥， 解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠． 故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=， 解得：121725%,44x x ===（舍去）； 故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=， 可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =； 故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =， 解得4c =． 故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意； 故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>， 解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−． 故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=， 故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =， 故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可． 【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==， 而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=， 故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=， 解得：14m =． 故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =． 故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为 ． 【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解． 【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=， 即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =， 故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ． 【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=， 解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =， 故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）； 故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为 ． 【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为 ． 【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>， 而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−， 解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−， 解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为 ． 【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可． 【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=， 则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为 ． 【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可． 【详解】解： 方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−． 故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是 ． 【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案． 【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =， 当1y =时，6214x =−×=， 当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=， 前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ， 那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ； 故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能， 理由如下：由题意得()115002n n +=， 得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500； 故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ， 由题意得()1420n n +=， 得24200n n +−=，即()()21200n n +−=， 解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值． 【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=； （3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ， 故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=； （3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=， 解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=， 当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去； 当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+． 【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>， 解得：3m >； （2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值． 【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）； 当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）； 当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

专题2.1 一元二次方程根与系数的关系【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；（2）a为何值时，方程只有一个正根．（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(−a)2−4(a2−4)>0，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可；（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16＞0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解由①②③组成的不等式组得，2＜a故当2＜a（2）Ⅰ当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16=0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解①得：a=当②、③，而a=②，故舍去，故当Ⅱ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个负根，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：a 解②得：-2＜a ＜2，即−2<a <2Ⅲ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个0，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a ＞0③解①得：a 解②得： a=±2，由③a ＞0即a=2综上所述：−2<a ≤21．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（ ）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【解题过程】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得−27<a<25，又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，∵x1+x2=−a2a，x1x2=9，即9+1<0，解得−211<a<0，综上所述，a的取值范围为：−211<a<0.故选D．2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4−(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．−34C．−1D．−54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，进而推出x13 =3px1+2x1−2px12，则x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=−2p，x12+x22=(x1+x2)2−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，x1x2=−3p−2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1−2px12，∴x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，∵x12＋x13=4−(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1−2px12+x12+3px2+2x2−2px22+x22=4，∴(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)(−2p)2−2(−3p−2)=4，∴−6p2−4p+(1−2p)4p2+6p+4=4，∴−6p2−4p+4p2+6p+4−2p4p2+6p+4=4，∴−2p2+2p−2p4p2+6p+4=0，∴−2p4p2+6p+4+p−1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=−1，p3=−34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p1+p3=−34∴符合题意，故选B．3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(m−1)2+(n−1)2≥2；③−1≤2m−2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【思路点拨】设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．【解题过程】解：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D．4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为a n,b n(n≥2)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=__________．【思路点拨】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=−12n(n1)=−12(1n−1n1)，然后代入即可求解．【解题过程】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=12n(n1)=−12(1n−1n1)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=−12[(12−13)+(13−14)+…+(12021−12022)]=−12×(12−12022)=−12×10102022=−5052022．故答案为：−5052022．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x−m24=0两个实根x1,x2满足|x1|=|x2|+3，则m的值为_______．【思路点拨】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到x1+x2=m−2，x1•x2=−m24≤0，结合|x1 |−|x2|=3，通过变形求值，即可求出m的值.【解题过程】解：在方程x2−(m−2)x−m24=0中，有Δ=[−(m−2)]2−4×1×(−m24)=2m2−4m+4=2(m−1)2+2>0，∴原方程有两个不相等的实数根；根据根与系数的关系，有：x1+x2=−−(m−2)1=m−2，x1•x2=−m241=−m24≤0，∵|x1|=|x2|+3，∴|x 1|−|x 2|=3，∴x 21−2|x 1•x 2|+x 22=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2−2|x 1•x 2|=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2+2x 1•x 2=9，∴(m−2)2=9，解得：m 1=5，m 2=−1；故答案为：5或−1.6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1，x 2，且a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，设d =|x 1−x 2|，则d 的取值范围为_____．【思路点拨】先根据一元二次方程根与系数的关系求出d 2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．【解题过程】解：∵实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1、x 2，∴x 1+x 2＝﹣2b a ，x 1·x 2＝c a ，∴d 2＝|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1·x 2＝（﹣2b a ）2﹣4c a＝−﹣4c a −4ac a 2＝4[（c a ）2+c a +1]＝4[（c a +12）2+34]，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，a ＞﹣a ﹣c ＞c ，解得：﹣2＜c a ＜﹣12，∵y ＝4[（c a +12）2+34]的对称轴为：c a ＝﹣12，∴当﹣2＜ca ＜﹣12时，y随ca增大而减小，∴3＜d2＜12，<d<d<7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+2b3c4a=____________【思路点拨】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0，得：kx2−9kx+18k=0；对于乙：设+=0，得：px2−6px−12p=0，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为px2−6px+12p=0，求代数式的值即可.【解题过程】解：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0得：kx2−9kx+18k=0对于乙：设+=0得：px2−6px−12p=0分情况讨论：①若乙看错了二次项系数的符号，那么−9k=−6p18k=−12p解得：k=p=0，不符合题意，舍去②若乙看错了常数项的符号，那么−9k=−6p18k−12p=0解得：p=32k则a=p,b=−6p,c=12p2b3c 4a =−12p36p4p=6③若乙看错了一次项项的符号，那么−9k=6p18k=−12p解得：p=−32k则a=p,b=6p,c=−12p2b+3c4a =12p−36p4p=−6故答案为±68．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝______，ax1+x1x2+ax2的最大值是______．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=a−2a，进而得出ax1+x1x2+ax2=−2a+1，设a+1a=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2−2=0，∴a(x+1)2−2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x1+x2=−2，x1x2=a−2a，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=−2a+a−2a=−2a+1，∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2−4ac=(2a)2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2−4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=−2a+1≤−3．故答案为：4，-3．9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．【思路点拨】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解题过程】解：①解方程x2−x−2=0，得x1=2，x2=−1，∵x1≠2x2，∴方程x2−x−2=0不是“倍根方程”．故①不正确；②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1=2，因此x2=1或x2=4．当x2=1时，m+n=0，当x2=4时，4m+n=0，∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0，故②正确；③∵pq=2，∴px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，∴x1=−1p，x2=−q，∴x2=−q=−2p=2x1，因此px2+3x+q=0是“倍根方程”，故③正确；④方程ax2+bx+c=0的根为x1=2若x1=2x2×2，2=0，=0，∴b+=0，∴=−b，∴9(b2−4ac)=b2，∴2b2=9ac，若2x1=x22==0，∴−b+=0，∴b=∴b2=9(b2−4ac)，∴2b2=9ac．故④正确，故答案为：②③④．10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使1x1−1x2＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2,即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【解题过程】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞−13且k ≠0（2）存在，且k =7±∵x 1+x 2=2(k 1)k ,x 1x 2=k−1k,又有1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2=1,∴x 2−x 1=x 1x 2,∴x 22−2x 1x 2+x 21=x 21x 22,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1x 2)2,∴2−4k−4k =(k−1k)2, ∴(2k +2)2−k(4k−4)=(k−1)2, ∴k 2−14k−3=0, ∵a =1,b =−14,c =−3, ∴Δ=b 2−4ac =208,∴k =7±∵ k ＞−13且k ≠0，∵≈−0.21＞−13, 7+−13.∴满足条件的k 值存在，且k =7±．11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x 2+4x +1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x 3+y 3=(x +y)x 2+y 2−xy ．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)2的值，进而求得|α−β|的值．（2）+α最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x 2+4x +1=0的两根是α、β∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)2=(α+β)2−4αβ=12∴|α−β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2−2αβαβ+2=16，4（负值舍去）；（3+=(1α+1β+−===−1=−52==1所以新的一元二次方程x 2+52x +1=0．12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x 的方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0有实数根．（1）求k 的取值范围．（2）若x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，问：是否存在实数k ，使其满足(k−1)x 21+2k x 2+k +2=4x 1x 2，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；（2）根据已知得出(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0①，x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2x 2=2kk−1−x 1，求出(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1②，把①代入②得出4k 2k−1=4⋅k 2k−1，最后求出k 即可.【解题过程】解：（1）当k−1=0即k =1时，方程−2x +3=0，x =32，即方程有实数根，当k−1≠0时，Δ=(−2k)2−4⋅(k−1)⋅(k +2)≥0，方程有实数根，即k ≤2，综合上述：k 的取值范围是k ≤2．（2）∵x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，∴(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0，①x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2=∴x 2=2kk−1−x 1，∵(k−1)x 21+2kx 2+k +2=4x 1x 2，∴(k−1)x 21+1+k +2=4⋅k 2k−1，∴(k−1)x 21+4k 2k−1−2kx 1+k +2=4⋅k 2k−1，即：(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1，②把①代入②得：4k 2k−1=4⋅k 2k−1，k 2−k−2=0，k =2，k =−1，由（1）可知k 需满足：k ≤2且k ≠1，∴k =2或−1．13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x 的一元二次方程x 2−2x−a 2−a =0(a >0)．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a =1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1,α2和β2,α3和β3，…，α2019和β2019,α2020和β2020，+1α2+1α3+…+1α2019+1β2+1β3+…+1β2019的值．【思路点拨】（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，代入(α1−2)(β1−2)，=α1β1−2(α1+β1)+4，求出其结果是−a 2−a ，求出−a 2−a <0即可；（2）得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a =−a(a +1)，把(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)112233+20202020−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)，推出−2×(1−12021)，求出即可．【解题过程】解：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，则α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，∴(α1−2)(β1−2)=α1β1−2(α1+β1)+4=−a 2−a−2×2+4=−a 2−a ，∵a >0，∴−a 2−a <0，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）∵α1+β1=2，α1·β1=−a2−a=−a(a+1)∵对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2019和β2019，α2020和β2020，∴(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)=1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+…+1α2019+1β2019+1α2020+1β2020=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+…+α2020+β2020α2020β2020=2−1×2+2−2×3+2−3×4+…+2−2020×2021=−2×(11×2+12×3+13×4+…+12020×2021)=−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)=−2×(1−1 2021)=−40402021．14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x1,x2分别满足以下条件，求出实数a 的对应范围．（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）x1x2=3．【思路点拨】（1）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，可列不等式组∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x1+x2=−2a>0②x1x2=6−a>0③，再解不等式组即可；（2）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，可得(x1−1)(x2−1)>0,即x1x2−(x1+x2)+1>0,再结合根与系数的关系列不等式，结合△≥0，从而可得答案；（3）由x1x2=3可得x1=3x2,结合x1+x2=−2a,求解x1,x2,再利用x1x2=6−a,再解方程求解a的值，再检验即可.【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x 1+x 2=−2a >0②x 1x 2=6−a >0③由①得：a 2+a−6≥0, 解得：a ≥2或a ≤−3, 由②得：a <0, 由③得：a <6,所以a 的取值范围为：a ≤−3；（2）解： 由（1）得：a ≤−3,一元二次方程x 2+2ax +6−a =0两个均大于1，∴(x 1−1)(x 2−1)>0, 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1>0, 而x 1+x 2=−2a,x 1x 2=6−a, ∴6−a +2a +1>0, 解得：a >−7, 综上−7<a ≤−3（3）解：∵ x 1x 2=3，则x 1=3x 2, ∵x 1+x 2=−2a, 解得：x 1=−32a,x 2=−12a, ∵x 1x 2=6−a, ∴34a 2=6−a,整理得：3a 2+4a−24=0,∴a ==∵ a ≥2或a ≤−3,经检验：a =a =.15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）若x 21+x 22=2，求m 的值；（2）令T ＝mx 11−x 1＋mx 21−x 2，求T 的取值范围．【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解：（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值为1；（2）T＝mx11−x1＋mx21−x2，=mx1(1−x2)mx2(1−x1)(1−x1)(1−x2)12)121−42m3=−2m(m−1)2m2−m=−2m(m−1)2m(m−1)=2-2m．∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴−1≤m<1且m≠0∴0<2-2m≤4且T≠2．即0<T≤4且T≠2．16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)．（1）求证：方程有两个实数根；（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1<x2），若y是m的函数，且y=x1−1x2，求这个函数的解析式．（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整数，a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值．【思路点拨】（1）利用Δ求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；（2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式；（3）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程x2+4x+3−b=0的两个根，利用根与系数的关系得到a+a+b=−4，即a=−4b4，代入代数式化简即可求出答案．【解题过程】（1）解：∵由题意可知Δ=(3m+1)2−4m×3=9m2−6m+1=(3m−1)2≥0，∴方程有两个实数根；（2）mx2+(3m+1)x+3=0解：由（1）可知，方程有两个实数根，∴x<0)，∴x=−3m−1±(1−3m)2m，∵x1<x2，∴x1=−3，x2=−1m，∴y=x1−1x2=−3−1−1m=−3+m,(m<0)．∴y=−3+m,(m<0)．（3）解：∵a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．∴a+a+b=2a+b=−3m1m =−3−1m，a(a+b)=3m，∵a与b是整数，∴1m 与3m同为整数，∵m是正整数，∴m=1，∴方程为x2+4x+3=0，∴a+a+b=2a+b=−4，∴a=−4−b2，将a=−4−b2代入4a2+12ab+5b2+16b+8原式=4×++5b2+16b+8=16+8b+b2−24b−6b2+5b2+16b+8=24．17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0可有x m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[−(m−1)]2−4m×2=m2−10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=−−(m−1)m =m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，∵m−1m =1−1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0，m−1m =−1−1−1=2，为整数，符合题意；∴m的值为−1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2−10m+1为完全平方数，设m2−10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n−k)=24，∴k+n=12n−k=2或k+n=6n−k=4或k+n=8n−k=3或k+n=24n−k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=112（不合题意，舍去）或k=232n=252（不合题意，舍去）∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=−10，x2=−3，因−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =−1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x1=−7，x2=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=−k72，x1x2x1+x2+x1x2=−1，即可求出k1=2，k2=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x2+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x1=−7，x2=−2．∵−7<−2，3<−7−2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x1、x2，∴x1+x2=−k72，x1x2=．∵x1+x2+x1x2=−1，∴=−1，解得：k1=2，k2=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，∴x1=−72，x2=−1，∴x1<x2<0，3<x1x2=72<4，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x2+6x+4=0，∴x1=−2，x2=−1，∴x1<x2<0，x1x2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x1=−1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<−1m<4，解得：−13<m<−14；②当m<−1时，∴x1=m，x2=−1，∵3<x1x2<4，∴3<m−1<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−13<m<−14或−4<m<−3．19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．（1）求k的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；（3）当方程②有两个实数根x1，x2满足(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，且k为正整数，试判断m2≤4是否成立？并说明理由．【思路点拨】（1）将k当作已知数解出方程2(x−k)=x−4的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即k −1≠0，解得k≠1，即可求出k的取值范围；（2）根据k−m=2，2k−n=6可得m=k−2，n=2k−6，代入方程②，可得(k−1)x2+2(k−2)x+(3−k)+2k−6=0，可得x1=−1+2k−1，x2=−1，由于②的解为负整数且k为整数，所以k−1=−1或k−1=−2，可得k=0或−1，即可求出整数m的值；（3）方法1：由（1）可知k≤2且k≠1，且k为正整数，可知k=2，所以方程②为x2+2mx+1+n=0，因为方程②有两个实数根x1，x2，所以Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，由Δ≥0可求出m2≥n+1，将x1+x2=−2 m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4；方法2：先得出k=2，m2≥n+1，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，根据x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n求出(x1−x2)2=4(m2−1−n)，可得x1−x2x1−x2x1−x2=−2x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程2(x−k)=x−4的解为x=2k−4，且该方程的解为非正数，∴2k−4≤0，解得k≤2，又∵关于x 的方程(k−1)x 2+2mx +(3−k )+n =0是一元二次方程，∴k−1≠0，k−1≠0，解得k≠1，综上所述，k 的取值范围是k≤2且k≠1．（2）解：由（1）可知k≤2且k≠1，∵k−m =2，2k−n =6，∴m =k−2，n =2k−6，∴方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，即(k−1)x 2+2(k−2)x +k−3=0，[(k−1)x +(k−3)](x +1)=0，解得：x 1=3−kk−1=−(k−1)2k−1=−1+2k−1，x 2=−1，∵方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，方程②的解为负整数，∴k−1=−1或k−1=−2，∴k =0或−1，当k =0时，m =k−2=0−2=−2，当k =−1时，m =k−2=−1−2=−3，∴m 的值为−2或−3．（3）解：方法1：m 2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k 为正整数，∴k =2，∴方程②为x 2+2mx +1+n =0，∵方程②有两个实数根x 1，x 2，∴Δ≥0，x 1+x 2=−2m ，x 1⋅x 2=1+n ，∴(2m )2−4×1×(1+n )≥0，∴m 2≥n +1（*）∵(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5，∴−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5即−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2)+2m 2=n +5，即2m 2=n +5，即n =2m 2−5代入（*）∴m2≥2m2−5+1∴m2≤4；方法2：m2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k为正整数，∴k=2，∴方程②为x2+2mx+1+n=0，∵方程②有两个实数根x1，x2，∴Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，∴(2m)2−4×1×(1+n)≥0，∴m2≥n+1，∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2=(−2m)2−4(1+n)=4(m2−1−n)，∴x1−x2∵(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5∴当x1−x2(−2m)⋅m2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；当x1−x2=1种情况扣1分）(−2m)⋅−2m−2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；综上所述，m2≤4成立．20．（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知关于x的方程|x2+2px−3p2+5|−q=0．其中p，q都是实数．（1）若q=0时方程有两个不同的实数根x1，x2，且1x1+1x2=843．求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且1x1+1x2+1x3=0．求实数p和q的值．（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（2）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，一个有两个不相等实数根，一个有两个相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（3）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，都有两个不相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，质数的性质，分类转化为一元二次方程求解即可．【解题过程】解：（1）当q=0时，方程为x2+2px−3p2+5=0，∴由Δ>0得p2>54，∵方程有两个不同的实数根x1，x2，∴x1+x2=−2p，x1x2=5−3p2，∵1 x1+1x2=843，∴x1x2x1x2=843，∴−2p 5−3p2=843，整理，得12p2−43p−20=0，解得：p=4，p=−512舍去，故P=4．（2）原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意可知q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q=0，∴x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px+p2=0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3=−p，∵1 x1+1x2+1x3=0，12−1x3，∴−2p−3p25−q =−1−p，整理，得p2=5−q，∵4p2−5−q=0，解得q=3，p=±（3）同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3，原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意及q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q＞0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3+x4=−2p，x3x4=−3p2+5+q，∵x1x2x3x4=，∴3p2−5+q3p2−5−q=3p4，∵q>0，p为质数，∴3p2−5+q>3p2−5−q，且3p2−5+q>p2，又3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2，∴3p2−5+q=3p43p2−5−q=1，此时Δ1=36−4×3×11＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p33p2−5−q=p，此时3p3−6p2+p+10=0，∴3p2(p−2)+p+10=0，∵q>0，p为质数，∴3p2(p−2)+p+10＞0，此时方程组无解；3p2−5+q=p33p2−5−q=3p，此时p3−6p2+3p+10=0，(p−2)(p2−3p−5)=0，∴p=2或p=5或p=-1(舍去)；当p=2时，q=1；当p=5时，q=55；3p2−5+q=p43p2−5−q=3，此时Δ4=36−4×13×1＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p23p2−5−q=p2，解得pq或p=q=，∵p是质数，∴不符合题意；综上所述，p=2，q=1或p=5，q=55．。

