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例3：求Sn
1 1 2
1 23
1 n (n
1)
练习：
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时 所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和 等比数列.
例4：求和 ：Sn 1 3x 5x 2 7x3 (2n 1)x n1
【2015 高考山东，理 18】设数列an 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn 3n 3 . （I）求an 的通项公式； （II）若数列bn 满足 anbn log3 an ，求bn 的前 n 项和Tn .
13 23 33 n3 [1 n(n 1)]2 2
例
1.设{an}为等差数列， Sn 为数列{an}的前
n
项和，已知
S7
7，
S15
75
， Tn
为数列{ Sn n
} 的前
n
项
和，求Tn ．
练习：求 1 + a + a 2 + a 3 + …… + a n (a为非零实数）的值
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
本节概要 数列求和的常用方法
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
Байду номын сангаас
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
例2：求数列的前n项和：1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2，…
a a2
a n1
练习 : 求数列1 1 2
,3 1 4
,5
1 8
, ,2n 1
1 2n
,
的前n项和.
“裂项相消法”,此法常用于形如{1/f(n)g(n)} 的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的 一次函数。把数列中的每一项都拆成两项或几项 的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有 限的几项
练习：求数列
24 2 , 22
6 , 23
,
,
2n 2n
,
前n项的和
解：由题可知，{
2n 2n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
1 2n }的通项之积
设 Sn
2 4 2 22
6 23
2n 2n
…………………………………①
1 2
Sn
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
f
2 11
f
3 11
f
10 11
(
)
A．4
B． 5
C． 6
D． 10
已知数列{an}是递增的等比数列， a1 a4 9, a2a3 8 ，则数列{an}的前 n 项和等于
.
数列{an}满足 a1
1，且 an1
an
n
1（ n N*
），则数列{ 1 }的前 an
10
项和为
（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
例
5.设
f
(x)
4 x , 则f 4x 2
1 11
