关于不等式证明的常用方法
重难点归纳
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果
作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因
2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要
有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不
等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法
典型题例
例1证明不等式n n
213
12
11<+
++
+
Λ(n ∈N *)
知识依托 本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等
例2求使
y x +
≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值
知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把
a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值
例3已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +
a 1)(
b +b 1)4
25
证法一 (分析综合法） 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法） 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法）
巩固练习
1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且
y
b
x a +=1，x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足 a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是_________
3 若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________
4 已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1 求证
(1)a 2+b 2+c 2≥
3
1
(2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明 x ，y ，z ∈［0，3
2
］
6 证明下列不等式
(1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则
c b a y b a c x a c b ++
+++22z 2
≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则z y x y x z x z y +++++≥2(z
y x 1
11++) 7 已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n
(1)证明 n i A i m ＜m i A i n (2)证明 (1+m )n ＞(1+n )m
8 若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证 a +b ≤2，ab ≤1
不等式知识的综合应用
典型题例
例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)
知识依托 本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值
例2已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1
(1)证明 |c |≤1；
(2)证明 当－1 ≤x ≤1时，|g (x )|≤2；
(3)设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g (x )的最大值为2，求f (x )
知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式
例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)，方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2a
1 (1)当x ∈［0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1；
(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明 x 0＜
2
1
x 巩固练习
1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等
式，其中正确不等式的序号是( )
①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A ①③
B ②④
C ①④
D ②③
2 下列四个命题中 ①a +b ≥2
ab ②sin 2x +
x
2
sin 4
≥4 ③设x ，y 都是正数，若y x 91+=1，则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________
4 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2
(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范围
6 设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1
(1)求证 f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1；
(2)求证 f (x )在R 上单调递减；
(3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R }，若A ∩B =∅，求a 的取值范围
7 已知函数f (x )=1
22
2+++x c
bx x (b ＜0)的值域是［1，3］， (1)求b 、c 的值；
(2)判断函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t ∈R ，求证 lg
57≤F (|t －61|－|t +61|)≤5
13 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
【命题趋向】
数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用. 【典例分析】
题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f(x)≥M 恒成立⇔f(x)min ≥M ；f(x)≤M 恒成立⇔f(x)max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例1】等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1
a n 恒成立的正整数n 的取
值范围.
【例2】（08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n ∈N*．
(Ⅰ)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N*，求a 的取值范围．【点评】 一般地，如果求条件与前n
