双曲线的焦半径公式推导

第7讲 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式知识与方法1．椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：（1）10PF a ex =+；（2）20PF a ex =−（记忆：左加右减）2．双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：（1）10PF ex a =+；（2）20PF ex a =−（记忆：左加右减）典型例题【例1】椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a =，2c =，e =，设()00,P x y ()000,0x y >>，则10PF x =，20PF =，由12PF PF ⊥可得222212012412163PF PF x F F +=+==，解得：0x =代入椭圆方程得01y =，故)P .【答案】)变式1 椭圆22162x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】由题意，a ，2c =，3e =，设点P 的恒横坐标为0x ，则103PF x =，20PF=，12F PF∠为钝角2222121200412163PF PF F F x x⇒+<⇒+<⇒<<.【答案】(变式2 椭圆22162x y+=的左、右焦点分别为1F、2F，椭圆上的一点P满足123PF PF=，若P在第一象限，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，a=，2c=，e=，设()00,P x y()000,0x y>>，则10PF x=，20PF=，120003332PF PF x⎫=⇒=⇒=⎪⎪⎭，代入椭圆方程得0y，所以32P⎛⎝⎭.【答案】322⎛⎫⎪⎪⎝⎭变式3 椭圆22162x y+=的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，则12PF PF⋅的取值范围为_______.【解析】由题意，a=，2c=，3e=，设()00,P x y，其中x≤≤则10PF=，20PF x=，所以[]2120262,63PF PF x⋅=−∈【答案】[]2,6变式4 （2019·新课标Ⅲ卷）设1F、2F为椭圆22:13620x yC+=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若12MF F为等腰三角形，则M的坐标为_______.【解析】解法1：12MF F为等腰三角形，点M在第一象限12MF MF⇒>，且26MF a<=，又128F F=，所以112MF F F≠，故只能1128MF F F==，设()00,M x y()000,0x y>>，则()2200220046413620x yx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：03xy=⎧⎪⎨⎪⎩，所以(M.解法2：12MF F为等腰三角形，点在M第一象限12MF MF⇒>，且26MF a<=，又128F F=，所以112MF F F≠，故只能1128MF F F==，设()00,M x y ()000,0x y >>，由椭圆焦半径公式知102683MF x =+=，解得：03x =，代入椭圆方程得0y =(M【答案】(【例2】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足1235PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，1a =，b =，2c =，2e =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−， 因为1235PF PF =，所以00321521x x +=−，解得：02x =或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y =±，所以P 的坐标为()2,3±. 【答案】()2,3±变式1 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】12F PF ∠为钝角12cos 0F PF ⇒∠<，而22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +−∠=⋅，所以22212120PF PF F F +−<由题意，1a =，b =2c =，2e =，124F F =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−，所以22002121160x x ++−−<，解得：0x <<，又01x ≤−或01x ≥，且当01x =±时，显然么12180F PF ∠=︒，所以0711,2x ⎛⎫⎛⎫∈− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】711,22⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足15PF =，则12PF F 的面积为_______.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，2e =，设()00,P x y ，则10215PF x =+=，解得：02x =或3−，当02x =时，代入双曲线方程可求得03y =±，所以12120162PF F SF F y =⋅⋅=， 当03x =−时，代入双曲线方程可求得0y =±1212012PF F S F F y =⋅⋅= 解法2：由题意，1a =，b =2c =，所以124F F =当点P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以23PF =， 显然2222121PF F F PF +=，所以212PF F F ⊥，从而122121134622PF F SPF F F =⋅=⨯⨯=， 当点P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以27PF =，从而2221122121121cos 25PF F F PF PF F PF F F +−∠==−⋅，所以12sin PF F ∠==，从而121121211sin 5422PF F SPF F F PF F =⋅⋅∠=⨯⨯=综上所述，12PF F 的面积为6或 【答案】6或变式3 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线第一象限上的一点P 满足12PF F 为等腰三角形，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意1a =，b 2c =，2e =，设()00,P x y ()001,0x y >>， 则1002121PF x x =+=+，2002121PF x x =−=−，124F F =，因为12PF F 为等腰三角形，且显然12PF PF ≠，所以112PF F F =或212PF F F =， 若112PF F F =，则0214x +=，解得：032x =，代入双曲线方程解得0y =从而32P ⎛ ⎝⎭，若212PF F F =，则0214x −=，解得：052x =，代入双曲线方程解得0y =，从而5,22P ⎛ ⎝⎭，所以点P 的坐标为322⎛ ⎝⎭或5,22⎛ ⎝⎭.