第四章 大数定律与中心极限定理
4.1特征函数
内容提要
1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下
(),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i
itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞
?=?==-∞<<+∞???∑?
由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的.
2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ;
(2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??=
(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+
(5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续
(7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数
n t t t ,,,21Λ和n 个复数n z z z Λ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n
k n
j k z z t t ?
(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有
=-+--+2
)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21
lim
2
1dt t it e e T
T itx itx T ?π?-+∞→-
特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有
;)(21
lim
)()(2
112dt t it e e x F x F T
T itx itx T ?π
?-+∞→-=-
(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定;
(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ?如果
+∞
+∞
∞
-dt t )(?,
则
dt t e x p itx )(21)(?π
?
∞
+∞
--=
3. 常用的分布函数特征表
习题与解答4.1
1. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.
解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=?
2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1Λ=-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).
解 记q =1-p , 则
it
it
K it
it k k itk itx
qe pe q e pe p q
e e E t -====∑∑+∞
=+∞
=-1)()()(1
1
1
?,
()
2
'
1)(it it
qe ipe t -=
?,
4
2'
')
1()1(2)1()(it it
it it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=?, p q p i X E 1
)1()0(1)(2
'=-==?,
242''21)1()1(2)1()0(1)(p
q
q q pq q p i X E +=--+-==?,
2
2222)1(1)]([)()(p
q
p p q X E X E X Var =-+=
-= 3.设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(r
k r p p r k k X P --???
? ??--== ,1,,k r r =+L 试求X 的特征函数.
解 设r X X X ,,,21Λ是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为
,1)(X it
it
qe
pe t j -=? 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++=Λ21,所以X 的特征函数为
∏=-==r
j r
it
it x X qe pe t t j 1
)1()()(??. 4.求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.
(1)dt e a x F x t a ?∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x
?∞-+=2
221
)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2
)(1x
a e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为
010
()22
itx ax itx
ax a a
t e e dx e
e dx ?+∞
--∞=?+
???
(cos sin )(cos sin )22
ax ax
a a
tx i tx e dx tx i tx e dx +∞
--∞=+?++???
=.cos 222
t
a a dx txe
a ax
+=?+∞
-
又因为,)(2)(2222'
1
t a ta t +-=? ,0)0('1=? ,)
()3(2)(3
22222'
'1t a a t a t +-=? ,2)0(2''1a -=? 所以 0,(0)1)('1==?i X E V a r(X )= .a
2
(0)1)(2''122==?i X E
(2) 因为此分布的密度函数为 ,1
)(2
22a x a
x p +?
=π .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为
,cos 2)(022222??+∞
+∞∞-+=
+=dx a
x tx
a
dx a x e a
x itx π
π? 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查
积分表)
.2cos 0
22?+∞
-=+at
e a dx a x tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at at
e e a
a t --=?=
ππ? 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=??所以
.22)(2t
a at e e a
a t --=?=
ππ? 又因为)(2t ?在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.
注:?+∞
∞-+=dx a
x e a
x itx
2
22)(π?也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下:t >0时,
???
? ??=+?=+=?+∞
∞-ai z a z e i a
dx a x e a
x itz itx ,Res 2)(22222πππ? ta ta
itz ai z e ai e ai ai z e i a
--→==+?=22lim 2ππ
5. 设),,(~2σμN X 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解 因为正态分布),(2σμN 的特征函数为,)(2
/2
2t t i e t σ
μ?-=所以
,)0('
μ?i = ,)
0()('μ?==
i
X E
,)0(22''σμ?--= ,)
0()(222
''2
σμ?+==
i X E ,3)0(23'''μσμ?i i --= ,3)
0()(333
'''3
μσμ?+==i X E
,36)0(4
2
2
4
'
'''σσμμ?++= .36)
0()(42244
''''4
σσμμ?++==
i X E
由此得X 的3阶及4阶中心矩为
,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E
.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E
6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p).
证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=?, m it Y q pe t )()(+=?, 所以由 X 与Y 的独立性得
()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ???++==+,
这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P ).
7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X
与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2).
证:因为 ,)(,)()
1()
1(21====it it
e Y e
X e
t e t λλ?? 所以由X 与Y 独立性得
,)()()()
1)2(-+==+it e e
t t t Y X Y X λλ???
这正是泊松分布 P (λ1+λ2).的特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2). .
8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若),,(~1λa Ga X
),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++.
证 因为 1)1()(a X it t --=λ?,2)1()(a Y it
t --=λ
?,所以由X 与Y 的独立性得
)(2
1
)1()()()(a a Y X Y X it
t t t +-+-==λ
???,
这正是伽玛分布),(21λa a Ga +的特征函数,由唯一性定理知
),(~21λa a Ga Y X ++.