专题07 一元二次方程一．选择题1. 关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ） A. 13 B. 23 C. 1 D. 13- 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，设另一根为2x ，则223x x +=， 213x ∴=-， 213xx ∴=-， 故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．2. 方程2430x x ++=的两个根为（ ）A. 121,3x x ==B. 121,3x x =-=C. 121,3x x ==-D. 121,3x x =-=-【答案】D【解析】【分析】将243x x ++进行因式分解，243=(1)(3)x x x x ++++，计算出答案．【详解】∵243=(1)(3)x x x x ++++∴(1)(3)=0x x ++∴1213x x =-=-，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．3. 下列一元二次方程有实数解的是（ ）A. 2x 2﹣x +1＝0B. x 2﹣2x +2＝0C. x 2+3x ﹣2＝0D. x 2+2＝0 【答案】C【解析】【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A 选项中，224(1)42170b ac =-=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根； B 选项中，2(2)41240=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根；C 选项中，2341(2)170=-⋅⋅-=>△，故方程有两个不相等的实数根；D 选项中，80=-<△，故方程无实数根；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．4. 用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ）A. ()213x +=B. ()216x +=C. ()213x -=D. ()216x -= 【答案】C【解析】【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x 2-2x =2，x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5. 若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A. 36B. 36-C. 9D. 9- 【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到2640c ∆=-=，然后解关于c 的一次方程即可．【详解】解：∵方程260x x c ++=有两个相等的实数根∵26410c ∆=-⨯⨯=解得9c =故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的跟与24b ac ∆=-的关系，关键是分清楚以下三种情况：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根． 6. 已知m 为方程2320220x x +-=的根，那么32220252022m m m +-+的值为（ ）A. 2022-B. 0C. 2022D. 4044 【答案】B【解析】【分析】根据题意有2320220m m +-=，即有32320220m m m +-=，据此即可作答．【详解】∵m 为2320220x x +-=的根据，∴2320220m m +-=，且m ≠0，∴32320220m m m +-=，则有原式=322(32022)(32022)000m m m m m +--+-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m 为2320220x x +-=得到2320220m m +-=是解答本题的关键．7. 已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ）A. 0，4B. 1，5C. 1，－5D. －1，5【答案】D【解析】【分析】根据抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =可求出m 的值，然后解方程即可． 【详解】抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，221m ∴-=⨯， 解得4m =-，∴关于x 的方程25x mx +=为2450x x --=，(5)(1)0x x ∴-+=，解得125,1x x ==-，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A. 2625(1)400x -=B. 2400(1)625x +=C. 2625400x =D. 2400625x =【答案】B【解析】【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x ）棵，第三年植树400（1+x ）²棵，再根据题意列出方程即可．【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x ）棵，第三年400（1+x ）²棵，根据题意列出方程：2400(1)625x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．9. 一元二次方程22560x x -+=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有两个不等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能判定【答案】A【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．10. 已知关于x 的方程()22210x m x m --+=的两实数根为1x ，2x ，若()()12113++=x x ，则m 的值为（ ）A. 3-B. 1-C. 3-或3D. 1-或3【答案】A【解析】【分析】利用根与系数的关系以及()22=2140∆--≥m m 求解即可． 【详解】解：由题意可知：1221221x x m x x m+=-⎧⎨⋅=⎩，且()22=2140∆--≥m m ∵()()121212111=3++=⋅+++x x x x x x ，∴()22113+-+=m m ，解得：3m =-或1m =，∵()22=2140∆--≥m m ，即14m ≤， ∴3m =-，故选：A 【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出14m ≤，再利用根与系数的关系求出3m =-或1m =（舍去）． 11. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A. ()22001242x +=B. ()22001242x -= C.()20012242x += D. ()20012242x -=【答案】A【解析】【分析】平均增长率为x ，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∴可列方程为：()22001242x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．12. 关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是（ ）A. 4k >B. 4k <C. 4k <-D. 1k > 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，∴1640k ∆=-<解得：4k >故选：A∵【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．13. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意，可列方程为（ ）A. 8(12)11.52x +=B. 28(1)11.52x ⨯+=C. 28(1)11.52x +=D. ()28111.52x += 【答案】C【解析】 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，即可得．【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，∴28(1+)=11.52x故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．14. 若关于x 的一元二次方程20x x k +-=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 14k >- B. 14k ≥- C. 14k <- D. 14k ≤- 【答案】B【解析】 【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+x -k =0有两个实数根，得出Δ=b 2-4ac ≥0，即1+4k ≥0，从而求出k 的取值范围．【详解】解：∵x 2+x -k =0有两个实数根，∴Δ=b 2-4ac ≥0，即1+4k ≥0，解得：k ≥-14， 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键． 15. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A. ()316210x x -=B. ()316210x -=C. ()316210x x -=D. 36210x = 【答案】A【解析】【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16. 一元二次方程210x x +-=的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．【详解】解：241450b ac ∆=-=+=>∴一元二次方程210x x +-=的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．17. 已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ）A. 0B. －10C. 3D. 10【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m 2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=10，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键． 18. 若关于x 的一元二次方程2210ax x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. 0a ≠B. 1a >-且0a ≠C. 1a ≥-且0a ≠D. 1a >- 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x -1=0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，解得：a ＞-1且a ≠0，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．19. 关于x 的方程2320x kx --=实数根的情况，下列判断正确的是（ ）A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根 【答案】B【解析】【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．【详解】解：对于关于x 的方程2320x kx --=，∵()22341(2)980k k ∆=--⨯⨯-=+>，∴此方程有两个不相等的实数根．故选B ．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A. 2B. 32C. 12 【答案】A【解析】【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1， ∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0， ∴a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．二、填空题21. 请填写一个常数，使得关于x 的方程22+-x x ____________0=有两个不相等的实数根．【答案】0（答案不唯一） 【解析】【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个不同的实数根， ∴()2=240a ∆-->， ∴1a <，∴满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．22. 方程2x 2+1=3x 的解为________． 【答案】1211,2x x == 【解析】【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：移项得：22310x x -+=， ∵()()2110x x --=， ∵210x -=或10x -=， 解得：1211,2x x ==， 故答案为：1211,2x x ==． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．23. 若一元二次方程2240x x m -+=有两个相等的实数根，则m =________． 【答案】2 【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m 的值，【详解】解：由题意可知：2a =，4b =-，c m =240b ac =-=， ∴16420m -⨯⨯=， 解得：2m =． 故答案为：2．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求参数：方程有两个不相等的实数根时，0＞；方程有两个相等的实数根时，0=；方程无实数根时，△＜0等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键． 24. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．【答案】【解析】【分析】由题意解一元二次方程2640x x -+=得到3x =+3x =-据勾股定理得到直角三角形斜边的长是【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，∴由公式法解一元二次方程2640x x -+=可得66322x ±===±∴==，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．25. 已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______． 【答案】1 【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式0=， ∴440k -=， 解得：1k =． 故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．26. 一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______． 【答案】１ 【解析】【分析】将原方程2430x x -+=变形成与()22x k -=相同的形式，即可求解． 【详解】解：2430x x -+=243101x x -++=+2441x x -+=()221x -=∴1k = 故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．27. 已知一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_____． 【答案】3 【解析】【分析】直接根据一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1•x 2＝31＝3．故答案为3．【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=-12•c x x baa=，．28. 若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】1k ≤ 【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，可得440,k 再解不等式可得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根， ∴()22410k ∆=--⨯⨯≥， 即440,k解得：1k ≤ ． 故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 29. 已知实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =______． 【答案】1- 【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解： 实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，1211,1x x故答案为：1-【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“12cx x a=”是解本题的关键．30. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则x =_________（用百分数表示）． 【答案】30% 【解析】【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则2020年新注册用户数为100（1+x ）万，2021年的新注册用户数为100（1+x ）2万户， 依题意得100（1+x ）2=169，解得：x 1=0.3，x 2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x =0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．31. 设1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根，则2212x x +的值为________．【答案】10 【解析】【分析】由根与系数的关系，得到122x x +=-，123x x =-，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根， ∴122x x +=-，123x x =-，∴2212122212()2(2)2(3)10x x x x x x =+-=--⨯-=+；故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到122x x +=-，123x x =-．32. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为______cm （玻璃瓶厚度忽略不计）．【答案】7.5 【解析】【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.【详解】如下图所示，设球的半径为r cm ，则OG =EG -r =EF -GF -r =EF -AB -r =32-20-r =（12-r ）cm ， ∵EG 过圆心，且垂直于AD ， ∵G 为AD 的中点， 则AG =0.5AD =0.5×12=6cm ， 在Rt OAG 中，由勾股定理可得，222OA OG AG =+， 即222(12)6r r =-+， 解方程得r =7.5， 则球的半径为7.5cm ．【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．33. 已知关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______． 【答案】1m < 【解析】【分析】根据判别式的意义得到22410m ∆=-⨯⨯>，然后解不等式求出m 的取值即可．【详解】解：根据题意得22410m ∆=-⨯⨯>， 解得1m <，所以实数m 的取值范围是1m <． 故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．34. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．【答案】289 【解析】【分析】设直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于2a b c+-，即6a b c +-=，根据小正方的面积为49，可得()249a b -=，进而计算2c 即22a b +即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，∴()23492a b c a b +-=-=，， ∴6a b c +-=①，7a b -=②，131,22c c a b +-∴==， 222a b c +=③，22213122c c c +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得=17c 或5c =-（舍去）， 大正方形的面积为2217289c ==， 故答案为：289．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-是解题的关键．35. 已知实数a 、b 满足a －b 2＝4，则代数式a 2－3b 2＋a －14的最小值是________． 【答案】6 【解析】【分析】根据a －b 2＝4得出24b a =-，代入代数式a 2－3b 2＋a －14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a －b 2＝4 ∴24b a =-将24b a =-代入a 2－3b 2＋a －14中得：()2222341423142a a a b a a a a =--+-=--－＋－()2222221313a a a a a --=-+-=--∵240b a =-≥ ∴4a ≥当a=4时，()213a --取得最小值为6 ∴222a a --的最小值为6 ∵22231422a a a b a --=－＋－ ∴22314a b a －＋－的最小值6 故答案为：6．【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．三、解答题36. 解方程：x 2－2x －3＝0 【答案】121,3x x =-= 【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，10x +=或30x -=， 1x =-或3x =，故方程的解为121,3x x =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 37. 已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． （1）求实数k 的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值． 【答案】（1）k 174≤； （2）k =3 【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值． 【小问1详解】解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． ∴∆≥0，即32-4（k -2）≥0， 解得k 174≤∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∴12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∴121211x x x x +++=-，∴2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．38. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】（1）20% （2）18个【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据题意得：21000(1)1440x +=，解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-，经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．设该市在2022年可以改造y 个老旧小区，由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+， 解得181823y ≤． ∵y 为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．39. 阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ．（2）类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n m m n +的值．（3）思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值． 【答案】（1）32；12- （2）132-（3或【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n m m n +进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s -t 的值，然后将11s t-进行变形求解即可． 【小问1详解】解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2， ∴123322b x x a -+=-=-=，1212c x x a ⋅==-． 故答案为：32；12-． 【小问2详解】∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ， ∴3322b m n a -+=-=-=，12c mn a ==-， ∴22n m m n m n mn++= ()22m n mn mn +-= 23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 132=- 【小问3详解】∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根， ∴3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-， ∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 924=+ 174=∴2t s -=或2t s -=-，当2t s -=时，11212t s s t st --===-当t s -=时，11212t s s t st --===- 综上分析可知，11s t-或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出2t s -=或2t s -=-，是解答本题的关键． 40. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】（1）4月份再生纸的产量为500吨（2）m 的值20（3）6月份每吨再生纸的利润是1500元【解析】【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可； （2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【小问1详解】解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨， 由题意得：()2100800x x +-=，解得：300x =，∴2100500x -=，答：4月份再生纸的产量为500吨；【小问2详解】 解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭， 解得：%20%m =或% 3.2m =-（不合题意，舍去）∴20m =，∴m 的值20；【小问3详解】解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．41. 已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若125x x =，求k 的值．【答案】（1）34k >（2）2【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得21215x x k =+=，再结合（1）的结论即可得．【小问1详解】 解：关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根，∴此方程根的判别式()()2221410k k ∆=+-+>， 解得34k >． 【小问2详解】解：由题意得：21215x x k =+=，解得2k =-或2k =，由（1）已得：34k >， 则k 的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．42. 已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．【答案】（1）见解析 （2）1m =±【解析】【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值．【小问1详解】()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+，∵2120m ≥，∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-，∵25αβ+=，∴52αβ=-，∴522ββ-+=，解得：3β=，1α=-，∴23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．43. 阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务。