【答案】32⎛ ⎝⎭或52⎛ ⎝⎭强化训练1.（★★）椭圆22:182x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】显然a =，c =2e =，设()00,P x y ()000,0x y >>，则102PF x =，20PF =，222212121*********PF PF PF PF F F x x ⊥⇒+=⇒+=⇒=，代入椭圆方程得03y =，故33P ⎛ ⎝⎭.【答案】33⎛ ⎝⎭2.（★★）椭圆2214520x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆第一象限上的一点P 满足12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a =e =，设()00,P x y ，则10PF =，20PF =−，1210F F =，因为12PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故220010033x x ⎛⎫⎛⎫+−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：03x =±，代入椭圆方程得04y =±， 结合P 在第一象限可得点P 的坐标为()3,4. 【答案】()3,43.（★★）椭圆22142x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足123PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，2a =，e =，设()00,P x y ，则102PF =+，202PF x =，因为123PF PF =，所以00232⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，解得：0x =，代入椭圆方程得01y =±，故点P 的坐标为)1±【答案】)1±4.（★★）椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】设()00,P x y ，则102PF =，202PF =−，易求得12F F =， 因为12F PF ∠为钝角，所以22212121212cos 02PF PF F F F PF PF PF +−∠=<⋅，故2221212PF PF F F +<，从而2200221222x x ⎛⎫⎛⎫++−< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：0x <.【答案】33⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭5.（2021·新高考Ⅰ卷·★★）已知1F 、2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A.13 B .12 C .9 D.6【解析】解法l ：由题意，椭圆的长半轴长为3，所以126MF MF +=，故2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12MF MF =时等号成立，所以12MF MF ⋅的最大值为9.解法2：由题意，3a =，2b =，c ，离心率3e =，设()00,M x y ，033x −≤≤，则1033MF x =+，2033MF x =−，所以2120599MF MF x ⋅=−， 故当00x =时，12MF MF ⋅取得最大值9. 【答案】C6.（★★）双曲线22122x y −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足123PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a b==，2c=，e=，设()00,P x y，则10PF，20PF=，因为123PF PF=，00=，解得：2x=或12，又x≥2x=，代入双曲线方程可求得y=，即(2,P.【答案】(2,7.（★★★）设双曲线22:1412x yC−=的左、右焦点分别为1F、2F，若双曲线C的左支上的点P到右焦点的距离等于12，则12tan PF F∠=_______.【解析】由题意，2a=，4c=，112PF=，由双曲线定义，214PF PF−=，所以18PF=，又1228F F c==，所以2221122121121cos28PF F F PFPF FPF F F+−∠==⋅，故12sin PF F∠==121212sintancosPF FPF FPF F∠∠==−∠.解法2：由题意，2a=，b=4c=，离心率2e=，设()00,P x y，则202212PF x=−=，解得：5x=−或7，又点P在双曲线C的左支上，所以5x=−，代入双曲线方程可求得y=±如图，不妨设P在x轴上方，则y=PQ x⊥轴于Q，则0110tan4PQ yPFQQF x∠===−−，显然121PF F PFQπ∠=−∠，所以()1211tan tan tanPF F PFQ PFQπ∠=−∠=−∠=−.【答案】−8.（★★★）双曲线2213xy−=的左、右焦点分别为1F、2F，双曲线上的一点P满足2PF=则12PF F 的面积为_______.【解析】解法1：由题意，a =1b =，2c =，e =， 设()00,P x y，则10PF =解得：03x =或0，显然0x ≤或0x ≥03x =，代入双曲线方程可求得0y =，所以1212011422PF F SF F y =⋅=⨯= 解法2：由题意，a =1b =，2c =，所以124F F =， 若点P在双曲线的左支上，则由双曲线定义，21PF PF −=又2PF =1PF =若点P在双曲线的右支上，则由双曲线定义，21PF PF −=，又2PF =，所以1PF =，所以222212121212cos 23PF F F PF PF F PF F F +−∠==−⋅，故21sin PF F ∠==，从而122122111sin 4223PF F SPF F F PF F =⋅⋅⋅∠=⨯=【答案】。

