南昌大学 2004～2005学年第二学期期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1.设()=⎰2
2
t x F x e dt ，则()F x '=-2
2x xe
.
2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫
⎪⎝⎭
1442ππ处
的切平面方程是--+=210x y z .
3.交换累次积分的次序：
()(),,-+⎰⎰⎰⎰12330010
x
dy f x y dx dy f x y dx
=
(),-⎰⎰
2
302
x x dx f x y dy .
4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则： 使得格林公式： ⎛⎫
∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ D L
Q P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：
()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .
其中L 是D 的取正向曲线; 5.级数
∞
=-∑
1n
n (],-33.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1.当→0x ，→0y 时,函数+242
3x y
x y
的极限是()D A.等于0; B. 等于1
3
;
C. 等于1
4
; D. 不存在.
2.函数(),=z f x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，
(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C
A.充分必要条件;
B.充分但非必要条件;
C.必要但非充分条件;
D. 既非充分又非必要条件. 3.设()cos sin =+x z e y x y ，则==10
x y dz ()=B
A.e ;
B. ()+e dx dy ;
C. ()-+1e dx dy ;
D. ()+x e dx dy . 4.若级数()∞
=-∑11n
n n a x 在=-1x 处收敛,
则此级数在=2x 处()A
A.绝对收敛;
B.条件收敛;
C.发散;
D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()D A. 3x ae ; B. ()+3x ax b e ; C. ()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e . 三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过
直线-+==43521
x y z
,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430 A B
(),,∴=-142
AB 平行该平面
∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922
n
∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z
即：---=8922590x y z
四.（8分）设(),=y z f xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2z x y
.
解：令=u xy ，=y v e
∂=∂u z
yf x ()()
∂∂
==++∂∂∂2y u u uu uv z yf f y xf e f x y y
五.（8分）
计算对弧长的曲线积分⎰L
其中L 是圆周+=222x y R 与直线,==00x y 在第一象限所围区域的边界.
解：=++123L L L L
其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤
00x y R 3L ： ()=≤≤00y x R
∴===⎰⎰⎰⎰1
2
3
L
L L L
而Re ==
⎰⎰1
202
R R L e Rdt π
π
==-⎰⎰2
01R
y R L e dy e
==-⎰⎰3
01R
x R L e dx e
故：()
Re =
+-⎰212
R R L
e π
六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭⎰⎰423z x y dS ,
其中∑为平面++=1234
x y z
在第一卦限中的部分.
解： xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩02
3032x y x
=
3
∑⎛
⎫∴++== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰42433xy
D
z x y dS dxdy
-==⎰⎰32
3200
x dx 七.（8分）将函数()=++21
43
f x x x ,展开成x 的幂级数.
解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪
+++⎝⎭+1111111
21321613
f x x
x x x , 而 ()∞=⋅=-+∑0
1111212n
n n x x , (),-11
()∞
=-⋅
=+∑0111
63
13
n
n n n x x , (),-33 ()()∞
+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10
111123n
n
n n f x x , (),-11
八.（8分）求微分方程：
(
)()
+-+-+=42322253330x xy y dx x y xy y dy 的通解.
解：∂∂==-∂∂263
P Q
xy y y x
, ∴原方程为：
()
()⎡⎤++-+-=⎣⎦
4223225333x dx y dy xy y dx x y xy dy
⎛⎫
=++-= ⎪⎝⎭532231332dx d
y d x y y x ⎛⎫
=++-= ⎪⎝⎭
5322313032d x y x y y x
通解为：++-=5
322
31332
x y x y y x C
九.幂级数：()()!!!!
=+
+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462n
x x x x y x n ()(),∈-∞∞x
1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）
2.利用第1问的结果求幂级数()!
∞
=∑202n
n x n 的和函数.（8分）
解：1、()()!!!
-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-3521
3521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23
123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!
∞
==∑202n
n x S x n
由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S 通解：()()--=+=+⎰12
x
x x
x
x S x e
C e e dx Ce
e 由()=01S ，得：=12
C ；故：()()
-=+12x
x S x e e
十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件 (
)Ω=
+
⎰⎰⎰11
t
f t f
dv π
其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2
z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面
与平面=z t (参数>0t )所围成的空间区域。
1、
将三重积分)
Ω⎰⎰⎰t
f
写成累次积分的形式;
（3分）
2、试求函数()f t 的表达式.（7分） 解：1、旋转曲面方程为：()
=+22z t x y
由()
⎧=+⎪
⎨=⎪⎩
22z t x y z t ，得：+=221x y
故Ωt 在xoy 面的投影区域为：xy D ：+≤221x y
()Ω∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
2100t
t
t f
dv d d f dz πρθρρρ
2、由1得：
(
)()
()=
+
-=⎰1
201
21f t t f d πρρρρπ
()
()=+-⎰1
2021t f d ρρρρ
记：()
()=-⎰12
1A f d ρρρρ 则：(
)=
+2f t tA
两边乘以：-21t t ，再在[],01 上积分得：
()
=+-=+
⎰⎰122
00
4
21
415 A A t t dt A
π
解得：=
15
44
Aπ
故：(
)=+15
22
f t tπ。