一元二次方程参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：（2x﹣1）2﹣121＝0，（2x﹣1）2＝121，2x﹣1＝±11，2x＝±11+1．∴x1＝6，x2＝﹣5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．2．【分析】根据直接开平方法可以解答此方程．【解答】解：∵（x﹣2）2﹣9＝0，∴（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝±3，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得，x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．3．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵4（x﹣5）2＝16，∴（x﹣5）2＝4，∴x﹣5＝2或x﹣5＝﹣2，解得x1＝7，x2＝3；（2）将方程整理为一般式，得：x2+2x﹣8＝0，∴（x+4）（x﹣2）＝0，则x+4＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．【分析】利用直接开平方法求解可得．【解答】解：∵（x﹣1）2＝3，∴x﹣1＝±，解得：，．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．【分析】首先两边直接开平方可得2x﹣3＝±5，再解一元一次方程即可．【解答】解：两边直接开平方得：2x﹣3＝±5，则2x﹣3＝5，2x﹣3＝﹣5，故x＝4，x＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元一次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．6．【分析】先两边开方得到2x﹣1＝±（3﹣x），然后解两个一次方程即可．【解答】解：2x﹣1＝±（3﹣x），2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣3+x，所以x1＝，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方的方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．7．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵121x2﹣25＝0，∴121x2＝25，则x2＝，∴x1＝，x2＝﹣；（2）将方程整理为一般式得x2+2x﹣3＝0，∴（x﹣1）（x+3）＝0，则x﹣1＝0或x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8．【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．9．【分析】移项后利用直接开平方法求解可得．【解答】解：∵y2﹣4＝0，∴y2＝4，则y1＝2，y2＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．10．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）（x+1）2＝5，x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）去分母得：3﹣（x+2）（1﹣x）＝x2﹣4，整理得：3+x2+x﹣2＝x2﹣4，即x＝﹣5，经检验：x＝﹣5是原方程的根．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）先去分母，把分式方程化为3+x﹣5（x﹣1）＝﹣2x，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1）x+1＝±2，所以x1＝1，x2＝﹣3；（2）解方程两边同乘（x﹣1）得3+x﹣5（x﹣1）＝﹣2x，解这个方程得x＝4．检验：当x＝4时，x﹣1≠0，所以x＝4是原方程的解．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了解分式方程．12．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）两边都乘以（x+3）（x﹣1），得：（x﹣1）2﹣2（x+3）＝（x﹣1）（x+3），整理得：x2﹣2x+1﹣2x﹣6＝x2+2x﹣3解得，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+3）（x﹣1）≠0，所以，原分式方程的解为x＝﹣；（2）方程两边同除以2，变形得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解本题的关键．13．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算即可；（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）原式＝4﹣2+×3＝2+；（2）x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了二次根式的混合运算．14．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，开方得：x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）去分母得：2x2﹣x+5＝2x2﹣10x，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．15．【分析】（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2＝9，开方得：x＝±3，解得：x1＝3，x2＝﹣3；（2）方程整理得：x2﹣4x＝1，配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．16．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x＝1，即x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．【分析】首先展开化为x2﹣6x+9＝0，再配方后开方计算即可求解．【解答】解：（x﹣4）（x﹣2）+1＝0，方程化为x2﹣6x+9＝0，（x﹣3）2＝0，解得x1＝x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣6x＝﹣4，配方得：x2﹣6x+9＝5，即（x﹣3）2＝5，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣；（2）去分母得：5x+10＝6x﹣3，解得：x＝13，经检验x＝13是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣8x+11＝0，∴x2﹣8x＝﹣11，则x2﹣8x+16＝﹣11+16，即（x﹣4）2＝5，∴x﹣4＝±，∴x＝4±．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．【解答】解：（1）∵x2﹣8x＝﹣1，∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，则x﹣4＝±，∴x＝4；（2）两边都乘以x﹣2，得：3+1﹣x＝x﹣2，解得x＝3，经检验x＝3是原分式方程的解．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．【分析】（1）利用解一元二次方程的方法﹣直接开平方法解方程即可；（1）先移项得x2﹣4x＝3，再把方程两边加上4得到x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，然后利用直接开平方法求解；【解答】解：（1）（2x+3）2＝9，∴2x+3＝±3，∴2x+3＝3或2x+3＝﹣3，∴x1＝0，x2＝﹣3；（2）x2﹣4x﹣3＝0，移项得，x2﹣4x＝3，方程两边加上4得，x2﹣4x+4＝7，配方得，（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．22．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，则x﹣1＝±，∴x＝1；（2）方程整理为一般式，得：x2﹣4x﹣12＝0，∵（x+2）（x﹣6）＝0，∴x+2＝0或x﹣6＝0，解得x＝﹣2或x＝6．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．23．【分析】利用配方法求解可得．【解答】解：∵2x2﹣4x＝8，∴x2﹣2x＝4，则x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，则x1＝+1，x2＝+1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，变形得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．【分析】方程移项后，二次项系数化为1，两个加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程移项得：3x2﹣6x＝﹣1，即x2﹣2x＝﹣，配方得：（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．27．【分析】把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣5的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣5x+2＝0的常数项移到等号的右边，得x2﹣5x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣5x+（﹣）2＝﹣2+（﹣）2，配方，得（x﹣）2＝．开方，得x﹣＝±，解得x1＝，x2＝．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．28．【分析】先进行移项，然后系数化1，再进行配方，即可求出答案．【解答】解：移项，得2x2﹣3x＝﹣1，二次项系数化为1，得x2﹣x＝﹣，配方x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，（x﹣）2＝，由此可得x ﹣＝，x 1＝1，x 2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．29．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：配方得x 2﹣4x +4＝1+4，即（x ﹣2）2＝5，开方得x ﹣2＝±，∴x 1＝2+，x 2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px +q ＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx +c ＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q ＝0，然后配方．30．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x 2﹣4x ＝3，配方得x 2﹣4x +4＝3+4，即（x ﹣2）2＝，开方得x ﹣2＝±，∴x 1＝2+，x 2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px +q ＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx +c ＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q ＝0，然后配方．31．【分析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．【解答】解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝0即（x+2）2＝7，开方得，x+2＝±，x1＝﹣2+；x2＝﹣2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．32．【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．33．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0x2﹣2x﹣＝0x2﹣2x+1＝+1（x﹣1）2＝∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．34．【分析】先将已知方程转化为一般式，然后根据求根公式解答．【解答】解：由原方程，得x2+2x+2＝0．这里a＝1，b＝2，c＝2．∵△＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×2＝0．∴x＝＝﹣．即x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．35．【分析】整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可，也可以用因式分解法求解．【解答】解：方法一、整理得：x2+3x+2＝0，b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1，x＝，x1＝﹣1，x2＝﹣2；方法二、整理得：x2+3x+2＝0，（x+1）（x+2）＝0，x+1＝0，x+2＝0，x1＝﹣1，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．36．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+2x＝29，∴x2+2x+1＝29+1，即（x+1）2＝30，则x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵a＝2，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1）＝10＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．37．【分析】首先找出a、b、c的值，计算根的判别式，进一步利用求根公式求得答案即可．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣5）＝36，则x＝＝，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】此题考查用公式法解一元二次方程，掌握用公式法解方程的步骤与方法是解决问题的关键．38．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）根据公式法求解可得．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，解得x1＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝3﹣4×1×（﹣1）＝7＞0，x＝，解得x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．39．【分析】先进行整理，再根据公式法求解可得．【解答】解：x2﹣4＝6（x+2）．整理得x2﹣6x﹣16＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，∴△＝36﹣4×1×（﹣16）＝100＞0，x＝＝3±5，解得x1＝﹣2，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．40．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解答】解：（1）方程两边除以2，得：（x﹣1）2＝9，则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，则x1＝4，x2＝﹣2；（2）原方程可整理为：x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则x＝＝2，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．41．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44＞0，则x＝＝2，即x1＝2+，x2＝2﹣；（2）∵3x（2x+1）＝2（2x+1），∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，则（2x+1）（3x﹣2）＝0，∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝﹣，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．42．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）整理为一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．43．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣8，c＝3，∴△＝（﹣8）2﹣4×1×3＝52＞0，∴x＝＝4，即x1＝4+，x2＝4﹣；（2）方程整理为一般式，得：2x2﹣7x＝0，则x（2x﹣7）＝0，∴x＝0或2x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝3.5．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．44．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x＝1；（2）∵3x（2x+3）＝2（2x+3），∴3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，∴（2x+3）（3x﹣2）＝0，则2x+3＝0或3x﹣2＝0，解得x＝﹣或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．45．【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法解方程进而得出答案．【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣7，则x2﹣6x+9＝﹣7+9，故（x﹣3）2＝2x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣；（2）x（x﹣2）＝6﹣3xx（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，则x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．【点评】此题主要考查了配方法以及因式分解法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．46．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，则x1＝3，x2＝﹣3；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，则x+1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．47．【分析】（1）先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．48．【分析】利用因式分解法或直接开平方法求解可得．【解答】解：方法一：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴2x+3＝x﹣1或2x+3＝1﹣x，解得x1＝﹣4，x2＝﹣．方法二：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，则（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，∴3x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．49．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，∴x2+4x＝8，则x2+4x+4＝8+4，即（x+2）2＝12，∴x+2＝±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2；（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，解得x1＝3，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．50．【分析】（1）先把方程化为整式方程3（x+3）＝5（x+1），再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；（2）先把方程化为整式方程5﹣2（x+1）＝2x，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．（3）先利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）去分母得3（x+3）＝5（x+1），解得x＝2，经检验，原方程的解为x＝2；（2）去分母得5﹣2（x+1）＝2x，解得x＝，经检验，原方程的解为x＝；（3）x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（4）x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，所以x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程和解分式方程．。