双曲线推导焦半径公式双曲线是一种特殊的曲线，其形状类似于两个向外张开的臂部。

在坐标平面上，双曲线的方程通常表示为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。

双曲线的焦点（F）是曲线上的一个特殊点，与其距离相等的两个点在双曲线上分别称为顶点（V1和V2）。

焦点到顶点之间的距离称为焦半径（c）。

推导双曲线的焦半径公式可以通过几何和代数的方法实现。

首先，我们可以利用双曲线的定义，将焦点（F）和顶点（V1和V2）的坐标表示出来。

假设焦半径为 c，焦点（F）的坐标为 (c, 0)，顶点（V1和V2）的坐标分别为 (a, 0) 和 (-a, 0)。

接下来，利用焦半径的定义，我们可以使用距离公式计算焦点到顶点的距离。

根据距离公式，焦点到顶点的距离可以表示为：$\sqrt{(c-a)^2 + 0^2}$ 和 $\sqrt{(c-(-a))^2 +0^2}$。

由于焦点到两个顶点的距离相等，即 $\sqrt{(c-a)^2 + 0^2} = \sqrt{(c-(-a))^2 + 0^2}$，我们可以进行一步简化。

将上述方程进行展开和化简后，我们可以得到：$(c-a)^2 = (c-(-a))^2$。

继续化简方程，我们可以得到：$c^2 - 2ac + a^2 = c^2 + 2ac + a^2$。

最终，通过消去公式中的项，我们可以得到双曲线焦半径的关键公式为：$4ac = 4a^2$。

整理上述公式后，我们可以得到焦半径的公式为：$c = a$。

因此，通过数学推导，我们可以得出双曲线的焦半径公式为 $c = a$。

这个公式表明，在具有标准形式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的双曲线中，焦半径等于顶点到原点距离的绝对值。

椭圆和双曲线的焦半径公式椭圆和双曲线的焦半径公式是数学中的重要公式，它们可以用来计算椭圆和双曲线的焦点到中心的距离。

下面我们来详细介绍这两个公式的推导过程。

一、椭圆的焦半径公式椭圆是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

则椭圆的焦半径公式为：r = √(a^2 - b^2)其中，r表示椭圆的焦半径。

推导过程如下：1. 根据椭圆的定义，可以得到以下两个方程：PF1 + PF2 = 2aPF1PF2 = 4b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。

2. 将PF1和PF2表示成坐标形式，设点P的坐标为(x,y)，焦点F1的坐标为(-c,0)，焦点F2的坐标为(c,0)（其中，c为椭圆的离心率），则有：PF1 = √[(x + c)^2 + y^2]PF2 = √[(x - c)^2 + y^2]3. 将PF1和PF2代入第一个方程中，得到：√[(x + c)^2 + y^2] + √[(x - c)^2 + y^2] = 2a4. 对上式两边平方，化简得：x^2 + y^2 = a^2 - c^25. 将c表示成a和b的形式，即c = √(a^2 - b^2)，代入上式中，得到：x^2 + y^2 = b^2这是一个标准的椭圆方程，中心在原点，长轴为2b，短轴为2a。

6. 由于椭圆的焦半径r等于焦点到中心的距离，因此有：r = √(c^2 + b^2) = √(a^2 - b^2)这就是椭圆的焦半径公式。

二、双曲线的焦半径公式双曲线是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。

设双曲线的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，焦距为2c。

则双曲线的焦半径公式为：r = √(c^2 + b^2)其中，b表示双曲线的半轴长度。

推导过程如下：1. 根据双曲线的定义，可以得到以下两个方程：PF1 - PF2 = 2aPF1PF2 = -b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。

证明焦半径公式一、椭圆焦半径公式的证明。

（一）椭圆的标准方程。

设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F_1(-c,0)，F_2(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。

（二）设点P(x_0,y_0)在椭圆上。

1. 求PF_1（左焦半径）- 根据两点间距离公式，PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}。

- 因为点P(x_0,y_0)在椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上，所以y_0^2=b^2(1-frac{x_0^2}{a^2})。