9.试用特征函数的方法证明2χ分布的可加性:若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ
证 因为2
)
21()(n
X it t --=?,2
)
21()(m
Y it t --=?,所以由X 与Y 的独立性得
2
)
()
21()()()(m n Y X Y X it t t t +-+-=+=???,
这正是2χ分布2χ(n+m)的特征函数,由唯一性定理知).(~2m n Y X ++χ
10. 设i X 独立同分布,且n i Exp X i ,,2,1),(~Λ=λ.试用特征函数的方法证明:
∑==n
i i n n Ga X Y 1),(~λ.
证 因为1)1()(--=λ
?it
t i X ,所以由诸i X 的相互独立性得n Y 的特征函数为
n Y it
t n
--=)1()(λ
?,
这正是伽玛分布),(λn Ga 的特征函数,由唯一性定理知),(~λn Ga Y n .
11. 设连续随机变量X 服从柯西分布,其密度函数如下:
+∞<<-∞-+?
=
x x x p ,)(1
)(2
2μλλ
π,
其中参数+∞<<-∞>μλ,0,常记为),(~μλCh X ,
(1) 试证X 的特征函数为{}t t i λμ-exp ,且利用此结果证明柯西分布的可加性;
(2) 当1,0==λμ时,记Y =X,试证)()()(t t t Y X Y X ???=+,但是X 与不独立; (3) 若n X X X ,,,21Λ相互独立,且服从同一柯西分布,试证:
)(1
21n X X X n
+++Λ 与X i 同分布.
证 (1) 因为μ-=X Y 的密度函数为+∞<<-∞+?
=
x y
x p ,1)(2
2λλ
π,由本节第4题(2)知Y 的特征函数为{}()exp ||Y t t φλ=-.由此得μ+=Y X 的特征函数
{}{}t t i t t i t t Y Y X λμ?μ??μ-===+exp )(exp )()(.
下证柯西分布的可加性: 设)2,1(=i X i 服从参数为i i λμ,的柯西分布,其密度函数为: 2,1,,)(1
)(2
2=+∞<<-∞-+?
=
i x x x p i i μλλ
π.若1X 与2X 相互独立,则
(){}t t i t t t X X X X )(exp )()()(21212
1
2
1
λλμμ???+-+==+,
这正是参数为2121,λλμμ++柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知,
21X X +服从参数为2121,λλμμ++的柯西分布.
(2) 当1,0==λμ时有 {}t t X -=exp )(?,{}t t Y -=exp )(?,所以 )2()()(2t t t X X Y X ???==+
{}{}{}t t t --=-=exp exp 2exp )()(t t Y X ??=. 由于Y=X,当然X 与Y 不独立.
此题说明,由)()()(t t t Y X Y X ???=+不能推得X 与Y 独立.
(3) 设i X 都服从参数为λμ,的柯西分布,则特征函数为{}t t i t λμ?-=exp )(.
由相互独立性得, ∑=n i i X n 11 的特征函数为 []{}t t i n t n
λμ?-=exp )/(,即 ∑=n i i X n 1
1与
X 1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.
12.设连续随机变量X 的密度函数为p (x ),试证:p (x )关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
证:记X 的特征函数为)(t X ?.先证充分性,若)(t X ?是实的偶函数,则
)()(t t X X ??=-或)()(t t X X -=-??,这表明X 与-X 有相同的特征函数,从而X 与-X
有相同的密度函数,而-X 的密度函数为p (-x ),所以得p (x )=p (-x ),即p (x )关于原点是对称的.
再证必要性.若p (x )=p (-x ),则X 与-X 有相同的密度函数,所以X 与-X 有相同的特征函数.由于-X 的特征函数为)(t X ?,所以)()(t t X X ??=-=________
)(t X ?,故)(t X ?是实的偶函数.
13.设n X X X ,,,21Λ独立同分布,且都服从N (2
,σ?)分布,试求∑==n
i i X n X 1
___
1的
分布.
解:因为X j 的特征函数为2
/22)(t t i j e t σ??-=,所以由诸X i 互相独立得___
X 的特
征函数为)
2/(2
2))/(()(n t t i n i X e n t t σ
???-==这是正态分布N (n /,2σ?)的特征函数,所
以由唯一性定理知∑==n
i i X n X 1
___
1~N (n /,2σ?)