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】一元二次方程（优选真题60道）一．选择题（共20小题）1．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜32B．m＞3C．m≤3D．m＜3【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，解得：m＜3．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能判定【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．4．（2023•天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2=76D．x1x2＝7【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．5．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（）A．2.7（1+x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7C．2.7（1﹣x）2＝2.36D．2.36（1﹣x）2＝2.7【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4B．8C．12D．16【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．7．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．8．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根．故选：A ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．9．关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2﹣1＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．【解答】解：∵Δ＝（2a ）2﹣4×1×（a 2﹣1）＝4a 2﹣4a 2+4＝4＞0．∴关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：C ．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与方程的解的关系”是解决本题的关键．10．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程x 2﹣10x +m ＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）A ．√3B ．2√3C ．√14D ．2√14【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a 、b ，由题意，得{a +b =10ab =22． ∴菱形的边长=√(a 2)2+(b 2)2=12√a 2+b 2=12√(a +b)2−2ab=12√100−44=12√56=√14．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．11．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A．−11+√1096B．−11+√1336C．11+√1096D．11+√1336【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x=11±√1332×3=11±√1336，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为11+√1336．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．12．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．13．（2022•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜14B．m≤14C．m≥−14D．m＞−14【分析】根据判别式的意义得到Δ＝1+4m≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝1+4m≥0，解得m≥−1 4，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．14．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．15．（2022•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞−14B．k＜−14C．k＞−14且k≠0D．k≥−14且k≠0【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．【解答】解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k，即x2﹣x﹣k＝0，∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，解得：k＞−1 4，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，新定义等，熟练掌握根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的情况的关系是解题的关键．16．（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．17．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是（）①若二次根式√1−x有意义，则x的取值范围是x≥1．②7＜√65＜8．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．④√16的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．【解答】解：①若二次根式√1−x有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．②8＜√65＜9，故题干的说法是错误的．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．④√16=4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．18．（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．−14C．14D．4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m=1 4．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．19．（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．1【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．20．（2021•遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，从而得出符合题意的方程．【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a ，x1•x2=ca．二．填空题（共20小题）21．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为．【分析】直接利用根于系数的关系x1+x2=−ba=3，x1x2=ca=1，再代入计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1+x2=−−31=3，x1x2=11=1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．22．（2023•岳阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是．【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，解得t＝5，即方程的另一个根为5．故答案为：5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．23．（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b ＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2＝﹣3a+4，∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，∴a+b＝﹣3，∴a2+4a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的解．24．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，∴m＞2．∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，∵x1+x2+x1•x2＝2，∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，∴实数m的值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．25．（2023•上海）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是．【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，∴Δ＜0，即62﹣4a＜0，解得：a＞9，故答案为：a＞9．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．26．（2023•上海）已知关于x的方程√x−14=2，则x＝．【分析】方程两边平方得出x﹣14＝4，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：√x−14=2，方程两边平方得：x﹣14＝4，解得：x＝18，经检验x＝18是原方程的解．故答案为：18．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．27．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为．【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．故答案为：2019．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．28．（2023•金昌）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝（写出一个满足条件的值）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣16c＞0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．【解答】解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣16c＞0，解得：c＜1 4．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．29．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为，另一个根为．【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根．【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，∵方程的两根之积为ca=−2，∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．故答案为：﹣1，2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．30．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为．【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．【解答】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，∵x，y均为实数，∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，∴原式W≥﹣2，即原式的W的最小值为：﹣2，解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，∵x为实数，∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，∴W≥﹣2，∴W的最小值为：﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．31．已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为．【分析】直接利用根与系数的关系作答．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．32．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程．【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，依题意得：301（1+x）2＝500．故答案为：301（1+x）2＝500．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．33．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．34．（2023•达州）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值．【分析】先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x1﹣2）（x2﹣2）＝10的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，∴x1+x2=−k2，x1•x2＝﹣1，∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（−k2）+4＝10，解得k＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca，也考查了代数式的变形能力．35．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4﹣4k＞0是解题的关键．36．（2023•连云港）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【分析】根据根的判别式得到Δ＝4﹣4a＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝4﹣4a＞0，解得a＜1．故答案为a＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．37．（2022•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，故答案是：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．38．（2022•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则1a+1b的值为．【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式=a+bab即可得出答案．【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，则a+b＝4，ab＝3，则原式=a+bab=43，故答案为：4 3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理．39．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n3m−1的值为．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解．【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∴m+n＝﹣3，∴m3+m2n3m−1=m2(m+n)3m−1=−3m2−m2=3，故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到3m﹣1＝﹣m2是解题的关键．40．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为．【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共20小题）41．（2023•南充）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x ﹣3m 2+m ＝0．（1）求证：无论m 为何值，方程总有实数根；（2）若x 1，x 2是方程的两个实数根，且x 2x 1+x 1x 2=−52，求m 的值． 【分析】（1）由判别式Δ＝（4m ﹣1）2≥0，可得答案；（2）根据根与系数的关系知x 1+x 2＝2m ﹣1，x 1x 2＝﹣3m 2+m ，由x 2x 1+x 1x 2=−52进行变形直接代入得到5m 2﹣7m +2＝0，求解可得．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m 2+m ）＝4m 2﹣4m +1+12m 2﹣4m＝16m 2﹣8m +1＝（4m ﹣1）2≥0，∴方程总有实数根；（2）解：由题意知，x 1+x 2＝2m ﹣1，x 1x 2＝﹣3m 2+m ，∵x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2−2=−52， ∴(2m−1)2−3m 2+m −2=−52，整理得5m 2﹣7m +2＝0， 解得m ＝1或m =25．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ．也考查了根的判别式．42．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ，b ]*[c ，d ]＝ac ﹣bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，求m 的取值范围．【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；（1）先根据新定义得到x （mx +1）﹣m （2x ﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m ）2﹣4m •m ≥0且m ≠0，解不等式即可．【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；（2）根据题意得x （mx +1）﹣m （2x ﹣1）＝0，整理得mx 2+（1﹣2m ）x +m ＝0，∵关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2m ）2﹣4m •m ≥0且m ≠0，解得m ≤14且m ≠0．【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m 的不等式是解题的关键．43．（1）解方程：x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）解不等式组：{2x −1≥11+x 3＜x −1． 【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）方程移项得：x 2﹣2x ＝1，配方得：x 2﹣2x +1＝2，即（x ﹣1）2＝2，开方得：x ﹣1＝±√2，解得：x 1＝1+√2，x 2＝1−√2；（2）{2x −1≥1①1+x 3＜x −1②， 由①得：x ≥1，由②得：x ＞2，则不等式组的解集为x ＞2．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．44．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m ，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．45．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简T；（2）根据根的判别式可求a2+ab，再代入计算可求T的值．【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2＝6a2+6ab；（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，∴a2+ab＝1，∴T＝6×1＝6．【点评】本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．46．（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：a b，ab0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．【分析】（1）先根据数轴确定a、b的正负，再利用乘法法则确定ab；（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，∴a＜b，ab＜0．故答案为：＜，＜．（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8，∴x=−2±√b2−4ac2=−2±√82=−2±2√22＝﹣1±√2．∴x1＝﹣1+√2，x2＝﹣1−√2；②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0．∴x1＝0，x2＝3；③利用配方法：x2﹣4x＝4，两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，∴（x﹣2）2＝8．∴x﹣2＝±2√2．∴x1＝2+2√2，x2＝2﹣2√2；④利用因式分解法：x2﹣4＝0，∴（x+2）（x﹣2）＝0．∴x1＝﹣2，x2＝2．【点评】本题考查了数轴、一元二次方程的解法，掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的关键．47．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．48．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．【解答】解：设路宽应为x米。