- 将y_0^2=b^2(1 - frac{x_0^2}{a^2})代入PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}中，得到：PF_1=√((x_0)+c)^2+b^2(1-frac{x_{0^2}{a^2})} =√(x_0)^2+2cx_{0+c^2+b^2-frac{b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{a^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^2c^2+a^2b^2-b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{(a^2)-b^{2)x_0^2+2a^2cx_0+a^2(b^2+c^2)}{a^2}}- 又因为c^2=a^2-b^2，所以：PF_1=√(frac{c^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^4}{a^2}} =√(frac{(cx_0)+a^2)^2{a^2}} =<=ft frac{cx_0+a^2}{a}right- 因为-a≤slant x_0≤slant a且a > 0，c>0，所以cx_0+a^2>0，则PF_1 = a +ex_0（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。

2. 求PF_2（右焦半径）- 同样根据两点间距离公式，PF_2=√((x_0)-c)^2+y_{0^2}。

双曲线的焦半径公式推导
以双曲线为例
双曲线x方/a方-y方/b方=1 (a>0,b>0)的交点分别为F1 (-C, 0) F2 (C，0)，离心率为e，P( x0,y0)是双曲线上任一点。

求证
若点P在双曲线的右支上，则PF1的绝对值=ex0+a PF2的绝对值
=ex0-a
若点P在双曲线的左支上，则PF1的绝对值=-a-ex0 PF2的绝对值
=a-ex0
这个是双曲线的焦半径公式，
公式的推导用双曲线第二定义：点到准线的距离/点到焦点的距离=离心率e
以第二个为例，PF1/(-x0-a A2/c)=e=c/a
解得：PF1=-ex0+a
其他的均用这个方法推导即可
也可利用双曲线第一定义，即|PF1-PF2|=2a,求得PF1后就可求出
PF2
得到的四个结果记住最好，做题的时候很有帮助，记不住也没关系，
只要记住
推导的方法就行了
双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意一点到焦点距离。

过右焦点的半径（右焦半径）r=|ex-a|
过左焦点的半径（左焦半径）r=|ex+a|
先焦点后分支，另外，可用两点间距离公式及方程代入推导（共四种情况）。

双曲线焦半径公式线段比
双曲线焦半径公式是一个非常重要的数学公式，它与双曲线的
焦点和半径之间的关系密切相关。

双曲线是数学中的一种曲线，其
形状类似于两个相交的直角双曲线，其焦点和半径的关系可以用一
个简单的公式来表示。

在双曲线上，焦点到曲线上的任意一点的距离与该点到曲线的
两条渐近线的距离之差的比值是一个常数，这个比值就是焦半径公
式中的线段比。

这个公式可以用数学符号表示为：
r^2 = x^2 y^2。

其中，r表示焦半径，x和y分别表示双曲线上的点的横坐标和
纵坐标。

这个公式揭示了双曲线上每个点的坐标与焦半径之间的关系，对于研究双曲线的性质和特征非常重要。

双曲线焦半径公式的线段比是双曲线独特的特征之一，它可以
帮助我们更好地理解双曲线的几何性质和数学特征。

通过这个公式，我们可以计算双曲线上任意点的焦半径，从而更深入地研究双曲线
的性质和变化规律。

总之，双曲线焦半径公式的线段比是数学中一个重要的概念，它帮助我们理解双曲线的特性，并在数学研究和实际应用中发挥着重要作用。

希望通过深入学习和理解这个公式，我们可以更好地掌握双曲线的知识，为数学领域的发展做出更多的贡献。

在双曲线中，焦点是指距离双曲线中心最近的两个点。

双曲线焦点之间的距离称为焦距，而焦点到双曲线中心的距离称为焦半径。

焦半径在双曲线的方程中扮演着重要角色，它是定义双曲线形状和尺寸的关键参数之一。

焦半径的计算可以根据双曲线的参数方程进行求解。

对于标准的水平双曲线（具有中心在原点的双曲线），焦半径的计算公式如下：
1.水平双曲线焦半径：对于水平双曲线，焦半径等于双曲线焦点到原点的距
离，可以通过下面的公式来计算：
其中，c 表示焦半径，a 和 b 分别表示双曲线的两条分支在 x 轴和 y 轴上的
长度。