随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识,即用随机变量描述随机现象的研究方法,它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量: 取值依赖于某个随机试验的结果(样本空间),并随着试验结果不同而变化的变量,称之为随机变量。 分布函数: [1] 定义: 设X 是一个随机变量,对任意实数x ,记作 (){}F x P X x ≤=,称()F x 为随机变量X 的分 布函数,又称随机变量X 服从分布()F x ,显然,函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞,值域为[0,1]。 [2] 性质: ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+,即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <, {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ,
00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念:设X 是一个随机变量,如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个,则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律,表格表示形式如下: [2] 性质: ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念:如果对于随机变量的分布函数()F x ,存在非 负的函数 ()f x ,使得对于任意实数x ,均有:
特征函数 (概率论) 维基百科,自由的百科全书 跳转到:导航, 搜索 在概率论中,任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上,它由以下公式给出,其中X是任何具有该分布的随机变量: , 其中t是一个实数,i是虚数单位,E表示期望值。 用矩母函数M X(t)来表示(如果它存在),特征函数就是iX的矩母函数,或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同,特征函数总是存在。 如果F X是累积分布函数,那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出: 。 在概率密度函数f X存在的情况下,该公式就变为: 。 如果X是一个向量值随机变量,我们便取自变量t为向量,tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数,因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分,且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足f X(x) = f X(-x))是实数,因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。
目录 [隐藏] ? 1 性质 ? 2 连续性 o 2.1 反演定理 o 2.2 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 o 2.3 计算性质 ? 3 特征函数的应用 o 3.1 矩 o 3.2 一个例子 ? 4 多元特征函数 o 4.1 例子 ? 5 矩阵值随机变量 ? 6 相关概念 ?7 参考文献 [编辑]性质 [编辑]连续性 主条目:勒维连续定理 勒维连续定理说明,假设为一个随机变量序列,其中每一个都有特征函数,那么它依分布收敛于某个随机变量: 当 如果 当 且在处连续,是的特征函数。 勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。
8.随机变量的函数的分布 【教学容】:高等教育大学盛骤,式千,承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第五节的随机变量的函数的分布 【教材分析】:本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学;本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征, 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题;本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中,离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策,因此,我在本次教学中,先复习分布函数和概率密度函数的关系,后通过简单例子来讲解,最后归纳总结 ,再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。 【学情分析】: 1、知识经验分析 学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识,通过前两次课的学习已具备一定的解题方法,本节课通过让学生观察、思考,教师启发、引导等教学方式,让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础,但概念理解不透彻,解决问题的能力不高,方法应用不熟练,知识没有融会贯通。 【教学目标】:掌握随机变量的函数的概率分布的求法。 【教学重点、难点】: 重点:离散型随机变量的函数的分布;连续型随机变量的函数的分布。 难点:连续型随机变量的函数的分布。 【教学方法】:讲授法 启发式教学法 【教学课时】:1个课时 【教学过程】: 一、问题引入 在实际中,人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。
第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数 n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有
=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定; (10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ?如果 +∞ +∞ ∞ -dt t )(?, 则 dt t e x p itx )(21)(?π ? ∞ +∞ --= 3. 常用的分布函数特征表
§3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量,我们讨论过随机变量函数的分布问题,对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如,若ξ是N (2 ,σμ)分布的随机变量,为了解决计算中的查表问题, 在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题,先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量,其密度函数为p (x),又y =)(x f 严格单调,其反函数)(x h 有连续导数,则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量,且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y (3.51) 其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明 略) 例3.11(略) 例3.12(略) 2χ—分布 我们先给出下述一个式子: p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述(3.53)式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布(2χ读作“卡方”),并记作)(2 n χ,它是数理统计中一个重要的分布。 (一)和的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量,密度函数为p (x,y),现在来求ηξζ+=的分布,按定义为 F ζ(y)= P (ζ F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - (3.54) 如果ξ与η是独立的,由(3.48)知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数,用P ξ(x)·P η(y)代替(3.54)式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ (3.55) 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ (3.56) 由(3.55)或(3.56)式给出的运算称为卷积,通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13(略) 我们已经知道某些分布具有可加性,其实还有一些其它分布,也具有可加性,其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要,我们这里顺便证明这个结论。