解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。

2 13、x + 6x — 5=02 14、x — 4x+ 3=0 215、x 2 —2x — 1 =02216、2x 2+3x+1=0一兀一次方程 100道计算题练习1、(x 4)2=5(x 4)2 2、(x 1)2；=4x2 2 3、(x 3)2= (1 — 2x)224、2x …10x = 35、(x+5 ) 2 =166、2 ( 2x — 1)— x (1 — 2x )7、x 2 =64r 28、5x 2-5=0 9、8 (3 -x ) 2 刁2=0=010、3x(x+2)=5(x+2)11、(1 — 3y ) 2+2 ( 3y — 1) =0212、x + 2x + 3=017、3x 2 +2x —1 =0218、5x2—3x+2 =0219、7x —4x —3=0 20、2-x -x+12 =0221、x2—6x+9 =022、(3x _2)2=(2x _3)223、x2-2x-4=0 24、x2-3=4x25、3x 2+ 8 x —3 = 0 (配方法)26、(3x + 2)(x + 3) = x+ 14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x —3) 2= x 2—9 29、—3x 2+ 22x —24 = 0 30、(2x-1 ) 2 +3 (2x-1 ) +2=040、2x 2 -23x 65 =0补充练习：一、利用因式分解法解下列方程 (x — 2) 2 = (2x-3) 231、2x 2 — 9x + 8 = 0 32、3 (x-5) 2=x(5-x) 33、(x + 2) 2 = 8x34、(x — 2) 2 = (2x + 3)2 2 35、7x 2x =0 236、4t 一 4t 1 = 0237、4 x -3 x x -3]=0238、6x -31x 35 = 0239、 2x-3 -12仁0x 2 -4x =03x(x 1)=3x 3x2-2、、3X+3=0(x—5$ —8(x—5)+16 = 0、利用开平方法解下列方程12(2y -1)4 (x-3) 2=25 (3x 2)2 = 24三、利用配方法解下列方程x^ -5 2x 2 = 0 3x? -6x -12 = 0 - -- x2-7x 10=0四、利用公式法解下列方程(3x -11)(x -2) =2 x (x + 1) - 5x = 0. 3x(x —3) = 2(x —1) (x + 1).—3x 2+ 22x —24 = 0 2x (x —3) =x —3 .3X2+5(2X+1)=0五、选用适当的方法解下列方程(x + 1) 2—3 (x + 1) + 2 = 0 2 2(2x 1) =9(X-3) X2-2X-3 =02?-5x-7 = 0x23x 1 =0 2 池亠"1)(x 2)3 4应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4 cm，大正方形的面积比小正方形的(3x -11)(x -2) =2 x (x + 1) - 5x = 0. 3x(x —3) = 2(x —1) (x + 1).面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长3、如图，有一块梯形铁板 ABCD , AB CD ,ZA =90 °,AB =6 m , CD =4 m , AD =2 m ，现在梯形中 裁出一内接矩形铁板 AEFG ，使E 在AB 上，F 在BC 上，G 在AD 上，若矩形铁板的面积为 5 m 2, 则矩形的一边EF 长为多少?4、如右图，某小在长 32米，区规划宽20米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的 3条小路，使 其中两条与AD 平行，一条与 AB 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为 566米2,问小路应为多 宽？能售出500千克；销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，商店想在月销售成本不超过 1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？舀5、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？思考：1、关于x的一元二次方程a -2 x2• x • a2-4 =0的一个根为0,贝U a的值为________________________2、若关于x的一元二次方程x2•2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是________________________3、如果x2x -^0 ,那么代数式x32X2-7的值4、五羊足球队举行庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?5、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?6、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

一元二次方程练习题及解析一、基础练习题1. 解下列一元二次方程，并给出解的答案：a) x² - 4x + 3 = 0b) 2x² + 5x - 3 = 0c) x² + 3x + 2 = 0d) 3x² - 6x - 9 = 02. 对于方程 x² - 5x + 6 = 0，求出两个解的值并判断其性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

3. 解方程 2x² - 4x - 6 = 0，并指出解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

4. 求解方程 3x² + 12x + 5 = 0，并确定解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

二、进阶练习题1. 解下列一元二次方程，并给出解的答案：a) 4x² + 4x + 1 = 0b) x² + 6x + 9 = 0c) 2x² - 7x + 3 = 0d) -x² + 5x - 6 = 02. 解方程 x² + 2x - 8 = 0，并判断其解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

3. 解方程 3x² + 5x + 2 = 0，并指出解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

4. 求方程 2x² + 3x - 10 = 0 的解，并确定解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

三、解题解析1. 基础练习题解析：a) x² - 4x + 3 = 0：移项得 x² - 4x = -3，再配方(x - 2)² = 1，求得 x = 2 ± 1，即 x₁ = 3，x₂ = 1。

b) 2x² + 5x - 3 = 0：使用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)，则 x₁ = (-5 + √(5² - 4·2·(-3))) / (2·2) = (-5 + √49) / 4 = -2，x₂ = (-5 - √(5² - 4·2·(-3))) / (2·2) = (-5 - √49) / 4 = 1/2。

一元二次方程专题练习（解析版）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．2．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9【解析】【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4，∴a 的值是﹣2或﹣4；②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3∴a ＝﹣2舍去，∴a ＝﹣4，∴﹣4≤x ≤﹣3，∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.3．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.6．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2k y x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根．（1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k1＝－2，k2＝3．（2）tan∠OBA＝63．【解析】解：（1）∵k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根，∴解方程x2－x－6＝0，得x1＝3，x2＝－2．结合图像可知：k1＜0，k2＞0，∴k1＝－2，k2＝3．（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A，B分别在反比例函数2yx=-（x＜0），3yx=（x＞0）的图象上，∴S△ACO＝12×2-＝1 ，S△ODB＝12×3＝32．∵∠ AOB＝90°，∴∠ AOC＋∠ BOD＝90°，∵∠ AOC＋∠ OAC＝90°，∴∠ OAC＝∠ BOD．又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．∴SSACOODB∆∆＝2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭＝23，∴OAOB＝±6（舍负取正），即OAOB＝6．∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝OAOB＝6．7．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n，x2=﹣4n．8．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.9．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k32）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t3＝﹣323．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣13＝323．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣33x+533．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）对于直线y ＝kx +k ，令y ＝0，可得x ＝﹣1，∴A （﹣1，0），∴OA ＝1，∵AB ＝2，∴OB ＝223AB OA -=∴k ＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO ＝3OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ， 当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t 3323． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1）•32t ＝32t 2﹣34t ． （3）∵OQ +AB 7（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+ ∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （1233Q （5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有133 2250k bk b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3353kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为353y x=-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．10．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P 从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝12 x．【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE ＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t （1）∵四边形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案为2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5∴HQ3 =①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t ∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4 3∴AM＝43+4＝163，EN＝4﹣43＝83∴点E坐标为（163，83）∴直线OE的函数表达式为y＝12 x．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．。