对于垂直双曲线（具有中心在原点的双曲线），焦半径的计算公式为：
1.垂直双曲线焦半径：对于垂直双曲线，焦半径可以通过下面的公式计算：
在这里，c 仍然表示焦半径，a 和 b 分别表示双曲线的两条分支在 x 轴和 y
轴上的长度。

要注意的是，焦半径的正负取决于双曲线的方程类型以及焦点的位置。

因此，在计算双曲线焦半径时，需要根据具体情况选择适当的公式并注意方程参数的正负性。

焦半径是描述双曲线形状和属性的重要指标，它有助于理解双曲线的几何特征和结构。

椭圆双曲线焦半径概述椭圆和双曲线是数学中的两个重要曲线类型，它们在几何学、物理学、工程学等领域中经常被应用。

本文将详细讨论椭圆和双曲线的焦半径，介绍焦半径的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。

什么是焦半径焦半径是指椭圆或双曲线中心到焦点的距离。

椭圆和双曲线具有两个焦点，焦半径是从中心到其中一个焦点的距离。

对于椭圆和双曲线而言，焦半径是一个固定值，与曲线本身的形状和大小有关。

椭圆焦半径的计算椭圆的焦半径可以通过下列公式进行计算：c =√a 2−b 2其中，a 表示椭圆的长半轴的长度，b 表示椭圆的短半轴的长度，c 表示焦半径的长度。

在椭圆的轴向标准方程中，焦半径也可以通过半轴长度计算：c =√a 2e 2−a 2 其中，e 表示椭圆的离心率，e =c a 。

双曲线焦半径的计算双曲线的焦半径可以通过下列公式进行计算：c =√a 2+b 2其中，a 表示双曲线的长半轴的长度，b 表示双曲线的短半轴的长度，c 表示焦半径的长度。

在双曲线的轴向标准方程中，焦半径也可以通过半轴长度计算：c=√a2+a2e2。

其中，e表示双曲线的离心率，e=ca椭圆焦半径的应用椭圆焦半径在许多实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些具体的应用场景：1. 卫星轨道设计在卫星轨道设计中，椭圆焦半径是确定轨道形状和卫星运动轨迹的重要参数。

