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待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法
关键词：微分方程，特解，通解，
二阶齐次线性微分方程
常系数微分方程 待定系数法
解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)
d x dx
L x a a x dt dt
≡++=
12,.
a a 这里是常数 特征方程
212()0
F a a λλλ=++=
(1.1)
(1)特征根是单根的情形
设
12,,,n λλλL 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如
下2个解：
12,t t e e λλ (1.2)
如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程
(1)的通解可表示为 1212t t
x c e c e λλ=+
如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设
i
λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解
(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+ (i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-
它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根
i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解
cos ,sin .t t e t e t ααββ
（2）特征根有重跟的情形
若10λ=特征方程的
k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解211,t,t ,k t -L 。 若这个k 重零根1
0,λ≠设特征根为12,,,,m λλλL 其重数为1212,,,k (k 2)
m m k k k k ++=L L 。方程
(1)的解为
11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---L L L L
对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-:
也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解
2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--L L
例1 求方程
220d x
x dt -=的通解。
解 特征方程
210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通
解为
12,
t t x c e c e -=+
这里
12
,c c 是任意常数。
例2 求解方程 220d x
x dt +=的通解。
解 特征方程
210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根，
均是单根，故方程的通解
为
12sin cos ,
x c t c t =+
这里12
,c c 是任意常数。
某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数
1.在自变量变换下，可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程
22
122
0d y dy x a x a y dx dx ++= (2)
12(0),.
a y a 这里为常数，它的特点是的k 阶导数（k=0,1,2,规定y =y ）的系数是x 的k 次方乘以常数
我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系
数。根据方程x 本身的特点，我们选取自变量的变换(t)x ϕ=，并取(t)e t
ϕ=，即
变换
e (t ln )t x x == (2.1)
就可以达到上述目的（这里设
0x >，当0x <时，取t
x e -=-，以后为确定起见，认为0x >）。 事实上，因为
t dy dy dt dy e dx dt dx dt -==
22222()()t t d y d dy dt d y dy e e dx dt dt dx dx dt --==-
代入方程
(2)，则原方程变为
2122(1)d y dy
a a y o dt dt +-+=(2.2)
方程
(2.2)
常系数二阶线性微分方程，由 上可求得方程的通解。再变换
(2.1)，
代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。
例 求方程22
2
540d y dy
x x y dx dx ++=的通解
解 此方程为欧拉方程，令
e t x =，则由(2.2)知，原方程化为
2244d y dy
y o dt dt ++= (2.3)
其特征方程为
2440λλ++=
特征根为122λλ==-，故方程(2.3)的通解为
212(c c t)e t y -=+
换回原自变量x ，则原方程的通解为
212(c c ln )y x x -=+
2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程
2122()()0d y dy
P x P x y dx dx ++= (2.4)
的系数函数
12(),()
P x P x 满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换
()z y a x =(2.5)
化为常系数方程。这里()a x 是待定函数。 为此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到
'''''''112()z [2P ()()][()P ()()P ()()]0a x a x x a x z a x x a x x a x z +++++=(2.6)
欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取()a x 使得'''z z 、及z 的系数均为常数。特别地，令'
z 的系数为零，即
'12()0a P x a += 可求得
11
()d 2
()e P x x a x -
⎰
=
再代入(2.6)，整理之，得到
''2'
21111[P ()()()]0
42z x P x P x z +--= (2.7)