一元二次方程与化简求值专题练习一、选择题1、m是方程x2-2x-3=0的一个根，则代数式m-12m2+4=（）．A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3答案：C解答：把m代入方程x2-2x-3=0，得到m2-2m-3=0，∴m2-2m=3，∴代数式m-12m2+4=-12（m2-2m）+4=2.5；选C．2、已知a是方程x2+x-1=0的根，a3-a2-3a+1的值是（）．A. 0B. 1C. -1D. -2答案：C解答：由题意a2+a-1=0，∴a2=-a+1，∴原式=a（-a+1）-a2-3a+1=-2（a2+a）+1=-1．3、已知a2-5=2a，代数式（a-2）2+2（a+1）的值为（）．A. -11B. -1C. 1D. 11答案：D解答：原式=a2-4a+4+2a+2=a2-2a+6．∵a2-5=2a，∴a2-2a=5，∴原式=11．4、已知23x x-x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（）A. 2B. -6C. 2或-6D. -2或6答案：A解答：设x2+x=a，（a≥-14），则原方程可化为3a-a-2=0，去分母得，-a2-2a+3=0，解得a=1或a=-3（舍去）∴2x2+2x=2a=2．5、若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0（a ≠0）的解是x =1，则2013-a -b 的值是（ ）．A. 2018B. 2008C. 2014D. 2012答案：A解答：∵x =1是一元二次方程ax 2+bx +5=0的一个根， ∴a ·12+b ·1+5=0， ∴a +b =-5，∴2013-a -b =2013-（a +b ）=2013-（-5）=2018． 选A ．6、已知a 2-5a +2=0，则分式424a a +的值为（ ）．A. 21B.121 C. 7D.521答案：A解答：∵a 2-5a +2=0， ∴a -5+2a=0， 故a +2a =5， ∴（a +2a）2=25，∴a 2++4=25， ∴442244a a a a ++=a 2+24a=21． 二、填空题7、已知a 、b 是一元二次方程x 2-x -1=0的两个根，则代数式3a 2+2b 2-3a -2b 的值等于______． 答案：5 解答：根据题意 得a 2-a =1，b 2-b =1， ∴3a 2+2b 2-3a -2b =3a 2-3a +2b 2-2b =3（a 2-a ）+2（b 2-b ） =3+2=5．8、设m 是方程x 2-3x +1=0的一个实数根，则4221m m m ++=______． 答案：8解答：由题得m 2-3m +1=0，∴m +1m=3， ∴原式=m 2+21m +1=（m +1m）2-2+1=8．9、已知a 是方程x 2-1315x +1=0的某个根，则a 2-1314a +213151a +=______． 答案：1314解答：a 是方程x 2-1315x +1=0的根， 有a 2-1314a =a -1，有a 2+1=1315a ， 又a ≠0，∴a -1315+1a =0， ∴原式=a -1+1a=1314．故答案为：1314． 10、计算：（1）已知a 是方程x 2+x -1=0的根，则a 3-a 2-3a +1的值为______． （2）已知a 是方程x 2-2x +1=0的根，则a 3+31a 的值为______． 答案：（1）-1 （2）2解答：（1）由题意：a 2+a -1=0，∴a 2=-a +1， ∴原式=a （-a +1）-a 2-3a +1=-2（a 2+a ）+1=-1． （2）由题意：a 2-2a +1=0，∴a +1a=2 ∴a 2+21a=（a +1a ）2-2=2∴a 3+31a =（a +1a ）（a 2-1+21a）=2．11、若（x 2+y 2）2-5（x 2+y 2）-6=0，则x 2+y 2=______． 答案：6解答：（x2+y2）2-5（x2+y2）-6=0（x2+y2+1）（x2+y2-6）=0，x2+y2=-1（舍去）x2+y2=6．12、已知a是方程x2-3x-2=0的根，则a3-2a2-5a+4=______．答案：6解答：∵a是x2-3x-2=0的根，∴a2-3a-2=0，a3-2a2-5a+4=a（a2-2a-5）+4=a（a2-3a+a-5）+4=a（-3+a）+4=a2-3a+4=2+4=6．13、已知a是x2-x-1=0的一个根，则a3-2a2+2019的值是______．答案：2018解答：∵a为x2-x-1=0的一根，∴a2-a-1=0，∴a2=1+a，∴a3-2a2+2019=a2·a-2a2+2019=（1+a）a-2（a+1）+2019=a+a2+2a-2+2019=a2-a+2019=1+2017=2018．故答案为：2018．14、已知x为实数，且23x x-（x2+x）=2，则x2+x的值为______．答案：1解答：设x2+x=y（y≥-14），则原方程变为3y-y=2，方程两边都乘y得：3-y2=2y，整理得：y2+2y-3=0，（y-1）（y+3）=0，∴y=1或y=-3（舍去）．三、解答题15、已知：x2-5x=6，请你求出代数式10x-2x2+5的值．答案：-7．解答：10x-2x2+5=2（5x-x2）+5．∵x2-5x=6，∴原式=2×（-6）+5=-7．16、已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-（x+1）（x-1）的值．答案：13．解答：（2x-3）2-（x+1）（x-1）=4x2-12x+9-（x2-1）=4x2-12x+9-x2+1=3x2-12x+10．∵x2-4x-1=0，即x2-4x=1．∴原式=3（x2-4x）+10=3+10=13．17、已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2-m）（m-2m+1）的值．答案：4．解答：∵m是方程x2-x-2=0的一个实数根，∴m2-m-2=0，∴m2-m=2，m2-2=m，∴原式=（m2-m）（22mm+1）=2×（mm+1）=2×2=4．18、已知x 2+x -5=0，求代数式（x -1）2-x （x -3）+（x +2）（x -2）的值． 答案：2．解答：原式=x 2-2x +1-x 2+3x +x 2-4 =x 2+x -3． ∵x 2+x -5=0， ∴x 2+x =5． ∴原式=5-3=2．19、已知a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根，求a 3-5a +7的值． 答案：9．解答：∵a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根， ∴a 2-2a -1=0， ∴a 2=2a +1，∴a 3-5a +7=a （2a +1）-5a +7=2a 2-4a +7=2（a 2-2a ）+7=9． 20、解答题． （1）已知a 是方程x 2-3x +1=0的根，求2543282521a a a a a -+-+的值．（2）已知m 是一元二次方程x 2-2005x +1=0的根，求代数式m 2-2004m +220051m +的值． 答案：（1）-1． （2）2004．解答：（1）由a 2+1=3a 知，原式=()()232222321511a a a a a a +-+-+=2a 3-5a 2-233a a=2a 3-5a 2-a =2a （3a -1）-5a 2-a =a 2-3a =-1．（2）∵m 是一元二次方程x 2-2005x +1=0的根， ∴m 2-2005m +1=0， ∴m 2+1=2005m ，∴m 2-2004m +220051m + =m 2-2005m +m +20052005m=-1+m +1m=-1+21m m+=2004．21、（1）已知a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根，求下列各式的值：①a -1a ． ②a 2+21a．③a 2-3a +232a -+5． （2）已知a 是方程x 2-3x +1=0的根，求2543282521a a a a a-+-+的值．答案：（1）①2．②6．③5． （2）-1．解答：（1）①由a 2-2a -1=0知，a ≠0， 故a -2-1a=0， 即a -1a=2． ②a 2+21a=（a -1a ）2+2=6．③由于a 2=2a +1，代入所求得，原式=2a +1-3a +2132a +-+5=5． （2）由a 2+1=3a 知，原式=()()232222321511a a a a a a+-+-+=2a3-5a2-233aa=2a3-5a2-a=2a（3a-1）-5a2-a=a2-3a=-1．。