通过合理选择焦半径的大小，可以实现卫星的稳定运行和准确定位。

2. 天体运动模拟椭圆焦半径用于模拟天体的运动轨迹。

例如，行星绕太阳的轨道可以近似为椭圆，通过计算焦半径，可以准确预测行星的位置和运动状态。

3. 椭圆积分计算在数学和物理学中，椭圆积分是一类重要的特殊函数。

椭圆焦半径在椭圆积分的计算中起到关键作用，通过焦半径的值可以确定积分的收敛性和计算精度。

双曲线焦半径的应用双曲线焦半径在实际问题中也有着广泛的应用。

以下是一些具体的应用场景：1. 双曲线天线设计在通信领域中，双曲线抛物天线是一种常用的天线类型。

高中数学：焦半径公式及其应用从圆锥曲线（特指椭圆、双曲线、抛物线）的定义与标准方程出发，如何去推导与焦点相关的焦半径公式、焦点弦长公式及其相关的结论，进而加以应用．本文不作特别说明，椭圆、双曲线、抛物线都是针对焦点在轴上标准方程（其中抛物线考虑标准方程），分别为椭圆或双曲线的左、右焦点，是抛物线的焦点，是相应圆锥曲线上的一点．所有的公式推导均以椭圆方程为例，且优先考虑左焦点对应的相关公式．双曲线可以完全类比椭圆的推导过程得到，特殊情况会另外说明．焦半径是指圆锥曲线上任意一点与焦点的连线段．对于椭圆与双曲线上的任意一点，都对应两条焦半径；对于抛物线上的任意一点，焦半径唯一存在．设是椭圆上任意一点，则有从而焦半径而，所以其中为椭圆的离心率．事实上，在由椭圆的定义推导椭圆方程的过程中，就已经产生了这个式子，设满足即分子有理化得于是有(1)(2)两式相加得即为椭圆上一点到椭圆左焦点的距离．于是我们得到椭圆的焦半径公式（I）：同理有双曲线的焦半径公式（I）：当点在双曲线上的不同支上时，绝对值里面式子的正负大家可以自行讨论．抛物线的焦半径公式可以直接由抛物线的定义得到，即例1椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是____．正确答案是．解设，则有，即解得又因为，所以有两边同除可解得由椭圆的焦半径公式（I）知，已知椭圆上一点的横坐标，就很容易求出椭圆的焦半径长，但有时，我们知道的不是横坐标的值，而是焦半径与轴形成的角度，我们可以从上面的焦半径公式（I）出发去推导由焦半径与轴正半轴所成的角对应的焦半径公式．设与轴正半轴形成的角度为，则有整理得，于是有解得同理可以推得右焦点对应的焦半径公式其中，是焦半径与轴正半轴所成的角，注意，同一个点与左焦点与右焦点连线形成的焦半径与轴正半轴所成的角不是同一个角，这是与焦半径公式（I）很不相同的地方，如图：于是我们得到椭圆的焦半径公式（II）：其中为焦半径与轴正半轴所成的角．对于双曲线来说，与椭圆类似可以得到双曲线的焦半径公式（II），需要注意的是，当双曲线上的点在双曲线的不同支上时，焦半径公式（I）中绝对值的正负不同，所以需要分别讨论．双曲线的焦半径公式（II）：当在双曲线的左支时，有当在双曲线的右支时，有其中为焦半径与轴正半轴所成的角．抛物线的焦半径公式为：其中为焦半径与轴正半轴所成的角．椭圆的焦半径公式（II）有两个常用的推论：推论1 椭圆的焦点弦长公式：其中为椭圆的焦点弦，的倾斜角为．圆锥曲线的焦点弦是指过某一焦点的直线与该圆锥曲线相交得到的两个交点之间的线段．当该弦与轴（椭圆的长轴，双曲线的实轴）垂直时，得到的弦我们称为通径．因为焦半径公式（II）是与角度相关的公式，所以我们很容易从它得到椭圆的焦点弦长公式．证明设是过椭圆左焦点的焦点弦，的倾斜角为，不妨设点在轴上方，如图：由焦半径公式（II）知于是这就是椭圆的焦点弦长公式，容易知道，对于经过椭圆右焦点的弦，此公式同样适用．事实上，对于双曲线，同样有推论1，即双曲线的焦点弦长公式：其中为双曲线的焦点弦，的倾斜角为．不论两点在双曲线的同支还是异支上，都有这个公式成立，只是绝对值中的式子正负有所不同．抛物线的焦点弦长公式更为简单，即其中是抛物线的焦点弦，的倾斜角为．例2椭圆，为椭圆上四个不同的点，都不和轴垂直，且分别过，，求证：为定值．解设的倾斜角为，则的倾斜角为，则由焦点弦长公式知所以为定值．推论2 椭圆的焦点弦被焦点所分成的两段线段长的调和平均数为定值（即焦半径的倒数和为定值）．证明由焦半径公式（I）知于是我们知道与的调和平均数为定值，即这个定值就是半通径长，由均值不等式易知椭圆的所有焦点弦中，通径长最短．几道练习：练习1椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，求的值．练习2椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，，求四边形面积的取值范围．答案练习1 ．提示设，则，于是于是．练习2 ．提示设的倾斜角为，则的倾斜角为，于是四边形的面积练习3备注1椭圆的焦半径公式（I）是从椭圆的第一定义向第二定义过渡的重要桥梁，可以通过椭圆的焦半径公式（I）去发掘椭圆的第二定义．由焦半径公式（I）知设直线：，称为椭圆的左准线，记点到的距离为，则有即椭圆上任一点到椭圆左焦点的距离与到左准线的距离的比为定值，这个值为椭圆的离心率．同样地有椭圆的右准线于是有，椭圆上的任意点到椭圆的焦点与对应准线的距离的比值为定值．对于双曲线也有类似的结论，双曲线的准线方程为双曲线上任意点到焦点的距离与到对应准线的距离的比也为定值，即为双曲线的离心率．同时，平面上到定点与到定直线（其中）的距离比为定值（其中）的轨迹为椭圆、双曲线或抛物线，取决于的大小．当时为椭圆，当时为抛物线，当时为双曲线．从而有圆锥曲线的统一定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线（其中定点不在直线上）的距离的比为定值的点的轨迹为圆锥曲线，时这个定义就是抛物线的定义，当的范围在与上时，对应的定义被称为椭圆与双曲线的第二定义．备注2由椭圆的焦半径公式（II）很容易得到椭圆的极坐标方程：以椭圆的一个焦点为极点，以轴正半轴方向为极轴方向建立极坐标系，则椭圆上任意一点的坐标满足：这就是椭圆的极坐标方程，注意如果以椭圆的右焦点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，得到的极坐标方程为▍▍ ▍▍。