为此,可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ (3.57) (其中α>0, β>0为两个常数),这时称ξ是参数为(α,β)的Γ分布的随机变量,相应的分布称作参数为(α,β)的Γ分布,并记作Γ(α,β). 例3.14(略) (二)商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量,密度函数为p (x 1,x 2),现在来求η ξ ζ= 的分 第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数 n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有 =-+--+2 )0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定; 第四章 大数定律与中心极限定理 4。1特征函数 内容提要 1。 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =a X+b ,其中a ,b 是常数。则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有 );()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x)和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x)的任意两个点21x x <,有 =-+--+2 )0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- 第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球,分别编号为1~10,从中任取5个球,令X 表示取出5个球的最大号码,试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5,6,7,8,9,10 且10,9,8,7,6,5 ,)(510 41===-k C C k X P k 所以X 的分布列为 2. 一批元件的正品率为4,次品率为4 ,现对这批元件进行有放回的测试,设第 X 次首次测到正品,试求X 的分布列。 解 X 的取值为1,2,3,… 且 ,3,2,1 ,434341)(k 1 ==? ? ? ? ??==-k k X P k . 此即为X 的分布列。 3. 袋中有6个球,分别标有数字1,2 ,2,2,3,3,从中任取一个球,令X 为取出的球的号码,试求X 的分布列及分布函数。 解 X 的分布列为 由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ???? ?????≥<≤<≤<=3 ,132 ,3 221 ,6 1 1 ,0)(x x x x x F 4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15 )(== =k k k X P 。 求 ).3( )3( ),31( )2( ),2 5 21( )1(>≤≤< 第四章 大数定律与中心极限定理 4、1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 就是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X的特征函数)(t ?总就是存在的. 2、 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y=aX +b,其中a ,b 就是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X与Y就是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?就是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 与n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )与)(t ?分别为X的分布函数与特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有 =-+--+2 )0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定; 特征函数(概率论) 在概率论中,任何随机变量的特征函数(缩写:ch.f,复数形式:ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直线上,它由以下公式给出,其中X是任何具有该分布的随机变量: , 其中t是一个实数,i是虚数单位,E表示期望值。 用矩母函数M X(t)来表示(如果它存在),特征函数就是iX的矩母函数,或X在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同,特征函数总是存在。 如果F X是累积分布函数,那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出: 。 在概率密度函数f X存在的情况下,该公式就变为: 。 如果X是一个向量值随机变量,我们便取自变量t为向量,tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数,因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分,且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足f X(x) = f X(-x))是实数,因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。 连续性 主条目:勒维连续定理 勒维连续定理说明,假设为一个随机变量序列,其中每一个都有特征函数,那么它依分布收敛于某个随机变量X: 当 如果 当 ?在处连续,是的特征函数。 且()t 勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说,两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。 给定一个特征函数φ,可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F: 。 一般地,这是一个广义积分;被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的,也就是说,它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 主条目:博赫纳定理 任意一个函数是对应于某个概率律的特征函数,当且仅当满足以下三个条件: 1是连续的; 2; 3是一个正定函数(注意这是一个复杂的条件,与不等价)。 计算性质 特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如,如果X1、X2、……、X n是一个独立(不一定同分布)的随机变量的序列,且 随机变量特征函数 教程 一:复习一维随机变量概率分布刻画方式 一般随机变量,通用方式-cdf 离散随机变量,概率分布律-pmf 连续随机变量,概率密度函数-pdf 二:其他一些随机变量概率刻画方式,母函数,矩母函数,特征函数 其中,特征函数适合所有随机变量,但是也是最为复杂的一种方式。 定义:取值实数的随机变量X 的特征函数()itX t Ee ?=,这里i =t 为任意实数。 注意:()(cos()sin())(cos())(sin())itX t Ee E tX i tX E tX i E tX ?==+=+? 三:例题 计算常用随机变量特征函数 1、两点分布(1),(0)1P X p P X p ====- 01()(0)(1)(1)itX it it it t Ee e P X e P X p pe ???===+==-+ 2、二项分布~(,)X b n p 00()(1)()(1)(1)n n itX itk k k n k k it k n k it n n n k k t Ee e C p p C pe p pe p ?--====-=-=+-∑∑ 3、Poisson 分布~()X πλ,()! k e P X k k λλ-==,k=0,1,2,… syms t real syms k integer syms lamda positive Characterfun=symsum(exp(i*t*k)*exp(-lamda)*lamda^k/gamma(k+1),k,0,inf) Characterfun = exp(lamda*(-1+exp(i*t))) 4、几何分布~()X ge p ,1()(1)k P X k p p -==- syms t real syms p positive syms k integer Characterfun=symsum(exp(i*t*k)*(1-p)^(k-1)*p,k,1,inf) Characterfun = exp(i*t)*p/(1+exp(i*t)*(-1+p)) 5、均匀分布~(,)X U a b随机变量的特征函数文档
随机变量的特征函数
第2章 随机变量及其函数的概率分布
随机变量的特征函数 2
特征函数
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