第二十一章 一元二次方程 易错必考68题（10个考点）专练易错必考题一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，则一次项是（）A ．x-B ．1-C ．x D ．1【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得36m +=，30m +¹，可得m 的值，再代入原方程，由此即可得结果．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，∴36m +=，30m +¹，解得：3m =，把3m =代入原方程可得2660x x -+=，∴一次项是x -，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是20(0)ax bx c a ++=¹，其中，2ax 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项．2．（2023春·八年级课时练习）将一元二次方程()11x x -=-化成()200ax bx c a ++=>的形式则a b c ++=．【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【详解】解：将一元二次方程()11x x -=-化成一般形式20(0)ax bx c a ++=>之后，变为210x x -+=，故1,1,1a b c ==-=，1111a b c \++=-+=，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y 的一元二次方程()()223811my m my y y +-=-+，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案】二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -；参数m 的取值范围是22m ¹±【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m 的取值范围．【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：()()22383110m y m y m ---+-=，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件280m -¹，即22m ¹±．可知它的各项系数分别是二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -．参数m 的取值范围是22m ¹±．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．易错必考题二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如果关于x 的一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式2023a b --的值为（ ）A ．2021-B ．2021C ．2025-D ．2025【答案】D【分析】根据一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，得到20a b ++=即2a b +=-，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，∴2023202322025a b --=+=，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=和20cx bx a ++=，其中a ，b ，c 是常数，且0a c +=，如果2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程20cx bx a ++=的根的是（ ）A ．2B ．2-C ．1±D ．1【答案】B【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵0a ¹，0c ¹，0a c +=，∴a c=-∴1c a =-，∴20b c x x a a++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2x =是方程210b x x a+-=的一个根，即32b a =-，∴2231102b x x x x a --=+-=，∴2x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2x =-时方程20cx bx a ++=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m 为方程2320230x x +-=的根，那么32220262023m m m +--的值为 ．【答案】4046-【分析】先根据一元二次方程解的定义得到232023m m =-+，再用m 表示3m 得到()2220262023m m m +--，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 为方程2320230x x +-=的一个根，∴2320230m m +-=，∴232023m m =-+，∴()322220262023220262023m m m m m m +--=+--()()32023220262023m m m =-++--23620232023220262023m m m m =--++´--()33202392023m m =--+-+93202392023m m =-´-+4046=-，故答案为：4046-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．7．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知a ，b ，c 是非零实数，关于x 的一元二次方程204c ax bx ++=，204b cx ax ++=，204a bx cx ++=，有公共解，则代数式2c a b ab b a--的值为 ．【答案】2或1-【分析】设公共解为t ，根据一元二次方程根的定义得到204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加可得：0abc ++=或12t =-，分别代入所求式可解答．【详解】解：设公共解为t ，则204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加得()()204abc a b c t a b c t ++++++++=，即()2104a b c t t æö++++=ç÷èø，因为2211()042t t t ++=+³，所以0a b c ++=或12t =-，当0a b c ++=时，c a b =--，\原式222c a b ab--= 22222a ab b a b ab++--= 2=；当12t =-时，110424c a b -+=，110424b c a -+=，22c b a a b \=-=-，a b \=，\原式222244b ab a a b ab-+--=234b ab ab-= 22b b-= 1=-，综上，代数式2c a b ab b a--的值为2或1-．故答案为：2或1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，求代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值．【答案】117【分析】利用一元二次方程的解可得出281x x -=，将其代入24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的化简结果中即可求出答案．【详解】解：∵x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，∴281x x -=．24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø()()247137233x x x x x x +=+---+-¸()()2497343x x x x x +--=¸---()()2416343x x x x x +-=¸---()()()()444343x x x x x x +-+=¸---()()()()433444x x x x x x +-=×--+-()()144x x =--21816x x =-+1116=+17∴代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值为117．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．9．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø；化简，得2240y y +-=；故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2320x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a -+=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2320y y --=(2)()200cy by a c -+=¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，将x y =-代入已知方程2320x x +-=，化简即可得到答案；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，x y \=-，把x y =-代入已知方程2320x x +-=，得()()2320y y -+´--=，化简得，2320y y --=，\这个一元二次方程为：2320y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x=，y 把1x y=代入已知方程()200ax bx c a -+=¹，得2110a b c y y æö-×+=ç÷èø，去分母得，20a by cy -+=，若0c =，则20ax bx -=，于是方程()200ax bx c a -+=¹有一根为0，不符合题意，0c \¹，\所求方程为：()200cy by a c -+=¹．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．易错必考题三、换元法解一元二次方程10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若整数x ，y 使()()22221212x y x y +---=-成立，则满足条件的x ，y 的值有（ ）A ．4对B ．6对C ．8对D ．无数对【答案】C【分析】先化简()()22221212x y x y +---=-可得()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-；然后求得a 的值，最后列举出符合题意的x ，y 的整数值即可解答．【详解】解：由()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-，∴23100a a --=，即()()520a a -+=，解得：5a =或2a =-（舍弃），∴225x y +=．∴满足条件的x ，y 的整数值有：12x y =ìí=î，12x y =-ìí=î，12x y =ìí=-î，12x y =-ìí=-î，21x y =ìí=î，21x y =ìí=-î，21x y =-ìí=î，21x y =-ìí=-î，共8对．故选C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．11．（2023春·全国·八年级专题练习）用换元法解方程()()22212x x x x +++=时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（ ）A ．2120y y ++=B ．2120y y --=C ．2120y y -+=D ．2120y y +-=【答案】D【分析】将原方程中的2x x +换成y ，再移项即可．【详解】解：根据题意，得212y y +=，即2120y y +-=；故选：D ．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，那么关于y 的方程()21a y by c b -++=的解是 ．【答案】12y =，24y =，【分析】根据关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1x y =-，即可得到112211y x y x -=ìí-=î，解这个方程组即可得到答案．【详解】解：∵()21a y by c b -++=,∴()()2110a y b y c -+-+=,Q 关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令1x y =-，∴112211y x y x -=ìí-=î，∴1111y x -==或2213y x -==，解得12y =，24y =，故答案为：12y =，24y =．【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1y x -=是解决问题的关键．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程210210x x -+=的根为13x =，27x =，则方程2(21)10(21)210x x ---+=的根是．【答案】12x =，24x =【分析】设21x t -=，可得210210t t -+=，根据210210x x -+=的根为13x =，27x =，可得213x -=或217x -=，即可得到答案；【详解】解：设21x t -=，可得210210t t -+=，∵210210x x -+=的根为13x =，27x =，∴213x -=或217x -=，解得：12x =，24x =，故答案为12x =，24x =；【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设21x t -=，得到210210t t -+=，结合方程210210x x -+=的根为13x =，27x =．14．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =，代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø．化简，得2240y y +-=，故所求方程为2240y y +-=这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2210y y --=(2)20a by cy ++=()0c ¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y =()0y ¹，代入方程20ax bx c ++=整理即可得．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，把x y =-代入方程2210x x +-=，得：2210y y --=，故答案为：2210y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y=()0y ¹，把1x y =代入方程()200ax bx c a ++=¹，得2110a b c y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø，去分母，得20a by cy ++=，若0c =，有20ax bx +=，于是，方程20ax bx c ++=有一个根为0，不合题意，∴0c ¹，故所求方程为20a by cy ++=()0c ¹．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：为了解方程()22215140x x ---+=（），我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得121,4y y ==．当1y =，时，211x -=，∴22x =．∴2x =±；当4y =时，214x -=，∴25x =．∴5x =±．故原方程的解为12x =， 22x =-，35x =，45x =-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：()()222540x x x x +-++=；(3)请利用以上知识解方程：42340x x --=．【答案】(1)换元；转化(2)123411711715152222,,,x x x x -+---+--====(3)122,2x x ==-【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；（2）利用换元法解方程即可；（3）利用换元法解方程即可．【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想；故答案为：换元，转化；（2）设2x x y +=，原方程可变为2540y y -+=，则()()410y y --=，∴40y -=或10y -=，∴124,1y y ==，当4y =时，24x x +=，解得1172x -±=，当1y =时，21x x +=，解得152x -±=，∴原方程的解为123411711715152222,,,x x x x -+---+--====；（3）设2y x =，原方程可变为2340y y --=，解得124,1y y ==-，∵20x ³，∴24x =，解得122,2x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是理解并掌握换元法解方程．易错必考题四、配方法的应用16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n \=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x 的一元二次方程新定义：若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22015ax bx -++取的最大值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：∵22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”，∴22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ++-+=+-+，即22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ++-+=+-+++，∴2(2)438a b a -+=-ìí+=î解得510a b =ìí=-î∴22015ax bx -++＝25105201x x -+-＝25(1)2020x -++，则代数式22015ax bx -++能取的最大值是2020．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．18．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x 和y 满足2212521640x xy y y -+++=，则22x y -= ．【答案】384【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x 与y 的值，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】解：∵()()()()222222212521641236161646420x xy y y x xy y y y x y y -+++=+++-+++-==，∴60x y +=且420y -=，解得：12y =，3x =-，则22139844x y ==--，故答案为：384．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．（2023秋·全国·九年级专题练习）设m 为整数，且420m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个不相等的整数根，则m 的值是 ．【答案】12【分析】将方程化为2(23)21x m m -+=+，根据m 为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解．【详解】解：222(23)(23)21x m x m m --+-=+，\[]2(23)21x m m --=+，\2(23)21x m m -+=+，Q 420m <<，92141m \<+<，\2(23)21x m m -+=±+，Q m 为整数，且方程有两个不相等的整数根，\当2125m +=时，符合题意，解得：12m =；故答案：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键．20．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++． ②求2611x x ++的最小值．解：原式2691a a =++- 解：原式2692x x =+++2(3)1a =+- 2(3)2x =++．()()3131a a =+-++ 2(3)0x +³Q ，()()24a a =++ 2(3)22x \++³，即2611x ++的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++_______________．(2)因式分解：21232a a -+．(3)求2443x x ++的最小值．【答案】(1)4(2)(4)(8)a a --(3)2【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可；（2）将32化成364-，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）将式子进行配方，再利用平方的非负性即可求解．【详解】（1）解：∵()22442a a a ++=+，故答案为：4；（2）解：21232a a -+【答案】（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21()02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××- 2152AC AC =-+ 2125(5)22AC =--+21(5)02AC --£Q ，\当5AC =，四边形ABCD 的面积最大，最大值为252．【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．易错必考题五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()221340a x x a a -+++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．4a =-或1B ．4a =-C ．1a =D ．0a =【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把0x =代入()221340a x x a a -+++-=得2340a a +-=，再解关于a 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】解：把0x =代入()221340a x x a a -+++-=，得2340a a +-=，解得1a =或4a =-，而10a -¹，所以a 的值为4-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．23．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 3,55=，因此，{}max 3,53--=-；按照这个规定，若{}2max ,35x x x x -=--，则x 的值是（ ）A ．5B ．5或16-C ．1-或16-D ．5或16+【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x --=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x --=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>-，∴{}2max ,35x x x x x -==--，即2450x x --=，解得：125,1x x ==-（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x ->>，∴{}2max ,35x x x x x -=-=--，即2250x x --=，解得：116x =+（不符合题意，舍去），216x =-，综上：x 的值是5或16-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．24．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列解方程()2923x x -=-的过程，并解决相关问题．解：将方程左边分解因式，得()()()3323x x x +-=-，…第一步方程两边都除以()3x -，得32x +=，…第二步解得=1x -…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是 ，解方程的过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；②请直接写出方程的根为．【答案】 公式法 二 3x -可能为0 13x =，21x =-【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；②利用因式分解法求解即可．【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：3x -可能为0，故答案为：公式法，二，3x -可能为0；②∵()2923x x -=-，∴()()()3323x x x +-=-，∴()()()33230x x x +---=，则()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得13x =，21x =-，故答案为：13x =，21x =-．【点睛】本题考查因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．25．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：0a ¹且0b ¹，221003a b ab +-=，那么a b a b +-的值等于 ．【答案】2-或2【分析】先把已知条件化为2231030a ab b -+=，再利用因式分解法得到30a b -=或30a b -=，然后把3b a =或3a b =分别代入a b a b+-中计算即可．【详解】解：∵221003a b ab +-=，即2231030a ab b -+=，∴(3)(3)0a b a b --=，∴30a b -=或30a b -=，当30a b -=时，即33,23a b a a b a a b a a ++===---；当30a b -=时，即33,23a b b b a b b b a b ++=-==-，∴a b a b+-的值等于2-或2．故答案为：2-或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．26．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程2430x x k -+=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】(1)43k £(2)95m =【分析】（1）一元二次方程有实数根，则0D ³，由此即可求解；（2）根据（1）中k 的取值范围求出k 的值，由此可求出方程2430x x k -+=的解，把x 的值代入一元二次方程2(2)30m x x m -++-=即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：2(4)430k D =--´³，解得43k £，∴k 的取值范围43k £．（2）解：由（1）可知，43k £，∴k 的最大整数是1，∴方程2430x x k -+=可化为2430x x -+=，解得121,3x x ==，∵一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，2130m m -++-=，解得2m =；当3x =时，(2)9330m m -´++-=，解得95m =，又20m -¹，∴95m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键．27．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为1x ，()212x x x >，且213x x +为整数，求整数m 所有可能的值．【答案】(1)见解析(2)4-或2-或0或2【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10D =>，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为m ，1m +，得出11343111x m x m m ++==+++，然后利用有理数的整除性确定m 的整数值．【详解】（1）解：证明：Q 22[(21)]4()10m m m D =-+-´+=>，\无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）22(21)0x m x m m -+++=Q ，即()[(1)]0x m x m --+=，解得：x m =或1x m =+．\一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=的两根为m ，1m +，12x x >Q ，11x m \=+，\11343111x m x m m ++==+++，如果311m ++为整数，则4m =-或2-或0或2，\整数m 的所有可能的值为4-或2-或0或2．【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m 的整数值．易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数28．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）若关于x 的一元二次方程2160x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的值可以是（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．10【答案】D【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个不相等的实数根，∴22441160b ac m D =-=-´´>，∴264m >，∴8b >或8b <-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹，若240b ac D =-＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac D =-=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac D =-＜，则原方程没有实数根．29．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程()22230k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）A ．73k £B ．73k >C ．73k <且2k ¹D ．73k £且2k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 20k -¹且224(2)30,k D =--´>然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；【详解】解：根据题意得 20k -¹ 且()2Δ24230k =--´>，解得 73k < 且 2k ¹，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k 的不等式是解此题 的关键30．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x 的方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．0k ¹B ．1k ³-且0k ¹C ．1k ³-D ．1k >-且0k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：当0k ¹时，990k D =+³，∴1k ³-，当0k =时，原方程是一元一次方程，有实数根，∴1k ³-故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ¹，，，为常数)的根的判别式24b ac D =-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．31．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）已知关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，且a 满足25113a a -<ìí-£î，则a 的取值范围是（ ）A ．2a £-B ．23a<-C ．223a<-£-D ．233<a<-且2a ¹【答案】C【分析】由所给方程是一元二次方程可知20a -¹，由方程没有实数根可知Δ0<，再解不等组，找出交集即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，\()()212426404a a a a D =+--´=+<，20a -¹，\23a <-，2a ¹，Q a 满足25113a a -<ìí-£î，由251a -<得3a <，由13a -£得2a ³-，\23a -£<，\223a<-£-，故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式，即Δ0<时，方程没有实数根；Δ0=时，方程有两个相等的实数根；0D >时，方程有两个不等的实数根．32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知关于y 的一元二次方程2230ky y -+=有实根，则k 的取值范围是 ．【答案】13k £且0k ¹．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0k ¹且△22120k =->，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：当0k ¹时，方程是一元二次方程，则△2(2)120k =--³有实数根，解得13k £且0k ¹．故答案为13k £且0k ¹．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与△=-24b ac 有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．33．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，若关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，则b c +的值为．【答案】3-【分析】先解方程360x -=得2x =，再把2x =代入方程20x bx c ++=得420b c ++=，接着根据方程有两个相等的实数解，得到2(3)4(6)0b c D =--+=，然后通过解方程组求出b 、c ，从而得到b c +的值．【详解】解：解方程360x -=得2x =，Q 关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，2x \=为方程20x bx c ++=的解，420b c \++=，Q 关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，\2(3)4(6)0b c D =--+=，把24c b =--代入得2(3)4(246)0b b ----+=，解得121b b ==-，当1b =-时，242c =-=-，123b c \+=--=-．故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．34．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．【答案】2a <且1a ¹【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，\210Δ(2)4(1)0a a -¹ìí=--->î，解得：2a <且1a ¹．故答案为：2a <且1a ¹．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．35．（2023·辽宁抚顺·统考三模）若关于x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是 ．【答案】1-【分析】根据方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，得到()20,240k k ¹--＞，确定符合题意的整数解即可．【详解】∵x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，∴()20,240k k ¹--＞，∴0,1k k ¹＜，∵k 是整数，∴k 的最大整数值是1-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程满足的条件，解不等式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．36．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于x 的方程24m x mx x m -=-．(1)有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；(3)有实根，求m 的最小整数值．【答案】(1)12m >-且0m ¹(2)12m =-，122x x ==-(3)0【分析】（1）分两种情况讨论：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =->，求解即可；（2）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-=，求解即可；（3）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-³，求解即可．【详解】（1）解：24m x mx x m -=-，移项合并同类项得：2(1)04m x m x m -++=，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´>ëû，解得：12m >-；当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；∴m 的取值范围是12m >-且0m ¹；（2）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´=ëû，解得：12m =-，把12m =-代入24m x mx x m -=-得：21110822x x ---=，整理得：2440x x ++=，解得：122x x ==-；（3）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，有一个实数根，符合题意，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´³ëû，解得：12m ³-，∴m 的最小整数值是0；【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24Δb ac =-与一元二次方程根的情况是解题的关键．37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使k 为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．。

