高等数学竞赛试题
一、选择题1.
设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞
→n n n x y ，则n n z ∞
→lim （C ）
(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.
设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（A ）(A)当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数；(B)当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数；
(C)当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数；(D)当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数.
3.
设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰
-=a a
dx x f I )(，则有（B ）
(A)0=I ;
(B)0>I ;
(C)0
(D)不确定.
4.设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，
⎰
-=x dt t f t x x F 0
22)()()(，当0→x 时，k
x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （B ）
(A)4；(B)3；(C)2；
(D)1.
5.
设⎪
⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0
0,),(22222
22y x y x y x y
x y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（D
）
(A)不连续；
(B)连续但偏导数不存在；
(C)可微；(D)连续且偏导数存在但不可微.
6.
设k j b j i a
+-=+=2,，则以向量a
、b
为边的平行四边形的对角线的长度为（A ）(A)
11,3；
(B)3,11；(C)10,3；(D)11,2.
7.
设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2
22
2L xdx ydy
k
x y +=+⎰ （k 为常数），则有1
22
2L xdx ydy
x y ++⎰
（D
）
(A)等于k ；(B)等于k -；(C)大于k ；(D)不一定等于k ，与L 2的形状有关.
8.
设
∑
∞
=0
n n
n x a 在1=x 处收敛，则
∑
∞
=-+0
)1(1n n n
x n a 在0=x 处（D ）
二、设)(1
lim
)(2212N n x bx
ax x x f n n n ∈+++=-∞
→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1
x f x →)(lim 1
x f x -→都存在.
解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞
→∞
==，故2()f x ax bx =+；
当||1x >时，1()f x x
=
1121
1
1
,
1,lim ()1,
lim (),1
(),11,
1,1,lim (),
lim ()1,
1
x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -
+
-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪
=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
三、设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，求
dx x f ⎰
π0
|)(|.
解：()()F x f x '=，()()cos 2F x F x x '=，()()cos 2F x F x dx xdx
'=⎰⎰2()sin 2F x x C =+，由(0)1F =知1C =
，()|cos sin |F x x x ==+，22|cos 2||cos sin |
|()||cos sin |
|()||cos sin |
x x x f x x x F x x x -===-
+40
4
|()|(cos sin )(sin cos )1)(12f x dx x x dx x x dx π
π
π
π=-+-=++=⎰
⎰⎰四、设}0,0|),,{(2223>≤≤---∈=Ωa z y x a R z y x ，S 为Ω的边界曲面外侧，计算
⎰⎰
+++++=
S
z y x dzdx
y a x dydz ax I 1
)(2222
解：1:S z =（下侧）
，222
2:0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩（上侧）， 20S =⎰⎰，
∴
1
2
1
1
1222()S
S S S S S S axdydz x a dzdx +⎛
⎫
=+==
++=-⎪⎪⎭
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
[]12
2()2()S axdydz x a ydzdx a x a dV +Ω
=
++=
++⎰⎰
43
14(32)323a x dV adV a πΩ
Ω
=
+==⋅=