双曲线焦半径公式带cos
双曲线焦半径用cos函数表示，是几何学中一个重要的数学结构。

它可以用来描述曲线的形状，以及曲线上某点到曲线开始处的距离。

双曲线焦半径由两个变量表示：cos函数定义域（θ）和双曲线形状参数（a）。

双曲线焦半径的数学表达式可以定义为：cos⁡(θ/α )，其中θ∈
[0,2π ]。

它的特点是，当θ/α 取值越小，焦半径就越大，反之则越小。

在双曲线平面几何学中，可以使用双曲线焦半径的几何性质来求解双曲线的界限，从而对双曲线的特征和形状有更清晰的认识。

双曲线焦半径的定义及其属性也为双曲线数学建模提供了可靠的准则系统。

综上所述，cos函数可以作为双曲线焦半径的基础，可以满足双曲线空间几何学研究的多重复杂要求，从而更好地理解双曲线特性，并应用于诸如数学建模等方面的研究。

椭圆与双曲线的焦半径公式
在平面几何中，椭圆与双曲线是两种常见的二次曲线。

它们具有非常重要的性质，特别是它们的焦半径公式。

本文将详细介绍椭圆与双曲线的焦半径公式，并为读者提供指导意义。

首先，我们来了解一下椭圆的焦半径公式。

椭圆是所有到两个定点距离之和恒定的点所组成的图形。

这两个定点称为椭圆的焦点。

椭圆的焦半径公式是指从焦点到椭圆上任意点的线段长度都等于该点到椭圆左右两个焦点的距离之差。

换句话说，如果将椭圆的两个焦点记为F1和F2，将椭圆上任意一点记为P，将P点到F1、F2的距离分别为d1、d2，则焦半径公式可以表示为：
PF1 - PF2 = d1 - d2
这个公式的实际应用非常广泛，例如在太阳系行星轨道以及卫星通信中均有应用。

接下来，我们来介绍双曲线的焦半径公式。

双曲线与椭圆非常相似，它们都是二次曲线。

不同的是，双曲线的焦点到曲线的距离之差恒定为一个定值，而不是和椭圆一样固定等于曲线上点到两个焦点的距离之差。

换句话说，如果将双曲线的两个焦点记为F1和F2，在曲线上取任意一点P，将P点到F1、F2的距离分别为d1、d2，则焦半径公式可以表示为：
PF1 - PF2 = 2a
其中，a是双曲线的半轴长度。

双曲线的焦半径公式同样有许多应用，例如在天文学中用于描述天体轨道的形状，以及在工程学中用于计算电磁波的传播。

总之，无论是椭圆还是双曲线，它们的焦半径公式在科学研究与实践中都具有非常重要的意义。

它们不仅是数学知识，更是实际应用的基础。

希望读者可以通过本文对椭圆与双曲线的焦半径公式有更深入的了解，并能在实践中灵活应用。

圆锥曲线公式
圆锥曲线的公式主要有以下：1、椭圆：焦半径：a+ex(左焦点)，a-ex(右焦点)，x=a²/c2、双曲线：焦半径：|a+ex|(左焦点)|a-ex|(右焦点)，准线x=a²/c3、抛物线(y²=2px)等。

公式
椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

椭圆的标准方程共分两种状况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)
2.双曲线：到两个定点的距离的差的肯定值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a|F1F2|)}。

双曲线的标准方程共分两种状况：
焦点在X轴上时为
x^2/a^2-y^2/b^2=1；
焦点在Y轴上时为
y^2/a^2-x^2/b^2=1；
3.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。

y²=2px（p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点。

抛物线标准方程共分四种状况：
右开口抛物线：y^2=2px；
左开口抛物线:y^2=-2px；
上开口抛物线：x^2=2py；
下开口抛物线:x^2=-2py；
[p为焦距（p0）]。