第17章一元二次方程（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级期末）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．0x a -=B ．210ax -=C ．10ax -=D ．20x a -=【答案】A【分析】分别根据方程的解得定义，从a 的取值出发进行判断．【详解】解：A 、0x a -=有实数解x a =，故符合；B 、210ax -=，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；C 、10ax -=，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；D 、20x a -=，当a ＜0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；故选A ．【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，对a 值进行取值验证．2．（2022·上海松江·八年级期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x ，则由题意可列方程为（ ）A ．2300(1)2100x +=B ．2300300(1)2100x ++=C ．2300(1)300(1)2100x x +++-D ．2300300(1)300(1)2100x x ++++=【答案】D【分析】先表示出各年栽种果树棵数，进而列出方程即可．【详解】解：设这个百分数为x ，今年栽种果树300棵，第二年栽种果树300（1+x ）棵，第三年栽种果树300（1+x ）2棵，根据题意列方程得，300+300（1+x ）+300（1+x ）2＝2100，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．3．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：A 、()()2341130D =--´-=> ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B 、()234090D =--´=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C 、()22410D =--´=，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；D 、()224380D =--´=-<，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()20y ax bx c a =++¹ ，当240b ac D =-> 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac D =-= 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac D =-< 时，方程没有实数根是解题的关键．4．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x 的方程220x kx k -+-=，下列说法中正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【分析】计算出Δ=（-k ）2-4×1×（k -2）=（k -2）2+4＞0即可得出结论．【详解】解：Δ=（-k ）2-4×1×（k -2）=（k -2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．二、填空题5．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）若方程3x 2－5x －2=0有一个根是a ，则6a 2－10a 的值为______【答案】4【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x =a 代入方程3x 2-5x -2=0，列出关于a 的一元二次方程，通过变形求得3a 2-5a 的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x2-5x-2=0的一个根是a，∴3a2-5a-2=0，∴3a2-5a=2，∴6a2-10a=2（3a2-5a）=2×2=4．故答案是：4．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．6．（2022·上海·八年级期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年3月份和5月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，假设该公司每月投送快递件数的增长率相等，那么该公司每月的增长率是_____．【答案】10%【分析】设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年3月份和5月份完成投递的快递总件数分别为20万件和24.2万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得20（1+x）2=24.2，解得：x1=10%，x2=-210%（不合题意舍去）．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．故答案是：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据3月份与5月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于x的一元二次方程．7．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）方程22x x=的解是________．8．（2022·上海市罗星中学八年级期末）方程222x x x -=-的根是______．【答案】121,2x x ==【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：222x x x -=-，()()220x x x ---=，()()120x x --=，解得121,2x x ==．故答案为：121,2x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．9．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）用换元法解分式方程222232x x x x x x+=++时，如果设22x y x x=+，那么原方程化为关于y 的整式方程是_______________．10．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）已知k 是方程2201810x x -+=的一个根，那么1kk +=______；2220182017k 1k k -++______．11．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果关于x的方程22(21)0x m x m--+=有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________．【答案】14m<##0.25m<12．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果m 是方程2340x x --=的一个根，那么代数式226m m -的值为________．【答案】8【分析】由方程的解的定义可知2340m m --=，即234m m -=．将226m m -变形为22(3)m m -，再整体代入求值即可．【详解】∵m 是方程2340x x --=的一个根，∴2340m m --=，∴234m m -=，∴22262(3)248m m m m -=-=´=．故答案为：8【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．13．（2022·上海·八年级期末）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数比第一周增加2.8万件，如果设平均每周订单数的增长率为x ，那么符合题意的方程是 ___．【答案】5（1+x ）2=5+2.8【分析】根据该快递公司第一周及第三周订单总件数，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每周订单数的增长率为x ，根据题意得：5（1+x ）2=5+2.8，故答案为：5（1+x ）2=5+2.8．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找到等量关系是正确列出一元二次方程的关键．三、解答题14．（2022·上海·八年级专题练习）自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．【答案】这个增长率为10%【分析】设这几周工作时间的增长率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这几周工作时间的增长率为x ，由题意可得：240(1)48.4x +=解得10.1x =，2 2.1x =-（舍去）答：这个增长率为10%【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程．15．（2022·上海·八年级专题练习）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案.【详解】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个，依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用.16．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）已知2x =是关于x 的方程320x x ax --=的一个根，求a 的值并解此方程．【答案】1232021a x x x ====-，，，【分析】将2x =代入即可求出a 的值，再利用因式分解法求方程的解．【详解】解：将2x =代入320x x ax --=得：8420a --=，解得2a =，∴原方程为：3220x x x --=，∴(2)(1)0x x x -+=，∴123021x x x ===-，，．【点睛】本题考查方程的解，因式分解法解方程，熟练运用因式分解是解题的关键．17．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x 的一元二次方程()2104k kx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．18．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）解方程：2132-+=x x x 【答案】x 1=2，x 2=-0.5．【分析】先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【详解】解：将方程整理为一般式为2x 2-3x -2=0，∵（x-2）（2x+1）=0，∴x-2=0或2x+1=0，解得x1=2，x2=-0.5．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）解方程：21320 32x x-++-=20．（2022·上海·八年级专题练习）去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元．求：（1）该店第二季度的营业额；（2）该店第三、第四季度营业额的增长率．（2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x ，150（1＋x ）2＝216，解得x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2（舍去），答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．21．（2022·上海·八年级专题练习）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？【答案】仓库的长与宽分别为10米和6米【分析】仓库的宽为x 米，则可以知道该仓库的长为：()2022222x x -+=-米，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：设仓库的宽为x 米，根据题意，可以知道该仓库的长为：()2022222x x -+=-米由题意可列出方程：()22260x x -=整理，得211300x x -+=，解方程，得15=x ，26x =，当5x =时，长=22212x -=，不合题意舍去，当6x =时，长=22210x -=，符合题意，答：仓库的长与宽分别为10米和6米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．22．（2022·上海·八年级专题练习）某纸箱厂要生产一批无盖纸盒，购进了长为20厘米，宽为16厘米的长方形硬纸板，将硬纸板的四个角剪掉四个小正方形（如图所示），剩下的部分正好做成无盖纸盒（不计损耗），若纸盒的底面面积为140平方厘米，则剪下的小正方形的边长是多少厘米？【答案】3厘米【分析】根据题意设小正方形的边长为x ，则底面为长为()202x -厘米，宽为()162x -厘米的长方形，根据其面积为140平方厘米，建立一元二次方程，解方程求解即可，并根据条件取舍结果．【详解】解：设设小正方形的边长为x ，根据题意得：()202x -()162x -140=解得123,15x x ==Q 宽为()162x -0>解得4x <3x \=答：剪下的小正方形的边长是3厘米【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．23．（2022·上海·八年级专题练习）制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，两个月后销售价将下降15.2%，为保证利润不变，必须降低成本，问平均每个月下降成本的百分比是多少？【答案】平均每个月下降成本的百分比是10%．【分析】设平均每个月成本下降x ，分别表示出下降后的售价及成本即可列出方程求解．【详解】解：设平均每个月成本下降x ，根据题意得：625（1-15.2%）-500（1-x ）2=625-500，解得：x =-1.9（舍去）或x =0.1=10%，答：平均每个月下降成本的百分比是10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出下降后的成本和售价，难度不大．24．（2022·上海·八年级期中）如图，在一块长为30米，宽为20米的长方形空地上，建两幢底部是长方形的小楼房，其余部分铺设草坪．要求这些草坪的宽都相等，并且两幢小楼房的底部面积的和与草坪的面积的比是1:3，求草坪的宽度．25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？【答案】隔离区的长为4米和宽2.5米【常考】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c＝0B．4x21＝0C．x2+4＝0D．3x2+x+1x＝02．（2021·上海·八年级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．2356x x-=B．120x-=C．224x y+=D．610x+=【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．二、填空题3．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．4．（2021·上海·八年级期中）若关于x 的方程()211270aa x x +-+-=是一元二次方程，则=a ___________．【答案】1-【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．三、解答题5．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）用配方法解方程：x2＝4．6．（2022·上海·八年级专题练习）解方程：2-=-x x31213二次方程，一定要注意舍去不合理的根．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．32x﹣1＝0B．x+＝3C．x2＝（x﹣2）（x+1）D．（x﹣2）（x+2）+4＝0【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A．32x﹣1＝0，是一元一次方程，故A不符合题意；B．是分式方程，故B不符合题意；C．方程整理可得x+2＝0，是一元一次方程，故C不符合题意；D．（x﹣2）（x+2）+4＝0是一元二次方程，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2021秋•普陀区校级期中）若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A．m≠1B．m≥0C．m≥0且m≠1D．m为任何实数【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．【解答】解：根据题意得：解得：m≥0且m≠1．故选：C．【点评】本题主要考查两个知识点：一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．3．（2021春•浦东新区校级月考）若x＝1是方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x﹣k+1＝0的一个根，则k值满足（ ）A．k＝±1B．k＝1C．k＝﹣1D．k≠±1【分析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x＝1代入原方程即可解得k的值．【解答】解：把x＝1代入方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x﹣k+1＝0，可得k﹣1+k2﹣1﹣k+1＝0，即k2＝1，解得k＝﹣1或1；但当k＝1时k﹣1和k2﹣1均等于0，故应舍去；所以，取k＝﹣1；故选：C．【点评】此题应特别注意求出未知字母系数的值后，要代入原方程看是否符合题意．4．（2021春•浦东新区月考）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182C．50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•普陀区校级月考）关于x的方程（m﹣3）x+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣3　．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．（2021秋•浦东新区校级月考）关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m的取值范围是　m≠﹣5　．【分析】根据一元二次方程的定义可得m+5≠0，再解不等式即可．【解答】解：由关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，得m+5≠0，解得m≠﹣5．故答案为：m≠﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．7．（2021秋•宝山区校级月考）当m　≠2　时，关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可．【解答】解：mx2+4x＝2x2﹣mx+6，mx2+4x﹣2x2+mx﹣6＝0，（m﹣2）x2+（m+4）x﹣6＝0，∵关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2．故答案为：≠2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．8．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是　m＜0　．【分析】根据负数没有平方根，即可解答．【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，故答案为：m＜0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．三．解答题（共2小题）9．（2022春•宝山区校级月考）解关于x的方程：mx2+4＝3（1﹣x2）（m≠﹣3）．【分析】先把方程变形为x2＝，然后讨论当m＞﹣3时，方程没有实数解；当m＜﹣3时，利用直接开平方法解方程，即可解答．【解答】解：mx2+4＝3（1﹣x2），mx2+4＝3﹣3x2，（m+3）x2＝﹣1，x2＝，当m＞﹣3时，方程没有实数解；当m＜﹣3时，x＝±＝±，∴m1＝，m2＝﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．10．（2021秋•虹口区校级期末）解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．【分析】按x的降幂排列整理方程，根据字母系数的取值分类讨论求解．【解答】解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，x1＝，x2＝；（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，当a＝0时，x＝0；当a＝1时，x＝2．【点评】考查运用分类讨论的思想解字母系数的方程，难度适中．【压轴】一．填空题（共2小题）1．（2021•上海模拟）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　3或﹣3　．【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x＝3或2，①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．2．（2021秋•浦东新区期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2）x+a﹣2b＝0的判别式等于0，且x＝是方程的根，则a+b的值为 ．【分析】由Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×（a﹣2b）＝0得一关于a，b的方程，再将x＝代入原方程又得一关于a，b的方程．联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出a、b的值．【解答】解：由题意可得：Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×（a﹣2b）＝0，即a2+8b+4＝0，再将x＝代入原方程得：2a﹣8b﹣3＝0，根据题意得：两方程相加可得a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1，把a＝﹣1代入2a﹣8b﹣3＝0中，可得b＝，则a+b＝．故填空答案为．【点评】此题考查了根的判别式，以及方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为解方程组的问题．二．解答题（共6小题）3．（2021秋•奉贤区校级期中）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝3/2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4．（2021秋•徐汇区校级期中）如果关于x的方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的根的情况．【分析】根据题意：要使方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，必有Δ＜0，解可得m的取值范围，将其代入方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的Δ公式中，判断Δ的取值范围，即可得出答案．【解答】解：①∵当m≠0时，方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m（m+5）＝4（m2+4m+4﹣m2﹣5m）＝4（4﹣m）＜0．∴m＞4．对于方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0．当m＝5时，方程有一个实数根；当m≠5时，Δ1＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m（m﹣5）＝12m+4．∵m＞4，∴Δ1＝12m+4＞0，方程有两个不相等的实数根．②当m＝0时，方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0有实数根，不符合题意，答：当m＝5时，方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．【点评】主要考查一元二次方程根与系数之间的关系及根的情况的判断公式的使用；要求学生熟练掌本题易错点是忽视对第二个方程是否是一元二次方程进行讨论，这个方程可能是一元一次方程．5．（2022春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　60　吨；（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解．【解答】解：（1）45+×7.5＝60；（2分）（2）设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）＝9000．（2分）化简得x2﹣420x+44000＝0．解得x1＝200，x2＝220．（6分）当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．6．（2021秋•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，结合一元二次方程的定义，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意得：1﹣2k≠0即k≠，k+1≥0，即k≥﹣1Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）＝8﹣4k＞0，综合所述，得﹣1≤k＜2且，【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根2、切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．7．（2021秋•金山区校级期中）如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间用同样材料分割成两个长方形．已知墙AE长120米，墙AF长40米，要使长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC和CD各取多少米？【分析】设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米，然后根据长方形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米．由题意，得：x（180﹣2x）＝4000，整理，得：x2﹣90x+2000＝0，解得：x＝40或x＝50＞40（不符合题意，舍去），∴180﹣2x＝180﹣2×40＝100＜120（符合题意）．答：BC＝40米，CD＝100米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用x表示CD的长，然后根据长方形的面积公式列出方程．8．（2020秋•浦东新区校级期中）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为275万元？【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间；。